第三讲_索罗增长模型

资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。
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y* Y / AL Y y * AL
3、稳态时的增长：平衡增长
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？
绝 对 量 变量 K L A AL Y C k(K/AL) K/L y(Y/AL) Y/L c(Y/AL) C/L K/Y 含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资 本 人均资本 有效劳动的人均产 出 人均产出 有效劳动的人均消 费 人均消费 资本产出比 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 备注证明 k=K/AL
每单位有效劳动 的实际投资 有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
(t ) 0 k (t ) 0 k
k增加
k下降 k不变
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(t ) 0 k
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2、稳态
稳态：
如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的 状况，即 k (t ) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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假设的含义
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 其作用在于确保经济的路径不发散。即
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以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构： 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。 企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知 识或劳动的有效性A。
F ( K , AL ) 有效劳动的边际产出 MPAL f (k ) kf (k ) AL F ( K , AL ) 劳动的边际产出 MPL A[ f (k ) kf (k )] L
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出
每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
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四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的
储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
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四、储蓄率变化的影响
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数” (1 K )(n g ) 与s无关。 举例：假设 α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每 n g ， 6% 年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初 始收入差距）的一半约需18年时间。 因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长 0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。 结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
lim f ( k )
k 0
lim f ( k ) 0
k
根据假设1得到：
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
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边际产出
资本的边际产出
F ( K , AL ) ALf ( K / AL ) MPK f (k ) K K
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论： 长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中
性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。
第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
y* f (k*)
y * f (k *) k * k * f (k *) s k * s s
Y K K (k*) K Y
y * s K (k*) s y 1 K (k*)
k * f (k*) k k * f (k*)
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产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额 。
gx
x

x

dt
(t ) L n t时劳动力： 劳动增长率为n： L(t ) (t ) A 技术进步率为g： g t时技术存量： A(t )
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本 折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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L(t ) L(0)ent
f(k)
k 0
sf(k) A
k*
索洛－斯旺模型
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k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d [ sf (k ) / k ] d [ f (k ) / k ] f (k ) kf ' (k ) F ' AL 0 s s s dk dk k2 k2
sf (k ) / k
lim FK lim FL
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。 因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F ( K , AL) AL F ( K / AL,1) AL f ( K / AL)
F(cK,cAL)=cF(K,A L) C=(1-s)Y
相 对 量
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响:
对稳态均衡的影响；
两个稳态均衡之间的动态路径；
对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
A(t ) A(0)e gt
(t ) sY (t ) K (t ) K
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。 单位有效劳动资本存量的变化：
(t ) sf (k (t )) (n g )k (t ) k
(n g )
k (t )

k* k*
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k
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： 根据单位有效 工人产出的定 义可以计算出 总产出的增长 速度：
y* f (k*)
结论：索罗模 型意味着，无 ln Y ln y * ln A ln L 论起点在何处， L A Y 经济总会收敛 n g Y L A 于一个平衡增 K n g 长路径：模型 资本增长率 k * K / AL K k * AL K 中的每个变量 消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同 都以一个不变 的增长率，等于n+g。 的速率增长。 同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均
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五、绝对收敛与条件收敛
资本的边际产出递减意味着有着更低人均资 本的经济趋于在人均项上更快的增长。 绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因 此穷国趋于追上富国。 条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。 巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
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四、储蓄率变化的影响
(2) 对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长
速度。
ln(Y/L)
t
结论： (1) 储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。 或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。 (2) 只有技术进步率的变化有增长效应。 (3) 政策含义：投入驱动的增长不会持续。
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f(k)
f(k) c
图形表示
f(k)
sf(k)
sf(k)
0 新古典生产函数
k
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。 瞬时增长率的定义： d ln x dx / dt x

长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态
的路径也是平衡增长的路径。
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
(t ) sf (k (t )) (n g )k (t ) k
(n＋g+δ)k f(k)
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态f(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
0
k g*
k 1*
k
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动态无效率区域