中南大学研究生入学考试数学分析试题

中南大学研究生入学考试数学分析试题

中南大学 - 研究生考试数学分析试题

一、求下列极限

（1）lim ,(0)n n

n

n

n x x x x x --→+∞->+； （2）1lim (

)1

x

x x x →+∞+-；

（3）0

1lim sin A

A xdx A →∞⎰。

二、（共16分，每小题8分）设函数 ()sin

f x x

π

=，(0,1)x ∈

（1）证明()f x 连续；

（2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。 三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ；

（2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程

2222

0z z

x y ∂∂+=∂∂。 四、（共20分，每小题10分）

（1）求积分101

ln 1dx x

-⎰；

（2）求曲面22az x y =+ (0)a >，和22z x y =+所围成的体积。 五、（共12分，每小题6分）设

1cos 21p q

n n n I n

π

∞

==+∑

，(0)q > （1）求I 的条件收敛域； （2）求I 的绝对收敛域。 六、证明：积分

2

()0()x a F a e dx +∞

--=⎰

是参数a 的连续函数。

七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且

(1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f =

证明：(3)(1,1)

sup ()3x f x ∈-≥。

一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1）lim ()n n n n →+∞

+-；

（2）1

2

20

lim[3(cos )]x

x

x

x t dt →+⎰；

（3）设()f x 在[0,1]上可积，且1

()1f x dx =⎰

，求1

121

lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。

二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞

存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续；

（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。

三、（共27分，每小题9分）设22

2222

221()sin ,0,(,)0,

0.

x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨

⎪+=⎩

（1）求偏导数'x f 和'y f ；

（2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)的连续性； （3）讨论(,)f x y 在原点(0,0)的可微性。 四、（共30分，每小题15分）

（1）求2()ln(2)f x x =+在0x =处的幂级数展开式及其收敛半径；

（2）计算三重积分22()V

I x y dxdydz =+⎰⎰⎰，其中V 是由曲面22x y z +=与平面

4z =所围的区域。 五、（12分）计算下列曲面积分

333S

I x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，

其中，2222:S x y z a ++=，积分是沿曲面S 的外侧。 六、（共15分，每题5分）设

sin q

p

x I dx x +∞

=⎰

(0)q > （1） 求I 关于p 的收敛性；

（2）在上述收敛域中I 是否一致收敛？ （3）讨论I 的条件收敛性和绝对收敛性。

七、（共8分，每题4分）设0n a >，1n n a ∞

=∑发散，记1n n s a a =+

+，

证明：（1）1n n n a s ∞

=∑发散； （2）21n n n

a

s ∞

=∑收敛。

八、（8分）设定义于(,)-∞+∞的实值函数()f x 在0x =右连续，且对任何实数,x y ，都满足

()()()f x y f x f y +=+ 证明：()f x ax = （a 为常数）

1．证明：若数列{}n x 收敛，则它有且只有一个极限。 （20分） 2．证明下列结论：

（a ）

111

121223

n n

++++

>+-； （10分） （b ）序列111

1223n x n n

=+

+++

-收敛。 （20分） 3．设()f x 在[,]a b 上连续，且2[()]0b

a

f x dx =⎰，证明：在[,]a b 上，恒有()0f x =。

（20分）

4．在区间1(,)D =-∞+∞和21

[,10]10D =上，分别讨论级数221

1

(1)n n x x ∞

-=+∑的一致收敛性。 （20分）

5．考察函数

22

22

22,0,(,)0,

0.xy x y x y

f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪

+=⎩ 在原点(0,0)处的可微性。 （20分） 6．设()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，且()f x 在开区间(,)a b 内没有极值点，则()f x 是[,]a b 的严格单调函数。 （20分） 7．设1()g x 和2()g x 满足

12()(),x

x

a

a g t dt g t dt a x

b ≤≤<⎰

⎰

及

12()()b

b a

a

g t dt g t dt =⎰

⎰

又设()f x 可微，非增，则

12()()()()b

b

a

a

g t f x dt g t f x dt ≤⎰

⎰ （20

分）

一、（共30分，每小题10分）

（1）求极限2

lim 1(),(0);3

n

n n n x

x x →+∞++≥

（2）求极限1lim[()

()];n n x x a x a x →+∞

++-

（3）设lim ,n n x a →+∞

=证明lim ;n n y b →+∞

=其中，

0011!

,2!()!

n n n n n n

n k n

C x C x C x n y C k n k ++

+=

=

- 0,1,

,k n =

二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数2()f x x =在下列区间中是否一致连续：