解三元一次不定方程组
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题目:小明的妈妈去超市购物,已知买13个鸡蛋,5个鸭蛋,9个鹌鹑蛋需付9.25元,买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹌鹑蛋需付3.20元,小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱?
分析:此方程组是三元一次不定方程组,由于只有两个三元一次方程,因而要分别求出x、y、z的值是不可能的,但注意到所求的是x+y+z的代数和,因此,可通过变形变换得到多种解法.
解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元,则根据题意,得13x+5y+9z=9.25 ①
2x+4y+3z=3.20 ②
(1)凑整法
解法1:
(①+②)/3: 5x+3y+4z=4.15 ③
∴②+③,得 7(x+y+z)=7.35
∴ x+y+z=1.05
答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需1.05元。
解法2:
原方程组可变形为
13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ①
2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ②
解之得x+y+z=1.05
(2)主元法
解法3:
视x、y为主元,视z为常数,解①、②得x=0.5-0.5z,y=0.55-0.5z.∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05.
解法4:
视y、z为主元,视x为常数,解①、②得y=0.05+x,z=1-2x.
∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05.
解法5:
视z、x为主元,视y为常数,解①、②得x=y-0.05,z=1.1-2y
∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05.
(3)参数法
解法6:
设x+y+z=k,则
13x+5y+9z=9.25 ①
2x+4y+3z=3.20 ②
x+y+z=k ③
∴①-②×3,得x-y=-0.05 ④
③×3-②,得x-y=3k-3.2 ⑤
∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05
∴ k=1.05.即x+y+z=1.05.
(4)待定系数法
解法7:
设x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a+2b)x+(5a+4b)y+(9a+3b)z 则比较两边对应项系数,得
1=13a+2b
1=5a+4b
1=9a+3b
可得 a=1/21
b=4/21
x+y+z=9.25a1+3.20b=9.25x1/21+3.20x4/21=22.05/21=1.05