特殊平行四边形中的综合性问题

难点探究专题：特殊平行四边形中的

综合性问题(选做)

◆类型一 特殊平行四边形中的最值问题

1．设点P 是正方形ABCD 内任意一点，则PA ＋PB ＋PC ＋PD 的最小值是（ ） A ．边长的两倍 B ．周长

C ．两条对角线长之和

D ．以上都不对

2．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为【方法5③】（ ）

A . 3

B ．2 3

C ．2 6 D

. 6

第2题图 第3题图

3．如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠B ＝120°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE ＋PB 的最小值是_____.【方法5③】

4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点(点P 不与点B ，C 重合)，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F

，则EF 的最小值为_________.

◆类型二 特殊平行四边形中的动态问题

一、动点问题

5．如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，则△ABC 的面积是（ ）

A ．10

B ．16

C ．18

D ．20

6．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，

∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点(不与点A 重合)，连接ME 并延长交CD 的延长线于点N ，连接MD ，AN.当AM 为_______时，四边

形AMDN 是矩形．

二、图形变化问题

7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形EFGO 绕点O 旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积【方法5⑤】（ ）

A ．由小变大

B ．由大变小

C ．始终不变

D ．先由大变小，后

由小变大

8．★如图①，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点．分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE.

(1)求证：DE ⊥AG ； (2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正

方形OE′F′G′，如图②.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

◆类型三四边形间的综合性问题

9．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．

10．★★(2016－2017·三门峡义马市期中)问题与探索

问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD ＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.

操作发现：

(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形，并说明理由；

(2)创新小组将图①中的△ACD以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论．

难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)答案

1．C

2．B解析：如图，设BE与AC的交点为P′，连接BD，P′D.∵点B与点D关于AC对称，∴P′D＝P′B，即P′D＋P′E＝P′B ＋P′E＝BE.当点P位于点P′时，PD＋PE最小．∵正方形的面积为12，∴AB＝2 3.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，即PD＋PE最小值为2 3.故选B.

3. 3

4．4.8解析：如图，连接P A.∵在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，∴AP＝EF.当EF 最小时，P A也最小，∴当AP⊥CB时，P A

最小，∴

1

2AB·AC＝

1

2BC·AP，即AP＝

AB·AC

BC

＝

6×8

10＝4.8，∴线段EF的最小值为

4.8.

5．A解析：当P在BC上运动时，y 随x的增大而增大，根据图象得BC＝4.当P 在CD上运动时，y的值不变，∴CD＝9－4＝5，∴AB＝5，∴S△ABC＝

1

2AB·BC＝

1

2×5×4＝10.故选A.

6．1解析：易证四边形AMDN是平行四边形，当MN＝AD，即AE＝EM时，四边形AMDN是矩形．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB ＝60°，∴△AEM为等边三角形，∴AM＝1，即当AM为1时，四边形AMDN是矩形．7．C解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD 和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，