方阵的逆矩阵和行列式

a21 a23 a12的余子式: M12 = a a 31 33 代数余子式: A12 = (1)1+2M12
a21 a22 a13的余子式: M13 = a31 a32
代数余子式: A13 = (1)1+3M13

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 3阶方阵A = a21 a22 a23 的行列式|A|定义为 a31 a32 a33 a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11A11 + a12A12 + a13A13 a31 a32 a33
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a11 a13 a14 a24 中a32的余子式为 M32= a21 a23 a24 , a34 a41 a43 a44 a44

代数余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.
第一章 矩阵
n1阶行列式

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
例1. 求4阶行列式
2 D4 = 1 0 2 0 3 1 2 -3 -1 2 1 0 2 -1 4

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
例2. 下三角形(lower triangular)行列式 a11 0 … 0 a21 a22 … 0 … … … … = a11 a22…ann . an1 an2 … ann
§1.6 方阵的行列式
假设n1阶行列式已经定义, 则定义n阶行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的 第i行和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫 做元素aij 的余子式记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式. 例如, 四阶行列式
a c b d a c a d b c b d ① u x + v y , ② u x + u y + v x + v y .

第一章 矩阵
作业
P52: 22, 24, 25(1)(2)(4)

第一章 矩阵
Fra Baidu bibliotek§1.5 方阵的逆矩阵
3 -1 0 例1. 设 A = -2 1 1 , 求A1. 2 -1 4 0 1 3 -1 0 例2. 设A = -2 1 1 , B = 5 0 , 5 5 2 -1 4 求矩阵X使AX = B.

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
行列式(determinant)的定义
例3. 上三角形(upper triangular)行列式 a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n = a11 a22…ann . … … … … 0 0 … ann

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1阶方阵A = [a11]的行列式|A|定义为a11. a11 2阶方阵A = a 21 a11 |A| = a 21 a12 的行列式|A|定义为 a22 a12 = a11a22 a12a21. a22 a11(1)1+1a22 + a12 (1)1+2a21 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 (1)n |A|. (1) 设A为n阶方阵, 则|A| = ____ (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y

第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a22 a23 a11的余子式: M11 = a a 32 33 代数余子式: A11 = (1)1+1M11