5.7哈密顿原理作业

１

哈哈密密顿顿原原理理作作业业

1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为 ，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振

动周期。

1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21

V T L 2

0 其中取悬点O 为零势能点。

于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ⎰可得：0dt cos mg I 2

121t t 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛θ+θδ⎰ 即：()0dt sin mg I 2

1t t 0=θδθ-θδθ

⎰ 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0

000I )I (dt d

)(dt d

I I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 212

1t t 00t t 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ

⎰⎰ 即：()0dt sin mg I I 212

1t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ

⎰ 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值

所以：0sin mg I 0=θ+θ

即：0sin I mg 0=θ+θ

而θ≈θsin ，则:0I mg 0

=θ+θ

，此即为所求的运动方程。 其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。

2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。

2.解:取x,y,z 为广义坐标，则： 体系的动能)z y x (m 2

1

T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点）

拉氏函数mgz )z y x (m 21

V T L 222-++=-=

２ 于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ⎰可得：0dt mgz )z y x

(m 2

121t t 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++δ⎰ 即：()0dt z mg z z m y y m x x

m 2

1t t =δ-δ+δ+δ⎰ 而x x x x dt d x dt

d

x x x δδδδ -==)()( y y y y dt d y dt d y y y

δδδδ -==)()( z

z z z dt d

z dt d

z z z δδδδ -==)()( 则：()0dt z mg z z m y y m x x m )z z m y y m x x

m (212

1t t t t =δ+δ+δ+δ-δ+δ+δ⎰ 而0)z z m y y m x x m (2

1t t

=δ+δ+δ ，x δy δz δ相互独立且取任意值 所以所求的运动微分方程为：

⎪⎩⎪⎨⎧=+==0mg z

m 0y m 0x m

3.试用哈密顿原理求单摆的微振动方程和周期。

3.解:设单摆的摆长为 ，摆锤质量为m ，取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为：θ+θ=-=cos mg m 2

1

V T L 22 其中取悬点o 为零势能点。 于是哈密顿原理0dt L 21

t t =δ⎰可得： 0dt cos mg m 2

121t t 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛θ+θδ⎰ 即：()

0dt sin mg m 2

1t t 2=θδθ-θδθ⎰ 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ )(dt

d )(dt d 则：()

0dt sin mg m m 212

1t t 2t t 2=δθθ+θ-δθθ⎰ 而0

2

1t t =δθθ ，δθ取任意值 则：0sin g

=θ+θ

而θ≈θsin ，则0g

=θ+θ ，此即为单摆的微振动方程

３ 于是角频率 /g =ω 所以周期g /2/2T π=ωπ=。

4.试用哈密顿原理求一维谐振子的微振动方程和周期。

4.解:设一维谐振子的屈强系数为k ，质量为m ，取x 为广义坐标，则拉格朗日函数为：22kx 21

x m 21

V T L -=-=

其中以平衡位置为零势能点。

于是哈密顿原理0

dt L 21

t t =δ⎰可得： 0

dt kx 21

x m 2121t t 22=⎪⎭⎫

⎝⎛-δ⎰

即：()0

dt x kx x x m 21

t t =δ-δ⎰ 而x x )x x (dt d

)x (dt d x x x δ-δ=δ=δ 则：()0dt x kx x m x x m 21

2

1t t t t =δ+-δ⎰ 而0x x m 2

1

t t =δ ，x δ取任意值 则：0kx x m =+

此即为一维谐振子的微振动方程。 于是角频率m /k =ω 所以周期k /m 2/2T π=ωπ=。