周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)

第5章

微扰理论

5.1复习笔记

一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件

求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，

同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'

H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即

'(0)(0)

(0)(0)

1,mn

n m

n m

H E E E E <<≠-（1）非简并情况

微扰作用下的哈密顿量可表示为：'

0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=m

m

n

nm

nn n

n E

E

H H E E

)0()0(2'

'

'

)

0(相应的波函数可近似表示为：∑

+-+=m

m m

n mn n

n E E H )

0()

0()0(''

)0(ψψψ（2）简并情况

能级的一级修正由久期方程

0det )

1('=-v k v E H μμδ即

)

1(''2

'1

'

2)1('22'

21

'1'

12)1('11=---n

kk k k k

n

k

n

E H H H H E H H H H E H

给出。个实根，记为有k k f E )

1(k k f E ,,2,1,)

1( =αα，分别把每一个根)

1(αk E 代入方程

∑==-k

f v v v k v

a E H 1

)

1('

0)(μαμ

δ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数

∑>>=v

kv v

kv a φα

||。相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。

2．氢原子的一级斯塔克效应

（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：

由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2

n 度简并。加上电场后，势场的对称性受到破坏，能级发生分裂，使简并部分被消除。

二、变分法

1．变分法求体系基态能量方法总结：

选择含有参数λ的尝试波函数)(λψ，计算H 的平均能量)(λH ，它是变分参量λ的函数。由极值条件

0)

(=λ

λd H d ，求出)(λH 的最小值。它表示基态能量的上限。2．变分法在氦原子基态中的应用举例（1）选择适当的尝试波函数

取两个类氢原子基态本征函数的乘积做尝试波函数)()(),(2100110021r r r r ψψψ=（2）以有效电荷数做参量，求H 的平均能量)

(Z H

（3）求

0)

=λ

d Z H d 的极值，得出Z=1.69（4）将Z=1.69代回)(Z H 表达式，求得其基态能量上限0

2

085

.2a e E s -=说明：能精确求解的量子体系并不是很多，而有时问题也并不一定要求有十分精确的答案，于是我们就需要发展求解的近似方法。从时间的关系讲，近似方法有一类是与时间无关的，用以求能级、期望值等；另一类是随时间变化的，主要求跃迁几率等。从取近似的做法而言，有小参数展开的，如微扰论、WKB 近似等；有从整体讨论问题的，如变分法。要根据具体问题的特征选择恰当的近似方法。

三、与时间有关的微扰理论

1．定态微扰论和与时间有关微扰论研究对象比较：

（1）定态微扰论与时间无关，研究在有微扰作用下，定态能量与波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。

（2）与时间相关的微扰论的哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。故只能研究有微扰时的波函数，量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射（能量变化）等。

2．含时微扰体系理论

含时微扰体系哈密顿量)

()('

0t H H t H

+=体系波函数ψ所满足的薛定谔方程ψψ

)(t H t

i =∂∂将ψ按0H

的本征函数n φ展开∑=n

n n t a φψ)(，则在t 时刻发现体系处于m φ态的概率

是2

)(t a m 。若体系t=0时处于0H

的本征态k φ，则

nk n a δ=)0()

0(，

⎰=t

t i mk m dt e t H i t a mk 0

'''')(1)(ω ，

体系在微扰作用下由初态k φ跃迁到终态m φ态的概率为：

2

'

''2

2

'

)(1)(⎰=

=→t

t i mk m m k dt e t H t a W mk ω ，其中)(1

k m mk εεω-=

上式的适用条件是：()1k m W t →<<，m k ≠。

3．跃迁概率计算

（1）如果末态是连续谱，由能量为k E 的态跃迁到能量间隔为m m m E E E ∆+→的态的跃迁几率可由费米黄金规则给出：

)

(22

'm H t W mk ρπ

=单位时间内的跃迁概率（跃迁速度）为：

)(22

'm H w mk ρπ

=。（2）若作用于体系的是周期微扰)('t

i t

i e e F H ωω-+= ，则

)(22

ωεεδπ±-=

→k m mk m k F t W

单位时间内体系由k φ态跃迁到m φ态的概率为：

)(22

ωεεδπ±-=

→k m mk m k F w

。4．能量时间的不确定关系

~t E ∆∆由此关系可知，测量能量越准确（E ∆小），则用于测量的时间越长（t ∆大）。