学而思中考数学一轮复习第1讲.三角形.提高班.学生版
八年级上册数学同步培优：第1讲 三角形--提高班
第1讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。
a ﹣b+2c 可看做（a ﹣b+c ）+c ，再判断正负。
【随堂练习】1．（2018•杭州二模）四根长度分别为3，4，6，x （x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A ．组成的三角形中周长最小为9B ．组成的三角形中周长最小为10C ．组成的三角形中周长最大为19D ．组成的三角形中周长最大为162．（2018•芦淞区一模）已知关于x 的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个知识点2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
【典例】1.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若的面积是14，求△ABC 的面积？111A B C【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC 面积的关系。
中考数学第一轮总复习相似三角形课件
寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸
），则竹竿的长为( )
6个
D.
2米，那么井深AC为________米.
（2018省卷5题3分）如图，已知AB∥CD，若 = ，则 =________.
点为顶点的三角形叫做格点三角形，如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6
正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC (同一
位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ C ）
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
第7题图
第四节 相似三角形
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第四节 相似三角形
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性质1（基本性质）：如果 = ,那么ad=bc(b、d≠0),当b=c时，b2=ad,那么b是a、d的比例中项
【素养立意】解决此问题需要从实际背景中抽象出数学模型——相似三角形，其判定方法为两角对应相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例的性质建立方程求解
C.
D. 5
第4题图
第四节 相似三角形
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5. (2014曲靖卷6题3分)如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将
△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D到了点F的位置,则S△ADE ∶S▱BCFD是( A )
A. 1∶4
B. 1∶3
C. 1∶2
D. 1∶1、
第5题图
第四节 相似三角形
玩转真题 拓展训 练
8. 如图，平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，
2020年初升高数学衔接辅导之三角形(含答案)
09三角形高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，P A与⊙O相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝P A，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝P A＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△P AC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版
1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版
初三寒假·第1讲·尖子班·学生版考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（sin cos tan A A A ，，）；知道304560︒︒︒，，角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构中考大纲剖析1中考第一轮复习三角形初三寒假·第1讲·尖子班·学生版一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．知识导航初三寒假·第1讲·尖子班·学生版45°60°2．特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含30︒和60︒的直角三角形”边的比：112∶∶边的比：132∶∶3．直角三角形中的特殊线．d cba“直角三角形斜边中线2c d =” acbh “直角三角形斜边高abh c=”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标 “万能法”其他方法 等腰三角形 lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为等腰三角形lP 4P 5P 3P 2P 1BA“两圆一垂”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为直角三角形BA P 1P 2P 3P 4l“两垂一圆”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①222AB BP AP =+ ②222BP AB AP =+ ③222AP AB BP =+ 列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.初三寒假·第1讲·尖子班·学生版五.相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .模块一 特殊三角形夯实基础初三寒假·第1讲·尖子班·学生版（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πC.πD.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 12BAC ∠=，BC =6，点D在边AC 上，且23AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.能力提升ACFEDB BC 第8题图QFMABC y xO CBA C BAO y x初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.夯实基础模块二 全等三角形PDCBACDABE初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =︒∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．QA图1ACP QQP A图2夯实基础模块三 相似三角形能力提升初三寒假·第1讲·尖子班·学生版图3图2图12n-1B 2C 2A B CB 1C 1C 1B1C B A【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，① 若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是________；② 若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是_________.（用含n 的式子表示，n 是正整数）．（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A能力提升【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．初三寒假·第1讲·尖子班·学生版初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°实战演练图1EDBA11初三寒假·第1讲·尖子班·学生版⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ．【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABCDABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．GFED CBAP F EA12初三寒假·第1讲·尖子班·学生版E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．图2图1EHABCD FGN NMGF ED CBA模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。
第一节 全等三角形的性质和判定-学而思培优
第一节 全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基 础 演 练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15=∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是 ，数量关系是 (2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能 力 提 升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )． 37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138=∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-=则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论，中 考 链 接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90=∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅 峰 突 破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。
学而思初二数学秋季班第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版
1初二秋季·第11讲·提高班·教师版满分晋级漫画释义三角形12级 成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级 勾股定理与逆定理 11特殊三角形之 直角三角形2初二秋季·第11讲·提高班·教师版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定3初二秋季·第11讲·提高班·教师版【引例】 如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长． 【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =， 在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点C 到AB 所在直线的距离等于 ．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6， 则S △ABC ＝ ．【解析】 1. 直角 典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC4初二秋季·第11讲·提高班·教师版2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴abc h=， 代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+， ∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】 已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长． 例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系5初二秋季·第11讲·提高班·教师版【解析】 解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =， 设BC x =，则2AB x =， 那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置， 若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为 ．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】 如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—锐角三角形及其应用
【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：
专题4.5锐角三角函数中考数学第一轮总复习课件
(3)sinA+cosA_＞___1；sin2A+cos2A_＝___1, sinα=cos(_9_0_º_-_α_)；cosα=sin(_9_0_º_-_α_)；
典例精讲
锐角三角函数
知识点一
【例1】(1)式子2cos30º-tan45º- （1 tan 60 )2 的值是__0__.
5.已知△ABC中,AB=10,AC= 2 7,∠B=30º,则△ABC的面积等于_1_5__3_或__1_0__3_.
6.四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90º,tan∠ABD=
3 4
,AB=20，
BC=10,AD=13,则线段CD=1_7__或___8_9__.
A
A A
E F
B
DC
B
C´
02
解直角三角形
精讲精练
03 解直角三角形应用
考点聚焦
解直角三角形的应用
知识点三
1.视角,2.方向角(方位角),3.坡度(坡比),坡角:i=tanα=h:l.
在测量高度,宽度,距离等问题中,常见的构造的基本图形如下：
③利用反射构造相似. ②同一地点看不同点 ①不同地点看同一点
典例精讲
直角三角形应用
A
K
I
H
N
M
D
A
K
I
NH M
D
A
K
I
H N
M
D
E
O
B 图1 G
FE O
CB 图2 G
FE
O
C B 图3 G
F C
B. 1
c os2
1
C.sin2α+1 D.cos2α+1
2024年中考第一轮复习相似三角形 课件
么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段
（续表）
如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB(AP>BP),使
黄金分割
④ PA2=PB·AB ,那么称线段 AB 被点 P 黄金分割,点 P 叫做线段 AB
的黄金分割点,线段 AP 与 AB 的比叫做黄金比,黄金比
AP
=⑤
①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③
=
;④AC2=AD·AB.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
图20-7
10.如图20-8,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在
不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有 2
图20-8
个.
■ 知识梳理
与△ OCD 的面积分别是 S1 和 S2,△ OAB 和△ OCD 的周长分别是 C1 和 C2,则下列等式一
定成立的是
3
A. =
2
3
C. 1 =
2
2
(
)
3
B. =
2
3
D. 1 =
2
2
图20-9
【方法点析】相似三角形主要应用在以下几方面:①求角的度数;②求或证明比
值关系;③证线段等积式;④求面积或面积比.相似三角形的对应边成比例是求线
■ 知识梳理
1.比例的性质
(1)基本性质:
=
⇒ad=①
bc
.
(2)比例中项:如果三个数 a,b,c 满足比例式 = ⇔② b2=ac ,则 b 就叫做 a,c 的比例
2021年中考数学一轮复习《三角形认识》基础复习题(含答案)
2021年中考数学一轮复习《三角形认识》基础复习题1.将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）2.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15°，则∠EBF的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°3.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于（）A.30°B.45°C.50°D.60°4.一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（）A.30°B.60°C.45°D.150°5.如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC=30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C 两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30° C．40° D．50°6.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图,下列条件不能判断直线l1∥l2的是( )A.∠1＝∠3B.∠1＝∠4C.∠2＋∠3＝180°D.∠3＝∠58.如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠5=∠BD.∠B+∠BDC=180°9.如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为( )A.ADB.GAC.BED.CF10.如图，已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个11.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个12.三角形两边长为6与8，那么周长L的取值范围（）A.2<L<14B.16<L<28C.14<L<28D.20<L<2413.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m14.已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A.2aB. 2b-2cC.2a+3bD. -2b15.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.1316.如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为( )A．40° B．45° C．55° D．70°17.将一副三角板，如图所示放置，使点A落在DE边上，BC∥DE，AB与EF相交于点H，则∠AHF 的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°18.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=（）A.35°B.95°C.85°D.75°19.如图，直线a∥b,直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为( )A.20°B.40°C.30°D.25°20.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B= ∠C 中.能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个21.如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是( )A.3个B.4个C.5个D.6个22.如图，在△AB C中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B.∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是( )①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°；A.①②B.③④C.①③D.①②③23.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则( )A.40°B.30°C.20°D.10°24.若一个三角形三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数比为( ).A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：525.如果在△ABC中，∠A=70°-∠B，则∠C等于( )A.35°B.70°C.110°D.140°26.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.75027.如图所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（）。
第一节 全等三角形的性质和判定-学而思培优
第一节 全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基 础 演 练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15 =∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是 ，数量关系是(2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能 力 提 升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )．37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使 所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138 =∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长 为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-= 则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠ 直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？ 画出图形并证明你的结论，中 考 链 接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90 =∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅 峰 突 破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。
学而思九年级数学上1-12讲
第一讲 ───垂直平分线与角平分线 第二讲 ───等腰三角形第三讲 ───平行四边形的性质与判定 第四讲 ───菱形的性质与判定 第五讲 ───矩形的性质与判定第六讲 ───平行四边形和特殊平行四边形性质的应用 第七讲 ───中垂线角平分线复习题 第八讲 ───梯 形第九讲 ───二次函数c ax y +=2的图象 第十讲 ───二次函数y=ax 2的图象与性质 第十一讲 ───二次函数y=ax 2+bx+c 的性质与图象第十二讲 ───二次函数的最值问题第一讲───垂直平分线与角平分线【知识要点：】Ⅰ.线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离都相等。
线段的垂直平分线逆定理：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则它必在线段的垂直平分线上。
Ⅱ.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
Ⅲ.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（注：距离是指角平分线上任一点到这个角的两边所作的垂线段的长度。
）角平分线性质定理的逆定理：若某点到一个角的两边距离相等，则该点在这个角的平分线上。
Ⅳ.三角形三角的角平分线的性质：三角形三角的角平分线的交点到三边的距离相等。
【经典例题：】例1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.例2．如右图，已知ABCABC，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，∆中，BA=BC，︒∠45=连接EC。
求证：EA=EC。
例3.如右图，已知AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，DE=DF 。
求证：AD 垂直平分EF 。
例4．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边上BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求EF 的长．例5．如右图，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ACB ADB ，E ，F 分别是DC 、AB 的中点，连接DF 、CF ，观察图形：（1）DF 和CF 相等吗？为什么？（2）EF 是否垂直平分DC ，请说明理由。
学而思初二数学暑假班第1讲.全等三角形的认识.尖子班.学生版
买玻璃漫画释义满分晋级1全等三角形的认识三角形4级 全等三角形的认识三角形5级 全等中的 基本模型 三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形暑期班 第一讲暑期班 第二讲暑期班 第四讲一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．模块一 全等三角形的概念和性质知识导航知识互联网CB A B'A'二、全等三角形的性质⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形的周长相等，面积相等．【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2.5【例2】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.模块二 全等三角形的判断夯实基础能力提升F E CBA F G EDCBAF E CBA全等三角形的判定方法：⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ． ⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角 是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边 √ SSS 两边一角 两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边 两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边√ AAS 三角×特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △C BA【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．知识导航夯实基础知识导航证明：∵BE CF =（ ）∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____． 在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【例3】 已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．⑴求证：AB ∥DE ；⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．2. 全等三角形的判定（二）——SAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．知识导航能力提升FDBA A D FC B EC BA【例4】 如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ；⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．知识导航能力提升ECDB AC BA思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例5】 已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．4. 全等三角形的判定（四）——HL尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA知识导航能力提升321F ED CB A【例6】 已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ．【例7】 如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．能力提升能力提升模块三 全等三角形判定的应用F EDCBAA【例8】如图所示，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC=呢？⑵在⑴的基础上，连接EF交AD于M，你能找出图中的全等三角形吗？⑶在⑵的基础上，当∠BAC=90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？探索创新FED CBA训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分； ⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等；思维拓展训练(选讲)AF E O D C Bl OF E DCB A⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言） 证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）DCBAD 1C 1B 1A 1∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△ ∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．实战演练题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．FE DCBA ACEDBDC BA题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应添加的条件为 ．(添加一个条件即可)⑵在ABC △和A B C '''△中，AB A B ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一 定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )A ．BCBC ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=D ．C C '∠=∠O DCBA第十五种品格：创新想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段.【创新的三个层次】一、处处是创造之处，人人是创造之人；二、敢想敢做，有付出定会有收获；三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.钓鱼钓出食品冷冻法1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.。
第一节 与三角形有关的线段-学而思培优
第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。
文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。
最后，文章提供了基础演练题目。
1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。
2.三角形的分类：按边分类。
3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。
4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。
3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。
2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。
3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。
6.三角形具有稳定性。
7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。
2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。
8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。
9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。
基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。
求估计池塘岸边A、B两点的距离。
已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。
3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。
4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。
初三数学提高班第一节课
初三数学提高班（1）——相似三角形要点复习：相似图形的定义：形状相同的两个图形，称为相似形1、两图形对应角相等相似图形⇔ 2、两图形对应边长度成比例，特别地，当相似比k=1时，称两图形全等。
比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，用字母表示就是：a ：b=c:d 或dc b a =如果b a =【比例中项】如果作为比例内项的两条线段相等，即：cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项 【黄金分割】当线段AB 上一点C 将线段分成的较长线段AC 是原线段AB 和较短线段BC 的比例中项时，点C 叫做线段AB 的黄金分割点。
215-=AB AC≈0.618叫做黄金分割数，简称黄金数。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例【补充：三角形的“五心”及其性质】：重心：三角形三条中线的交点即三角形的重心，重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
重心一定在三角形的内部。
重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等垂心：三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有一个垂心。
垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。
内心：三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
内心到三角形三边距离相等。
外心：三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
外心到三顶点的距离相等。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念；2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；考点1：直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（3）勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1：直角三角形的性质与判定】【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。
c b a 222=+面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B【题型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【答案】50．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：503．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【答案】10．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【题型3：勾股定理与弦图、拼图】【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．一．选择题（共7小题）1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝2 6°，则∠CDE的度数为（）A．52°B．71°C．72°D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝90°﹣26°＝64°，根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，∴∠CDE＝∠ADC＝71°，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则A D长是（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BD＝2BC＝4，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，故选：B．5．下列各组数据是勾股数的是（）A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．故选：D．6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．二．填空题（共6小题）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为12尺．【答案】见试题解答内容【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺．故答案为：12．10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，∴AC2＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），故答案为：5．13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【答案】5．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt △BDE≌Rt△CDF．【答案】见解析．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC 是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝82+62＝100，∴AC ＝10（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝102+242＝676，AB 2＝262＝676，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD ＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送6m （水平距离BC ＝6m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝CE ＝3m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度？【答案】10m ．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】D【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠A'BC＝20°，∴∠ABA'＝80°，∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．3B．2C．1D．无法确定【答案】B【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，而AC＝6，∴（2BC）2﹣BC2＝62，解得：BC2＝12，同理可得：BG＝2GC，∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，∴GC＝2，当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，故选：B．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．4．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，则OP3的长为（）A．1B．C．D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2，＝+＝3，OP3＝＝2．故选：D．5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．二．填空题（共3小题）6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，＝BC•AC＝×3×4＝6，∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，∵S1＝π•（BC）2＝BC2，S2＝π•（AC）2＝AC2，S3＝π•（AB）2＝AB2，＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，∴S阴影故答案为：6．7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米．【答案】见试题解答内容【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝1 0米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，∴AC＝＝2（米），故答案为：2．8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．（1）求证：CD＝AC+ED．（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE，BD＝AC，∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，＝，∴S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE＝ab++＝ab+，∴，∴a2+b2＝c2．11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，C B＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？（2）判定三角形DEC的形状．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A 为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【答案】+1．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．【答案】96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96．10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC。
经典学而思全等三角形全套
第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】如图，AC // DE , BC // EF , AC = DE .求证：AF = BD .【补充】如图所示：AB // CD , AB = CD .求证：AD / BC .【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD 〃 BC , E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求 证：FC = AD .【例3】 如图，AB , CD 相交于点O , OA = OB , E 、F 为CD 上两点，AE / BF , CE = DF .求证: AC/ BD ．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB = DC , OA = OD . BE = CF , ZB = Z C . 求证：C【补充】已知：如图，AD = BC , AC = BD ，求证：Z C = Z D .【补充】已知，如图，AB = AC , CE1 AB , BF 1 AC ,求证：BF = CE .【例4】如图，Z DCE = 90。
，CD = CE, AD 1 AC, BE 1 AC ,垂足分别为A, B，试说明AD + AB = BE 【例10］如图所示，已知AB = DC , AE = DF , CE = BF，证明：AF = DE .【例11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE = CF .求证:【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE 1 EF , GE = EF .求证: BG + CF = BC .E【例12］在凸五边形中，/B = Z E , Z C = Z D , BC = DE , M为CD中点.求证：AM 1 CD .A【补充】如图所示：AF = CD , BC = EF , AB = DE, Z A = Z D .求证：BC // EF .【例13］（1）如图，△ ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断^ABC与^AEG面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是。
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1初三寒假·第1讲·提高班·学生版考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（sin cos tan A A A ，，）；知道304560︒︒︒，，角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构中考大纲剖析1中考第一轮复习三角形2初三寒假·第1讲·提高班·学生版45°60°一、等腰三角形①等腰三角形的两大特性．图形aaCH=DE-DFCH=DE+DFA HEB DC FHFABCDE特性 “等腰三角形中的三线合一” “底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”②构造等腰三角形．“垂直平分线造等腰”“平行线加角平分线” “平行线截等腰三角形”“圆构造等腰”③特殊等腰三角形．图形60°60°60°45°30°30°72°72°36°36°三边之比111∶∶ 112∶∶113∶∶51112∶∶ 5+1112∶∶二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．2．特殊直角三角形知识导航3初三寒假·第1讲·提高班·学生版“等腰直角三角形”“含30︒和60︒的直角三角形”边的比：112∶∶边的比：132∶∶3．直角三角形中的特殊线．d cba“直角三角形斜边中线2c d =” acbh “直角三角形斜边高abh c=”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标 “万能法”其他方法 等腰三角形 lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为等腰三角形lP 4P 5P 3P 2P 1BA“两圆一垂”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为直角三角形BA P 1P 2P 3P 4l“两垂一圆”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①222AB BP AP =+ ②222BP AB AP =+ ③222AP AB BP =+ 列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.五.相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．4初三寒假·第1讲·提高班·学生版⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BC DEABC DEEDC BA【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ．求证：DF EF =．（4）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 模块一 特殊三角形夯实基础B A A CF ED B5初三寒假·第1讲·提高班·学生版时，y 与x 之间的函数关系式是 .【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A ． 222+ B ．52 C ．62 D ． 6以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，ABC △为等边三角形，边长AB =4，点A 、C 分别在x 轴、y轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中， 点B 到原点的最大距离是________.【探究2】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________.【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.模块二 全等三角形能力提升BC 第8题图QFMPDCBAy xO CBA C BAO y xy xO CBA6初三寒假·第1讲·提高班·学生版【例3】 △ABC 与△CDE 均为等边三角形，点C 为公共顶点，连结AD 、BE 相交于点P ，BE 交AC于点M ，AD 交CE 于点N ，（1）如图1，当点B 、C 、D 在同一直线上，请证明以下结论：① AD =BE ；② 连结PC ，则PC 平分∠BPD ； ③ 60APB ∠=︒；④ 连结MN ，则△MCN 为等边三角形； ⑤ PB=P A+PC ，PD=PE+PC（2）如图2，当△CDE 绕点C 旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？图1图2ABCDNPMENMPEDCBA【例4】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .能力提升夯实基础7初三寒假·第1讲·提高班·学生版图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.夯实基础模块三 相似三角形8初三寒假·第1讲·提高班·学生版图3图2图1B 1C 1C 2B 2B n -1C n-1CnBn A B C B 2C 2A B C B 1C 1C 1B 1C B AQN MPDCBA【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）【例6】 如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q .（1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．能力提升9初三寒假·第1讲·提高班·学生版模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，实战演练图1EDCB AGFEDC BA10初三寒假·第1讲·提高班·学生版AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF= ．【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．模块二 全等三角形 课后演练【演练3】 在ABC △中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点 G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．⑴ 在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵ 当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍 与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的 长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后 证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示位置 （点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，⑵中的猜想是 否仍然成立？（不用说明理由）【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．AB E F GD A B CD E FGA BFGP F ED A11初三寒假·第1讲·提高班·学生版E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA图2图1EHABCD FGMNNMGF ED CBA模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ． 则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。