第十八章 平行四边形复习

D A C
O B D
菱形面积 两对角线之积 2
2、如图，在菱形ABCD中， ∠B= 120°，则 30° ∠DAC=___________
A
C B D
3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长 A 40 为10，那么菱形的周长是_____________
B
C
4、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( D ) A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直
认真想 准确填
1.两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 。
2.对角线互相垂直、平分且相等的 四边形是
正方形 。
3.四边形绕其对角线交点旋转90度后与原四边形重 正方形 。 合，这个四边形是
4.用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩 形？ 。
仔细观 细心算
1.菱形对角线长为4cm、8cm，其边 长为 2√5 cm，面积为 16 cm² 2.如图，延长正方形ABCD的边BC 到E，使CE=CA，连接AE交DC于F， 则∠E= 22.5°，∠AFC= 112.5° 。 A D F B
B
O C
2、如图，以定点A、B为其中两个顶点作为正方形， B 一共可以作（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
A
B
三角形的中位线的性质：
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
A
数学语言：
∵在△ABC中，D 、E分别 是AB 、AC的中点. 1 ∴ DE∥BC, DE= BC
D
E
2
典型例题：
例1 如图，E，F是平行四 边形ABCD的对角线AC上的 点，CE=AF，请你猜想：
A D
E
BE与DF有怎样的关系？
并对你的猜想加以证明
B
F
C
A
D
E
B
2
3
4
1 F C
B C 证法1：∵四边形ABCD是平行四 证法2： 连接BD，交AC于点O， 边形 连接DE,BF
∴BC=AD，∠1=∠2
(C )一组对边相等，另一组对边也相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。 (A)对角线互相平分。 (B)对角线相等。
（C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。 3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ D ） (A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形 4.内角和等于外角和的多边形是（ B ） (A) 三角形。(B)四边形。(C )五边形。(D)六边形。 5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ C ）
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO 又∵AF=CE ∴AE=CF ∴EO=FO
∴BE=DF， ∠3=∠4
∴BE∥DF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论； (2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
A D
4、请在横线上写出原因，在括号里填理由 ∵四边形ABCD是矩形 ∴____________________ (
O B
C
)
5、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( C A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分 6、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到 A ∠AME＝70o ，则∠EMN＝（ C ） A、45o B、50o B C、55o D、60o
D C
边 形
平 行 四 边 形
①两组对边分别平行的 四 ②两组对边分别相等的 判别 ③一组对边平行且相等的 边 ④对角线互相平分的 形 ⑤两组对角相等的
1、在
ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50°
A D
8 6 则CD=________ ，AC=________ 130° ， ∠D=___________ 50° ∠A=________ 2、在 ABCD中， ∠A+ ∠C= 150°那么 75° 105° ∠A=__________ ，∠D=_________ 3、在 ABCD中， ∠A:∠B= 5:4，那么 80° 100° ∠B=__________ ，∠C=_________ 4、请在横线上写出结论，在括号里填理由 ∵四边形ABCD是平行四边形
M
)
C
N E F
D
7、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处， 如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ A ） A．15° B．30° C．45° D．60°
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 边：四条边都相等，对边平行． D
菱 形
角：对角相等，邻角互补． 对角线： 对角线互相垂直平分．A
第十八章：平行四边形
一般的平行四边形 菱 形 平行四边形 特 殊 的 矩 形 四 平行四边形 正方形 边
形 一般四边形
文字语言叙述 几何符号表述 在 ABCD ABCD中 O ①对边平行且相等 ∵在四边形 ∥CD AD∥BC OA=OC AB=CD A B ②对角相等，邻角互补 AB ∠A=∠C ， AB=CD AD=BC AB∥CD 平 性质 ③对角线互相平分 ∠ B=∠D OB=OD ∴四边形ABCD 行 是 ABCD 四
正 方 形
边：四条边都相等，对边平行． 角：四个角都是直角． 性质 对角线： 对角线相等且互相垂直平分．
对称性：即是轴对称图形又是中心对称图形
⑴先判定四边形是矩形； 判别 再判定这个矩形是菱形 ⑵先判定四边形是菱形； 再判定这个菱形是矩形
D O C
A
B
A
D
1、如图，已知正方形ABCD对角线交于点O， 90° 则∠BOC=________
菱 形
（2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
正方形 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
巩固练习
（一）判断题：
1.平行四边形的对角线相等； （ 2.矩形的四个角都相等； （ ） ） ） ）
B
C
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
三、特殊四边形的常用判定方法
平行 四边形 分别相等; （4）对角线互相平分； （5）一组对边平行且相等
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）两组对角
矩
形
（2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
典例1 如图，E，F是平行 四边形ABCD的对角线AC上 的点，CE=AF，请你猜想：
A
D E F
BE与DF有怎样的关系？ 并对你的猜想加以证明
B
C
A E
D
2
3 4 1 F C
B
猜想： BE∥DF, BE=DF
B
A
D
E
o
F
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形 ∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中 BC=AD ∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF
C
E
典例5：AC为正方形ABCD的对角线， E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC 交BC于F，试证：EC=EF=FB
证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 A D
交AC于O，连接BN、DM。
// ∵AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC， ∵MA=NC ∴OA+MA=OC+NC ∴OM=ON 又OB=OD
// DN ∴四边形MBND是平行四边形，∴BM
典例4 把正方形ABCD绕着点A，按顺时针 方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交 于点H（如图）。 试问线段HG与线段HB相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
例2如图，在⊿ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，A ∠CAM的平分线， CE⊥AN,垂足为点E. （1）求证：四边形为矩形； M （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 证明你的结论。
A 4 3 1 2 E ∟ N
B
D
∟
C
例3、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分 别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF 。 （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当AB=AC时，试判断四边形BFCE的形状， 并说明理由。
在△BCE与△DAF中 BC=AD
猜想： BE∥DF, BE=DF
A
D E
o
F
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO 又∵AF=CE
∠1=∠2
CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
∴AF-AO=CE-CO
即EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
B B
C A O C D
∴_________________(平行四边形的特征(5个,详见前知识点) )
定义： 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 C
边：对边平行且相等． 角：四个角都是直角．
A D
矩 形
性质
Oபைடு நூலகம்B
对角线： 对角线相等且互相平分．
对称性：是轴对称图形 （1）有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角都是直角的四边形 矩 判别 （3）对角线相等的平行四边形 形 （4）对角线互相平分且相等的四边形