解三元一次不定方程组
《不定方程》专题教师版
不定方程精选题型（第一课时）一．例题精析：例1．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开40分钟．【分析】设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．解：例2．某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为2：3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解：例3．某班有若干人参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a、题b、题c满分分别为20分、30分、40分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，只答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班参赛同学的平均成绩是51分．【分析】设答对a的人数为x，答对b的人数为y，答对c 的人数为z，根据题意可得三元一次方程组，解出可得出x、y、z的值，进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．解：例4．山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A型抽水机1小时刚好抽完，若两台A型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A型抽水机同时抽12分钟可以抽完．【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A 型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解解：二．课堂精练：1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了朵．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了件．三．课后巩固：1．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为．2．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．3．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是．不定方程精选题型（第二课时）一．例题精析：例 1. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 1.05元．【分析】等量关系为：3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15；4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2，把两个方程相减后乘3，再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数．例2．晨光文具店有一套体育用品：1个篮球，1个排球和1个足球，一套售价300元，也可以单独出售，小攀同学共有50元、20元、10元三种面额钞票各若干张．如果单独出售，每个球只能用到同一种面额的钞票去购买．若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积，那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是60元．【分析】设50元、20元、10元的钞票分别有x、y、z张，然后根据总售价列出一个方程，再根据三者之间的关系列出一个方程组成三元一次方程组，整理消掉z，再根据x、y都是整数讨论求解即可．例3.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t=15．【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=s，联立所有方程求解即可求出t的值．例4.一次数学比赛，有两种给分方法：一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分，用这两种方法评分，某考生都得81分，这张试卷共有22题．【分析】此题可以设答对a题，未答b题，答错c题未知数，列出方程组，进行推理可得：5a+2b=81①，40+3a﹣c=81②，由①②推出a的取值范围，并确定处a 的值，从而推出b、c的值，解决问题．二．课堂精练：1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有盒．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运次（每辆车每次都满载重量）．3．今年是天猫双十一创立以来的第11年，现在，已经彻底改变了中国人这一天的生活．某商家为迎接双十一活动准备购进一批服装，清理库存有A，B，C三种服装，其中服装C的数量为总库存数的，根据市场预测再购进A，B，C三种服装的数量之比为5：4：7，则购进后A的总数量为购进后三种服装总量的，B的新购数量与购进后三种服装总数量之比为2：17，则购进后B的总数量与购进后C的总数量之比为．三．课后巩固：1．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为．2．育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了套文具套装．3．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．不定方程精选题型（第三课时）一．例题精析：例1．购买甲7件，乙3件，丙4件商品共需25元．若购买甲5件，乙1件，丙商品2件共需13元．那么购买甲乙丙商品各一件需6元．【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．例2．2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了430朵．【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．例3．重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；某人想购买A、B、C各1盆，需付人民币105元．【分析】设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植物z元一盆，就可以得出3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，再由这两个方程构成方程组，再解这个不定方程组求出其解即可．例4．一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗，现该店新增了由上述三个品种搭配而成的混合馄饨，每碗都有10个馄饨．那么共有3种搭配得到定价是3.8元的混合馄饨（每种馄饨至少有一个）．【分析】设菜馅馄饨x个，鸡蛋馅馄饨y个，鸡蛋馅馄饨z 个，根据题意列出方程组，解方程组即可．二．课堂精练：1．过年了，甲、乙、丙三人相约去买坚果，甲买了3袋A 坚果、3袋B坚果和1袋C坚果，乙买了4袋A坚果、1袋B坚果和1袋C坚果，丙买了3袋B坚果和7袋C坚果．三人结账时发现：甲和乙总共消费200元，丙比乙多消费100元，如果A、B、C三种坚果各3袋组合成坚果礼盒出售，每种坚果均可在原价的基础上打九折，则每盒坚果礼盒的售价是元．2. 甲、乙、丙三人到商店去买东西，每人都花了整数元，他们一共花了32元．甲、乙两人花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，乙、丙两人花费的差额是7元，甲、丙两人花费的差额是12元，则甲花费了21元．【分析】由于19=7+12，则分两种情况：1、甲比乙少19，则乙比丙多7元，甲比丙少12元，2、甲比乙多19，则乙比丙少7元，甲比丙多12元，进而得出答案．3．现有甲、乙、丙三种含铜比例不同的合金．若从甲、乙、丙三种合金中各切下一块重量相等的合金，并将切下来的三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金；若从甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．那么若从甲、乙两种合金中按重量之比为2：3各切取一块将其熔炼后的合金的含铜百分比是18%．【分析】设甲合金含铜量为x%、乙合金含铜量为y%、丙合金含铜量为z%．则依据“三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金、甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．”列出方程组并解答．三．课后巩固：1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需210元．【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．2．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．3．某商店将录音机、钢笔、书包三种物品降价促销．若购买录音机3台，钢笔6支，书包2个，共需302元；若买录音机5台，钢笔11支，书包3个，共需508元．则购买录音机1台、钢笔1支、书包1个共需96元．【分析】设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y 和z元，继而根据购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，列出方程组，进而求解即可．第一课时参考答案与试题解析1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为19%．【分析】设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为ax、3bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为3ax、2bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为5ax、6bx；列出方程，解方程求出，即可得出结果．【解答】解：设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，由题意得：，解得：，∴＝＝＝19%，故答案为：19%．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了440朵．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后变形，即可求得水仙花一共用了多少朵．【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，，化简，得，（①+②）×4，得16a+8b+12c＝440，∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，∴水仙花一共用了440朵，故答案为：440．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了14600件．【分析】根据题意，可以先设A类组合x个，B类组合y 个，C类组合z个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x、z与y的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．【解答】解：设A类组合x个，B类组合y个，C类组合z 个，，化简，得，∴需要的防寒服为：80x+40y+60z＝80（280﹣2y）+40y+60（2y﹣130）＝22400﹣160y+40y+120y﹣7800＝14600，故答案为：14600．4．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为23.6%．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，总成本为：12.5x•2+15x•3+10x•3＝100x，总利润为：2.5x•2+5x•3+1.2x•3＝23.6x，销售的总利润率为＝23.6%，故答案为：23.6%．5．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y ﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．6．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是35．【分析】可设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，根据三种大米的总利润相同，列出方程．先解方程得出x ＝3y，从而求出m的值．【解答】解：设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，三种大米每千克的利润分别是（40﹣m）元、10元、20元，根据题意知：10y＝（40﹣m）x＝20×（x+y），即由10y＝（x+y），解得x＝2y，代入10y＝（40﹣m）x中，解得m＝35．故答案为：35．第二课时1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B 两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．【分析】根据A、B两种礼盒的进价之和为315元，设A 种月饼礼盒的进价为x元/盒，可以表示B种月饼礼盒的进价，因为A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同，可以表示C和D礼盒的进价，根据A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，再设两个未知数表示A种月饼礼盒和B种月饼礼盒，列方程组，根据题意可知：只要知道2y+2z的值就可以，因此将方程组相加可得结论．【解答】解：设A种月饼礼盒的进价为x元，则B种月饼礼盒与C种礼盒的进价都是（315﹣x）元，D种月饼礼盒的进价为x元，设购进y盒A种月饼礼盒，z盒B种月饼礼盒，则购进y 盒C种月饼礼盒，z盒D种月饼礼盒，根据题意得：，化简得：，①+②得：315z+315y＝28980，y+z＝92，∴2y+2z＝184，答：则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．故答案为：184．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运8次（每辆车每次都满载重量）．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C 型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，。
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉 特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ， 又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。
人教版七年级数学下册三元一次方程组(基础) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
人教版七年级数学下册 8-4 三元一次方程组的解法(同步练习)
第8章二元一次方程组*8.4三元一次方程组的解法班级：姓名：知识点1三元一次方程组的概念及解1.写一个三元一次方程组,使它的解为x=1,y=1,z=1,这个三元一次方程组为.2.以下方程中,属于三元一次方程组的是()A.ìíîïï2x +3y =4,2y +z =5,x 2+y =1 B.ìíîïïïï1x +1y +1z =16,3x -4y =3,x +z =2C.ìíîïïx +y +z =2,x -2y =3,y -6z =9D.ìíîïïx -y =2,2x -3y =4,2x -2y =43.三元一次方程组{x +y =1,y +z =5,z +x =6的解是()A.{x =1,y =0,z =5 B.{x =1,y =2,z =4C.{x =1,y =0,z =4D.{x =4,y =1,z =0知识点2解三元一次方程组4.解方程组ìíîïïïïx +y -z =11,①y +z -x =5,②z +x -y =1,③若要使运算简便,消元的方法应选()A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对5.解下列三元一次方程组:(1)ìíîïïy =2x -7,5x +3y +2z =2,3x -4z =4;(2)ìíîïïx +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y .6.解下列三元一次方程组:(1)ìíîïï3x -y +z =4,2x +3y -z =12,x +y +z =6;(2)ìíîïï2x +4y +3z =9,3x -2y +5z =11,5x -6y +7z =13;(3)ìíîïïïï4x +9y =12,3y -2z =1,7x +5z =434;(4)ìíîïï3x -y +2z =3,2x +y -3z =11,x +y +z =12.7.解方程组ìíîïï2x +3y +z =6,x -y +2z =-1,x +2y -z =5.8.解方程组ìíîïï3x +y -4z =13,5x -y +3z =5,x +y -z =3.9.解方程组:(1)ìíîïïïï2x +6y +3z =6,①3x +15y +7z =6,②4x -9y +4z =9;③(2)ìíîïïïïx +2y +3z =4,①3x +y +2z =5,②2x +3y +z =6.③知识点3解三元一次方程组的应用10.方程组{3x +5y =6,6x +15y =16的解也是方程3x+ky=10的解,则()A.k=6B.k=10C.k=9D.k=11011.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=1,y=kx-9有公共解,则k 的值为()A.3B.-3C.-4D.412.李红在做这样一个题目:在等式y=ax 2+bx+c 中,当x=1时,y=6;当x=2时,y=21;当x=-1时,y=0;当x=-2时,y 等于多少?她想,在求y 值之前应先求a,b,c 的值,你认为她的想法对吗?你能帮她求出a,b,c 的值吗?知识点4列三元一次方程组解应用题13.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购买铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需3.15元;若购买铅笔4支、练习本8本、圆珠笔2支共需4.2元,那么,购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需()A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元14.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花,则黄花一共用了朵.15.一个三位数,个位与百位上的数的和等于十位上的数,百位上的数的7倍比个位与十位上的数的和大2,个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.综合点1根据方程组的特点,灵活选用解法16.解方程组:{x +y =9,y +z =11,x +z =10.17.解方程组:ìíîïïx ∶y =3∶2,y ∶z =5∶4,x +y +z =66.综合点2方程组与其他知识结合18.已知|x-8y|+2(4y-1)2+3|8z-3x|=0,求x+y+z的值.19.已知单项式-ab 11c y+z-x 与12a x+z-yb x+y-zc 5是同类项,求x,y,z 的值.拓展点1利用整体的思想解题20.有甲、乙、丙三种商品,如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱,购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元.拓展点2不定方程的整数解21.用100元买15张邮票,其中有4元、8元、10元三种面值,问可以怎么买?(列出三元一次方程组)第8章二元一次方程组*8.4三元一次方程组的解法答案与点拨1.不唯一,如:{x +y +z =3,2x -y =1,3y -z =2.(点拨:根据题意任意写出一个三元一次方程组,满足x=1,y=1,z=1就行,答案不唯一.)2.C3.A(点拨:可利用三元一次方程组解的定义逐个验证.)4.D(点拨:原方程组中,①+②可消去x,z,求出y;①+③可消去y,z,求出x;②+③可消去x,y,求出z;故选D.)5.(1)ìíîïïïïx =2,y =-3,z =12.(2){x =8,y =2,z =2.6.(1){x =2,y =3,z =1.(2)ìíîïïïïx =-1,y =12,z =3.(3)ìíîïïïïïïïïx =-34,y =53,z =2.(4){x =3,y =8,z =1.7.ìíîïï2x +3y +z =6,①x -y +2z =-1,②x +2y -z =5.③③+①得,3x+5y=11.④③×2+②得,3x+3y=9.⑤④-⑤得2y=2,y=1.将y=1代入⑤得,3x=6,x=2.将x=2,y=1代入①得,z=6-2×2-3×1=-1,∴原方程组的解为{x =2,y =1,z =-1.8.ìíîïï3x +y -4z =13,①5x -y +3z =5,②x +y -z =3.③①+②得z=8x-18,②+③×3得y=7-4x.把z=8x-18,y=7-4x,代入③得x=2,则z=-2,y=-1.所以原方程组的解是:{x =2,y =-1,z =-2.9.(1)ìíîïïïïx =5,y =13,z =-2.(2)ìíîïïïïïïïïx =76,y =76,z =16.10.B11.D(点拨:解{3x -y =7,2x +3y =1得:{x =2,y =-1,代入y=kx-9得:-1=2k-9,解得k=4.故选D.)12.她的想法正确.根据题意,得{a +b +c =6,4a +2b +c =21,a -b +c =0,解得{a =4,b =3,c =-1.∴该等式为y=4x 2+3x-1.∴当x=-2时,y=4×4-3×2-1=9,即y=9.13.B14.438015.设此数个位上数字为x,十位为y,百位为z,得{x +z =y,7z -(x +y )=2,x +y +z =14,解得{x =5,y =7,z =2,答:此三位数为275.16.{x =4,y =5,z =6.(点拨:三个方程相加得2x+2y+2z=9+10+11.)17.{x =30,y =20,z =16.18.由已知得{x -8y =0,4y -1=0,8z -3x =0,解之得ìíîïïïïïïïïx =2,y =14,z =34.∴x+y+z=2+14+34=3.19.由已知可得{x +z -y =1,x +y -z =11,y +z -x =5,解之得{x =6,y =8,z =3.20.15021.设4元、8元、10元三种面值邮票的张数分别为x,y,z 张,由题意得{x +y +z =15,4x +8y +10z =100,整理得4y+6z=40,则2y+3z=20,z=20-2y3,所以y=1,4,7,10,对应z=6,4,2,0.代入①求得x=8,7,6,5.所以方程组的解为{x =8,y =1,z =6;{x =7,y =4,z =4;{x =6,y =7,z =2;{x =5,y =10,z =0.也就是买8张4元,1张8元,6张10元或买7张4元,4张8元,4张10元或买6张4元,7张8元,2张10元或买5张4元,10张8元.。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
七年级数学三元一次方程组解法举例1
例2 在等式y=ax +bx+c中，当 x=-1时,y=0；当x=2时，y=3； 当x=5时，y=60。求的a、b、c 的值。
解：根据题意，得三元一次方程组
2
a –b + c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60
1、独立完成解答后和小组内同学互相 比较、交流方法，帮助同学纠正错误 并分析其原因。 2、思考：在消去一个未知数转化成二 元一次方程组的问题上，有什么技巧 吗？谈谈你的想法。 3、准备：各小组整理好发言提纲，选 出发言代表，同组同学可以补充。
____________
＿＿＿＿＿
（3）用你认为最简捷的方法解三元一次 方程组： 2x+4y+3z=9 （5分） 3x -2y+5z=11
5x-6y+7z=13
学习了本节课你有 哪些收获？
作业：继续完成3道训练题
；山海八荒录 https:/// 山海八荒录 ；
威胁咱?"鬼面男冷笑道,"就算是鬼头道士也不敢跟咱这样说话!""鬼头道士算个屁呀。"白狼马哼道："快拿出封灵石来吧,咱们没空陪你在这里抓蛋玩!""哈哈哈。"鬼面男却突然笑得很畅快："就凭你这样说鬼头道士,算你们有种,咱有三十万封灵石,你们要の话,咱给你们打个八折,二千 四百亿灵石拿走!""二千四百亿?"听到这个数字,白狼马也倒吸了壹口凉气,南风圣城城主府壹年,可能为根汉带来の收入,现在也就是三千亿灵石吧丶这家伙壹开口,就想拿走近壹年の收入丶"只有三十万封灵石?"根汉却挑了挑眉说："你若是想办法给咱多弄壹些过来咱可以按照壹百万灵 石壹块付给你。""你还要更
Mathcad解方程
九)解方程与方程组1．解一元一次方程root函数格式：root(f(x),x)例：x=0 定义变量x（此步不能省）f(x)=3x-6root(f(x),x)=2 根为22．解一元高次方程格式：polyroots(v)其中v是系数矩阵（升幂排列）。
例：f(x):=x3-10x+2r=polyroots(v)3．解线性方程组Ax = b格式：lsolve(A,b)其中，A为系数矩阵，b为常数项向量。
例：解方三元一次方程组z+y+z=62x-2y+z=13x+4y-3z=24．解非线性方程组格式：find(x,y,…)使用时，方程组要夹在关键字given和函数find之间。
例：x:=1 y:=1 定义变量givenx2+y2=6=用Ctrl=产生x+y=2 =用Ctrl=产生(一) 一) 常用数学符号的输入1. 1.键盘输入 字母，Ctrl+G 希腊字母：例：a,Ctrl+G →α p,Ctrl-G →π D,Ctrl-G →Δ*乘号multiplication or inner (dot) product / 分数division^ 指数exponentiation 。
例：2^3得到23 \ 平方根square rootCtrl+\ n 次根nth root： 赋值。
例：a:3得到a:=3（设a=3）= 计算。
例：3+4=得到7Ctrl+= 相等（关系运算）equal to 。
例：3=4结果为0（真），4=4结果为1（假） Ctrl+3≠not equal （关系运算）。
Ctrl+9≤less than or equal Ctrl+0 ≥greater than or equal| 绝对值magnitude or determinant' 一对括号Matched pair of parentheses; 数值范围的最后一个数。
例：2,4;12得到$按范围变量连加Σ。
例：若n=1,2..4# 按范围变量连乘Π。
不定方程——利润率相关问题 (教师版)
不定方程——利润率问题1．一家快餐店销售、、A B C 三种套餐，其中A 套餐包含一荤两素，B 套餐包含两荤一素，C 套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤的成本相同，一素的成本也相同，已知一份C 套餐的售价是一份A 套餐和一份B 套餐售价之和的2,3一天下来，店长发现A 套餐和B 套餐的销量相同，且,A B 套餐的利润和是C 套餐利润的两倍，当天的总利润率是60%．第二天店内搞活动，C 套餐的售价打五折，,A B 套餐的售价均不变，当、、A B C 三种套餐的销量相同时，总利润率为________．【答案】28%【解析】【分析】设荤菜的成本为m 元，素菜的成本为n 元，荤菜的利润率为x ，素菜的利润率为y ，A 套餐和B 套餐的数量为a 份，C 套餐的数量为b 份，根据,A B 套餐的利润和是C 套餐利润的两倍得到34b a =，再根据当天的总利润率是60%可求得mx ＋ny ＝0.6(m ＋n )，进而求出一份A 、B 、C 的售价，设、、A B C 三种套餐的销量都为t 份，根据新的售价列出总利润率的代数式，将代数式化简即可求得答案．【详解】解：设一份荤菜的成本为m 元，一份素菜的成本为n 元，一份荤菜的利润率为x ，一份素菜的利润率为y ，A 套餐和B 套餐的数量为a 份，C 套餐的数量为b 份，∵,A B 套餐的利润和是C 套餐利润的两倍，∵3(mx ＋ny )·a ＝2×2(mx ＋ny )·b ， 整理得：34b a =，∵当天的总利润率是60%，∵3(mx ＋ny )·a ＋2(mx ＋ny )·b ＝60%·[3(m ＋n )·a ＋2(m ＋n )·b ]，整理得mx ＋ny ＝0.6(m ＋n )，∵一份A 套餐和一份B 套餐售价之和为3(1)3(1)3[()()] 4.8()m x n y m n mx ny m n +++=+++=+元，∵一份C 套餐的售价是一份A 套餐和一份B 套餐售价之和的2,3∵一份C 套餐的售价为2 4.8() 3.2()3m n m n ⨯+=+元， ∵第二天店内搞活动，C 套餐的售价打五折，,A B 套餐的售价均不变，∵第二天的一份A 套餐和一份B 套餐售价之和为4.8()m n +元，一份C 套餐的售价为1.6()m n +元， ∵、、A B C 三种套餐的销量相同 ，∵设、、A B C 三种套餐的销量都为t 份，则总利润率为：4.8() 1.6()13()2()t m n t m n t m n t m n ⋅++⋅+-⋅++⋅+ = 6.4()15()t m n t m n ⋅+-⋅+ =1.281-=0.28=28%，故答案为：28%．【点睛】本题综合性较强，考查了营销问题中的利润问题，用利润的基本等量关系列出关系式，设出相应的未知数，根据利润率＝利润÷成本=售价÷成本－1是解决本题的关键．2．疫情期间，为了降低外出感染风险，各大超市开通了送货到小区的便民服务．某超市推出A 、B 、C 三种蔬菜，并将A 、B 、C 三种蔬菜搭配、装袋，采用甲、乙、丙三种袋装进行销售．已知每袋的成本分别为袋中A 、B 、C 三种蔬菜的成本之和，且袋子的成本忽略不计．每袋甲分别装A 、B 、C 三种蔬菜3斤、1斤、1斤，每袋乙分别装A 、B 、C 三种蔬菜1斤、2斤、2斤．每袋甲的总成本是每斤A 成本的12倍，每袋甲的利润率为25%．每袋甲比每袋乙的售价低25%．每袋丙在成本上提高40%标价后打八折销售，每袋的获利为每斤A 成本的1.2倍．当销售甲、乙、丙三种袋装蔬菜的数量之比为1：2：5时，则销售的总利润率为______．【答案】11%【解析】【分析】分别设每斤A 、B 、C 三种蔬菜的成本为a 、b 、c ，设丙每袋成本为m ，然后根据题意将甲、乙、丙三种袋装的每袋成本和利润用a 表示出来即可求解．【详解】解：设每斤A 、B 、C 三种蔬菜的成本分别为a 、b 、c ，依题意得：3a +b +c ＝12a ，∴b +c ＝9a ，∴每袋甲的销售利润＝12a •25%＝3a ，∴每袋甲的销售价为：12a +3a ＝15a ，依题意得，乙种袋装每袋成本＝a +2b +2c ＝a +18a ＝19a ，∵每袋甲比每袋乙的售价低25%，∴乙种袋装每袋售价＝15a ÷（1﹣25%）＝20a ，∴每袋乙的销售利润＝20a ﹣19a ＝a ，设每袋丙成本为m ，依题意得：m （1+40%）•0.8﹣m ＝1.2a ，解得m ＝10a ．∴当销售甲、乙、丙三种袋装蔬菜的数量之比为1：2：5时，总成本为：12a•1+19a•2+10a•5＝100a，总利润为：3a•1+a•2+1.2a•5＝11a，销售的总利润率为11100aa×100%＝11%，故答案为：11%．【点睛】本题主要考查了三元一次方程的实际应用，解题时要认真审题，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3．2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊．当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播．开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）．经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%．第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为________．【答案】34%【解析】【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个月A产品成本为（1+25%）a=54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x=65x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可求得第二个月的总利润率．【详解】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意得：20%30%45%35%()3()7ax ay az a x y zx y z z++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩，第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=54a，B、C的成本仍为a，A 产品销量为（1+20%）x =65x ，B 产品销量为y ，C 产品销量为z ， ∵第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay az a x ay az ⨯⨯++⨯++ 0.30.30.451.5x y z x y z++=++ 10.30.30.45311.53z z z z z z ⨯++=⨯++ =0.34=34%．故答案为：34%．【点睛】本题考查了利用三元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键．4．沁园销售A 、B 、C 三种型号的蛋糕，三月份每个A 型蛋糕售价比成本高10%，每个B 型蛋糕售价比成本高50%，每个C 型蛋糕售价是成本的2倍，经计算，发现三月份三种类型的蛋糕总利润率为25%；四月份B 型蛋糕成本降为三月的80%，但售价仍比四月份成本高50%，结果销量比三月B 型蛋糕少38，而C 型蛋糕成本不变，售价是三月份售价的910，结果销量比三月C 型蛋糕多14，若四月份A 型蛋糕成本、售价、销量均与三月份A 型蛋糕相同，且四月份B 、C 型号蛋糕总利润率为60%，则四月份A 、C 型号蛋糕的总利润率为______．（总利润率＝总利润÷总成本）【答案】16%【解析】【分析】设三月份A 、B 、C 三种型号的每个蛋糕的成本分别为x ，y ，z ，则每个A 型蛋糕售价为1.1x ，每个B 型蛋糕售价为1.5y ，每个C 型蛋糕售价为2z ；四月份A 、B 、C 三种型号的每个蛋糕的成本分别为x ，0.8y ，z ，A 、B 、C 三种型号的每个蛋糕的售价分别为1.1x ，1.5×0.8y ，910z ；设三月份A 、B 、C 三种型号蛋糕的销量分别为a ，b ，c ，则四月份A 、B 、C 三种型号蛋糕的销量分别为a ，（1﹣38）b ，（1+14）c ；利用三月份三种类型的蛋糕总利润率为25%和四月份B 、C 型号蛋糕总利润率为60%，列出方程组，得出关系式即可得出结论．【详解】解：设三月份A 、B 、C 三种型号的每个蛋糕的成本分别为x ，y ，z ，则每个A 型蛋糕售价为1.1x ，每个B 型蛋糕售价为1.5y ，每个C 型蛋糕售价为2z ；四月份A、B、C三种型号的每个蛋糕的成本分别为x，0.8y，z，A、B、C三种型号的每个蛋糕的售价分别为1.1x，1.5×0.8y＝1.2y，910×2z；设三月份A、B、C三种型号蛋糕的销量分别为a，b，c，则四月份A、B、C三种型号蛋糕的销量分别为a，（1﹣38）b＝58b，（1+14）c＝54c；∵三月份三种类型的蛋糕总利润率为25%，四月份B、C型号蛋糕总利润率为60%，∵，()()()()1.1 1.5225%5591.20.82841060%550.884a x xb y yc z zax by czb y yc z zy b z c⎧-+-+-=⎪++⎪⎪⎛⎫⎨-+⨯-⎪⎪⎝⎭=⎪⨯+⨯⎪⎩整理得：0.635ax by cz by cz=+⎧⎨=⎩∵ax＝403cz．∵四月份A、C型号蛋糕的总利润率为：()59401.10.10.145316% 554054434a x x c z z cz czax czax z c ax cz cz cz⎛⎫-+-⨯+⎪+⎝⎭=== +++故答案为：16%．【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的使用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解．5．重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味、核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A，B，C）进行混装，推出了甲乙两种盒装重阳糕．盒装重阳糕的成本是盒中所有A，B，C的成本与盒装包装成本之和．每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C．每盒甲中所有A，B，C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的43倍，每盒乙的利润率为20%．每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是___元．【答案】2500．【解析】【分析】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，求出乙每盒的重阳糕的成本是甲每盒的重阳糕的成本的4 3，设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为43m，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒，根据题意列出方程，即可得出结果．【详解】解：设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒，甲每盒装的重阳糕的成本是：15x＝6x+2y+2z，化简得：y+z＝4.5x，乙每盒装的重阳糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x，∵2015xx＝43，∴乙每盒的重阳糕的成本是甲每盒的重阳糕的成本的43，∵每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的43倍，∵乙每盒的成本是甲每盒的成本的43，设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为43 m，乙每盒的售价为：43m（1+20%）＝1.6m，∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%，∴甲每盒的售价为：1.6120%m＝43m，根据甲乙的利润得：（43m﹣m）a+（1.6m﹣43m）b＝（ma+43mb）×24%，化简得：0.28ma＝0.16mb，∴b＝74 a，∵43ma+1.6mb＝31000，∴43ma+1.6m×74a＝31000，解得：ma＝7500，∴销售甲种盒装重阳糕的总利润是：43ma﹣ma＝13ma＝13×7500＝2500（元），故答案为：2500．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识；由题意列出方程是解题的关键．6．某食品公司为迎接端午节，特别推出三种新品粽子，分别是鲍鱼粽、水果粽、香芋粽，并包装成甲、乙两种盒装礼盒．每盒礼盒的总成本是盒中鲍鱼粽、水果粽、香芋粽三种粽子的成本之和（盒子成本忽略不计）．甲礼盒每盒装有3个鲍鱼粽、2个水果粽和2个香芋粽；乙礼盒每盒装有1个鲍鱼粽、4个水果粽和4个香芋粽．每盒甲礼盒的成本正好是1个鲍鱼粽成本的112倍，而每盒甲礼盒的售价是在甲礼盒成本的基础上增加了311．每盒乙礼盒的利润率为20%．当该公司销售这两种盒装礼盒的总利润为24%，且销售甲礼盒的总利润是4500元时，这两种礼盒的总销售额是________元．【答案】37200【解析】【分析】设设1个鲍鱼粽的成本为a 元，1个水果粽的成本为b 元，1个香芋粽的成本为c 元，分别表示出A 、B 礼盒的总成本和总利润，通过题干的已知条件找到等量关系列出方程即可进行求解．【详解】解：设1个鲍鱼粽的成本为a 元，1个水果粽的成本为b 元，1个香芋粽的成本为c 元，则每盒甲礼盒的成本为（3a +2b +2c ）元，每盒乙礼盒的成本为（a +4b +4c ）元，∵每盒甲礼盒的成本正好是1个鲍鱼粽成本的112倍， ∵3a +2b +2c =112a ， ∵4b +4c =5a ，∵a +4b +4c =6a ，∵每盒甲礼盒的售价是在甲礼盒成本的基础上增加了311． ∵每盒甲礼盒的售价为：（1+311）112a =7a ， ∵每盒乙礼盒的利润率为20%∵每盒乙礼盒的售价为：(1+20%)6a =7.2a ，设销售甲礼盒m 个，乙礼盒n 个，∵销售甲礼盒的总利润是4500元∵（7a -5.5a ）m =4500，∵am =3000；∵销售这两种盒装礼盒的总利润为24%，∵4500+（7.2a -6a ）n =()24% 5.5am+6an ⨯∵an =2250，∵两种礼盒的总销售额=7am +7.2an =7×3000+7.2×2250=37200（元）故答案为：37200元【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，学会利用已知条件进行相互转化是解本题的关键，综合性较强，有一定难度．。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。
……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解：× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
九、不定方程
二
二元一次不定方程及解法
1 二元一次不定方程的整数解 定理1：二元一次不定方程 ax+by=c (a,b,c为整数,且a,b都不为零) 有整数解的充分必要条件是(a,b)|c. 推论1：如果(a,b)=d,那么ax+by=d一定 有整数解. 推论2：如果(a,b)=1,那么ax+by=c一定 有整数解. 定理2：设方程ax+by=c(a,b,c为整 数,(a,b)=1)有一组整数解(x0,y0),则它的一 切解可表示为x=x0+bt,y=y0-at(叫做通解 公式).
一百马，一百瓦。大马驮三瓦， 中马驮二瓦，两小马驮一瓦，最 后不剩马和瓦，问大马、中马、 小马各几何？
三 其它类型的不定方程(组)的 解法举例
例3 求不定方程3x+7y+16z=40 的整数解. 例4 求不定方程3x2+5y2=345的 正整数解. 例5 求证x3+113=y3无正整数解.
百鸡问题
鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡， 问鸡翁、母、雏各程（组）的概念及分类
不定方程(组)：如果方程(组)中方程的 个数少于未知数的个数，称此方程(组) 为不定方程(组). 对于含有n个未知数的不定方程(组),若 存在n个不全为零的数x1,x2 ,· · · ,xn满足 这个方程(组),那么称(x1,x2 ,· · · ,xn)是这 个方程(组)的一个非零解. 不定方程的类型：按未知数的个数划 分，可分为二元、三元· · · · · ；按未知 数的次数划分，可分为一次、二次、 三次· · · · · · .
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。
C语言穷举法经典例题
令z=100-x-y 1%）
只进行101×101= 10201 次运算（前者的
第3章 程序控制结构
第3章 程序控制结构
继续优化
void main() 取x<=14,y<=25 只进行 { 15×26= 390 次运算 int x,y,z; for (x=0;x<=14;x++) for (y=0;y<=25;y++) if (7*x+4*y==100 ) { z=100-x-y; printf("cocks=%d,hens=%d,chickens=%d\n",x,y,z); } }
第3章 程序控制结构
百元买百鸡问题分析
void main() 结果：x=0,y=25,z=75 { x=4,y=18,z=78 int x,y,z; x=8,y=11,z=81 for (x=0;x<=100;x++) x=12,y=4,z=84 for (y=0;y<=100;y++) for (z=0;z<=100;z++) { if (z%3==0 &&x+y+z==100 && 5*x+3*y+z/3==100 ) printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z); } }
第3章 程序控制结构
穷举法求解韩信点兵
#include <stdio.h> void main() { int x; for (x=1; ;x++) { if (x%5==1 && x%6==5 && x%7==4 && x%11==10) { printf(" x = %d\n", x); } } } /*死循环——永远不会退出的循环*/
第20讲 不定方程-数学大赛六年级培训教程
短
氌
{ 为不定方程(或不定方程组)。比如:4x-3y=8是不定 方 程,2a+b=30是 不 定 方 b-c=4
氭 吕 氏 春
程组。
秋 氱
为纪念古希腊数学家丢番图,不定方 程 也 称 为 丢 番 图 方 程。之 所 以 把 它 们 叫
不定方程,是因为它们的解不确定(不 唯 一)。一 般 情 况 下,如 果 不 加 以 限 制,不 定
虚
乙 用 户 用 电 量 少 于 50 度 。
心 万
详 解暋设甲用户用电x 度,乙用户用电y 度,依题意列方程得:
事 能
成
0.8暳(x-50)+0.45暳50-0.45暳y=3.3,
氋 自
整 理 得 16x-9y=416,
满 十
则x=26+91y6,
事 九 空
因为x、y 均为整数,所以y 为16的倍数且小于50,
善
学
第二十讲暋不定方程
者 氋 假
人
之
不定方程是数论中一个古老的分支,我国 对 不 定 方 程 的 研 究 已 有 数 千 年 的 历
长 以
史 ,“百 鸡 问 题 暠、“中 国 剩 余 定 理 暠等 一 直 流 传 至 今 。
补
其
当方程的个数比方程中未知数的个数 少 时,我 们 就 称 这 样 的 方 程(或 方 程 组)
所以y 可取4、11、18、25,则x 为12、8、4、0,
将x、y 的值分别代入栚式,得z的值为84、81、78、75,
经
检验
:ìîíïïïïzyx===72055或
ìïïx=4 îíïïzy==7188或
ìïïx=8 îíïïzy==8111或
第二章解答题(45题)
63，16，65；33，56，65；及16，63，65；56，33，65.
42.求 的整数解．
解：将方程变形得
因为 是整数，所以 应是 的倍数．由观察得 是这个方程的一组整数解，所以方程的解为
， 为整数
解法2 :
先考察 ，通过观察易得
，
可取 ．从而
， 为整数
证明题
43.证明：二元一次不定方程 的非负整数解的个数为 或 。
解设买甲物 斤，乙物 斤，丙物 斤，则
消去 ,得 （1）
显然是 方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是
，tZ
因为 ，所以
即 可以取值 相应的 的值是
计算题
7．求解不定方程组 ；
解：消去 得 ，解得 ， ，从而得到不定方程的解
8.求方程 的正整数解。
解： ，代入原方程可得 ，于是 ，其中 ，由此得 ，反之，将上式代入原方程知它们是原方程的正整数解。
以上是五组基本解
由基本解 ， ， 可以得到四组不互质的解
2
6
8
10
3
9
12
15
4
12
16
20
5
15
10
24
26
所以弦长小于30的够股数共有十组
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
15
20
25
5
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13
10
24
26
15
8
17
7
24
25
21
20
29
3.鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏几何？
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法
不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的个数多于方程的个数，因此方程无法唯一确定未知数的值。
不定方程的所有解法取决于方程的具体形式和条件。
以下是解决不定方程的常见方法：
一、列举法：对于简单的不定方程，可以通过列举所有可能的解来确定方程的解。
例如，对于一元一次方程ax = b，其中a和b为已知常数，可以通过计算x = b/a 来确定方程的解。
二、参数法：对于形如ax + by = c的不定方程，可以引入参数t，将方程转化为x = at + x0，y = bt + y0的形式，其中x0和y0为常数，然后通过选择合适的t值来确定方程的解。
三、降维法：对于高维的不定方程，可以通过将方程进行降维处理，转化为更简单的形式来求解。
例如，对于二元二次方程ax^2 + by^2 = c，可以通过代换u = x^2 和v = y^2来将方程转化为线性方程的形式，然后求解。
四、递归法：对于某些特殊形式的不定方程，可以通过递归的方式求解。
例如，对于费马大定理中的不定方程x^n + y^n = z^n，可以利用递归方法求解。
五、数学工具：对于一些复杂的不定方程，可以利用数学工具如数值方法、图形法、线性规划等来求解。
需要注意的是，不定方程的解并不总是存在或唯一的，有时候可能存在无穷多个解，有时候可能不存在解。
因此，在求解不定方程时，需要根据具体的问题和条件来选择合适的解法和策略。
不定方程(组)及其应用专题讲座
例题讲解：
例题9甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵, 其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都 植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数 大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树
棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5. 因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2, 得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增 大13,仍是上式的解.
x y 3y 4 ，则3x 1 3y 4 3y 4 3y 4
x 1 x 1 x 0 ， ， 程组 的正整数解。 解： （1）×2+（2）： x+y=4 （3） 由（3）得：y=4-x; 把y=4-x代入（1）：z=x-2. 因为x和y、z都是正整数，所以： x ＞ 0, 4-x＞0, 且x-2＞0； 解这个不等式组得： 4＞x＞2, 即x= 3. 那么y=4-x=4-3=1， z=x-2=3-2=1. 故此方程组的正整数解为： x= 3， y=1，z=1。 (附:当k为何负整数时，方程组{3x+2y=k+1、 4x+3y=k-1的解时满足x>y且x-y>6?)
例题讲解：
例题10甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6 棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人 都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵 数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：为使10y-5在100与200之间,只有y
=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有 4+10=14(人),共有18+14=32(人). 答：甲、乙两小队共有32人。
8.4 三元一次方程组的解法100题(含解析)
绝密★启用前一、单选题1．若方程组431(1)3x yax a y+=⎧⎨+-=⎩的解x和y相等，则a的值是（）A．11 B．10 C．12 D．4【答案】A【分析】理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出a的数值即可.【详解】解：根据题意可得：431(1)3x yax a yx y+=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩①②③，把③代入①得，17x y==④，把④代入②得，1(1)37a a+-=，解得a=11.故本题答案为：A.【点睛】本题的实质是解三元一次方程组，根据题意构造三元一次方程组并用代入法求解是解题的关键．2．如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，若前m个格子中所填整数之和是2020，则m的值为（）A．202 B．303 C．606 D．909【答案】C【分析】根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解．【详解】设第2，3，4个格子的数是a,b,c根据题意，得1123112123a b c a b b c a b c c +-⎧⎪+⎨⎪+-⎩＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝ 解得1231a b c ⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝∵相邻三个格子的数是1，12和-3，三个数的和是10，前m 个格子的和是2020， 2020÷10＝202．说明有202个相邻三个格子， ∴m=202×3=606． 故选C ． 【点睛】本题考查了列三元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是列出相邻三个数的和都相等的三个方程．3．如图所示是最近微信朋友圈常被用来“醒醒盹，动动脑”的图片，请你一定认真观察，动动脑子想一想，图中的？表示什么数（ ）A ．25B ．15C ．12D ．14【答案】B 【解析】 【分析】设图中每只鞋子表示得数为x ，每个小猪玩具表示得数为y ，每个字母玩具表示得数为z ，结合图形列出关于x 、y 、z 的三元一次方程组，通过解方程求得x,y,z 的值即可． 【详解】如图，设图中每只鞋子表示得数为x ，每个小猪玩具表示得数为y ，每个字母玩具表示得数为z ，依题意得：6302220413x x y y z =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得552x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故x+yz ＝5+5×2＝15． 故选B ． 【点睛】考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．4．若71192543x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则x y z +-的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．4【答案】B 【分析】记方程组71192543x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，由观察发现②2⨯-①即可得到答案．【详解】 解：71192543x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ，方程②2⨯，得41086x y z ++=③， 方程③-①，得3333x y z +-=-④， 方程④3÷，得，1x y z +-=- 故选：B ． 【点睛】本题考查的是不定方程组的问题，通常采用整体思想，掌握利用整体解决问题是解题的关键．5．已知343x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩如果x 与y 互为相反数，那么（ ）A ．0k =B ．34k =-C ．34k =D ．1k =-【答案】D 【分析】先用含k 的代数式表示x 、y ，即解关于x 、y 的方程组，再代入含k 的方程中即得． 【详解】由题意得3,43,0,x y kx y kx y+=⎧⎪-=+⎨⎪+=⎩①②③，②+③，得322322x ky k⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，代入①，得1k=-，故选：D【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．6．已知4x5y2z0x4y3z0-+=⎧+-=⎨⎩(xyz≠0)，则x：y：z的值为( )A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：1：3 D．不能确定【答案】A【解析】【分析】把原方程组看作为关于x、y的二元一次方程组，先利用加减消元法解得y=23z，再利用代入消元法解得x=13z，然后计算x：y：z．【详解】解：4x5y2z0x4y3z0-+=⎧+-=⎨⎩①②，①-②×4得-5y-16y+2z+12z=0，解得y=23 z，把y=23z代入②得x+83z-3z=0，解得x=13 z，所以x：y：z=13z：23z：z=1：2：3．【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．7．如果280{2350x y zx y z+-=-+=，其中xyz≠0，那么x：y：z=（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1【答案】C【解析】已知280 2350x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩①②，①×2﹣②得，7y﹣21z=0，∴y=3z，代入①得，x=8z﹣6z=2z，∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故选C．点睛: 本题考查了解三元一次方程组的应用，主要考查学生的计算能力．8．一个三位数，个位数字比百位数字的2倍大1，十位数字比百位数字的3倍大1，十位数字比个位数字的2倍小3，求这个三位数．如果设百位、十位、个位数字分别为x，y，z，根据题意可列方程组为()A．213123z xy xy z-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩B．213123z xy xz y-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩C．213123x zy xz y-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩D．213123z xy xz y-=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程即可.【详解】设百位、十位、个位数字分别为x，y，z，由题意，得2131 23 z xy xz y-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，故选：B本题考查了由实际问题列三元一次方程组，正确理解题目中各个量之间的关系是关键．9．方程组101x y x z y z +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是（ ）A ．110x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．101x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩C ．011x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．101x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】D 【分析】①+②+③得出x+y+z=0④，④-①、④-②、④-③，即可求出z 、y 、x 的值． 【详解】101x y x z y z +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③， ①+②+③得：2x+2y+2z=0， x+y+z=0④， ④-①得：z=1， ④-②得：y=0， ④-③得：x=-1，所以原方程组的解为：101x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．故选：D ． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键．10．下列中满足方程组 438232a b c a b c -+=⎧⎨--=-⎩的一组解是（ ）A ．341a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．341a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩C ． 431a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ． 431a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【答案】 C用（1）－（2）得到：a+c=5，（1）+（2）得到a-b=1，然后进行验算，符 合此条件的只有C ．11．已知甲、乙、丙三人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人的钱共有（ ） A ．30元 B ．33元 C ．36元 D ．39元 【答案】D【解析】设甲、乙、丙三人各有x 、y 、z 元．由题意得2,1,11.x y y z x z =⎧⎪=+⎨⎪=+⎩解这个方程组得20,10,9.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以x ＋y ＋z ＝20＋10＋9＝39（元）． 12．已知方程组25589x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，则x y +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－14D ．－2【答案】B 【分析】在方程组解不出来而又要求代数式的值时，我们常常将几个方程组进行适当的加减运算得到所要求的代数式或其倍数的值． 【详解】 在方程组25589x y z x y z ⎧-+=⎨+-=⎩①②中，由①＋②得7714x y +=，即2x y +=， 所以选B ．13．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？( )A ．80B ．110C ．140D ．220【答案】B 【解析】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml,bml.cml,24024011031802180a c a a c ab a a bc b a c b +=++=+⎧⎧⇒⇒-=⎨⎨++=-+=-⎩⎩ . 故选B. 14．若a 2=b 3=c7，且a-b+c=12，则2a-3b+c 等于( ) A ．37B ．2C ．4D ．12【答案】C 【解析】 【分析】设237a b c ＝＝＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ，代入方程a －b ＋c ＝12得出2k －3k ＋7k ＝12，求出k ，进而求得a 、b 、c 的值，然后代入2a －3b ＋c 即可求得代数式的值． 【详解】设237a b c ＝＝＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ，代入方程a −b ＋c ＝12得：2k −3k ＋7k ＝12，解得：k ＝2，即a ＝4，b ＝6，c ＝14，则2a −3b ＋c ＝2×4−3×6＋14＝4. 故选C. 【点睛】本题考查的是方程组，熟练掌握比例的性质是解题的关键.15．解方程组2322,3425,4542,x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组5786x y x y +=⎧⎨-=⎩，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）A ．2+⎧⎨⨯+⎩①②①③B ．2+⎧⎨⨯-⎩①②②③C ．2+⨯-⎧⎨⎩①②①③D ．22⨯-⨯⎧⎨⎩+②③①③【答案】A 【分析】对各选项进行分析后即可判断． 【详解】A 选项：+①②得57x y +=，2⨯+①③得8 6x y -=，故正确；B 选项：+①②得57x y +=，2⨯-②③得238x y +=，故错误；C 选项：+①②得57x y +=，2⨯-①③得1182y z -+=，故错误；D 选项：2⨯-②③得238x y +=，2⨯+①③得86x y -=，故错误. 故选：A. 【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．16．下列四组数中，是方程组202132x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 的解是( )A ．1,2,3.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩B ．1,0,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．0,1,0.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩D ．0,1,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解. 【详解】 分析：解：()()()()()()()()20,1{21,2,12,31,4,32,1,2,32,3x y z x y z x y x y x y z ++=--=++=-=∴=---=把x=1,y=-2代入（2）得， z=3,∴1{23x y z ==-= .故选A.17．若二元一次方程3x －y ＝7,2x ＋3y ＝1，y ＝kx －9有公共解，则k 的取值为( )． A ．3 B ．－3C ．－4D ．4【答案】D 【分析】先利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值. 【详解】 解：由题意，得：37,23 1.x y x y -=⎧⎨+=⎩解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩将21x y =⎧⎨=-⎩代入y=kx-9中，得：-1=2k-9，解得：k=4. 故选D. 【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.18．设x y z234==，则x 2y 3z x y z -+++的值为( )A ．27B ．69C ．89D ．57【答案】C 【解析】分析：设已知等式等于k,表示出x,y,z,代入原式计算即可得到结果. 详解：设x y z 234k ===,得到x=2k,y=3k,z=4k, 则原式=261282349k k k k k k -+=++. 故选C.点睛：本题考查了解三元一次方程组,利用了消元的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键.19．12312342345345145125x x x a x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且12345a a a a a >>>>，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是( )A ．12345x x x x x >>>>B ．42135x x x x x >>>>C ．31425x x x x x >>>>D ．53142x x x x x >>>>【答案】C【分析】本方程组涉及5个未知数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，如果直接比较大小关系很难，那么考虑方程①②，②③，③④，④⑤，⑤①均含有两个相同的未知数，通过12345a a a a a >>>>可得1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小关系．【详解】方程组中的方程按顺序两两分别相减得1412x x a a -=-，2523x x a a -=-，3134x x a a -=-，4245x x a a -=-． ∵12345a a a a a >>>>∴14x x >，25x x >，31x x >，42x x >，于是有31425x x x x x >>>>．故选C ．【点睛】本题要注意并不是任何两个方程都能相减，需要消去两个未知数，保留两个未知数的差，这才是解题的关键．20．已知{2x+3y=z3x+4y=2z+6且x＋y＝3，则z的值为()A．9 B．－3 C．12 D．不确定【答案】B【解析】【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得{6+y=z(1)9+y=2z+6(2),由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,故选B.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.21．某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( ) A．1. B．2. C．3. D．4.【答案】C【详解】解:设1分的硬币有x枚，2分的硬币有y枚，则5分的硬币有(15-x-y)枚，可得方程x+2y+5(15-x-y)=35，整理得4x+3y=40，即x=10-34y，因为x，y都是正整数，所以y=4或8或12，所以有3种装法，故选C.22．已知方程组4520430x y zx y z-+=⎧⎨+-=⎩（xyz≠0），则x：y：z等于（）A．2：1：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：1：2【答案】C【分析】先利用加减消元法将原方程组消去z ，得出x 和y 的关系式；再利用加减消元法将原方程组消去y ，得出x 和z 的关系式；最后将::x y z 中y 与z 均用x 表示并化简即得比值．【详解】∵4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩①② ∴由①×3+②×2，得2x y ＝由①×4+②×5，得3x z ＝ ∴:::2:31:2:3x y z x x x ==故选：C ．【点睛】本题考查加减消元法及方程组含参问题，利用加减消元法将多个未知数转化为同一个参数是解题关键．23．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱( ) A ．128元B ．130元C ．150 元D ．160元【答案】C【解析】设甲每件x 元,乙每件y 元，丙每件z 元，根据题意可列方程组:{3x +2y +z =315①x +2y +3z =285② ①+②得：4x +4y +4z =600等号两边同除以4，得：x +y +z =150所以购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱.故选C.二、解答题24．解方程组：23(1)1132x y x y +=⎧⎪+-⎨=⎪⎩ （2）1720x y x y z x y z +=-⎧⎪--=⎨⎪--=⎩【答案】（1）21xy=⎧⎨=-⎩（2）7620xyz=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求解；（3）根据三元一次方程组的解法即可求解. 【详解】（1）231132x yx y+=⎧⎪+-⎨=⎪⎩整理得23231x yx y+=⎧⎨+=⎩①②②-①得2y=-2,解得y==-1, 把y=-1代入①得x=2，∴原方程组的解为21 xy=⎧⎨=-⎩（2）17 20x yx y zx y z+=-⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②③①+②得2x-z=6④，又①+③得3x-z=-1⑤⑤-④得x=-7,把x=-7代入①得y=6，把x,y代入②得z=-20∴原方程组的解为7620 xyz=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩【点睛】此题主要考查三元一次方程组的解，解题的关键是熟知消元法.25．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．【答案】x=1，y=2，z=3．【解析】试题分析：首先根据几个非负数的和为零，则每一个非负数都是零得出三元一次方程组，根据方程组的解法求出x、y和z的值．试题解析：∵|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，∴250231303100x yy zx z+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③，①﹣②，得：x﹣3z+8=0 ④，③+④，得：2x﹣2=0，解得：x=1，将x=1代入①，得：1+2y﹣5=0，解得：y=2，将y=2代入②，得：4+3z﹣13=0，解得：z=3，故x=1，y=2，z=3．点睛：本题主要考查了非负数的性质以及三元一次方程组的解法，属于简单题型．在初中阶段有三种类型的非负数：①、绝对值；②、偶次方；③、二次根式（算术平方根）．当它们任何两个或三个相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，我们根据这个结论就可以求解这类题目．26．解方程组{2x+3y+z=6x−y+2z=−1x+2y−z=5．【答案】{x=2 y=1 z=−1【解析】【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．【详解】解：{2x+3y+z=6①x−y+2z=−1②x+2y−z=5③③+①得，3x+5y＝11④，③×2+②得，3x+3y＝9⑤，④﹣⑤得2y＝2，y＝1，将y＝1代入⑤得，3x＝6，x＝2，将x＝2，y＝1代入①得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1，∴方程组的解为{x=2 y=1z=−1．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．27．（1）计算：2163)1526(-⨯- (2)解方程组：257320x y x y -=⎧⎨-=⎩①②【答案】（1）-（2）方程组的解为：55x y =⎧⎨=⎩． 【解析】试题分析：（1）根据二次根式混合运算的运算顺序计算即可；（2）先用加减消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．试题解析：（1）2163)1526(-⨯--=-； （2）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩①②②－①×3得x=5，把x=5代入①得，10﹣y=5，解得y=5，故此方程组的解为：55x y =⎧⎨=⎩．考点：1.二次根式的运算，2.解方程组．28．解三元一次方程组2422313a b a b c a b c +=⎧⎪++=-⎨⎪+-=⎩【答案】125a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【分析】方程②+③消去c ，得到关于a 、b 的方程，然后与方程①组合得到关于a 、b 的二元一次方程组，解这个方程组求得a 、b 的值，继而将a 、b 的值代入②求出c 的值即可得答案． 【详解】2422313a b a b c a b c +=⎧⎪++=-⎨⎪+-=⎩①②③，②+③得：3a+4b=11④，①与④联立得：243411a b a b +=⎧⎨+=⎩①④， ①×4-④得：5a=5，解得：a=1，把a=1代入①得：2+b=4，解得：b=2，把a=1，b=2代入②得：1+2+c=-2，解得：c=-5，所以方程组的解为：125a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解此类问题的关键．29．解方程组（1）（5分）⎩⎨⎧=--+=-++2)(5)(436)(2)(3y x y x y x y x （2）（5分）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-202132323z y x z y x z y x【答案】（1）⎩⎨⎧==17y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧===183z y x 【解析】试题分析：（1）先将原方程组化简，然后用加减法解方程组即可；（2）用加减法解方程组即可．试题解析：（1）原方程组可化为：53692x y y x +⎧⎨-⎩＝①＝②①+②×5得，46y=46，解得y=1，把y=1代入②得，9-x=2，解得x=7．故此方程组的解为：⎩⎨⎧==17y x （2）解：323213?220x y z x y z x y z -+⎧⎪+-⎨⎪++⎩＝，①＝，②＝，③由②+③，得x+y=11，④由①+②×2，得7x+y=29，⑤由⑤-④，解得x=3；⑥将代入④，解得y=8，将其代入③解得，z=1；∴原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧===183z y x考点：1．解二元一次方程组；2．解三元一次方程组．30．解下列方程组．(1)()()41312223x y y x y ⎧--=--⎪⎨+=⎪⎩(2)2725310x y z x y z x z ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩【答案】（1）23x y =⎧⎨=⎩；（2）234x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【分析】(1)利用加减消元法把二元一次方程组转化为一元一次方程，解之即可．(2) ②-①得出x- z =-2，再和③组成二元一次方程组，解出x 和z 得值，再把24x z =⎧⎨=⎩代入①得出y 的值即可．【详解】解：(1)原方程组可变形为：453+2=12x y x y -=⎧⎨⎩①② ①×2+②得：11x=22解得：x=2，把x=2代入①得：y=3所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩ (2)2725310x y z x y z x z ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③②-①得：x- z =-2④，由④和③组成一个二次一次方程组3102x z x z +=⎧⎨-=-⎩③④ 解得：24x z =⎧⎨=⎩， 把24x z =⎧⎨=⎩代入①得：y=-3，所以原方程组的解是234x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．31．解方程组{5x −2y −4=0x +y −5=0【答案】{x =2y =3【解析】解：{5x −2y −4=0①x +y −5=0②①＋②×2得7x ＝14，∴x ＝2把x ＝2代入②，得2＋y －5＝0，∴y ＝3，∴方程组的解为{x =2y =332．某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及设备资金如下表：已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？【答案】种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组并求解即可．【详解】解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，根据题意得51,485300,267,x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得15,20,16.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．33．解方程组26 29 3418 x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【答案】321 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】【分析】联立①+②和③-②成二元一次方程组，求解可得x，y的值，然后将x，y的值代入①即可求出z 的值.【详解】解：26293418x y z x y z x y z ①②③+-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①+②得：3x+3y=15④，③-②得：x+3y=9⑤，④-⑤得2x=6，解得x=3，将x=3代入④得：y=2，将x=3，y=2代入①得：z=1，∴方程组的解为：321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．34．解下列方程组：(1)3759y x x y -=-⎧⎨-=⎩（代入法）； (2)253211x y x y +=⎧⎨-=⎩（加减法）； (3)345236a b c a b c ⎧==⎪⎨⎪-+=⎩．【答案】(1)36x y =-⎧⎨=-⎩；(2)31x y =⎧⎨=-⎩；(3)182430a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． 【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）利用加减法进行求解即可；（3）令345a b c ===k ，将a ，b ，c 用k 表示出来，代入2a-3b+c=6中求解即可. 【详解】解：（1）3759y x x y -=-⎧⎨-=⎩①②，由①得：y=x-3，代入②中，7x-5（x-3）=9，解得：x=-3，∴y=-6，∴方程组的解为：36x y =-⎧⎨=-⎩； （2）253211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①×2+②得：7x=21，解得：x=3，代入①中，解得：y=-1，∴方程组的解为：31x y =⎧⎨=-⎩； （3）345236a b c a b c ⎧==⎪⎨⎪-+=⎩①②，由①得：令345a b c ===k ， ∴a=3k ，b=4k ，c=5k ，代入②得：6k-12k+5k=6，解得：k=-6，∴方程组的解为：182430a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握方程组的解法，以及运用适当方法解三元一次方程组.35．解方程组（1）1232x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （2）40423x y z x y z x y z ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩【答案】（1）32xy=⎧⎨=⎩；（2）123xyz=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可；【详解】解：（1）1232x yx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：12312x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，①×3+②得：5x=15，解得：x=3，代入①，解得：y=2，∴方程组的解为：32 xy=⎧⎨=⎩；（2）4423x y zx y zx y z++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩①②③，③-①得：3x+y=1④，③-②得：3x+3y=-3⑤，⑤-④得：2y=-4，解得：y=-2，代入④，解得：x=1，将x=1，y=-2代入①，解得：z=-3，∴方程组的解为：123 xyz=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法．36．解下列方程组:（1）23325x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）15422a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩【答案】(1) 212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩;(2) 122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 【解析】分析：（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程． 详解：（1）23325x y x y +=⎧⎨-=⎩①② ①+②得48x =， 2x =,把2x =代入①得12y =， 所以，原方程组的解为212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩; （2）15422a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩①②③①－②得2b =-,把2b =-分别代入①、③得346a c a c +=⎧⎨+=⎩,解之得：12a c =⎧⎨=⎩, 所以，原方程组的解为122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩点睛：此题考查了解二（三）元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．37．为迎接“第一届全国青年运动会”，学校组织了飞镖比赛游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是多少分？【答案】36分【解析】【试题分析】先由图示与小明、小君、小红的成绩计算出飞镖在三个圆环内的得分情况，那么根据图示小华的得分为三个圆环得分的和．【试题解析】设飞镖投到最小的圆中得x 分，投到中间的圆中得y 分，投到最外面的圆中得z 分，则 229243333y z x z y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得18117x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以36x y z ++=（分）答：小华的成绩是36分．38．已知△ABC 的周长是24cm ，三边a ，b ，c 满足c+a=2b ，c-a=4cm ，求a ，b ，c 的长。
不定方程方程组(含答案)-
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y 的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题)思路点拨无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解. 故a+b+c ≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
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题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？
分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法．
解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ①
2x+4y+3z=3.20 ②
（1）凑整法
解法1：
（①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③
∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35
∴ x+y+z=1.05
答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。
解法2：
原方程组可变形为
13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ①
2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ②
解之得x+y+z=1.05
（2）主元法
解法3：
视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05．
解法4：
视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x．
∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05．
解法5：
视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y
∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05．
（3）参数法
解法6：
设x+y+z=k，则
13x+5y+9z=9.25 ①
2x+4y+3z=3.20 ②
x+y+z=k ③
∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④
③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤
∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05
∴ k=1.05．即x+y+z=1.05．
（4）待定系数法
解法7：
设x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a+2b)x+(5a+4b)y+(9a+3b)z 则比较两边对应项系数，得
1=13a+2b
1=5a+4b
1=9a+3b
可得 a=1/21
b=4/21
x+y+z=9.25a1+3.20b=9.25x1/21+3.20x4/21=22.05/21=1.05。