等差数列专题训练二及答案
高中数学选择性必修二 专题4 2 等差数列(含答案)同步培优专练
专题4.2 等差数列知识储备知识点一 等差数列的概念 思考1 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20. (2)4,4,4,4，…. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数. 思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 【答案】插入的数分别为3,2，a ＋b2，0.思考2 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 【答案】∵x ，A ，y 组成等差数列， ∴A －x ＝y －A ，∴2A ＝x ＋y ， ∴A ＝x ＋y 2.知识点三 等差数列的通项公式思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 【答案】n －1思考2 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，你能用a 1和d 表示a n 吗？ 【答案】a n ＝a 1＋(n －1)d .知识点四 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?【答案】设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ， 变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a mn －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？【答案】等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点.d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a mn －m . 知识点五 等差数列的性质思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？ 【答案】利用1＋100＝2＋99＝….思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….注意到上式中的序号1＋n ＝2＋(n －1)＝…，有：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .知识点六 由等差数列衍生的新数列思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论： 若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有此处以{a n ＋a n ＋k (a n ＋1＋a n ＋k ＋1)－(a n ＋a n ＋k )＝a n ＋1－a n ＋a n ＋k ＋1－a n ＋k ＝2d . ∴{a n ＋a n ＋k }是公差为2d 的等差数列.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶，∴1651=150n n +.∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201【答案】A【解析】由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100【答案】C 【解析】易得a n ＝1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n ＞0则2n －5＞0，∴n ≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C【解析】∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4， ∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n ＞0，∴41－2n ＞0， ∴n ＜412， ∴n ≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝1()2m m a a +＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210＞200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28【答案】C【解析】设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， 即6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又因为S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以126n +＝5，解得n ＝18. 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d <－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝1122a a +×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d <0，A 选项正确．且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得－247<d <－3，B 选项正确． 由于S 13＝1132a a +×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n ≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n ≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，nnS a <0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D.10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B ．a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4 D ．S 4＝S 5【答案】BC 【解析】由S 7＝177()2a a +＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C. 11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d d S n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．12．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】ABD【解析】由题意得：插入()*k k ∈N个数，则11ab =，22k a b +=，323k a b +=，434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列，且角标是以1为首项，k +1为公差的等差数列，所以1(1)(1)n n k a b +-+=， 因为9b 是数列{}n a 的项，所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈，当2n =时，解得7k =， 当3n =时，解得3k =， 当5n =时，解得1k =，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.【答案】5【解析】∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 【答案】8 【解析】∵a n ＝11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.16. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 【答案】(1)4n －3 (2)－12【解析】(1)∵S 4＝28，∴14()42a a +⨯＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝n S n c+＝22n nn c -+，∴b 1＝11c +，b 2＝62c+，b 3＝153c +.又∵{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62c +＝11c+＋153c +，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝13n ＋(1)2n n -×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(131)42+⨯－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ 【解析】(1)S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝12n ＋(1)2n n -×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－2132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n } 中有12项大于零．20．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6. 【解析】∵S n ＝n 2－2n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－2n －[(n －1)2－2(n －1)]＝n 2－2n －(n －1)2＋2(n －1)＝2n －3， ∴a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6 ＝(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)－a 4 ＝2a 4＋2a 4－a 4＝3a 4 ＝3×(2×4－3)＝15.21．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67662⨯×12＝27 135.。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
6.2等差数列典型例题及详细解答
精心整理1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项假如A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推行：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋*5．等差数列的前n项和公式设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝或S nna1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系S n＝n2＋n.数列{a n}是等差数列?S n＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．【思虑辨析】判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定的．(√)(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(此中p，q为常数)，则数列{an}必定是等差数列．(√)1．(2015重·庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6答案B分析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－精心整理4＝0，选B.2．(2014福·建)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C分析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，应选C.3．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B分析S11＝＝＝88.4．设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋＋a7等于()精心整理A．14B．21C．28D．35答案C分析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.5．(2014·京北)若等差数列{a n}知足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．答案8分析{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8因为数列＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n}中，若a1＝－2，且对随意的n∈N*有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}前10项的和为()精心整理A．2B．10C.D.(2)已知在等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于()A．100B．210C．380D．400答案(1)C(2)B分析(1)由2a n＋1＝1＋2a n得a n＋1－a n＝，所以数列{a n}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.思想升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，而后由通项公式或前n项和公式转变成方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式，共波及五个量a1，a n，d，n，S n，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．(1)(2015课·标全国Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于()A．5B．7C．9D．11(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足－＝1，则数列{a n}的公差是()．1C．2D．3答案(1)A(2)C分析(1)∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，S5＝＝5a3＝5.应选A.(2)∵S n＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{a n}的公差为2.精心整理题型二等差数列的判断与证明例2已知数列{a n}中，a1＝，a n＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b n}知足b n＝(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明原因．(1)证明因为a n＝2－(n≥2，n∈N*)，b n＝(n∈N*)，所以b n＋1－b n＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{b n}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n＝n－，则a n＝1＋＝1＋.精心整理设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，a n获得最小值－1，当n＝4时，a n 获得最大值3.引申研究例2中，若条件变成a1＝，na n＋1＝(n＋1)a n＋n(n 1)，研究数列{a n}的通项公式．解由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴a n＝n2－n.思想升华等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法：证明对随意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对随意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2后，可递推得出a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＝a na n－1＝a n－1－a n－2＝＝a2－a1，依据定义得出数列{a n}为等差数列．(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，得a n＋1－a n＝p对随意正整数 n恒建立，依据定义判断数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n ＝An2＋Bn后，依据S n，a n的关系，得出a n，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．(1)若{a n}是公差为1的等差数列，则{a2n－1精心整理＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝答案(1)C(2)A分析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式＝＋可得－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的精心整理等差数列，所以＝n，即a n＝.精心整理题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广·东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)10(2)60分析(1)因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为精心整理S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n获得最大值，并求出它的最大值．解∵a1＝20，S10＝S15，10×20＋d＝15×20＋d，d＝－.方法一由a n＝20＋(n－1)×＝－n＋.得a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，当n≥14时，a n＜0.∴当n＝12或13时，S n获得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.方法二S n＝20n＋·＝－n2＋n精心整理＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12 S13＝130.引申研究例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，S n获得最小值，并求出最小值．解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，精心整理∴当n＝12或13时，S n获得最小值，最小值S12＝S13＝＝－130.思想升华(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d?d(m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝＝n(a n＋a n＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)a n.(2)求等差数列前n项和S n最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n精心整理an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得S n获得最大值S m；b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得S n获得最小值S m.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当S n取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则S n取最大值时，n的值为()精心整理A．5B．6C．5或6D．11(3)已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为________．答案(1)B (2)C(3)110分析(1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{a n}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当S n取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n最大，选C.(3)因为等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入乞降公式得，S n＝na1＋d＝20n－×2精心整理＝－n2＋21n＝－2＋2，又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，S n获得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110 ________.(3)等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为()A．S4B．S5C．S6D．S7思想点拨(1)求等差数列前n项和，能够经过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用精心整理等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝；(2)求等差数列前 n项和的最值，能够将S n化为对于的二次函数，求二次函数的最值，也能够察看等差数列的符号变化趋向，找最后的非负项或非正项．分析(1)由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝＝＝＝45.(2)方法一设数列{a n}的公差为d，首项为a1，则解得所以S110＝110a1＋d＝－110.方法二因为S100－S10＝＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝＝＝－110.精心整理(3)因为所以所以S n的最大值为S5.答案(1)A (2)－110(3)B温馨提示(1)利用函数思想求等差数列前n项和S n的最值时，要注意到n∈N*；(2)利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解相关等差数列的基本量问题时，可经过列关于a1，d的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；此外还能够用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判断一个数列是否为等差数列．精心整理3．等差数列性质灵巧使用，能够大大减少运算量．4．在碰到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a ＋d，a＋3d等，可视详细状况而定．[失误与防备]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，a n为常数．2．公差不为0的等差数列的前 n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6精心整理＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B分析由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，获得S9－S6＝2S6－3S3＝45，应选B. 2．(2015·京北)设{a n}是等差数列，以下结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案C精心整理分析设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2>0，a2a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，因为d正负不确立，因此a2＋a3符号不确立，应选项A错；若a1a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，因为d正负不确立，因此a1＋a2符号不确立，应选项B错；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，所以a2>，应选项C正确；若a1<0，则(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，应选项D错．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C精心整理分析∵数列{a n}为等差数列，且前n项和为S n，∴数列也为等差数列．∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5，经查验为原方程的解，应选 C.4．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11答案B设{b n}的公差为d，∵分析∵∵－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b10∵∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.精心整理b1＋b2＋＋b7＝7b1＋d7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，a8＝3.应选B.5．已知数列{a n}知足a n＋1＝a n－，且a1＝5，设{a n}的前n项和为S n，则使得S n获得最大值的序号n的值为()A．7B．8C．7或8D．8或9答案C分析由题意可知数列{a n}是首项为5，公差为－的等差数列，所以a n＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所精心整理以S n获得最大值时，n＝7或8，应选C.6．已知数列{a n}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10 ________.答案分析由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.7．已知递加的等差数列{a n}知足a1＝1，a3＝a－4，则a n＝________.答案2n－1分析设等差数列的公差为d，a3＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.因为该数列为递加数列，故d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.精心整理8．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝________.答案130分析由a＝－∈N*知是以－为首项，n2n10(n)n8 {a}为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，∴|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋＋a15)20＋110＝130.9．若数列{a n}的前n项和为S n，且知足a n＋2S n S n 1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2S nn－1＝0，S得S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2，精心整理又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴S n＝.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不合适上式．故a n＝10．等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，S n最大？解方法一由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.进而S n＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，S n最大．方法二因为S n＝an2＋bn是对于n的二次函数，由S3＝S11，可知S n＝an2＋bn的图象对于n＝＝7精心整理对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，S n 最大．方法三由方法一可知，d＝－a1.要使S n最大，则有即解得≤n≤，故当n＝7时，S n最大．方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．B组专项能力提高(时间：20分钟)11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n＜精心整理nS n＋1(n∈N*)．若＜－1，则()A．S n的最大值是S8B．S n的最小值是S8C．S n的最大值是S7D．S n的最小值是S7答案D分析由条件得＜，即＜，所以a n＜a n＋1，所以等差数列{a n}为递加数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{a n}前7项均小于0，第8项大于零，所以S n的最小值为S7，应选D.12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝，S k＝－12，则正整数k＝________.答案13分析S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋＝－，又S k＋1＝精心整理＝＝－，解得k＝13.13．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对随意自然数n都有＝，则＋的值为________．答案分析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.14．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝，若对随意的n∈N*，都有b n≥b8建立，则实数a的取值范围为________．精心整理答案(－8，－7)分析依题意得b n＝1＋，对随意的n∈N*，都有b n≥b8，即数列{b n}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{a n}是公差为1的等差数列，所以有即由此解得－8＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)求S n的最小值；(3)若数列{b n}是等差数列，且b n＝，求非零常数 c.解(1)因为数列{a n}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，精心整理所以a3＝9，a4＝13，所以所以所以通项a n＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以S n＝na1＋×d＝2n2－n＝22－.所以当n＝1时，S n最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知S n＝2n2－n，所以b n＝＝，所以b1＝，b2＝，b3＝.因为数列{b n}是等差数列，精心整理所以2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)，经考证c＝－时，{b n}是等差数列，故c＝－.。
(完整版)等差数列练习题有答案
数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。
{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。
n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。
2022年高中数学第二章数列2-2等差数列的性质练习含解析新人教A版必修
课时训练8 等差数列的性质一、等差数列性质的应用1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )A.12B.16C.20D.24答案:B2.等差数列{a n}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=( )A.2B.4C.6D.-2答案:A解析:2a2013=a2+a4024=4,∴a2013=2.3.在等差数列{a n}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )A.24B.22C.20D.-8答案:A解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.4.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为 的等差数列.答案:4解析:设数列{a n}的公差为d,则a3-a1=2d=4,∴d=2.∴数列{2a n-3}的公差为4.5.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .答案:13解析:设等差数列{a n}的公差为d.∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.∴a6=a3+3d=7+3×2=13.6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .答案:72解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=112.又可得2a=2+b=2+112=152,解得a=154,同理可得2c=9+112=292,解得c=294,故c-a=294−154=144=72.二、等差数列的综合应用7.已知等差数列{a n}中,a7=π4,则tan(a6+a7+a8)等于( )A.-√33B.-√2C.-1D.1答案:C解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=3π4,∴tan(a6+a7+a8)=tan3π4=-1.8.已知数列{a n}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )A.4B.14C.-4 D.-14答案:A解析:由数列{a n}是等差数列,知a n是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,a n),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k=27-157-4 =4.9.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-13a14的值为( )A.12B.14C.16D.18答案:A解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-13a14=a1+9d-13(a1+13d)=23(a1+7d)=23×18=12,故选A.10.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.(2)假设数列{a n}是等差数列,由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).由假设知2a2=a1+a3,即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{a n}是等差数列矛盾,故数列{a n}不可能是等差数列.(建议用时:30分钟)1.已知{a n}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.2.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )A.6B.12C.24D.48答案:D解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.∴5a8=120,a8=24.而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.∴选D.3.若数列{a n}为等差数列,a p=q,a q=p(p≠q),则a p+q为( )A.p+qB.0C.-(p+q)D.p+q2答案:B解析:公差d=p-qq-p=-1,∴a p+q=a p+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,a n,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )A.该新数列不是等差数列B.是公差为d的等差数列C.是公差为2d的等差数列D.是公差为3d的等差数列答案:C解析:∵(a n+1+a n+3)-(a n+a n+2)=(a n+1-a n)+(a n+3-a n+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.5.已知{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为( )A.√32B.-√32C.12D.-12答案:D解析:∵{a n}为等差数列,a1+a5+a9=8π,∴a5=83π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos163π=-12.6.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= . 答案:-6解析:由题知d=a8-a38-3=-305=-6.7.在等差数列{a n}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8= . 答案:8解析:∵a 8+m +a 8-m =2a 8,∴a 8=8.8.如果有穷数列a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,c 2= .答案:19解析:因为c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{c n }为21项的对称数列,所以c 2=c 20=c 11+9d=1+9×2=19.9.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式.解:∵a 1+a 7=2a 4,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15.∴a 4=5.又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.即(a 4-2d )(a 4+2d )=9,即(5-2d )(5+2d )=9,解得d=±2.若d=2,a n =a 4+(n-4)d=2n-3;若d=-2,a n =a 4+(n-4)d=13-2n.10.已知{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,求a 75.解:解法一:因为{a n }为等差数列,∴a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列,设其公差为d ,a 15为首项,则a 60为其第4项,∴a 60=a 15+3d ,得d=4.∴a 75=a 60+d=20+4=24.解法二:设{a n }的公差为d ,因为a 15=a 1+14d ,a 60=a 1+59d ,∴{a 1+14d =8,a 1+59d =20,解得{a 1=6415,d =415.故a 75=a 1+74d=6415+74×415=24.。
高中数学等差数列选择题专项训练100及答案(2)
一、等差数列选择题1．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题2．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18 B ．19C ．20D ．21解析：B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B.3．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<解析：D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D.4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107C ．109D ．105解析：B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.5．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12 B ．20C ．40D ．100解析：B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B.6．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．465解析：B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B7．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12C ．15D ．18解析：A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A8．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．19解析：C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．103解析：D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.10．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S解析：B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .11．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13C ．26D ．162解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.12．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．nC ．21n -D ．2n解析：B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B.13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ， 所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B.14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8C ．12D ．14解析：D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C二、等差数列多选题16．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n nn aa----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.17．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.18．题目文件丢失！19．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n nn n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD21．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.22．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.23．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．24．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n na 是递增数列C ．数列{}n a n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =B ．当9n =或10时，n S 取最大值C ．911a a <D ．613S S =解析：AD【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误. 61656+5415392d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
第8讲 等差数列二带解析答案
第八讲等差数列（二）1、数列3、8、13、18、……的第80项是多少？53是第几项？公差：8-3=5第80项：3+（80-1）×5=39853的项数为：（53-3）÷5+1=11项2、一个等差数列2、6、10、14、……，74。
问该等差数列共有多少项？公差：6-2=4（74-2）÷4+1=19项3、一个等差数列共有24项，其中首项为1，末项为116。
求该数列的公差？（116-1）÷（24-1）=54、在自然数10到52之间插入5个数，使这7个数成等差数列，找出这五个数。
公差为：（52-10）÷（7-1）=710+7=1717、24、31、38、455、已知等差数列的第二项是15，第六项是39，第八项是几？公差为：（39-15）÷（6-2）=6第八项：39+（8-6）×6=516、把210拆成7个自然数，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第一个数与第六个数分别是多少？中间数（第4个数）：210÷7=30第一个数：30-（4-1）×5=15第六个数：30+（6-4）×5=407、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。
已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。
问最上边一层安装多少盏？最上边一层与最下边一层的和为：888÷（8÷2）=222（盏）最上边一层与最下边一层的差为：6×（8-1）=42（盏）最上边一层：（222-42）÷2=90（盏）8、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？最外圈与最内圈的人数和为：912÷（16÷2）=114（人）最外圈与最内圈的人数差为：6×（16-1）=90（人）最外圈的人数：（114+90）÷2=102（人）最内圈的人数：102-90=12（人）9、在1到100这一百个自然数中，所有不能被7整除的数的和是多少？1到100的和为：（1+100）×100÷2=5050能被7整除的数为：7、14、21、……、91、98项数为：（98-7）÷7+1=14和为：（7+98）×14÷2=735所有不能被7整除的数的和：5050-735=431510、在小于100的自然数中，被7除余3的数的和是多少?被7除余3的数为：10、17、……、87、94项数：（94-10）÷7+1=13和：（10+94）×13÷2=67611、请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。
高考数学等差数列选择题专项训练之知识梳理与训练附答案(2)
一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.3．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A4．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9解析：D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21 B ．15C ．10D ．6解析：C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C.6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．8解析：A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A7．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18解析：A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A8．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55解析：D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D.9．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320解析：C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
等差数列 练习题及答案
等差数列练习一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100SA ．80B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 109、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = .三．解答题1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.2、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列， 求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75, 求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.等差数列参考答案一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 6、6 三．1、n a n 2.0=，393805251=+++a a a ．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴14d =，∴172(1)44n n b n +=+-⨯=1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴43nn ab -=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
第2周等差数列及答案
第2周等差数列姓名__________ 得分__________1、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?2、有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？3、已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，求80是这列数中第几个数。
4、有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多2个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众？5、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
6、妈妈的消费卡上积了35次分，最高一次179分，最低一次41分，中间还有33次，且积分构成了等差数列，问：正中一次积了几分？7、有一个等差数列，它的第5项是20，第8项是35，请你算一算它的第15项和第1项分别是多少？8、计算。
①、1+2+3+4+…+48+49+50 ②3+6+9+12+…+297+300③、11+13+15+…+97 ④、92+90+88+…+2⑤2012-2010+2008-2006+…+8-6+4-212、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？第2周等差数列参考答案1、(57-1)÷2+1=292、2+（100-1）×5=4973、（80-2）÷3+1=274、28+（30-1）×2=86（名）（28+86）×30÷2=1710（名）5、11+21+31+…+91=（11+91）×9÷2=4596、（179+41）÷2=1107、8-5=335-20=1515÷3=5第15项：35+7×5=70第1项：20-4×5=08、①、1275 ②、15150 ③、2376 ④、2162 ⑤、10069、1,6,12,18……第100层：6+（99-1）×6=594（个）共：（6+594）×99÷2+1=29701。
等差数列
等差数列1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是_2. 在数列－1, 0, 19, 18, ……, n-2n2中，0.08是它的第_ 项3.有穷数列1， 23， 26， 29，…，23n＋6的项数是_4.已知数列{an }满足a1=2，an＋1－an＋1=0，(n∈N)，则此数列的通项an=_5.已知等差数列{an }的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的通项an=_6.在等差数列{an }中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9－a10=_7.在等差数列{an }中，a5=33 , a45=153, 则201是该数列的第 _ 项8.在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_9.数列{ a n }为等差数列，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列的通项a n=__10.若 a、b、c成等差数列，则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点个数是_11.已知f(x)是一次函数，其图像过点（3，5）,又f(2)、f(5)、15成等差数列，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_12.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b=_13.在1与9之间插入n-1个数b1,b2,…bn-1，使这n+1个数成等差数列，记为An+1,,则数列{An+1}的通项公式为_14.已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为_15.数列{an }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列,若an =bn,则n=_16.等差数列{an }中,am=n,an=m,则am+n= _17.一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为_18.一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n=_19.等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为340, 则n= _20.已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，则前80项的和为_ 21.等差数列中，≠0，若ｍ＞1且，，则ｍ＝_22.是等差数列的前n项和，(n≥5，)， =336，则n n1n+1n1220|=25.在等差数列{an }中，Sm=Sn,则Sm+n的值为_26.在等差数列{an }中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为_27.在等差数列{an }中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8=28.等差数列{an }中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7= _29.在等差数列{an }中，已知a3=2,则前5项之和为_ _30.在等差数列{an }中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为_31.等差数列{an }中，若a1＋a3＋a5=－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5=_________32.等差数列{an }中，若a2+a3+a4+a5=34, a2a5=52, 且a4＞a2, 则a5=________33.设是公差为正数的等差数列，若，则34.在等差数列{an }中，S4=6,S8=20,则S16=35.等差数列共3n项，前n项和为10，后n项和为30，前2n项和为_36.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为_37.数列前n项和为Sn =n2+3n, 则其通项an等于_________38.已知数列{an }的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列{a}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列。
新教材高考数学第二课时等差数列的性质及实际应用练习含解析选修2
第二课时 等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{a n }为1，3，5，7，…，2n －1，则数列{a n ＋2}，{2a n }是等差数列吗？ 提示 因为等差数列的通项为a n ＝2n －1，则a n ＋2＝2n －1＋2＝2n ＋1，2a n ＝2(2n －1)＝4n －2，可判断数列{a n ＋2}，{2a n }都是等差数列，一般地，若{a n }为等差数列，则{a n ＋c }，{ca n }也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广 (1)a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， (3)d ＝a n －a m n －m(m ，n ∈N *，且m ≠n ). 2.若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)3.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….4.下标性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.拓展深化[微判断]1.等差数列{a n}中，必有a10＝a1＋a9.(×)提示反例：a n＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)提示反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)[微训练]1.在等差数列{a n}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )A.－1B.2C.4D.6解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.答案 B2.已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0D.a51＝51解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.答案 C3.在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.答案－1[微思考]1.在等差数列{a n}中，a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示是.若{a n}的公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{a n}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么a m，a n，a p，a q，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？提示 成等差数列，若{a n }的公差为d ，则a m ，a n ，a p ，a q ，…的公差为(n －m )d .题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用【例1】 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1，n ∈N *.规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担.【训练1】 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 解析 法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－（－2）7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8. 法二 由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3·5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8. 答案 8题型二 等差数列性质的应用【例2】 已知数列{a n }为等差数列，且公差为d . (1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d . 解 (1)法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415＝32.法二 ∵{a n }为等差数列，∴d ＝a 60－a 1560－15＝415， ∴a 105＝a 60＋45×415＝32.法三 ∵{a n }为等差数列， ∴a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105， ∴a 105＝2×20－8＝32.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34， ∴a 2＋a 5＝17.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. (2)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 解析 (1)3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.(2)法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27. 答案 (1)20 (2)27题型三 等差数列的设法与求解【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ）， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4. 因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.规律方法 等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解 法一 设此等差数列的首项为a 1，公差为d .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＝26，（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝40.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四 等差数列的实际应用【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).与清明之间的晷影长之差为( ) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸D.67.2寸解析 设晷影长构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＝130.0，a 13＝14.8，d ＝a 13－a 113－1＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a 2－a 8＝－(a 8－a 2)＝－6d ＝57.6. 答案 C规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米.由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案 2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .3.等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4D.－3解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.答案 B2.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A.5 B.8 C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.解析 (a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，则d ＝32，则a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32.答案 324.在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 解析 由题意知a 3＋a 6＝10，故a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.答案 105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝6，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.基础达标一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A.12 B.8 C.6D.4解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12(log 27＋log 217)＝12log 2 1＝0.答案 A4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( ) A.25 B.45C.65D.75解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.答案 C5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10B.20C.40D.2＋log 25解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20. 答案 B 二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16， ∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 47.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.答案 188.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －32三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2. ∴这三个数是4，6，8. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由. 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1. 因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n －1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1＝1－a n 2（a n －1）＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误； [a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D. 答案 D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5 解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.答案 BCD14.(多空题)已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎪⎨⎪⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.答案 12n －1 25。
等差数列练习题及答案
等差数列练习题及答案一、选择题1. 下列哪个数列不是等差数列？A. 2，4，6，8B. 3，8，13，18C. 5，10，15，20D. 1，3，5，8答案：D2. 若一个等差数列的公差为2，首项为3，则第5项为多少？A. 11B. 13C. 15D. 17答案：C3. 若等差数列的前两项是a，b，且公差为d，那么第n项可以表示为多少？A. a + (n-1)dB. a + ndC. a - ndD. a + (n+1)d答案：A4. 若一个等差数列的首项为7，公差为-3，则第8项为多少？A. 19B. 16C. 13D. 10答案：B5. 若一个等差数列的首项为3，末项为16，则公差为多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B二、填空题1. 求等差数列6，11，16，21的第10项。
答案：512. 求等差数列9，7，5，3的前20项和。
答案：-803. 若等差数列的首项为3，公差为-2，则第15项为多少？答案：-274. 若等差数列的首项为-4，末项为22，公差为3，则该数列的项数为多少？答案：95. 若等差数列的第7项为31，公差为6，则首项为多少？答案：-1三、解答题1. 求等差数列5，9，13，17，...的第15项。
解答：首项a1=5，公差d=9-5=4，根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=5，d=4，n=15计算得到a15=5+(15-1)4=61。
2. 求等差数列1，4，7，10，...的前10项和。
解答：首项为a1=1，公差d=4-1=3，前10项和可以通过求和公式Sn=n/2(a1+an)来计算，代入n=10，a1=1，an=a1+(n-1)d=1+(10-1)3=28，计算得Sn=10/2(1+28)=145。
3. 若等差数列的前五项和为35，公差为2，求首项和项数。
解答：设首项为a1，项数为n，则根据求和公式Sn=n/2(a1+an)，代入Sn=35，公差d=2，an=a1+(n-1)d，可以得到35=n/2(a1+a1+(n-1)d)=n/2(2a1+(n-1)d)，化简得到35=n(2a1+(n-1)d)/2，进一步化简得到70=2na1+n(n-1)d。
第02讲 等差数列及其前n项和 (练)(含答案解析)
第02讲等差数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲等差数列及其前n 项和(精练）A 夯实基础一、单选题（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））1．在等差数列{}n a 中，已知3412a a +=，则数列{}n a 的前6项之和为（）A ．12B ．32C ．36D ．37（2022·天津天津·高二期末）2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）4．等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S （2022·山东师范大学附中模拟预测）5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（）（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）6．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =-，若1015k a <<，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．8（2022·全国·模拟预测）7．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546（2022·全国·高二专题练习）8．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项二、多选题（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（）A ．d ＜0B ．a 10＝0C ．S 18＜0D ．S 8＜S 9（2022·浙江温州·高二期末）10．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k 名比第1k +名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（）智慧币．A ．300B ．293C ．93D ．89三、填空题（2022·全国·高二课时练习）11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为_______.（2022·江苏·高二）12．首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.四、解答题（2022·山东·高二阶段练习）13．在等差数列{}n a 中，2745,6a a a ==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，若99m S =，求m 的值.（2022·全国·高三专题练习（文））14．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-.（1）求出{}n a 的通项公式；（2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和最小时n 的取值B 能力提升一、单选题（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）15．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（）A ．18B ．19C ．20D ．21（2022·全国·高三专题练习）16．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥（2022·全国·高三专题练习）17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．（2022·辽宁辽阳·二模）18．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.（2022·山西吕梁·二模（理））19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，151416>>S S S ，则满足10n n S S +⋅<的正整数n 是________．（2022·湖南衡阳·三模）20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n N+=∈，则24666a a a a +++⋅⋅⋅+=__________．C 综合素养（2022·山东济南·三模）21．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n 放置在n 行n 列()3n ≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1图2A ．91B ．169C ．175D ．180（2022·新疆克拉玛依·三模（文））22．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A ．636B ．601C ．483D ．467（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）23．“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．170项B ．171项C ．168项D ．169项（2022·浙江·模拟预测）24．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22, ，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a aa ++++= ________．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）25．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.参考答案：1．C【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.【详解】数列{}n a 的前6项之和为()12345634336a a a a a a a a +++++=+=.故选：C.2．C【分析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了n 天，则(1)120010102n n n -=+⨯，解得15n =或16-（舍去），所以15n =，故选：C ．3．D【分析】根据数列{}1n a a 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.【详解】依题意，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}1n a a 为递减数列，所以111n n a a a a +>，()11n n a a a a d >+，1111,0n n a a a a a d a d >+<.故选：D 4．B【分析】由等差数列的性质将2100a a +<转化为60a <，而70a >，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列{}n a 中，2100a a +<，∴210620a a a +=<，即60a <．又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S ．故选：B 5．B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=故选：B 6．A【分析】由n a 与n S 的关系先求出n a ，再结合已知条件可求出答案.【详解】由()()22125215147(1)n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=->⎣⎦，得47,1n a n n =-=也适合，又由104715k <-<得171142k <<，又k *∈N ，∴5k =，故选:A ．7．B【分析】先设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，由887a S S =-，998b T T =-直接计算89a b 即可.【详解】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =.故选：B.8．B【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.9．BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >=，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-=，所以B 正确又1011S S <,111110100a S S a d ∴=-=+>,0d ∴>,所以A 错误1090,0,0a d a =>∴< 11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 10．BD【分析】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，根据等差数列知识可得20091m x x=+-，分类讨论可得结果.【详解】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，则智慧币分配如下：()()()2122212009m m m m x +-⨯+-⨯++--=⎡⎤⎣⎦ ，即()21212009xm x -+++-=⎡⎤⎣⎦ ，又()()()211112122x x x x x +--⎡⎤-⎣⎦+++-==，∴22009xm x x +-=，即20091m x x=+-，∵x ，m 都为正整数，且20097741=⨯⨯，∴7x =，2009712937m =+-=，41x =，20094118941m =+-=，49x =，20094918949m =+-=，287x =，20092871293287m =+-=，∴第一名分配89或293个智慧币．故选：BD 11．2【分析】由题意列出关于公差d 的方程，解方程即可．【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由20202019120202019S S -=可得：1120202019201920182020201922120202019a d a d ⨯⨯++-=，化简可得()112019100912a d a d +-+=，解得2d =，故答案为：2．12．5或6##6或5【分析】结合已知条件和等差数列的性质，求出数列{}n a 是单调递减数列，进而求解.【详解】由题意，设等差数列为{}n a 且10a >，公差为d ，因为38S S =，所以8345678650S S a a a a a a -=++++==，即60a =，因为10a >，所以61150a a d a -==-<，即0d <，所以{}n a 为单调递减的等差数列，即125670a a a a a >>>>=> 故当5n =或6时，n S 最大.故答案为：5或6.13．(1)21n a n =+(2)9m =【分析】（1）根据题意得到1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，再解方程组即可.（2）根据前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.故()1121n a a n d n =+-=+.（2）由等差数列的前n 项和公式可得()1222n n a a nS n n +==+.因为99m S =，所以2299m m +=，即()()9110m m -+=，解得9m =（11m =-舍去）.14．（1）432n a n =-；（2）当14n =或15n =时，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和取得最小值.【分析】（1）根据2230n S n n =-，分别讨论1n =，2n ≥两种情况，根据n S 与n a 的关系即可求出结果；（2）根据等差数列前n 项和的函数特征，即可得出结果.【详解】（1）因为2230n S n n =-，所以当1n =时，2112130128a S ==⨯-⨯=-；当2n ≥时，221=230)2(1)30(1)432n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（；显然1n =是，也满足432n a n =-，所以432n a n =-；(2)因为2230230n S n n n n n-==-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其前n 项和()()2228230298412929224n n n T n n n n n -+-⎛⎫==-=-=-- ⎪⎝⎭又*n ∈N ，所以当14n =或15n =时，n T 取得最小值.15．B【分析】由513S S =可得9100a a +=，由6140a a +<可得100a <，结合求和公式可得180S >，190S <，结合选项即可求解.【详解】由513S S =可得6712130a a a a ++++=L ，又613712811910a a a a a a a a +=+=+=+，可得9100a a +=，由6141020a a a +=<，可得100a <，则90,0a d ><，()()()11818118910189902a a S a a a a +==+=+>，()1191910191902a a S a +==<，故使得0n S <的正整数n 的最小值为19.故选：B.16．C【分析】根据给定条件，推理可得380a a +=，再结合等差数列性质逐项分析各个选项，判断作答.【详解】因公差非零的等差数列{an }满足38a a =，则有380a a +=，有35680a a a a +=+=，56,a a 异号且均不为0，对于A ，11111611()1102a a S a +=≠=，A 不正确；对于B ，110561010()5()=02a a a S a +=+=，而110S a =≠，此时，11n n S S -≠，B 不正确；对于C ，由选项A 知，116110S a =>，即60a >，则50a <，于是得10,0a d <>，数列{}n a 是递增数列，即()5min n S S =，5n S S ≥，C 正确；对于D ，由110S <得60a <，则50a >，于是得10,0a d ><，数列{}n a 是递减数列，即()5max n S S =，5n S S ≤，D 不正确.故选：C17．4-【分析】由条件得到1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，再由求和公式得()21103n S n n -=，从而得21749324n n S n ⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】由()112n n n d S na -=+，100S =，1525S =得11104501510525a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()()2121310233n n n S n n n -=-+⋅-=．故()221174973324n n S n n n ⎡⎤⎛⎫+=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由于N n *∈，故当3n =或4时，()min 4n n S +=-.故答案为：4-18．82820【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，357⨯⨯为公差的等差数列，其通项公式为10582n a n =-，令4200n a ≤，解得8240105n ≤，则所有满足条件的数的和为40392340105828202⨯⨯+⨯=.故答案为：82820.19．29【分析】推导出150a >，160a <，16150+<a a ，利用等差数列的求和公式可得出290S >，300S <，即可得解.【详解】由15140->S S ，得150a >，由16150-<S S ，得160a <，由16140-<S S ，得16150+<a a ，所以()129152929292022+⨯==>a a a S ，()()1301516303030022++==<a a a a S ，所以满足10n n S S +⋅<的正整数n 是29．故答案为：29.20．1122【分析】根据题意可知0n a >，当1n =时，由1122S a a =可求出22a =；当2n ≥时，可证出{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，最后利用等差数列的前n 项和，即可求出结果.【详解】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即1122a a a =，∴22a =，当2n ≥时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a --=，两式相减得()112n n n n a a a a +-=-，又∵0n a ≠，∴112n n a a +--=，∴{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，∴()()246212212n n n a a a a n n n -⨯++++=+=+L .故2466633341122a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=故答案为：112221．C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果.【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (491757)+++=.故选：C22．D【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，分析可得{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，利用累加法计算可得．【详解】解：根据题意，设该数列为{}n a ，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，则3131303029211(301)30()()()30291224672a a a a a a a a +⨯=-+-++-+=++++=+= ，故选：D ．23．A 【分析】由题意可得{}n a 为能被12整除余1的数，进而求得数列{}n a 的通项公式再分析1~2030中满足条件的数即可【详解】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A24．92336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n n a n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++ 的结果.【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯，32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n n a a n n -=++++-=- ，即(31)2n n a n =-，所以892a =．又312n a n n -=，所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯= ．25．20410【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，因为3、5、7的最小公倍数为105，由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，设该数列为{}n a ，则()23105110582n a n n =+-=-，由105822022n a n =-≤，可得2104105n ≤，所以，n 的最大值为20，所以，满足条件的这些整数之和为20191052023204102⨯⨯⨯+=.故答案为：20410.。
专题02 等差数列以及等差数列求和-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(七)(解析版)
第 1 页 共 11 页【目标要求】学习目标目标解读1① 理解等差数列的概念.② 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个. 证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2a n =a n－1+a n +1（n ≥2）.等差数列{a n }中，当a 1＜0，d ＞0时，数列{a n }为递增数列，S n 有最小值；当a 1＞0，d ＜0时，数列{a n }为递减数列，S n 有最大值；当d =0时，{a n }为常数列.2③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.④ 了解等差数列与一次函数的关系.数列是特殊的函数，可以看成是一个在正整数集（或其子集）上的函数，等差数列的通项公式的变形有：d n a a n )1(1--=；d ＝11--n a a n （)2≥n ；d ＝mn a a mn --这些变形有着广泛应用，且有明显的几何意义，如)(1d a dn a n -+=表示斜率为d 的直线上的点；故等差数列的图象上的点是直线)(1d a dx y -+=上均匀排开的一群孤立的点。
利用函数思想结合图象解决数列是重要的解题技巧。
【核心知识点】 一、考点透视对等差数列性质的考查的题型即有客观题，也有解答题，难度为容易题、中等题，客观题突出“小而巧”，主要考查数列的性质的灵活应用，解答题都为：大而全。
在考查等差数列性质中考查与其它知识的交汇，考查等价转化、分类讨论思想。
利用好性质可以起到快速准确解决问题的目的。
几个常见性质：1、数列}{k a n +，)0}({≠c ca n ，)}({*∈N m a mn 等，也为等差数列，公差分别为d ，cd ，md ，若数列}{n b 为等差数列，则}{n n b a +，}{n n b a -也是等差数列。
等差数列试题(含答案)2备课讲稿
等差数列试题（含答案）2基础达标:1. 等差数列40, 37, 34中的第一个负数项是()A.第13项B .第14项C .第15项D .第16项2 .在-1与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则此数列为3. 单调递增等差数列｛a n｝中，若a3+as+a9=12, a 3 06玄9=28,则a n= ____ .4. 数列｛a n｝中，a n=3n-5,贝S S二______ .5. 等差数列｛a n｝中，已知a2+a9+a12+a19=100,则S°= _____ .6. 等差数列｛a n｝中，a>0, d工0, S 2°=S o,则S取得最大值时的n的值为7. 在公差d=-的等差数列｛a n｝中，已知S°0=145,则a1+a s+a s+…―阪的值为28. 把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2 : 3,则这四个数从小到大依次为_______________ .9. -401是不是等差数列-5 , -9 , -13…的项？如果是，是第几项？10. 求等差数列10, 8, 6,……的第20项.11. 在等差数列｛a n｝中，已知a4=1, a7+a9=16,求通项公式.12. 在等差数列｛a n｝中，a3+a4+a5+a s+a7=450,求a2+a&.13. 已知数列｛a n｝是等差数列，令b n a；1 a2，求证：｛b n｝也是等差数列.能力提升：14. 等差数列｛a n｝中，a2+a5=19, S=40,则a。
为()A. 27 B . 28 C . 29 D . 3015、已知等差数列｛a n｝的前3项依次为a 1, a 1 , 2a 3，则通项公式％( ).A. 2n 5B. 2n 3C. 2n 1D. 2n 116 .已知等差数列｛a n｝满足：a3a7=-12 , a4+a6=-4，则通项公式a n= ________17、已知等差数列｛a.｝中，a m n，a. m，且m n，则a m n ____________________________________ .18、首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是19. 等差数列｛a.｝中，a1 a4 a? 39，a? a§a$ 33，贝卩a3 a6 a9 __________________________ .20. 已知ABC中，角A, B, C依次成等差数列，则cos2A cos2C的取值范围是__________ .21. 已知等差数列｛a n｝满足：S o=31O, S2o=122O,求a n.22. 已知等差数列｛a n｝中，a3+a13=4,求Si5.23. 一个有n项的等差数列，前四项和为26,最后四项和为110,所有项之和为187,求项数n.24. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为S,求证：S, $-S n, Sn-S%……成等差数列.25. 已知等差数列｛a n｝满足，S=q, S q=p, (p工q)，求S P+q.26. 已知等差数列｛a n｝中，a1< 0, S二S2，求S何时取最小值.综合探究：27. 求证：数列｛lg(100sin n1—)｝是等差数列，并求它的前n项和的最大值.(精确至V十分位，lg 2 B 0.3010 )参考答案:基础达标：1. C2. -1 , 1, 3, 5, 73. n-2 ;提示:由a s+a6+a9=12 得3a6=12 即a6=4,又a3 a6 a 9=28 有(4-3d) 4(4+3d)=28，解得d=±1(舍负),/• a n=a6+( n-6)d=n-2.4. 90 ;9笃a9)90.提示:依题意知数列｛a n｝成等差数列，故S95. 500 ;提示：T a2+a19=a9+a12=a1+a20=50,二S°= =500.26. 25 ;提示：等差数列前n项和S n=an2+bn可判断a<0,故考查函数S(x)=ax 2+bx. 由S(20)=S(30)知抛物线对称轴x=^°严即x=25,故n=25.7. 60 ;1提示:原式=(145-50d) X；=60.8. 2 , 4, 6, 8;提示：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.9. 解析：由a1 5,d 9 ( 5) 4，得数列通项公式为：a n 5 4(n 1).令401 5 4(n 1)，解之得n=100,即-401是这个数列的第100项.10. 解析：根据题意可知：a 1=10,d=8 — 10= — 2.二该数列的通项公式为：a n = 10+ (n — 1)x(—2),即a n =—2n+12, …a 20 =— 2X20+12=— 28. 11. 解析：设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ,则/. a n a 1 (n 1)d 7n 6.412. 解析:解法一：统一成关于a 1, n , d 的表达式. 设｛a n ｝的首项和公差分别为a 1和d ,则 a 3+a 4+a s +a 6+a 7=5ai+20d=4502 2 a 2 a 8 2a 1 8d(5Q 20d)450 180.55解法二：a m +a n =a p +a q m+n 二p+q 由等差数列的性质可知 a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 513. 证明:设｛a n ｝公差为d ,则a 3d 1 2a 1 14d16,解方程组得17 a 14・・a ? a 82a 1 8da 7a 4 a 6a 5)-450 180.5b n 1 b n2 2a n 2 a n 1(a n 12 ann+2+Oi +l ) •-(a n+l + Oi) •=d [(a n+2+On +1)-(a n+l +O n )] =d(a n+2-a n ) =d 2d =2d 2T 2d 是与n 无关常数••• {b n }是等差数列. 能力提升： 14. C ; 15 、 B21. 解析:解法一：利用公式& nd 葺卫d ，列方程组求a 1, d.S 10 10a 1d 310 ①2 20 19S 20 20& ------------- 9d 1220 ②2①、②联立解方程得a 1=4，d=6 /. a n =4+6(n-1)=6n-2. 解法二：利用公式S n =An+Bn设q 2d 2 / d\An Bn n (a )n2 2.S10…S 20 100A 10B 310 A 3 ，解方程得400A 20B 1220'B 1/. S n =3n 2+n=(a 16. a n =2n-12 或 a n =-2n+8; 17.0 ;8 1 518 . (8,3] ; 19 . 27; 20 .黑]d 3 2 a 1 d12a n =6n — 2. 22. 解析:解法一：统一成关于a i , n , d 的表达式. a 3+a i3=4,「. 2a i +14d=4 即 a i +7d=2S 15 15a 115 (1：1)d15 (a 1 7d) 15 2 30.解法二：利用 a 1+a 15=a 3+a 13.S(a 1a 15)15 (a 3 a 13)15S 1523. 解析: a i +a 2+a 3+a 4=2(a I +Q )=26，…a i +a 4=13a n-3+a n-2 +3-1 +3n =2(a n-3 +31)=110 ,・・a n-3 +a n =55 a i +a 4+a n-3 +a n —2(a i +a n )—13+55，…a i +a n —34S n ⑻％)n 187 ,••• n 311.2 3424. 证明:(S (k+1)n -S kn )-(S kn - S (k-1) n ) = a kn+1+a kn+2+°°+a (k+1)n -(a (k-1)n+1 + …+a kn )=(a kn+1-a (k-1) n+1 )+(a kn+2-a (k-1)n+2 )+ --+(a (k+1)n -a kn )2nd nd nd n dn 个故S n , S 2n - S n , .... 成公差为fd 的等差数列.a 1 4 d 6口 30.2取数列S , S 2n -S n , 中的第k+1项和第k 项作差:25.解析:S p pa i p(p2i)d q ①S q qq q(q2i)d p②①一②得(p q)a i d 2沙p 2 q q) q p即(p q)c 2(p q)(p q i) q p, . d ,p M q,…a p q i) idS p q (p q)4 -(p q)(p q i) (p q).26.解析:S12 —S=a io+a ii +a i2=0 • • 3a i+30d=0 • • a i=—10d, a i v 0 ,• • d > 0 n(n i)d d 2 /d、S n na i 2 2 n (a i 3)n，d>0，•f(x)号X2(a i ^)x是开口向上的二次函数且f(9) f (i2)d•f(x)的图象对称轴为x 匚2i0-，二 2 iog2 2 o d 22 一2又n € N，故n=i0或ii时S最小•• S i0和Sl i最小.综合探究:27.解析:⑴证明：•/ a n lg(i00sin ni-),• a n i a n lg(i00sin n：) lg(i00sin n：) lg(sin ：)•数列｛lg(i00sin n i4)｝是等差数列.i(2)解：•/ a i lgi00 2 0 , d -lg2 0.如2•••数列｛lg(100sin n14)｝从第15项起，它及其后每一项都是负数，前为正数.故它的前n项和的最大值为前14项的和04 14 2 14(； % ^lg2)a n 二由a n 1n 1lg(100sin -) 04，解得lg(100si n n J 04W2151414项都14.3.。
等差数列专题训练二及答案.doc
等差数列专题训练二班级⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 记分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽二、填空题：1．=+++=-=||||||,16,20,}{2021164a a a a a a n 则为等差数列 .2、等差数列{a n }中，若a 1＋a 3＋a 5=－1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5=____________3、等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4+a 5=34, a 2a 5=52, 且a 4＞a 2, 则a 5=________4、数列前n 项和为S n =n 2+3n, 则其通项a n 等于____________.5、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为340, 则n 的值为． （ ）6、等差数列{a n }中, S 5=28, S 10=36 (S n 为前n 项和), 则S 15等于________.7.若等差数列的前三项为a-1,a+1, 2a+3,则这个数列的通项公式为——————8．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, a 11>|a 10|, S n 为前n 项和，则S 1，S 2，…，S 10都小于0，还是都大于0 （ ）9、在1与9之间插入n-1个数b 1,b 2,…b n-1，使这n+1个数成等差数列，记为A n+1,则数列{A n+1}的通项公式为（ ）。
10、若数列{}n a 的前n 项和n S =13+n ，则n a = ____________11、若数列{}n a 的前n 项和n S =322+-n n ，则其通项公式=n a ___________.12、数列lg 21250⋅, lg 32250⋅, lg 43250⋅,……中，开始出现负值的项是第（ ）项。
13、凸n 边形的各内角度数成等差数列,最小角为1, 公差为50 , 则边数n 为 ( )。
答案：1、 300；2、--5/3；3、13；4、a n =2n+2；5、6、48；7、a n =2n —3；8、〈0；9、a n=9—8/n；10、a n=2·3n-1 (n>1); a n = 4 (n=1).11、.a n =.4 (n=1) , a n = 4n-3 (n=2,3,4,……);12.、16;13、.9;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列专题训练二
班级⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 记分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
二、填空题：
1．=+++=-=||||||,16,20,}{2021164a a a a a a n 则为等差数列 .
2、等差数列{a n }中，若a 1＋a 3＋a 5=－1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5=____________
3、等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4+a 5=34, a 2a 5=52, 且a 4＞a 2, 则a 5=________
4、数列前n 项和为S n =n 2+3n, 则其通项a n 等于____________.
5、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为340, 则n 的值为． （ ）
6、等差数列{a n }中, S 5=28, S 10=36 (S n 为前n 项和), 则S 15等于________.
7.若等差数列的前三项为a-1,a+1, 2a+3,则这个数列的通项公式为——————
8．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, a 11>|a 10|, S n 为前n 项和，则S 1，S 2，…，S 10都小于0，
还是都大于0 （ ）
9、在1与9之间插入n-1个数b 1,b 2,…b n-1，使这n+1个数成等差数列，记为A n+1,
则数列{A n+1}的通项公式为（ ）。
10、若数列{}n a 的前n 项和n S =13+n ，则n a = ____________
11、若数列{}n a 的前n 项和n S =322
+-n n ，则其通项公式=n a ___________.
12、数列lg 21250⋅, lg 32250⋅, lg 4
3250⋅,……中，开始出现负值的项是第（ ）项。
13、凸n 边形的各内角度数成等差数列,最小角为1200 , 公差为50 , 则边数n 为 ( )。
答案：
1、 300；
2、--5/3；
3、13；
4、a n =2n+2；
5、20；
6、48；
7、a n =2n —3；
8、〈0；
9、a n=9—8/n；
10、a n=2·3n-1 (n>1); a n = 4 (n=1).
11、.a n =.4 (n=1) , a n = 4n-3 (n=2,3,4,……);
12.、16;
13、.9;。