中南大学研究生入学考试数学分析试题

中南大学研究生入学考试数学分析试题中南大学 - 研究生考试数学分析试题一、求下列极限（1）lim ,(0)n nnnn x x x x x --→+∞->+； （2）1lim ()1xx x x →+∞+-；（3）01lim sin AA xdx A →∞⎰。

二、（共16分，每小题8分）设函数 ()sinf x xπ=，(0,1)x ∈（1）证明()f x 连续；（2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。

三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ；（2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程22220z zx y ∂∂+=∂∂。

四、（共20分，每小题10分）（1）求积分101ln 1dx x-⎰；（2）求曲面22az x y =+ (0)a >，和22z x y =+所围成的体积。

五、（共12分，每小题6分）设1cos 21p qn n n I nπ∞==+∑，(0)q > （1）求I 的条件收敛域； （2）求I 的绝对收敛域。

六、证明：积分2()0()x a F a e dx +∞--=⎰是参数a 的连续函数。

七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且(1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f =证明：(3)(1,1)sup ()3x f x ∈-≥。

一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1）lim ()n n n n →+∞+-；（2）1220lim[3(cos )]xxxx t dt →+⎰；（3）设()f x 在[0,1]上可积，且1()1f x dx =⎰，求1121lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。

二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续；（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。

三、（共27分，每小题9分）设222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩（1）求偏导数'x f 和'y f ；（2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)的连续性； （3）讨论(,)f x y 在原点(0,0)的可微性。

四、（共30分，每小题15分）（1）求2()ln(2)f x x =+在0x =处的幂级数展开式及其收敛半径；（2）计算三重积分22()VI x y dxdydz =+⎰⎰⎰，其中V 是由曲面22x y z +=与平面4z =所围的区域。

五、（12分）计算下列曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，其中，2222:S x y z a ++=，积分是沿曲面S 的外侧。

六、（共15分，每题5分）设sin qpx I dx x +∞=⎰(0)q > （1） 求I 关于p 的收敛性；（2）在上述收敛域中I 是否一致收敛？ （3）讨论I 的条件收敛性和绝对收敛性。

七、（共8分，每题4分）设0n a >，1n n a ∞=∑发散，记1n n s a a =++，证明：（1）1n n n a s ∞=∑发散； （2）21n n nas ∞=∑收敛。

八、（8分）设定义于(,)-∞+∞的实值函数()f x 在0x =右连续，且对任何实数,x y ，都满足()()()f x y f x f y +=+ 证明：()f x ax = （a 为常数）1．证明：若数列{}n x 收敛，则它有且只有一个极限。

（20分） 2．证明下列结论：（a ）111121223n n++++>+-； （10分） （b ）序列1111223n x n n=++++-收敛。

（20分） 3．设()f x 在[,]a b 上连续，且2[()]0baf x dx =⎰，证明：在[,]a b 上，恒有()0f x =。

（20分）4．在区间1(,)D =-∞+∞和21[,10]10D =上，分别讨论级数2211(1)n n x x ∞-=+∑的一致收敛性。

（20分）5．考察函数222222,0,(,)0,0.xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在原点(0,0)处的可微性。

（20分） 6．设()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，且()f x 在开区间(,)a b 内没有极值点，则()f x 是[,]a b 的严格单调函数。

（20分） 7．设1()g x 和2()g x 满足12()(),xxaa g t dt g t dt a xb ≤≤<⎰⎰及12()()bb aag t dt g t dt =⎰⎰又设()f x 可微，非增，则12()()()()bbaag t f x dt g t f x dt ≤⎰⎰ （20分）一、（共30分，每小题10分）（1）求极限2lim 1(),(0);3nn n n xx x →+∞++≥（2）求极限1lim[()()];n n x x a x a x →+∞++-（3）设lim ,n n x a →+∞=证明lim ;n n y b →+∞=其中，0011!,2!()!n n n n n nn k nC x C x C x n y C k n k +++==- 0,1,,k n =二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数2()f x x =在下列区间中是否一致连续：（1）(,)l l -，这里l 为随便多大的正数； （2）在区间(,)-∞+∞上。

三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：“若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导；则在(,)a b 内至少存在一点0x ，使'()()()f b f a f x b a-=-。

”四、（20分）求半径为R 的球内嵌入有最大致积的圆柱体的体积。

五、（共36分，每小题12分） （1）求积分1,(0)ln b ax x dx b a x->>⎰； （2）求第一类曲面积分22(),Sx y dS +⎰⎰其中S 为体积221x y z +≤≤的边界；（3）分别研究函数项级数1sin n nxn ∞=∑在下列区间上的一致收敛性： （a ）在2x επε≤≤-上，其中0ε>（b ）在02x π≤≤上。

六、（12分）设{()}n x φ是[0,1]上的非负可积函数序列，且1lim ()nn K x dx φ→+∞=⎰存在。

若(0,1]α∀∈，有1lim ()0nn x dx αφ→+∞=⎰；证明对任何一个[0,1]上的连续函数()f x 都有1lim()()(0)nn x f x dx Kf φ→+∞=⎰。

七、（12分）设()f x ，()g x 都是周期函数，且lim[()()]0x f x g x →+∞-=；证明()()f x g x ≡。

一、 判断题：（每题5分，共25分）（1） 若级数1n n a ∞=∑收敛，则0().n n a n →→∞ （）；（2） 收敛的数列一定有界. （）；（3） 开区间(,)a b 内可导的函数一定在闭区间[,]a b 上连续. （）；（4） 若函数()f x 在0x x =点附近具有二阶连续导数，且'0()0f x =，"0()0f x >，则()f x 在0x x =处达到极小值. （）；（5） 若函数()f x 在[,)a +∞上有定义且是连续的，而且极限lim ()x f x →∞存在且有限，则()f x 在此区间上一致连续. （）. 二、 求下面数列的极限值：（每小题10分，共30分） （1）11,,,n n x a x a x -==+其中0a >为常数； （2）012,,2n n x x x -==；（3）001101,1,,1.11nn nx x x x x x x +==+=+++ 三、 求下列函数的极值：（每小题10分，共20分） （1）ln(1)y x x =-+； （2）ln .y x x =四、 （20分）设{}n na 收敛，11()n n n n a a ∞-=-∑收敛，试证明级数0n n a ∞=∑收敛.五、 （15分）若非负函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且0()().xf x f t dt =⎰则()0.f x ≡六、 （20分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，证明1lim ()()()()nbi i i ai f g x f x g x dx ξθ→∞==∑⎰其中0111,,n n i i i x a x x x b x x ξ--=≤≤≤≤=≤≤11,,1,,;max{,1}.i i i i i i x x x x x i n x i n θ--≤≤=-==≤≤七、（20分）若函数():f x （1）在区间[,]a b 上有二阶导函数"()f x ， （2）''()()0.f a f b ==则在区间(,)a b 内至少存在一点c 使得"4()()().f c f b f a b a≥--。