5.7哈密顿原理作业

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哈密顿原理

例4-1 图4-1所示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。

已知圆盘质量为m ，槽的半径为R 。

试用哈密顿原理建立系统的运动方程。

解：若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为222])[(21ϕθ A I r R m T 1+-=(a)其中，ϕ为圆盘的角速度，I A = mr 2/2是圆盘对质心的转动惯量。

圆盘作不滑动的滚动时，存在有)(r R r -=θϕ(b)由此，得到θϕrr R -= (c)将式(c)代入式(a)，得到22243θ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r R mr T (d)而系统的位能2)(21)cos 1)((θθr R mg r R mg -≈--=∏ (e)将T 与∏代入变分式0d )(δδ21=∏-=⎰t T I t t中，得到d δ)(d δ)23-δ)(23d δ)(δ23d )(2143δ212121212122222222=----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰t r R mg t r m(R r R m tr R mg r r R mr t r R mg r r R mr t t t t t t t t t t θθθθθθθθθθθθ (f)由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求δθ = 0，所以，式(f)满足时，必有0)()(232=-+-θθr R mg r R m (g)式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。

例4-2 图4-2所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k ，摆的质量为m ，摆长为l解：（1）选择x 及θ 为广义坐标。

（2）动能及势能动能：22])sin [(21])cos ([21θθθθ l m l xm T ++= (a) 势能：)cos 1(212θ-+=mgl kx V (b) （3）广义外力为零本例题中广义外力。

（4）运动方程将式(a)与式(b)代入式(4-21)，得到0sin sin cos 0sin cos 222=+-+=+-+θθθθθθθθθmg x ml ml xml kx ml ml xm(c)这就是摆的运动方程。

17哈密顿函数守恒原理

s s s n
2T2 T1
哈密顿函数,
L T2 T0 V H p q
1
s
这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能, 只能姑名之为广义能量. 注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒的条件当然也就不同了.
s n
这样, 我们得到
L 2T (T V ) T V H p q
1
s
在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二次齐次式, 哈密顿函数就是机械能.
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的, 但变换ri＝ri(q,t) 显含时间, s ri ri ri q t 1 q
dL L s d L dt t 1 dt q
s L d s L L dq q q q d t t d t q 1 1
这样
d s L L L q dt 1 q t
定义哈密顿函数
s L L p q L H q 1 q 1 s
如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒哈密顿函数是什么？ s ri ri q 因为坐标变换不显含时间, 所以 1 q n n s s ri ri 1 1 于是 T mi ri ri mi q q 2 i 1 2 i 1 1 q 1 q s s n ri ri 1 q mi q q q 1 1 i 1 2

理论力学(周衍柏)习题答案,第五章

第五章习题解答5.1解如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。

杆的自由度为1，由平衡条件：即mg y =0①变换方程y=2rcos sin-= rsin2②故③代回①式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0④又由于cos=故cos2=代回④式得5.2解如题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。

得由虚功原理故①因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须故②又由得：③由②③可得5.3解如题5.3.1图，在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。

去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD的位置。

因此自由度数为1。

选为广义坐。

由虚功原理：w①又取变分得代入①式得：化简得②设因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：由此得5.4解自由度，质点位置为。

由①由已知得故②约束方程③联立②③可求得或又由于故或5.5解如题5.5.1图按题意仅重力作用，为保守系。

因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的动能：由于所以又由于故取Ox为零势，体系势能为：故力学体系的拉氏函数为：5.6解如题5.6.1图.平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程①在广义力代入①得：②在极坐标系下：③故将以上各式代入②式得5.7解如题5.7.1图又由于所以①取坐标原点为零势面②拉氏函数③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如图5.8.1图.(1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为1.(2)取广义坐标.(3)根据极坐标系中的动能取初始水平面为零势能面，势能:拉氏函数①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齐次方程的解.②特解为故①式的通解为③在时：④⑤联立④⑤得将代回式③可得方程的解为：5.9解如题5.9.1图.（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2. （2）选广义坐标，.（3）在柱坐标系中：以面为零势能面，则：拉氏函数-①（4）因为不显含，所以为循环坐标，即常数②对另一广义坐标代入保守系拉氏方程③有得④所以此质点的运动微分方程为（为常数）所以5.10解如题5.10.1图.（1）体系自由度数为2.（2）选广义坐标（3）质点的速度劈的速度故体系动能以面为零势面，体系势能：其中为劈势能.拉氏函数①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③联立②，③得5.11 解如题5.11.1图（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度（2）选取广义坐标（3）根据刚体力学其中绕质心转动惯量选为零势面，体系势能：其中C为常数.拉氏函数(4)代入保守系拉氏方程得：对于物体，有5.12解如题5.12.1图.（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度. （2）选广义坐标（3）力学体系的动能根据运动合成又故设为绕质心的回转半径，代入①得动能②（4）由③（其中）则④因为、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦两式为运动微分方程（6）若摆动角很小，则，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：（因为角很小，故可略去项）5.13解如题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度.(2)选广义坐标，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系统动能②（4）由定义式③（5）代入①得：得5.14.解如题5.14.1图.（1）因体系作平面平行运动，一个约束方程：(2)体系自由度，选广义坐标.虽有摩擦，但不做功，为保守体系（3）体系动能：轮平动动能轮质心转动动能轮质心动能轮绕质心转动动能.①以地面为零势面，体系势能则保守系的拉氏函数②(1)因为不显含，得知为循环坐标.故=常数③开始时：则代入得又时，所以5.15解如题5.15.1图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度；选广义坐标，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明①（2）体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能②其中代入②得以地面为零势面，则势能：（其中为常数）(3)因为是循环坐标，故常熟③而代入①式得④联立③、④可得（先由③式两边求导，再与④式联立）⑤⑤试乘并积分得：又由于当5.16解如题图5.16.1.（1）由已知条件可得系统自由度.（2）取广义坐标.（3）根据刚体力学，体系动能：①又将以上各式代入①式得：设原点为零势能点，所以体系势能体系的拉氏函数②(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用③代入③式得即（5）解方程得5.17解如题5.17.1图（1）由题设知系统动能①取轴为势能零点，系统势能拉氏函数②（2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即③同理又代入上式得④令代入③④式得：欲使有非零解，则须有解得周期5.18解如题5.18.1图（1）系统自由度（2）取广义坐标广义速度（3）因为是微震动，体系动能：以为势能零点，体系势能拉氏函数（4）即①同理②同理③设代入①②③式得欲使有非零解，必须解之又故可得周期5.19解如题5.19.1图（1）体系自由度（2）取广义坐标广义速度（3）体系动能体系势能体系的拉氏函数（4）体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用①将以上各式代入①式得：②先求齐次方程③设代入③式得要使有非零，必须即又故通解为：其中又存在特解有②③式可得式中及为积分常数。

TM5-9哈密顿原理

§5.7 哈密顿原理
• 变分法简介 • 哈密顿原理 • 哈密顿原理的应用
1
一.变分法简介
1.力学体系的变分原理 (1) 定义凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理 (2) 意义它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。
(3) 力学的变分原理有
d ( q ) (dt ) dq dt (dt ) 2 d d ( t ) ( q ) dq dt (dt ) 2
若是等时变分，即 t 0，所以上式为 dq dt d ( q ). dt
17
dq dt
不等时变分
称 S

t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
23
(3) 说明 • 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁。 • 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力学、统计物理、相对论、量子力学。
18
二、哈密顿原理
1.位形空间和运动路径
(1) 位形空间
受有完整约束的力学体系, 由s个广义坐标组成的空间，称为位形空间.
一般地，广义坐标 q ( 1, 2
s) 是时间t的函数。在以
q1 , q2 ,
, q 为坐标轴所张成的S维空间中，随着t从t1连续
变化到t2，体系从位形空间中的位置q(t1)连续变化到q(t2)，位形空间的“点”则描绘出一条轨迹。
C与C'是两个轨道(宗量函数),两个轨道的两端点P 1 ,P 2相同.

湘潭大学现代物理导论II157哈密顿原理

t1 t2
固定点 A,B 的曲线 y(t ) ，使得 J A 有极值。假设图中红色曲线为所求的 y(t ) ，使得 J 有极值。虚线为接近 y(t ) 的另一条曲线， (t ) y(t , ) y(t ) f (t ) ，为无限小参量。 0 y (t ) y (t ) 。时， y 因此 J 也是参量的函数，即
F d F ( ) 0 （5.7.4） y dt y
上式为泛涵 J 有极值时函数 y(t ) 需要满足的条件，它是关于函数的二阶常微分方程，称为欧拉方程。
现代物理导论I
（四）哈密顿原理
)dt 中的 y 更换如果把前面泛涵 J [ y (t )] F (t , y, y
（2）变分假定 C 是空间一条曲线，且为质点遵从运动规律运行时的轨道，即真实轨道。 C ' 为邻近 C 的一条曲线，但不是质点的动力学轨道，为两端点相同。
P2
Q'
C ' P'
P1
Q
C
P
两相差甚微的两条曲线之间的差异称为变分，用符号表示。在两端点有
qs
P 1
qs
P2
0
如果 P ', Q ' 是 C ' 上与 C 上对应的两点，则 Q ' 的坐标可以通过两种途径得到：（1）质点自 P 到 P ' ，然后到 Q ' ，或者（2）质点由 P 到 Q 再到 Q ' 。这样有
泛涵：给定一任意函数 y ( x) 组成的集合 D ，如果对每一个元素 y ( x) 都有一个数 J 与之一一对应，则 J 是 y ( x) 的泛涵，记为 J J [ y ( x)]

TM5-9哈密顿原理

称 S

t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
23
(3) 说明 • 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁。 • 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力学、统计物理、相对论、量子力学。
d L dt q

t2
t1
d L 1 dt q
s
L q dt 0 q
但
d L dt q
L d d L q q q dt q q dt L d L q q 代入上式得： dt q q
1 2 1 2 kx dt 0 Ldt mx 0 2 2
t
上式变为
kxxdt 0 x m
t 0
x为任意，且dt任意，所以有
kx 0 m x
26
例2 轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点O，弹簧倔强系数为 k，不受力时原长为 l，摆动限于铅垂平面内，试用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。
t1
S
t2
t1
d x x x x x kxx dt 0 x x 0 mx dt t t x 0 x t 0 m x d x m x x kx x dt 0
t
0 0
18
二、哈密顿原理
1.位形空间和运动路径
(1) 位形空间

7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是:将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动.哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较,而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函,从而得到对真实运动来讲,哈密顿作用量的变分等于零.将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程,提供了一种动力学问题的直接近似解法.5。

1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。

我们知道，对于一个质点系统,在建立拉格朗日方程后,重要的问题是研究这个微分方程组的积分,但是求解往往是很困难的。

哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。

若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用,则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用.哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中,并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。

5.1。

1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5—1）引入广义动量),,2,1(k j qL p j j =∂∂=(5—2）代入式（5—1）,有),,2,1(k j q Lpjj =∂∂=（5-3)设拉格朗日函数L 满足条件0det 2≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂k j q q L 于是，可由式(5-2）反解出),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j ==(5-4）式（5—3）和式（5—4）就把方程（5-1）由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组（5-4)并非正则形式.引入哈密顿函数),,(1),,(t p q f q j j k j j j j j j j L q p t p q H ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑(5-5）按照Legendre 变换规则，将j q变换成),,2,1(k j p j =,而q i 和t 仍然保持不变,则有 jj p Hq∂∂= （5-6） ),,2,1(k j q Hq L jj =∂∂-=∂∂(5—7）tHt L ∂∂-=∂∂ （5-8)将式(5-7)代入式(5—3),并与式（5—6)联立,得),,2,1(,k j q H pp H q jj j j =∂∂-=∂∂= （5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k 个一阶常微分方程。

哈密顿原理的应用

哈密顿原理的应用解题步骤
分析约束,确定自由度
选好广义坐标
写出系统的
T,V,L
代入
∫
∫
=
+
−
=
=
=
2
1
2
1
)
(
t
t
t
t
dt
q
P
H
s
Ldt
s
α
α
δ
δ
δ
δ
&
或者
x
一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用哈密顿正原理求其在平衡位置附近作o
4 L
=
2 t
sδ
2
3m
2−
板.设所有接触处均无滑动,今以一水平恒力F
拉板,试用哈密蹲原理求板的加速度.
取如图所示x为广义坐标
T
∫=2
Ldt
s δδ
=
1
t
=
2 t
1
4
3
解:
t δ
mr θδθ
θδθθ&&&&22mr r mr −−
δ
∫= 1[(
t
中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.
0v 自由度数
取如图所示,(θy demonstration
θθ
B
t δ
δ
1
1
S t δ。

哈密顿原理

哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。

哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。

在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。

拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。

然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。

接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。

哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。

作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。

根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。

这就是哈密顿原理的核心思想。

哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。

在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。

在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。

此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。

除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。

在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。

在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。

总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。

它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。

通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。

第18章_哈密顿原理

第18章_哈密顿原理哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它是由物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）于19世纪提出的。

这一原理在动力学、量子力学和泛函分析等领域中都有广泛的应用。

哈密顿原理是一种优美而重要的方法，用于描述力学系统的运动。

它是以最小作用量原理为基础的，即物理系统在可行的轨迹中，其作用量的变分为零。

作用量是指系统在一段时间内受到的力的总和。

因此，哈密顿原理可以用数学的形式表示为：在给定初态和末态下，作用量的变分为零。

具体而言，哈密顿原理可以分为两个步骤：第二步是利用变分法来求解哈密顿原理。

通过对作用量进行变分，我们可以得到运动方程以及相应的边界条件。

具体而言，我们对作用量进行变分，得到一组关于位置和动量的偏导数等于零的方程。

这些方程被称为哈密顿方程，它们描述了系统随时间演化的规律。

哈密顿原理的优势在于，它可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，可以简化动力学问题的求解过程。

此外，哈密顿原理还可以解决具有多个约束条件的力学系统。

在这种情况下，我们可以使用拉格朗日乘子来处理约束条件，从而得到正确的运动方程。

除了力学系统，哈密顿原理还可以应用于其他物理学领域。

例如，在量子力学中，哈密顿原理可以用于导出薛定谔方程，这是描述量子力学系统演化的方程。

在泛函分析中，哈密顿原理还可以用于最优控制问题的求解。

总之，哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它提供了一种简洁而优雅的方法来描述和求解力学系统的运动。

它不仅可以应用于力学系统，还可以应用于量子力学和泛函分析等领域。

通过哈密顿原理，可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，简化动力学问题的求解过程。

理论力学习题(5)

第五章思考题5．1 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理解平衡问题，有何优缺点？答：“虚功”是指作用在质点上的力（包括约束反力），在任意虚位移过程中所做的功。

因虚位移是假想的位移，所以虚功也是假想的功。

不一定是质点在任何真实运动中力实际所完成的“真实功”。

而虚功原理中的“虚功”只包括所有主动力的“虚功”，不包括约束反力的“虚功”，因为根据理想约束的条件：∑==⋅ni i i10r Rδ，即作用在一力学体系上的所有约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。

用虚功原理解平衡问题时，约束反力自动消去，这是它的优点。

但因此就不能直接用它来求约束反力，这是它的缺点。

5．2 为什么在拉格朗日方程中，αQ 不包括约束反作用力？又广义坐标及广义力的含义为何？我们根据什么关系可以由一个量的量纲定出另一个量的量纲？答：决定力学体系的位置状态的独立参数叫广义坐标。

广义坐标不一定是长度，也可以是角度、面积或体积等。

与广义坐标对应的广义力定义为：∑=∂∂⋅=ni ii q Q 1ααr F 它可以是力或力矩，也可以是其它物理量。

我们根据关系：∑==sq Q W 1αααδδ，可由广义坐标的量纲定出广义力αQ 的量纲（功的量纲已知）。

根据广义力的定义，我们可以计算与约束反力相应的广义力：∑=∂∂⋅=ni ii Rq Q 1ααr R 但理想约束条件：0)(11111=∂∂⋅=∂∂⋅=⋅∑∑∑∑∑=====ααααααδδδq q q q ni i i s ni si i ni i rR r R r R i ，由于αδq 是独立的，所以有：),2,1(01s q Q ni ii R==∂∂⋅=∑=αααr R 。

我们看到，只要满足理想的约束条件，约束反力对广义力的贡献为零。

因此，αQ 中不包含约束反力。

5．3 广义动量αp 和广义速度αq是不是只相差一个乘数m ？为什么αp 比αq更富有物理意义？答：广义动量αp 和广义速度αq的关系只能由定义式：ααqLp ∂∂=求出，他们不一定是只相差一个乘数m 。

哈密顿算符运算原理

哈密顿算符可以表示为物理量的函数，通过测量这些物理量可以获得系统的状态信息。
哈密顿算符的历史与发展
起源
哈密顿算符起源于19世纪初的经典力学，最初用来描述质点的运
动规律。
发展
随着量子力学的兴起，哈密顿算符被广泛应用于描述微观粒子的
运动状态和能量变化。
当前研究
目前，哈密顿算符在仍然占据重要地位，是探索物质世界基本规律的重要工具之
详细描述
在求解哈密顿算符的演化方程时，可以将问题转化为求某个泛函的极值问题。通过变分法，可以将偏微分方程转化为欧拉方程或变分方程，从而简化求解过程。
05 哈密顿算符的运算实例
一维谐振子的哈密顿算符运算
总结词
一维谐振子的哈密顿算符运算涉及到对位置和动量的平方和运算，以及能量表达式的求解。
详细描述
一。
02 哈密顿算符的基本运算
哈密顿算符的矩阵表示
01
哈密顿算符在量子力学中通常表示为矩阵形式，其元素对应于系统的能量和动量。
02
在矩阵表示中，哈密顿算符的矩阵元素由系统波函数的性质决
定，反映了系统内部相互作用和能量传递的关系。
哈密顿算符的矩阵形式对于计算系统的能量和波函数具有重要
03
意义，是理解和描述量子系统的重要工具。
哈密顿算符的演化方程
1
哈密顿算符的演化方程是薛定谔方程，描述了量子系统的状态随时间的变化。
2
薛定谔方程是一个偏微分方程，将系统的波函数与时间关联起来，通过求解该方程可以获得系统在不同时刻的状态。
3
哈密顿算符的演化方程是量子力学中的基本方程之一，对于理解量子系统的动力学行为和演化规律具有重要意义。
总结词

第18章_哈密顿原理

第18章_哈密顿原理第⼋章哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）⼀、泛函和变分的概念1．最速落径问题如图1，A 、B 是同⼀铅垂⾯上的两点，A ⾼于B ，不考虑阻⼒，试确定连接A 、B 的⼀条曲线，使初速为零的质点m 从A ⾄B ⾃由下滑所需时间最短。

设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另⼀⽅⾯，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化⽽变化。

这些可变化的函数称为⾃变函数，⽽随⾃变函数⽽变的量称为该⾃变函数的泛函。

最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找⼀个函数y (x )，它满⾜边界条件====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极⼩值。

变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。

2．⾃变函数的变分如图2，将⾃变函数曲线 y = y (x ) 作微⼩变更，得到另⼀曲线y * = y * (x )，⽽ y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为⾃变函数的变分。

下⾯推导d 、δ交换法则。

由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= ⽐较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，⾃变函数变分、微分的运算顺序可交换。

Chapter5-分析力学07-哈密顿原理

s
西南大学-物理科学与技术学院理论力学-5.7哈密顿原理主讲教师：邱晓燕
t2
t2
t2
P244【例】试由哈密顿原理导出正则方程. 解: H p q H ( p, q, t ) L L p q
1
s
s
1
s p q H ( p, q, t ) dt 0 t2 1
d L d L L ( )q ( q ) q α dt q dt q q
等时变分的对易性
理论力学-5.7哈密顿原理主讲教师：邱晓燕
而：
西南大学-物理科学与技术学院
代入：
s L L L q q q dt 0 q q 1 q 1 t t 1 s
的变化.
y( x )
dx x , t
dx dy y
西南大学-物理科学与技术学院
dx 0
0
主讲教师：邱晓燕
理论力学-5.7哈密顿原理
(3) 变分：自变量不变化时函数自身的变化
~ y y ( x) y ( x)
泛函的变分：
y
J y( x ) J [ ~ y ( x )] J [ y( x )]
西南大学-物理科学与技术学院
理论力学-5.7哈密顿原理
主讲教师：邱晓燕
返
证：1. 从拉氏方程推导哈密顿原理（保守系）：
保守系拉氏方程乘以q ，对
t2 s
求和，再积分.
d L L ( ) q dt 0 dt q q 1 t1
t1
t2
q p ( pq

哈密顿原理

pk
L qk
函 L L(q,q,t)
数
形式
k
H pk
pk H
qk
H pk
q, p,t
H H (q, p,t)
k
L qk
qk
L
例1、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。
解：设振子的质量为m，劲度系数为k，沿x轴运动，并且伸长量为x。则其动能和势能分别为：
T 1 mx2 V1kx21m2x2 ( k )
哈密顿原理
2.多自由度力学体系的小振动
考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将势能展为泰勒级数
VV 0s 1 q V 0q 1 2 s 1 1 q 2 V q 0q q 高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
(2)、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。
4．正则方程中的初积分
(1)、广义能量积分
证明：dH H
HH(q,p,t)
dt t
H k
q H kq kk
p H k p k H t
q
k
HH
k qkpk k
H H H ( )
pk qk t
2
22
m
LTV1m x 21m 2x2
22
பைடு நூலகம்
广义动量：
p
L x
mx
体系的哈密顿函数：H
pxL
p2 m
( p2 1m2x2)
2m 2
p2 1m2x2
2m 2
H p2 1m2x2
2m 2 根据哈密顿正则方程可得：
x H p p m

哈密顿原理的推导

miai ri
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时：式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐

5.7哈密顿原理作业

１哈哈密密顿顿原原理理作作业业1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振动周期。

1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21V T L 20 其中取悬点O 为零势能点。

于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ⎰可得：0dt cos mg I 2121t t 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛θ+θδ⎰ 即：()0dt sin mg I 21t t 0=θδθ-θδθ⎰ 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0000I )I (dt d)(dt dI I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 2121t t 00t t 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ⎰⎰ 即：()0dt sin mg I I 2121t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ⎰ 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值所以：0sin mg I 0=θ+θ即：0sin I mg 0=θ+θ而θ≈θsin ，则:0I mg 0=θ+θ，此即为所求的运动方程。

其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。

2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。

2.解:取x,y,z 为广义坐标，则：体系的动能)z y x (m 21T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点）拉氏函数mgz )z y x (m 21V T L 222-++=-=２于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ⎰可得：0dt mgz )z y x(m 2121t t 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++δ⎰ 即：()0dt z mg z z m y y m x xm 21t t =δ-δ+δ+δ⎰ 而x x x x dt d x dtdx x x δδδδ -==)()( y y y y dt d y dt d y y yδδδδ -==)()( zz z z dt dz dt dz z z δδδδ -==)()( 则：()0dt z mg z z m y y m x x m )z z m y y m x xm (2121t t t t =δ+δ+δ+δ-δ+δ+δ⎰ 而0)z z m y y m x x m (21t t=δ+δ+δ ，x δy δz δ相互独立且取任意值所以所求的运动微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+==0mg zm 0y m 0x m3.试用哈密顿原理求单摆的微振动方程和周期。