全国自考2012年07月《高等数学基础00417》试卷及标准答案
浙江2012年7月高等教育自学考试
浙江省2012年7月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数()230320x x f x x x <⎧=⎨>⎩－，－，，则f (0)( ) A.等于-3B.等于-2C.等于0D.无意义2.设()e 1x f x x-=，则x =0是函数f (x )的( ) A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 3.设y =f (e x )且函数f (x )可导，则d y =( )A.f ′(e x )e x d xB.f ′(e x )d xC.f ′(e x )e x de xD.［f (e x )］′de x 4.设()ln?d x f x x C x =+⎰，则f (x )=( ) A.2ln?x x -1 B.()21ln?2x C.ln ln x D.21ln x x - 5.如果已知矩阵A m ×n ，B n ×m (m ≠n )，则下列______的运算结果不是n 阶矩阵.( )A.BAB.(BA)TC.ABD.A T B T 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f (x -1)=x 2，则f (x +1)＝______.7.33231lim 52n n n n n →∞-++ =______.8.不定积分22d 1x x x +⎰=______. 9.设sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则d d y x =______. 10.设f (u )可导，且y =f (sin x )，则y ′(x )=______.11.设函数f (x )在x =x 0处可导，且f ′(x 0)=4，则()()0002lim h f x h f x h →+-=______. 12.22sin d 1x x x x ππ-+⎰ =______. 13.若2lim(1)e x x k x →∞-=，则k =______.14.若A =231231⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =123210--⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则AB =______. 15.计算行列式123542121-=______.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）16.求x →.17.设 1arctan1x y x +=-，求y ′. 18.求定积分ln?0x ⎰. 19.设y =y (x )是由方程xy =e x+y 确定的隐函数，求d d y x . 20.求微分方程23e x y dy x dx-=的通解. 21.求函数()20e d x t x t t -Φ=⎰的极值. 22.求不定积分sin d x x x ⎰.23.求线性方程组1231231232312252353x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24.证明：π2200sin d cos d nn x x x x π=⎰⎰，其中n 为正整数. 25.求由曲线1y x =，直线y =x 和y =2所围成的图形的面积.。
全国2005年7月高等教育自学考试
地址：北京市海淀区知春路1号 学院国际大厦18层 -第 1页全国2005年7月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题1分，共30分)1. 在空间直角坐标系中，点A(2，3，-1)关于yoz 平面的对称点A ′的坐标是( )。
A. (-2，3，1) B. (2，-3-1) C. (2，3，1) D. (-2,3,-1)2. 设a、b 是非零向量，则下列等式中正确的是( )。
A. (a ·b )2=a 2·b 2B. | a |·a =a2C. a ·(b ·b )= a ·b 2D. a ·(a ·b )= a 2·b3. 平面2x-y+z-8=0与x+y+2z+5=0之间的夹角为( )。
A. 6πB. 4πC.3πD.2π 4. 方程2x-3y=0表示的平面在空间直角坐标系中的位置是( )。
A. 过x 轴B. 过y 轴C. xoy 平面D. 过z 轴5. 直线32z 21y 11x -=-=+与平面3x-z=0的位置关系是( )。
A. 互相垂直 B. 平行C. 相交而不垂直D. 直线在平面上 6.方程1b y a x 2222=-在空间直角坐标系中所表示的曲面名称叫( )。
A. 双曲柱面B. 双曲线C. 椭圆柱面D. 椭圆7. 点A(2，1，-3)与球面x 2+y 2+z 2=9的位置关系是( )。
A. 点A 在球面外部B. 点A 在球面内部，但不是球心C. 点A 在球面上D. 点A 是球心 8.函数f(x)=4x 5x 2+-的定义域是( )。
A. (-∞,1)B. ［4，+∞］C. (-∞,1)∪［4,+∞］D. (-∞,1)∪(4,+∞)9. 函数y=2x 11+是( )。
A. 偶函数 B. 奇函数地址：北京市海淀区知春路1号 学院国际大厦18层 -第 2页 C. 单调递增函数 D. 单调递减函数 10. 函数y=e x +1的反函数是( )。
自考《高等数学基础》2018-2019期末试题及答案解析
自考《高等数学基础》2018-2019期末试题及答案解析卷面总分：100分答题时间：120分钟试卷题量：15题一、单选题（共5题，共25分）1.下列积分计算正确的是( ) ．• A.• B.• C.• D.正确答案：B2.下列等式成立的是().• A.• B.• C.• D.正确答案：A3.设，(z) 在X。
可导，则• A.• B.• C.• D.正确答案：D4.在下列指定的变化过程中，( ) 是无穷小量．• A.x sin x/1(x →0)• B.• C.• D.正确答案：A5.下列函数中为奇函数是( )• A.y=xsinxB• B.y=lnx• C.y=xcosxD• D.正确答案：C二、填空题（共5题，共25分）6.若1/X是，f(x)的一个原函数，则f,(x)=——.正确答案：2/x37.函数y=e-x2的单调减少区间是_____．正确答案：8.曲线f(x)=e x +1 在(0 ，2) 处的切线斜率是____.正确答案：19.函数f(x)=的间断点是_____.正确答案：x=010.函数y= 1/ln(3 )+ 的定义域是_____．正确答案：[ 一1，2)U(2 ，3)三、计算题（共5题，共25分）11.计算不定积分正确答案：解：由换元积分法得12.计算定积分正确答案：解：由分部积分法得13.欲做一个底为正方形，容积为32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?正确答案：14.计算极限:正确答案：15.设 y=e sinx - x2，求y,.正确答案：。
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题参考答案：第22题参考答案：第23题设函数f(x)=x-1nx，求f(x)的单调增区间．参考答案：第24题参考答案：第25题参考答案：第26题参考答案：第27题设L是曲线y=x2+3在点(1,4)处的切线。
求由该曲线，切线L及y轴围成的平面图形的面积S．参考答案：第28题参考答案：第二篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
2012年河南省专升本高等数学试卷及答案
河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ）。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解答：子集个数D n⇒==8223。
2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ）。
A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[ 解答： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。
3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 （ ） A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 解答：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。
应选A 。
4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的 （ ）。
A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 解答：21arctanlim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。
5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为（ ）。
A.-1B. -2C. -3D.-4 解答：C f h f h f hh f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim)1()21(lim00。
6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（ ）。
A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解答：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={|x x 是平行四边形},B ={|x x 矩形},C ={|x x 是正方形},D ={|x x 是菱形},则( )A.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆ 2.函数(1)y x =≥-的反函数为( )A.()210y x x =-≥B.()211y x x =-≥C.()210y x x =+≥D.()211y x x =+≥3.若函数()[]()sin0,2π3x f x ϕϕ+=∈是偶函数,则ϕ=( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3 4.已知α为第二象限角,3sin ,5α=则sin2α=( )A.2425-B.1225-C.1225D.24255.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为( )A.2211612x y +=B.221128x y +=C.22184x y +=D.221124x y += 6.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( )A.12n -B.13()2n -C. 12()3n -D.112n - 7.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A.240种B.360种C.480种D.720种8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A.2D.19.ABC ∆中,AB 边的高为CD .若,,0,||1,||2,CB CA ==⋅===a b a b a b 则AD =( )A. 1133-a bB.2233-a bC.3355-a bD.4455-a b10.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||,PF PF =则12cos F PF ∠=( )A.14B.35C.34D.45 11.已知125ln π,log 2,x y z e -===,则( ) A.x y z << B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,1,3AE BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.81()2x x+的展开式中2x 的系数为________14.若,x y 满足约束条件10x 30,x 330x y y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =-的最小值为________15.当函数()sin 02πy x x x =≤<取得最大值时,x =________16.已知正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为11,BB CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)ABC ∆中,内角,,A B C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .18.(本小题12分)已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和23n n n S a +=.(1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.19.(本小题12分)如图,四棱锥P A B C D -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD,2,AC PA E ==是PC 上的一点,2.PE EC =(1)证明:PC ⊥平面BED ;(2)设二面角A PB C --为90︒,求PD 与平面PBC 所成角的大小.20.(本小题12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲,乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲,乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲,乙的比分为1比2的概率; (2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.21.(本小题12分)已知函数()3213f x x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点()()()()1122,,,x f x x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.22.(本小题12分)已知抛物线()2:1C y x =+与圆()2221:(1)()02M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ;(2)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,,m n 的交点为D ,求D 到l 的距离.P E DC B ABACAC BCDDC DB 13.7 14.1- 15.5π6 16.3517. 【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac =与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=，由27023666A A ππππ<<⇒-<-<，故 266A ππ-=或5266A ππ-=，于是可得到6A π=或2A π=。
全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题
全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，T α表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，秩(A )表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A =032030257⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则|A |=( )A ．-12B ．0C ．12D ．212．设A =123[,,]ααα，其中(1,2,3)i i =α是三维列向量，若|A|=1，则1123[4,23,]-=αααα () A ．-24 B ．-12C ．12D ．243．设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是( )A ．若|AB |=0，则A =0或B =0 B ．若|AB |=0，则|A |=0或|B |=0C ．若AB =0，则A =0或B =0D ．若AB ≠0，则|A |≠0或|B |≠04．设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是( )A ．(AB )-1=A -1B -1 B ．(A +B )-1=A -1+B -1C ．11|()|||-=AB AB D ．|(A +B )-1|=|A -1|+|B -1|5．设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX =0必( )A ．无解B ．只有唯一解C ．有无穷解D ．不能确定6．设A =123111021003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩(A )=( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是．．正交阵的是( )A ．A -1B ．2AC ．A 2D ．A T8．设三阶矩阵A 有特征值0、1、2，其对应特征向量分别为ξ1、ξ2、ξ3， 令P =[ξ3，ξ1，2ξ2]，则P -1AP =( )A ．200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9．设A 、B 为同阶方阵，且秩(A )=秩(B )，则( )A ．A 与B 等阶 B ．A 与B 合同C ．|A |=|B |D ．A 与B 相似10．实二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是( ) A ．负定 B ．正定C ．半正定D ．不定二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
自学考试高等数学练习试卷4(题后含答案及解析)
自学考试高等数学练习试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题选择题1．在下列极限求解中，正确的是( )．正确答案：C解析：根据洛必达法则可知2．设y=f(x)可导，则f(x－2h)－f(x)等于( )．A．f’(x)h+o(h)B．－2f’(x)h+o(h)C．－f’(x)h+o(h)D．2f’(x)h+o(h)正确答案：B解析：3．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A．cos4x+CB．C．2cos4x+CD．sin4x+C正确答案：A解析：根据函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=－4sin2x，f’(2x)=－4sin4x，所以4．设二重积分的积分域D是x2+y2≤1，则等于( )．A．B．4πC．3πD．5π正确答案：A解析：积分区域D如图所示：0≤r≤1，0≤θ≤2π．所以5．在区间[－1，1]上，不满足罗尔定理的函数是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：罗尔定理必须满足下列条件：函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且f(x)在区间端点的函数值相等．6．在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )．A．y2=xB．C．D．3x+4z=0正确答案：D解析：平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0故选D项．另外，A项：y2=x 是一条抛物线B项：是两条平面正交线，显然是一空间直线C项：是空间直线方程的一般式．填空题7．正确答案：1解析：8．yy”－(y)2=0的通解为_____________．正确答案：y=C2eC1x解析：令y’=p，则因为所以当p≠0时，则即y’=C1y y=C2eC1xp=0，那么y=C，方程通解为y=C2eC1x9．曲线y=x2(x－3)的拐点坐标是____________．正确答案：(1，－2)解析：y=x2(x－3)=x3－3x2y’=3x2－6x y”=6x－6当y”=6x－6=0时x=1，y=－2.10．设则正确答案：1解析：11．的收敛区间是____________．正确答案：[－1，1]解析：当x=1时，发散，当x=－1时，条件收敛，所以其收敛域为[－1，1)．12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_____________．正确答案：y”－5y’+6y=0解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ－2)(λ－3)=0，即λ2－5λ+6=0，所以对应微分方程为y”－5y’+6y=0．解答题13．若在x=0处连续，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x=0处连续，所以f(0－0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce－4=1所以c=e4，b=1，a为任意实数．14．求不定积分正确答案：15．求正确答案：16．求函数哪一点上的切线与直线y=x成60°角?正确答案：设切线斜率为k2＜0，y=x=k1=1解得那么解得17．已知u=f(x+y，x2，y sinx)，求正确答案：18．求微分方程xy’－y=x2ex的通解．正确答案：原方程化为：19．求级数的和数．正确答案：∴对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取x=1，得20．当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?正确答案：当k≠1时，当k=1时，发散，即，当k＞1时，广义积分收敛；当k≤1时，广义积分发散．设则令f’(k)=0，得驻点但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当时，广义积分取极小值，也就是最小值．综合题21．设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．正确答案：由xf’=(x)=f(x)+3x2，可得所以q=3x.那么所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx.由题意可得：所以C=2.所以f(x)=3x2+2x.设其中Dt，是由x=t，y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．22．求a的值使得g(t)连续；正确答案：如图，画出积分区域，则根据函数连续定义，满足所以a=0．23．求g’(t)．正确答案：当t≠0时，t=0时，所以，g’(t)=f(t)．24．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：z=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?正确答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y) =15+14x+32y－8xy －2x2－10y2－(x+y) =15+13x+31y－8xy－2x2－10y2于是令得驻点又Lxx”(x，y)=－4，Lxy”(x，y)=-8，Lyy”(x，y)=-20，故B2－AC=64－(－4)×(-20)=一16＜0．又A=－4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点．即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．证明题25．证明：当x＞0时，成立．正确答案：(1)变形：这是对函数的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x,1+x].(2)f(t)=lnt在[x,1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，(3)∵x＜ξ＜x+1，故有26．设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．正确答案：(1)因为F(x)·G(x)=－1，(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex．(ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x) →lnf(x)=－x+C2，f(x)=Ce-x 由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e－x．。
高等数学一自考试题及答案
高等数学一自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是偶函数的是（）。
A. y = x^2B. y = cos(x)C. y = |x|D. y = x^32. 微积分基本定理表明，定积分的计算可以转化为（）。
A. 求导B. 求和C. 求极值D. 求原函数3. 在复数域中，i^2的值等于（）。
A. -1B. 1C. 0D. 24. 函数f(x) = ln(x)的导数是（）。
A. 1/xB. xC. x^2D. ln(x)5. 以下哪个选项不是泰勒级数的基本特性？（）A. 可展开性B. 收敛性C. 唯一性D. 可逆性6. 曲线y = x^2在点（1,1）处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 37. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...8. 函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是（）。
A. 1B. πC. 1/2D. π/29. 以下哪个选项是二阶导数的基本性质？（）A. 线性B. 可加性C. 乘积法则D. 链式法则10. 曲线y = e^x与直线y = ln(x)的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷多二、填空题（每题3分，共30分）11. 极限lim (x->0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
12. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值是 _______。
13. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极小值点是 _______。
14. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解是 _______。
15. 利用傅里叶级数展开周期函数f(x) = |sin(x)|的系数a_0是_______。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共14小题,满分56分)每个空格填对得4分,否则一律得零分1.计算:31ii-=+_______(i 为虚数单位)2.若集合{}{}|210,|||1A x x B x x =->=<,则A B =I _______3.函数()sin 21cos x f x x=-的最小正周期是_______4.若()2,1=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为_______(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为_______6.方程14230x x +--=的解是_______7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,,n V V V ⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()12lim n n V V V →∞++⋅⋅⋅+=_______8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于_______9.已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且()11g =,则()1g -=_______10.满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是_______11.三位同学参加跳高,跳远,铅球项目的比赛,若每人都是选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______(结果用最简分数表示)12.在矩形A B C D 中,边,AB AD 的长分别为2,1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||B MC N B C CD =uuur uuu ruuu r uuu r,则AM AN ⋅uuu r uuur 的取值范围是_______ 13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中()()10,0,(,1),1,02A B C .函数()()01y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为_______14.已知()11f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==,若20002012a a =,则2011a a +的值是_______ 二、填空题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( ) A.2,3b c == B.2,3b c =-= C.2,1b c =-=- D.2,1b c ==- 16.对于常数,m n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定18.若()π2ππsin sin sin 777n n S n N *=++⋅⋅⋅+∈,则在12100,,,S S S ⋅⋅⋅中,正数的个数是( )A.16B.72C.86D.100三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)19.(本小题12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,A B C D 是PC 的中点.已知π,2,3,22B AC A B A C P A ∠===,求:(1)三棱锥P ABC -的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20.(本小题14分)已知()()lg 1f x x =+(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数.PD C B A21.(本小题14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为(||k k <的直线l 交C 于,P Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP OQ ⊥23.(本小题18分)对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}()12max ,,,1,2,,n k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ; (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m ka b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅).求证:()1,2,,k k b a k m ==⋅⋅⋅(3)设100m =,常数1(,1)2a ∈.若()()1221n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求()()()1122100100b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。
全国4月高等教育自学考试高等数学基础试题及答案解析历年试卷及答案解析
全国2018年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417 第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1. 在空间直角坐标系中，点A （-1，2，4）关于xy 面的对称点A 1的坐标是（ ） A.(1,-2,4) B.(1,-2,-4) C.(-1,2,-4) D.(1,2,4) 2. 与向量{-1,1,1}共线的向量是（ ） A.{2，1，1} B.{2，-2，-2} C.{2，-1，-1} D.{1，1，1} 3. 已知三点A （-1，2，3），B （1，2，1），C （0，1，4），则∠BAC 是（ ） A.直角 B.锐角 C.钝角 D.平角4. 空间直角坐标轴上的单位向量k ,j ,i有性质（ ）A.1i k ,1k j ,1j i • • •B. 0i k ,0k j ,0j i • • •C. j i k ,i k j ,k j i• • •D.上述三个选项均错5. 对于任意向量c ,b ,a，下列诸等式中成立的是（ ）A.（b b b a 2a a )b a ()b aB.（22b b a 2a )b a ()b a• •C.（b b a a )b a ()b aD.)c b (a c )b a (• •6．平面4y-7z=0的位置特点是（ ） A.通过z 轴 B.通过y 轴C.通过x 轴且通过点（0，7，4）D.平行于yz 面7．经过A （2，3，1）而平行于yz 面的平面的平面方程是（ ） A.x=2 B.y=3 C.z=1 D.x+y+z-6=08.函数f(x)=0x ,x 0x ,x 12 的定义域是（ ）A.（-∞，0）B.（-∞,+ ∞）C.[0，+∞]D.（-∞，0）∪（0，+∞）9.下列各对函数中，相同的是（ ） A.y=x 与y=2x B.y=lnx1与y=lnx C.y=1x 1x 2 与y=x+1 D.y=cosx 与u=cosv10.在（-∞，+∞）内，f(x)=2x1x1 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.单调函数 11.下列命题正确的是（ ）A.因为数列{a n }有界，所以数列{a n }有极限B. 因为数列{a n }单增，所以数列{a n }无极限C. 因为数列{a n }单减，所以数列{a n }有极限D. 因为数列{a n }单增有上界，所以数列{a n }有极限 12.下列极限中，正确的是（ ）A.e )x 1(x1x limB.e )x 1(x10x limC.e )n11(2n limD.e )x11(x 2x lim13.x=0是函数f(x)=sinx1的（ ） A.可去间断点 B.第一类间断点 C.第二类间断点 D. 连续点14.函数f(x)在x=x 0连续是其在该点可导的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件 15.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上不满足罗尔定理条件是因为（ ） A.在x=0无定义 B.在[-1,1]上不连续 C.在（-1，1）内不可导 D.f(1)=f(-1)16.函数y=x 2+x 在区间[0，1]上应用拉格朗日中值定理，则中值定理中的ξ=( )A. 1B.21C.2D. 25 17.直线x=0是f(x)的水平渐近线，则f(x)是下列函数中的（ ）A.x11B.2x eC.lnxD.sinx 18.设,C x sin dx )x (f 则 )x (f （ ）A.cosxB.sinxC.-cosxD.-sinx 19.设)x (Ad dx x1，则A=（ ）A.1B.21C.2D.0 20.设 ,C )x (F dx )x (f 则dx )b ax (f ( )A.F(ax+b)+cB.a1F(ax+b)+C C.aF(x)+C D.aF(ax+b)+C21.定积分1xu dx e满足（ ）A.0<u<1B.1<u<eC.-1<u<0D.2<u<e 22.21212dx x11( )A.0B.6 C. 3 D. 223.0k312k 的充分必要条件为（ ）A.k ≠1或k ≠-3B.k ≠1且k ≠-3C.k ≠1D.k ≠-3 24.下列排列中，齐排列是（ ）A.3214B.4321C.1234D.3412 25.四阶行列式|a ij |所表示的代数和中共有（ ） A.1项 B.4项 C.16项 D. 24项 26.n 阶矩阵A 非奇异是矩阵A 可逆的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.既非充分又非必要条件 D.充分必要条件 27.下列矩阵中，零矩阵是（ ）A. 0001B. 000000C. 2101D.1001 28.矩阵910054324321的一个3阶子式是（ ）A.1B.9143 C.0032 D.91054343229.A ，B 为n 阶矩阵，若（A+B ）（A-B ）≠A 2-B 2，则必有（ ） A.A=I B.A=-B C.A=B D.AB ≠BA 30.下列矩阵中，秩为3的是（ ）A.3021 B.000531020 C.900005002310 D.3000010000200001第二部分 非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分)31.若向量}z ,y ,x {b },z ,y ,x {a 222111 ，则b 2a=__________.32.已知点A （3，-1，2），B （1，1，1），则A ，B 两点间的距离为_______. 33.平面3x+2y+4z-6=0的截距式方程为_________. 34.函数y=lg(x-1)的反函数是__________.35.设函数f(x)= 0x ,a 0x ,xx sin ,要使f(x)在x=0点连续，则a=_________.36.曲线y=tgx 在点（π，0）处的切线方程是________. 37.dx x3x1________. 38.若函数G （x ）=x22,dt t 1则G （x ）=_________.39.行列式321中元素3的代数余子式为________.40.若矩阵A=283726 ，则A T =_________.三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 41.求球面x 2+y 2+z 2-2x+4y+2z-3=0的球心坐标及半径. 42．已知函数y=2sinx+xcosx+tg10,求dy. 43.求极限2xx x tdt sin lim.44.用初等变换解线性方程组.2x 3x ,2x x ,6x 3x 2x 2132321 四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）45.试求过点P （1，1，1）且与二已知向量a={2，0，3}和b ={-1，1，1}平行的平面方程. 46.设y=xarctgx,求0x y47.计算.dx ex48.计算行列式1011201112123250 .五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 49.设函数y=x-ln(2+x).(1) 求函数y 的增减区间和极值；(2) 证明函数在（-2，∞）内是下凸的.50.平面图形由曲线y=x 2，x=y 2围成，求该图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积.。
2004-2012年高考全国卷1（2012全国卷）文科数学试题及答案
2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ²B ）=P （A ）²P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（U C B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ）A ．21 B ．－21 C ．2D ．－2 3．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a b + |=（ ）A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 4．函数1(1)y x =≥的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y球的表面积公式 S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π， 其中R 表示球的半径5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57 B ．51 C ．27D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于 （ ）A ．91 B ．94C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = . 15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ） (河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3²2n －3 15．422=+y x 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分 18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212s i n 41)c o s s i n 1(21)c o s s i n 1(2c o s s i n 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.………………6分解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分 （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分 （II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，………………4分∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=3∴PO=PE ²sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG .又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°.在Rt △PEG 中，EG=PE ²cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a a a a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x2005年普通高考全国数学卷（一）考区（河北文科卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3到10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A B 、互斥,那么球的表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A B 、相互独立,那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷一、选择题: 本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设I 为全集,321S S S 、、是I 的三个非空子集,且123S S S I = ,则下面论断正确的是A.123I C S S S =∅ （）B.122I I S C S C S ⊆ （）C.123I I I C S C S C S =∅ ）D.122I I S C S C S ⊆ （）2.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为A.π28B.π8C.π24D.π43.函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =A.2B.3C.4D.54.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且BCF ADE ∆∆、均为正三角形,//EF AB ,2EF =,则该多面体的体积为A.32B.33C.34D.235.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ,则该双曲线的离心率为A.23B.23 C.26 D.332 6.当20π<<x 时,函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为A.2B.32C.4D.347.)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是A.)11( 112≤≤--+=x x yB.)10( 112≤≤-+=x x yC.)11( 112≤≤---=x x yD.)10( 112≤≤--=x x y8.设10<<a ,函数)22(log )(2--=x x a a a x f ,则使0)(<x f 的x 的取值范围是A.)0,(-∞B.),0(+∞C.)3log ,(a -∞D.),3(log +∞a9.在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为A.2B.23 C.223 D.210.在ABC ∆中,已知C BA sin 2tan=+,给出以下四个论断: ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A.①③B.②④C.①④D.②③11.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅.则点O 是ABC ∆的A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点12.设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切,则l 的斜率是A.1±B.21±C.33±D.3±第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.若正整数m 满足m m 102105121<<-,则m = .)3010.02(lg ≈ 14.8)1(xx -的展开式中,常数项为 .（用数字作答）15.从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生,则不同的选法有 种. 16.在正方形ABCD A B C D ''''-中,过对角线BD '的一个平面交AA '于E ,交CC '于F ,则① 四边形BFD E '一定是平行四边形 ② 四边形BFD E '有可能是正方形③ 四边形BFD E '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E '有可能垂直于平面BB D '以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题:本大题共6小题,74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .⑴求ϕ;⑵求函数)(x f y =的单调递增区间; ⑶画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像. 18.（本大题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且112PA AD DC AB ====,M 是PB 的中点. ⑴证明:PAD PCD ⊥平面平面;⑵求AC 与PB 所成的角;⑶求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的大小. 19.（本大题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ,且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(. ⑴若方程06)(=+a x f 有两个相等的根,求)(x f 的解析式; ⑵若)(x f 的最大值为正数,求a 的取值范围. 20.（本大题满分12分）9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为5.0,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种. ⑴求甲坑不需要补种的概率;⑵求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率; ⑶求有坑需要补种的概率. （精确到01.0）21.（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ,前n 项和为n S ,且0)12(21020103010=++-S S S . ⑴求{}n a 的通项; ⑵求{}n nS 的前n 项和n T .22.（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线.⑴求椭圆的离心率;⑵设M 为椭圆上任意一点,且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值.2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ，∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ²MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BNAN BN AN BN AN BN AN19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f（Ⅱ）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补 种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=- 解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121*********a a a a a a +++=+++可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故.2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ .0329233)(34))((33832222212121212121222222221=+-=++-=--+=+=+-=c c c c c x x x x c x c x x x y y x x c ba b a c a x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分。
自考线性代数2012年试题及答案
全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ）A.若AB =0，则A=0或B=0B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---= B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-=D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解 B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设123111021003A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A - B.２A C ．A ² D. TA8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ）A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B.200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ）A.A 与B 等阶B. A 与B 合同 C ．A B = D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是 20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x = 三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X 23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。
2012年7月线性代数(经管类)试题答案
2012年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶矩阵，且3||1=-A ，则=-|3|A （ A ） A ．9-B ．1-C ．1D ．9321i 3211（ B ） A ．24-B ．12-C ．12D ．24A ．若0||=AB ，则0=A 或0=B B ．若0||=AB ，则0||=A 或0||=B C ．若0=AB ，则0=A 或0=BD ．若0≠AB ，则0||≠A 或0||≠BA ．111)(---=B A AB B ．111)(---+=+B A B AC ．||1|)(|1AB AB =-D．|||||)(|111---+=+B A B AA ．无解B ．只有唯一解C ．有无穷解D ．不能确定6．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=300120111A ，则=)(A r （ C ） A ．1B ．2C ．3D ．4．．A ．1-AB ．A 2C ．2AD ．T A321213=-AP P 1（ B ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010002B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100000002C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400010000D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200000002A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 相似10．实二次型3212132122),,(x x x x x x x x f +-+=，则f 是（ B ）A ．负定B ．正定C ．半正定D ．不定11．设A 、B 均为三阶方阵，4||=A ，5||=B ，则=|2|AB ____________．12．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=013A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101B ，则=B A T ____________．13．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010A ，则=-1A ____________．14．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 41421，且2)(=A r ，则=t ____________．15．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=023α，则由321,,ααα所生成的线性空间),,(321αααL 的维数是____________．16．设A 为三阶方阵，其特征值分别为3,2,1，则=-||E A ____________．17．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t 2β，且α与β正交，则=t ____________．18．方程1321=-+x x x 的通解是_______．19．二次型443322143215),,,(x x x x x x x x x x x f +++=所对应的对称矩阵是____________．20．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 02/10102/102/1是正交矩阵，则=x ____________． 21．计算行列式1112112112112111．解：100010101100211151111112112112111511151125121521151112112112112111---===5011051001011105=-=---=．22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，且X 满足B AX X +=，求X ．解：由B AX X +=，得B X A E =-)(，-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100010001A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101111010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201101011， =-],[E A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101011001210110011100010001201101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110011001300110011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110033003300330033⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110123003300030033⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110123120300030003⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→3/13/103/13/213/13/20100010001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--11012312031)(1A E ，=-=-B A E X 1)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11012312031⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--350211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11021333063931． 23．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x 的通解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4200092110500112222209211050011322351211250011],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→210009211050011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→2100013011050011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→2100013011080101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=21384333231x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011120138k ，其中k 为任意常数．24．求向量组)2,4,2(1=α，)0,1,1(2=α，)1,3,2(3=α，)2,5,3(4=α的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000011103212111011103212210253143212],,,[4321TT T T αααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0000111012/101000011102102，21,αα是一个极大线性无关组，且21321ααα+=，214ααα+=．25．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t A 3651231121λ，已知2)(=A r ，求t ,λ的值． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1500434011215840434011213651231121t t t A λλλλ， 因为2)(=A r ，所以05=-λ且01=-t ，即5=λ且1=t ．26．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=300062023A ，求可逆阵P 使AP P 1-为对角阵． 解：)149)(3(6223)3(362023||2+--=---=---=-λλλλλλλλλλA E)7)(2)(3(---=λλλ，A 的特征值为21=λ，32=λ，73=λ．对于21=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100042021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100021 ，⎪⎩⎪⎨⎧===0232221x x x x x ，=1p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛012； 对于32=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032020→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001 ，⎪⎩⎪⎨⎧===332100xx x x ，=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100；对于73=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400012024→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010002/11 ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=02132221x x x x x ，=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012/1．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==0101012/102],,[321p p p P ，则P 可逆，且使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-7000300021AP P ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设4321,,,αααα是四维向量，且线性无关，证明211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=线性相关．证：设044332211=+++ββββk k k k ，则0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k ，由4321,,,αααα线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141k k k k k k k k ，系数行列式0111111011010111001110111000110101010011100011000111001||==-=-=-==A ，齐次方程组有非零解，4321,,,ββββ线性相关．。
2012年高数专升本真题及其参考答案
2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是 （ ）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】 显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ， 记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（ ）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=， 则0=x 是()x f 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 【答案】D ．【解析】 因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导 【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（ ）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ； 因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （ ）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（ ） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义： 如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（ ） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】 因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11． 方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（ ） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个 【答案】D ．【解析】 令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（ ）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（ ） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （ ）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（ ） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（ ）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（ ）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散； 因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散； 因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。