第2节古典概型(教师版)

第二节 古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型

(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相等． (2)概率公式：P(A)＝A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数

.

：

3.一个判定标准：试验结果有限且等可能．

4.两种方法

(1)列举法：适合于较简单的试验．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．

题型一 简单古典概型的概率

例题

【例1】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．

【答案】D 【解析】由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若

个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位

数是0的有C 15×1＝5个．所求概率为545＝1

9.

：

【例2】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．

【答案】 3

5【解析】相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类：

第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A ，则P (A )＝A 44A 33A 66

＝1

5.

第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B ，

①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2C 13A 33A 3

3. ②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为A 33A 23A 22， ∴P (B )＝2C 13A 33A 33＋A 33A 23A 2

2

A 66

＝25，∴P ＝P (A )＋P (B )＝15＋25＝35

练习题

【练1】甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )．

】

【答案】C 【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为13.

【练2】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )．

【答案】B 【解析】从袋中任取两球有C 26＝15种，满足两球颜色为一白一黑的有C 12C 13＝6种，

概率等于615＝2

5.

【练3】从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )．

【答案】B 【解析】从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为：P ＝410＝2

5.

题型二 古典概型与互斥、对立事件的概率综合问题

例题

【例3】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．

~

【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，共有C 13C 13C 1

2＝18种，

用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则包含的结果共有C 13C 12＝6种，因而P (M )＝618＝13.

(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N 包含C 13＝3个基本事件，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.

练习题

【练4】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰

有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－

k 7，

那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－

k

7

C 310

，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布

列是

【

X 的数学期望EX ＝0×724＋1×2140＋2×740

＋3×1120＝9

10.

(2) 设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由

于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23

C 310

＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，

P (A 3)＝P (X ＝3)＝1

120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. 题型三 古典概型与统计的综合问题

例题

【例4】是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见下表：

日均值k (单位：微克) 空气质量等级 k ≤35

一级

、

35

k >75

超标

某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5

P

724 2140 740 1120