解三元一次不定方程组

题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？

分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法．

解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ①

2x+4y+3z=3.20 ②

（1）凑整法

解法1：

（①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③

∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35

∴ x+y+z=1.05

答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。

解法2：

原方程组可变形为

13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ①

2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ②

解之得x+y+z=1.05

（2）主元法

解法3：

视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05．

解法4：

视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x．

∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05．

解法5：

视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y

∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05．

（3）参数法

解法6：

设x+y+z=k，则

13x+5y+9z=9.25 ①

2x+4y+3z=3.20 ②

x+y+z=k ③

∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④

③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤

∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05

∴ k=1.05．即x+y+z=1.05．

（4）待定系数法

解法7：

设x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a+2b)x+(5a+4b)y+(9a+3b)z 则比较两边对应项系数，得

1=13a+2b

1=5a+4b

1=9a+3b

可得 a=1/21

b=4/21

x+y+z=9.25a1+3.20b=9.25x1/21+3.20x4/21=22.05/21=1.05