02 第二节 多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数是数学中一种重要的概念，它是在多个变量之间写成的函数，能表示多变量间的关系。
为了便于描述，这里使用z来表示变量的总体，用x, y, u等来索引。
例如，多元函数可以使用表达式
z=f（x，y，u）来表示，这里z是函数的输出，x, y和u是函数的输入。
通过多元函数，可以将多变量之间的关系表示出来，从而更加清楚地理解问题。
在数学中，多元函数的应用比较广泛，可以用来描述物理学中的各种力，比如重力，电力等，也可以用来描述量子力学中的任意力。
此外，还可以用多元函数来描述数学计算机科学中的几何图形，从而研究几何图象的形状及相关的物理量。
总之，多元函数可以为人们提供更丰富的信息，以便更好地理解事物，解决实际问题。
多元函数也可以用来计算极限值，也就是极限的函数值的限制，这可以帮助我们在实际应用中研究函数的极限值。
极限值的计算可以帮助我们找到函数的极值点，从而获得函数的最大值和最小值，从而更好地实现函数的优化。
总之，多元函数是数学中重要的概念，它可以用来描述物理学中的各种力，也可以用来描述数学计算机科学中的几何图形，还可以用来计算函数的极限值，从而更好地解决实际问题。
- 1 -。
多元函数的概念
多元函数的概念
一、二元函数的定义与几何意义
例1 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，
则长方形的体积
z x y
V x yz
( x 0, y 0, z 0)
当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一 个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三 元函数.
1
一、二元函数的定义与几何意义
在(0,0)的连续性．
xy 由例 7 知, 2 当 ( x , y ) ( 0,0 ) 时无极限, 2 x y
故在(0,0) 处不连续.
14
例8 讨论函数
xy , x2 y2 0 2 2 f ( x, y) x y 0, x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
x2 y , x2 y2 0 2 f ( x, y) x y 2 注意比较： 0, 2 2 x y 0 在 (0,0) 处连续.(见例6)
15
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极 限. xy 例9
( x , y )( 0,1)
例2 在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas
y AK L , 这里 A, , 为常数， 生产函数为
L＞0，K＞0分别表示投入的劳力数量和资本数量，
y表示产量. 当K,L的值给定时，y就有一确定值与
之对应，因此称y是K,L的二元函数.
以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义.
2
2
x
所求定义域为
D {( x, y) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
6
二、二元函数的极限
第二节多元函数
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形 该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面 正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在 平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例 求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解 由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例 求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例 证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性 定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内 有定义, 若 在点P0(x0, y0)处连续. 定义 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
高等数学多元函数的概念
点 P0 x0 , y0 时，函数 f (x, y) 无限趋于一个常数
A，则称A为函数 f (x, y) 当 P P0 时的极限.
记为 lim f (x, y) A或 lim f (x, y) A
( x, y)( x0 , y0 )
如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点
可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简
称区域).
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
若区域E包含在某个圆内，则称E为有 界区域；否则，称为无界区域.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2பைடு நூலகம்lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
的二元函数,记为
z f x ，y
例 1 设圆柱体的底面半径为 r , 高为 h ,则圆柱体体
多元函数的基本概念汇总
邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的
值 则函数的极限不存在 •讨论
xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点
外点
边界点
内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数
第二节多元函数的基本概念
第二节 多元函数的基本概念内容分布图示★ 领域 ★ 平面区域的概念★ 多元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 二元函数的图形★ 二元函数的极限 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 二元函数的连续性 ★ 例 10★ 二元初等函数 ★ 例 11-12★ 闭区域上连续函数的性质★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2 ★ 返回内容提要：一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、多元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）求二元函数222)3arcsin(),(y x y x y x f ---=的定义域.例2（讲义例2）已知函数,),(2222y x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限例3（讲义例3）求极限 2222001sin )(lim yx y x y x ++→→. 例4 求极限.)sin(lim 22200y x y x y x +→→例5（讲义例4）求极限 22limy x y x y x ++∞→∞→. 例6 求极限 .2lim 42430y x x xy y x ++→→ 例7 求 .)(lim 220xy y x y x +→→例8（讲义例5）证明2200lim yx xy y x +→→不存在. 例9 证明26300lim y x y x y x +→→不存在. 二元函数的连续性例10（讲义例6）讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.例11 求.1)ln(lim 210⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 例12 求.lim 10yx y e x y x ++→→课堂练习1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→3.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f 的连续性.。
多元函数的基本概念
| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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多元函数的基本概念、偏导数
对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化 成确定型.
13:47:09
8
2. 二元函数极限的计算
二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算
7.2 多元函数的基本概念
二、 多元函数的极限 三、 多元函数的连续性
7.3 偏导数
13:47:09
1
复习
一、多元函数的定义、定义域、图形
z f (x, y) , (x, y) D
u f ( x1, x2 ,..., xn ) , n 2
点函数u=f(P)能表示所有的函数
二、多元函数的极限
多元函数的极限定义 lim f (P) A. p p0
13:47:09
12
三、 多元函数的连续性
13:47:09
13
三、多元函数的连续性
1.定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域
内有定义, 若 lim xx0 , y y0
f (x,
y)
f (x0, y0 ),
故极限不存在．
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6
确定极限不存在的方法：
观察
z
x3 y x6 y2
图形,
x3 y
lim
x0
x6
y2 不存在.
y0
13:47:09
播放 7
三.多元函数的极限
2. 二元函数极限的计算 二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质
与运算法则. 计算二元函数的极限时，常把二元函数极限
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
多元函数基本概念梳理
多元函数基本概念梳理在数学领域中，多元函数是一个重要的概念，它在各个学科领域中都有广泛的应用。
本文将对多元函数的基本概念进行梳理，包括多元函数的定义、定义域和值域、偏导数、全微分以及多元函数的极值等内容。
一、多元函数的定义多元函数是指含有多个自变量的函数。
一元函数只有一个自变量，如f(x)，而多元函数可以有多个自变量，如f(x, y)、f(x, y, z)等。
多元函数的定义通常为f：D→R，其中D是定义域，R是函数的值域。
二、定义域和值域多元函数的定义域是指所有自变量的取值范围的集合。
在定义域内，函数有定义和有意义。
值域是指函数的所有可能的取值集合。
定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
三、偏导数偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数而进行的求导运算。
偏导数以∂f/∂x或∂f/∂y表示，其中∂表示偏导符号。
偏导数的求导方法与一元函数中的求导类似，但需要注意将其他自变量视为常数。
四、全微分全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和的过程。
全微分可表示为df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy。
全微分可以帮助研究者对多元函数的变化率进行分析和研究。
五、多元函数的极值多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
多元函数的极值点可以通过偏导数或二阶导数的方法求解。
通过求取偏导数并使其等于0，我们可以得到多元函数的临界点。
通过对临界点进行判断，即可确定多元函数的极值点。
综上所述，多元函数是含有多个自变量的函数，其定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数。
全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和。
多元函数的极值可以通过求取偏导数并使其等于0，再通过对临界点进行判断来确定。
对于研究多元函数的性质和特点，掌握这些基本概念是非常重要的。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作 E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U.注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U.点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .例如, 设平面点集 E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得E ⊂U (O , r ), 其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即 R n=R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即 22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x .采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n中定义了距离以后, 就可以定义R n中变元的极限: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n. 如果 ||x -a ||→0, 则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然, x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n, δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =,其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2121R R R R R +=.这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )，其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(l i m ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作 A P f P P =→)(l i m 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为 2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,可见∀ε >0, 取εδ=, 则当 δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε, 因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.讨论: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似. 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解:y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅==1⨯2=2.定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点. 又如, 函数11sin22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则 )()(l i m 00P f P f p p =→.例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xyyx y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}. P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(l i m )2,1(),(==→f y x f y x .一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是 )()(l i m 00P f P f P P =→.例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.。
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
多元函数的基本概念
在其他领域中的应用
化学反应动力学
在化学反应动力学中， 多元函数可以用来描述 反应速率与反应物浓度 之间的关系。
生物种群动态
在生物种群动态中，多 元函数可以用来描述种 群数量随时间的变化趋 势，如Logistic增长模 型。
图像卷 积操作和滤波器设计。
THANKS
感谢观看
可微性
总结词
可微性是指函数在某一点或某一方向上 的导数存在。
VS
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某一点或 某一方向上的导数存在，则称该函数在该 点或该方向上可微。可微性是多元函数的 重要性质之一，它揭示了函数在某一点或 某一方向上的局部变化率。
偏导数
总结词
详细描述
偏导数是指在多元函数的某个自变量固定时， 该函数对其他自变量的导数。
在经济中的应用
供需模型
多元函数可以用来描述商品价格与供需量之 间的关系，通过求导数来分析价格变动对供 需量的影响。
投资组合优化
多元函数可以用来描述投资组合的预期收益与风险 之间的关系，通过优化算法来找到最优的投资组合 。
生产成本分析
在生产成本分析中，多元函数可以用来描述 不同生产要素之间的成本关系，帮助企业进 行成本控制和优化。
多元函数的基本概念
• 引言 • 多元函数的定义与表示 • 多元函数的性质 • 多元函数的极限 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01
引言
多元函数的概念
多元函数是数学中的一个概念，它是 一个函数，其自变量和因变量都是多 个。在多元函数中，因变量的值依赖 于多个自变量的取值。
多元函数的定义域是一个点的集合， 这些点在各个自变量的取值范围内。 而函数的值域则是一组因变量的值， 这些值由各个自变量的取值确定。
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第二节 多元函数的基本概念
分布图示
★ 领域 ★ 平面区域的概念
★ 二元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 二元函数的图形
★ 二元函数的极限 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10
★ 二元函数的连续性 ★ 例 11
★ 二元初等函数 ★ 例 12-13
★ 闭区域上连续函数的性质
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-2
内容提要
一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域
二、二元函数的概念
定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.
类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义
三、二元函数的极限
定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为
A y x f y y x x =→→),(lim 00.
或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）
也记作
A P f P P =→)(lim 0
或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.
四、二元函数的连续性
定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果
),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,
则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.
与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.
特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.
定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.
定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.
定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.
例题选讲
多元函数的概念
例1（E01）某公司的总体成本（以千元计）为
)1ln(245),,,(2+-++=w z y x w z y x C ，
其中x 是员工工资，y 是原料的开销，z 是广告宣传的开销，w 是机器的开销，求)10,0,3,2(C 。
解 用2替换x ，3替换y ，0替换z ，10替换w ，则
)110ln(03425)100,3,2(2+-+⋅+⋅=，C
6.29=（千元）。
例2（E02）求二元函数222)
3arcsin(),(y x y x y x f ---=的定义域.
解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--0
13222y x y x
⎩
⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=
例3（E03）已知函数,),(222
2y x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 解 设,y x u +=,y x v -=则
,2v u x +=,2
v u y -= 故得 ),(v u f 22222222⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v u v u v u v u ,222v u uv += 即有 .2),(22y
x xy y x f +=
二元函数的极限 例4（E04）求极限 2222001sin )(lim y
x y x y x ++→→. 解 令,22y x u +=则
u u y x y x u y x 1sin lim 1sin )(lim 0
222200
→→→=++=0.
例5 求极限 .)sin(lim 22200
y x y x y x +→→
解 22200)s i n (l i m y x y x y x +→→,)s i n (l i m 2222200y x y x y x y x y x +⋅=→→ 其中y x y x y x 2200)sin(lim →→y x u 2=u u u sin lim 0→,1= 222y x y
x +x y x xy ⋅+=22221x 21≤,00−−→−→x 所以 .0)sin(lim 2220
0=+→→y x y x y x
例6（E05）求极限 22lim
y x y x y x ++∞
→∞→. 解 当0≠xy 时，
22220y x y x y x y x ++≤++≤xy y x 2+≤),,(02121∞→∞→→+=y x x y
所以 .0lim
22=++∞
→∞→y x y x y x 例76求极限 .2lim 424300
y x x xy y x ++=→
解 422
242220y x x x y x y xy +⋅++≤242422)(21x y x y y x +++≤022
12→+=x y (当)0,0→→y x 所以 .02lim 4
24
300=++→→y x x xy y x
例8 求 .)(lim 220
0xy
y x y x +→→
解 .)(lim )
ln(lim 220
02200y x xy xy y x y x e y x +→→→→=+因为
)ln()(0)ln(2
2222222y x y x y x xy y x xy ++⋅+=-+.)ln()(2222y x y x ++≤
而 22)l n ()(l i m 22220
0y x t y x y x y x +=
→→=++令,0ln lim 0=+→t t t
所以 ,0)l n (l i m 2200=+→→y x xy y x 故 .1)(lim 02200==+→→e y x xy y x
例9（E06）证明 2200lim y x xy
y x +→→ 不存在.
证 取k kx y (=为常数),则
,1lim lim 222202200k
k x k x kx
x y x xy
kx y x y x +=+⋅=+=→→→
易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.
例10 证明 26
300lim y x y
x y x +→→不存在.
证 取,3kx y =626330263003lim lim x k x kx x y x y x kx y x y x +⋅=+=→→→,12k k +=其值随k 的不同而变化, 故极
限不存在.
二元函数的连续性
例11 (E07) 讨论二元函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(223
3y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性. 解 由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换： 令,sin ,cos θρθρ==y x 则
)cos (sin lim ),(lim 330
)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f == 所以函数在)0,0(点处连续.
例12 求.1)ln(lim 2
10⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 解 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→→21
0011)01l n (1)l n (l i m x y x y y x .1=
例13 求.lim 1
0y
x y e x y x ++→→ 解 因初等函数y
x y e y x f x ++=),(在)1,0(处连续，故.2101lim 01
0=++=++→→e y x y e x y x
课堂练习
1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定
?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→
3.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,
00,),(2222422y x y x y x xy y x f 的连续性.。