近似算法
25-近似算法
21
最优解
14
改进的贪心近似算法
递降贪心法DG-MPS: 首先按处理时间从大到小重新排列作 业, 然后运用G-MPS.
例如对上述紧实例得到最优解.
对另一个实例：先重新排序 8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 3;
3台机器的负载分别为 8+3=11, 6+4+3=13, 5+4+3=12.
比G-MPS的结果好.
11
1
1
1
1 2
5
1
23 11
1 1 1
11 21
3 21
11
1
18
最邻近法的性能
定理 对于货郎问题所有满足三角不等式的 n 个城市的实 例 I, 总有
NN(I )
≤
1 2
(⎡log2
n⎤
+
1) OPT(I ).
而且, 对于每一个充分大的 n, 存在满足三角不等式的 n 个
城市的实例 I 使得
NN(I )
7
1
4
8
6
DG-MPS的解
完成时间13
5
2
3
分析：DG-MPS增加排序时间O(nlogn), 仍然是多项式时间.
15
近似比
定理 对多机调度问题的每一个有 m 台机器的实例 I,
DG − PMS(I ) ≤ ⎜⎛ 3 − 1 ⎟⎞ OPT(I ) ⎝ 2 2m ⎠
证 设作业按处理时间从大到小排列为 a1, a2,…, an, 仍考虑 负载最大的机器 Mj 和最后分配给 Mj 的作业 ai. (1) Mj 只有一个作业, 则 i = 1, 必为最优解. (2) Mj 有 2 个或 2个以上作业, 则 i ≥ m+1, OPT(I) ≥ 2t(ai)
近似算法与性能分析
近似算法与性能分析
局部搜索的原理与应用
局部搜索的原理与应用
▪ 局部搜索原理
1.局部搜索是一种在解决方案空间中寻找近似最优解的方法， 通过在当前解周围进行邻域搜索，逐步改进解的质量。 2.局部搜索的原理主要包括两个核心步骤：产生新解和接受新 解。通过对当前解的邻域进行探索，生成新的候选解，并根据 一定接受准则决定是否接受新解作为当前解。 3.局部搜索的有效性取决于邻域结构和接受准则的设计。合适 的邻域结构能够产生质量更好的新解，而合理的接受准则能够 保证搜索过程向更好的方向进行。
近似算法与性能分析
线性规划的原理与应用
线性规划的原理与应用
线性规划原理
1.线性规划是一种求解最优化问题的数学方法，其目标函数和约束条件均为线性函数。 2.线性规划的原理包括单纯形法和内点法等求解方法，能够高效地解决线性规划问题。 3.线性规划的应用范围广泛，包括生产计划、货物运输、资源分配等领域。
动态规划应用
1.动态规划在计算机科学和工程领域有广泛应用，如计算机网 络中的路由协议、语音识别、生物信息学中的序列比对等。 2.在解决实际问题时，首先需要确定问题是否具有“最优子结 构”性质，即问题的最优解能否由其子问题的最优解组合而成 。 3.动态规划的应用需要充分考虑问题的约束条件和目标函数， 以确保算法的正确性和效率。 以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或咨询专业人士获取更 全面和准确的信息。
▪ 贪心算法的优缺点
1.贪心算法的优点是简单、高效，适用于大规模数据的处理。 2.缺点是不一定能够得到全局最优解，只能得到近似最优解。
贪心算法的原理与应用
▪ 贪心算法的经典案例
1.活动选择问题：选择尽可能多的互不冲突的活动。 2.货郎担问题：经过若干个城市，选择最短的一条路径。
数学中的近似算法
数学中的近似算法近似算法是指通过一系列计算步骤，近似地求解某个数学问题。
在数学领域中，我们经常会遇到一些难以精确求解的问题，这时候，近似算法就能帮助我们在可接受的误差范围内获得近似的解。
一、近似算法简介近似算法通常是在充分利用已知信息和资源的情况下，通过适当的逼近和调整，得出一个接近于准确解的结果。
它的优势在于其可行性和实用性，虽然无法保证完全准确，但却能在较短的时间内给出一个比较好的解。
二、常见的近似算法1. 近似求解函数极值的方法在数学中，我们经常会面临求函数的极值问题，通常可以通过近似求解的方法得到一个较优的解。
例如，梯度下降法、模拟退火算法等都是常用的近似求解函数极值的方法。
这些算法通过调整函数的自变量，以逐步优化目标函数的值，最终得到一个极值点。
2. 近似计算积分的方法计算复杂函数的积分往往是一项具有挑战性的任务，而近似计算积分的方法可以大大简化计算过程。
例如，辛普森法则、梯形法则等都是常用的近似计算积分的方法。
这些方法通过将区间分割为若干个小段，并在每个小段上做线性或非线性逼近，从而得到整个区间上的近似积分值。
3. 近似求解方程的方法求解非线性方程在数学中也是一项困难的任务，而近似求解方程的方法可以提供一个接近准确解的答案。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的近似求解方程的方法。
这些方法通过不断迭代的方式，逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
4. 近似计算特殊函数值的方法特殊函数在数学中广泛应用，但其计算常常十分复杂。
而近似计算特殊函数值的方法可以在保证一定精度的情况下，大大简化计算。
例如，泰勒展开、二项式展开等都是常用的近似计算特殊函数值的方法。
这些方法通过将函数在某一点展开为幂级数或多项式，再仅计算有限项，从而得到特殊函数的近似值。
三、近似算法的应用案例1. 图像压缩图像压缩是一种常见的应用场景。
在图像压缩中，我们可利用近似算法，通过降低图像色彩的精度或其他方法，以减少图像文件的大小，同时尽量保留图像的质量。
高考数学应试技巧之近似算法
高考数学应试技巧之近似算法数学被誉为一门科学的基础学科，也被称作是最具有钻研性的学科之一。
在高中学习过程中，数学知识的学习和掌握对于每一个学生来说都至关重要。
在高考中，数学成绩的好坏可以决定一个学生的考取去向。
因此，在备考阶段掌握一些高考数学应试技巧是至关重要的。
本文将着重介绍一种高考数学中非常常见的近似算法。
一、近似算法的定义近似算法是一种利用简单的数学方法，将实际问题简化为可以计算的近似值，从而迅速得出高精度答案的方法。
在数学竞赛和高考中，很多问题都需要使用近似算法来解决，因为高次方程、三角函数的精确值都不易求解。
所以，掌握近似算法对于高考数学的学习是至关重要的。
二、近似算法的分类（一）上取整和下取整法当我们计算除法时，如果希望得到的结果更加精确，可以尝试使用上取整或者下取整法。
例如，当我们需要计算 $ \frac{7}{3} $ 的值时，近似算法可以选择上取整法将其转化为 $ \lceil\frac{7}{3} \rceil =3 $ 或下取整法将其转化为 $ \lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2 $ 。
这样计算出来的结果是相对精确的。
但是，在应用这种算法时，需要注意一些特殊情况。
例如，当被除数为正数，而除数为负数时，需要使用下取整法。
（二）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高级的近似算法，可以用于求解各种方程的根。
比如，我们需要求解$x$的平方根的问题，可以使用如下的迭代公式：$ x_{n+1} = \frac{1}{2}( x_{n} + x_{0} / x_{n}), n\ge0 $ ，其中 $x_{0}$表示要求解的值。
当$n$足够大时，$x_{n}$则可以视作$x$的平方根。
三、近似算法的应用近似算法在高考数学中，常常被用于解决求解三角函数值、计算级数的问题。
例如，在计算三角函数的时候，我们可以使用泰勒公式来进行近似计算。
泰勒公式表达式如下：$ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ ，$ \cos x =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 。
np算法 的近似算法
np算法的近似算法
近似算法是一种用于解决NP难问题的方法，它可以在有限时
间内找到一个近似最优解。
在计算复杂性理论中，一个问题被称为NP问题，如果给定一
个解，可以在多项式时间内验证该解的正确性。
然而，找到一个最优解可能需要指数时间，因此，这些问题被认为是非常困难的。
为了解决这些问题，近似算法提出了一种近似最优解的方法。
近似算法的基本思想是在可接受的时间内找到一个近似最优解，该解与真正的最优解之间存在可控制的差距。
近似算法的性能通常通过近似比或逼近比来度量。
近似比是一个常数，它描述了近似解与最优解之间的差异程度，而逼近比则是一个函数，它描述了近似解质量与输入规模之间的关系。
近似算法的设计和分析是一个活跃的研究领域，有许多经典的近似算法已经被提出。
其中一些方法包括贪婪算法、局部搜索算法、随机化算法和近似固定参数算法等。
这些算法通常基于一些启发式策略，以在有限时间内找到一个好的解。
尽管这些方法不能保证找到最优解，但它们通常能够找到一个近似最优解，这在实际应用中已经被证明是非常有用的。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
算法复杂度分析中的近似算法
算法复杂度分析中的近似算法随着计算机科学的发展，算法复杂度分析成为了评估算法效果和性能的重要方法之一。
在算法复杂度分析中，近似算法是一种重要的技术手段，用于解决NP-难问题或其他无法在多项式时间内求解的问题。
本文将介绍算法复杂度分析中的近似算法及其应用。
一、近似算法的基本概念近似算法是一类用于求解问题近似解的算法，其核心思想是在有限时间内找到一个接近最优解的解。
近似算法常用于求解优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
近似算法的输出称为近似解，与最优解的差距被称为近似比。
二、近似算法的分类根据问题的性质和求解过程的策略，近似算法可以分为以下几种类型：1. 贪心算法：贪心算法通过每一步都选择当前最优的解决方案来逐步求解问题。
尽管贪心算法不一定总能得到最优解，但它具有高效性和简单性的优势，常常应用于实际问题的求解。
2. 近似随机算法：近似随机算法通过引入随机性来求解问题，其中最著名的算法是马尔科夫链蒙特卡洛方法。
该方法通过在状态空间中的随机游走来逼近问题的最优解，其近似比与马尔科夫链的收敛速度有关。
3. 近似启发式算法：近似启发式算法通过结合问题的特点和启发信息来搜索问题的解空间。
典型的近似启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法通常具有较好的近似性能，但在计算复杂度上较高。
4. 近似线性规划算法：近似线性规划算法通过对问题进行线性规划松弛来获得问题的近似解。
该方法可以用于求解整数规划问题，并且具有较好的性能保证。
三、近似算法的性能评估在使用近似算法时，一个关键的问题是评估其解的质量和性能。
为此，我们引入了近似比的概念。
近似比是近似算法输出解与最优解之间的比值。
对于最大化问题，我们希望近似比越大越好；而对于最小化问题，我们则希望近似比越小越好。
通常情况下，我们希望近似算法具有多项式时间复杂度，并且能够输出具有较好近似比的近似解。
四、近似算法的应用近似算法在实际问题中具有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条经过所有城市且总长度最短的路径。
近似算法理论分析
近似算法理论分析近似算法是在计算问题的解决过程中，通过一定的近似策略来寻找问题的近似解，这样可以在多项式时间内得到一个接近最优解的解决方案。
近似算法理论分析是对近似算法性能进行理论上的衡量和评估。
在近似算法的理论分析中，通常使用近似比或近似比界来衡量算法的近似程度。
对于最优化问题，其最优解为OPT，而近似算法得到的解为APX，并且存在一个常数c，使得算法得到解APX满足以下条件：APX≤c×OPT近似比的取值范围在[1,+∞]之间，当近似比为1时，算法得到的解与最优解相等或非常接近；当近似比为大于1的常数时，算法得到的解与最优解的差距会相应增大。
近似比界是指近似算法的最优近似比的上界。
对于一个问题，最优的近似比界往往很难确定，因此通常通过设计近似算法，通过实际求解问题来得到一个近似比界的估计值。
在进行近似算法的理论分析时，通常会涉及到以下几个方面：1.算法的设计思路：描述算法的整体框架和核心思想，通过简洁明了的描述来阐述算法的设计思路。
2.问题的数学表示和形式化定义：将问题转化为严格的数学表示，明确问题的输入和输出，以及问题的约束条件。
3.问题的最优解的定义：明确问题的最优解的定义和求解目标，为后续的理论分析提供准确的基础。
4.算法的正确性证明：通过数学推导和严密的推理，证明算法的输出符合问题的要求，即算法的解是问题的一个合法解。
5.算法的近似性分析：通过数学推导和估计，分析算法得到的解与最优解之间的近似程度。
通常使用近似比或近似比界来衡量算法的性能。
6.算法的时间复杂度和空间复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，评估算法的运行效率和资源消耗情况。
近似算法的理论分析是为了对算法的性能进行客观评估和比较，并为实际应用场景中的问题提供解决方案。
通过近似算法的理论分析，可以知道算法在实际应用中的优劣势，为问题求解提供一个可接受的解决方案。
同时，理论分析也可以指导算法的改进和优化，使得算法在实际应用中能够更好地适应各种特殊情况和约束条件。
近似算法性能提升
▪ 可扩展性评估
1.可扩展性评估是衡量近似算法在处理更大规模和更复杂问题 时的性能和可扩展性的重要指标。 2.通过分析算法在不同规模和数据集上的性能表现，可以评估 近似算法的可扩展性和未来发展潜力。 3.提高近似算法的可扩展性可以使其更好地应对复杂问题和大 规模数据集的挑战，为实际应用提供更多价值。
▪ 空间复杂度评估
1.空间复杂度是衡量算法所需内存空间的重要指标，对于大规 模数据集和复杂问题尤为重要。 2.近似算法通常需要权衡运行时间和空间复杂度之间的关系， 以达到更好的性能。 3.通过优化数据结构和算法实现，可以降低近似算法的空间复 杂度，提高内存使用效率。
性能评估标准
▪ 近似比评估
1.近似比是衡量近似算法解决问题优劣程度的重要指标，反映 了算法的理论性能。 2.通过分析近似比的上界和下界，可以评估近似算法在不同问 题实例上的性能表现。 3.近似比需要与实际问题相结合，考虑实际应用场景下的性能 和效果。
近似算法性能提升
目录页
Contents Page
1. 近似算法简介 2. 性能评估标准 3. 经典近似算法介绍 4. 近似算Байду номын сангаас性能瓶颈 5. 性能提升方法概述 6. 具体提升技术详解 7. 提升效果实验验证 8. 总结与展望
近似算法性能提升
近似算法简介
近似算法简介
近似算法定义
1.近似算法是在给定资源限制下，找到接近最优解的算法。 2.近似算法可以在多项式时间内得到近似最优解，适用于大规模优化问题。
近似算法分类
1.按照近似比例可以分为常数倍近似算法和多项式倍近似算法。 2.按照问题类型可以分为组合优化问题和连续优化问题的近似算法。
近似算法简介
▪ 近似算法性能评估
近似算法在NP难问题求解中的应用
近似算法在NP难问题求解中的应用近似算法是一种用于解决NP难问题的方法。
NP难问题是指在多项式时间内无法找到最优解的问题。
近似算法的目标是在合理的时间范围内找到一个接近最优解的解决方案。
本文将探讨近似算法在NP难问题求解中的应用，并介绍其中的一些经典算法。
一、近似算法的基本原理近似算法通过牺牲一定的解决精度来换取更高的求解效率。
它的基本思想是从一个初始解开始，逐步进行优化，并在每一步中只寻找局部最优解。
近似算法的时间复杂度通常是多项式级别的，因此可以在较短的时间内得到一个相对较好的解决方案。
二、近似算法的经典问题近似算法可以应用于很多NP难问题，如图着色、旅行商问题、集合覆盖等。
下面将介绍其中几个经典的近似算法应用案例。
1. 图着色问题图着色问题是指给定一个无向图，如何为每个顶点着色，使得相邻的顶点具有不同的颜色。
这是一个NP难问题，但可以使用近似算法来求解。
其中一种经典的近似算法是贪心算法，它从一个初始解开始，每次选择一个未被着色的顶点，并为其指定一个未被使用的颜色。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以在多项式时间内找到一个近似最优解。
2. 旅行商问题旅行商问题是指给定一组城市和它们之间的距离，找到一条路径使得旅行商依次经过每个城市并最终回到起点，且总路径长度最短。
这是一个经典的组合优化问题，也是一个NP难问题。
近似算法可以通过构造一个近似最优解来求解该问题，如最小生成树算法和蚁群算法等。
3. 集合覆盖问题集合覆盖问题是指如何从一个给定的集合中选择一些子集，使得这些子集的并集恰好包含了原始集合中的所有元素。
该问题也是一个NP难问题，但可以使用近似算法求解。
一种经典的近似算法是贪心算法，它每次选择覆盖了最多未覆盖元素的子集，直到所有元素都被覆盖。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以在多项式时间内找到一个近似最优解。
三、近似算法的优缺点近似算法的优点是可以在多项式时间内找到一个接近最优解的解决方案，这对于很多实际问题来说已经是足够好的结果。
近似算法
近似算法1 近似算法所有已知的解决NP-难问题算法都有指数型运行时间。
但是，如果我们要找一个“好”解而非最优解，有时候多项式算法是存在的。
给定一个最小化问题和一个近似算法，我们按照如下方法评价算法：首先给出最优解的一个下界，然后把算法的运行结果与这个下界进行比较。
对于最大化问题，先给出一个上界然后把算法的运行结果与这个上界比较。
1.1最小顶点覆盖先来回忆一下顶点覆盖的定义，它是一个与图中所有边相关联的顶点集。
最小顶点覆盖问题是要找一个顶点数最少的顶点覆盖。
最小顶点覆盖的下界可以由最大匹配给出。
因为匹配中任两边不相邻，所以匹配中的每条边至少有一个顶点在顶点覆盖中。
而且，注意到在最大匹配中所有匹配顶点的集合就是一个顶点覆盖。
这是因为，任何一条两端点均未被匹配的边可以添加到匹配中，与匹配的最大性相矛盾。
显然，这个算法包含的顶点数是我们的下界，最大匹配的边数，的两倍。
因此，算法得到的值不会超过最优值的两倍。
我们感兴趣的两个问题是：相对于最优解，我们的下界到底有多“好”，而最后的解又有多“好”？首先来说明下界可能是最优值的两倍。
例如n条边的完全图，最大匹配有条边，所以我们的下界是。
但是，需要n-1个顶点来覆盖这个图。
因为任取一个n-2个顶点的集合，此图是完全图，在被删掉的两个顶点之间肯定存在一条边与选中的这n-2个顶点不关联。
N足够大时，我们有。
因此，比较算法与这个界，不可能有比最优值的2倍更好的下界了。
接下来比较算法的最后结果与最优解。
算法输出被最大匹配匹配的所有顶点。
考虑每部分有n个顶点的完全二分图，这个图存在完美匹配，因此算法输出每一个顶点，即2n个顶点。
但是最优顶点覆盖仅包含来自一边的n个顶点。
可以看出，算法的下界是紧的。
1.2 旅行售货员问题旅行售货员问题如下：给定一个完全图和一个定义在每条边上的距离函数，找一个长度最小的哈密顿圈。
注意，最小支撑树(MST)是最优解的一个下界。
因为如果有一条途径比MST更短，那么在此途径中删掉一条边，就可以得到更小的支撑树。
近似算法
0.4(s6)
0.5(s5)(d) 箱子4 0.2(s10) (e) 箱子5
算法11.1——顶点覆盖问题 1．for (i=0; i<n; i++) //顶点覆盖初始化为空 x[i]=0; 2．E'=E； 3．循环直到E'为空 3.1 从E'中任取一条边(u, v)； 3.2 x[u]=1; x[v]=1; //将顶点u和v加入顶点覆盖中 3.3 从E'中删去与u和v相关联的所有边；
首次适宜法首先将所有的箱子初始化为空，然后依次
取每一个物品，将该物品装入第一个能容纳它的箱子中。 例如，有10个物品，其体积分别为S＝(4, 2, 7, 3, 5, 4, 2, 3, 6, 2)，若干个容量为10的箱子，采用首次适宜 法得到的装箱结果如图11.3所示。
0.3(s4) 0.2(s2) 0.4(s1) (a) 箱子1 (b) 箱子2 0.2(s7) 0.7(s3)
设算法11.2中深度优先遍历生成树T得到的路线为R，则 R中对于T的每条边都经过两次，所以，有：
W(R)=2W(T)
算法11.2得到的近似解H是R删除了若干中间点（不是 第一次出现的顶点）得到的，每删除一个顶点恰好是用三 角形的一条边取代另外两条边。例如，在图11.2中，遍历生 成 树 的 路 线 为 a→b→c→b→h→b→a→d→e→f→e→g→e→d→a，删除第2 次出现的顶点b，相当于用边(c, h)取代另外两条边(c, b)和(b, h)。由三角不等式可知，这种取代不会增加总代价，所以， 有 W(H)≤W(R) 从而 W(H)≤2W(H*) 由此，算法11.2的近似比为2。
即使某个问题存在有效算法，好的近似算法也会发挥作 用。因为待求解问题的实例是不确定的，或者在一定程度上 是不准确的，如果使用近似算法造成的误差比不精确的数据 带来的误差小，并且近似算法远比精确算法高效，那么，出 于实用的目的，当然更愿意选择近似算法了。 近似算法的基本思想是用近似最优解代替最优解，以换 取算法设计上的简化和时间复杂性的降低。近似算法是这样 一个过程：虽然它可能找不到一个最优解，但它总会为待求 解的问题提供一个解。为了具有实用性，近似算法必须能够 给出算法所产生的解与最优解之间的差别或者比例的一个界 限，它保证任意一个实例的近似最优解与最优解之间相差的 程度。显然，这个差别越小，近似算法越具有实用性。
第十五章近似算法
第⼗五章近似算法1第⼗五章近似算法输⼊数据本⾝就是近似的很多问题的最优解，允许有⼀定程度的近似采⽤近似算法可以在很短的时间内得到问题的解（特别是与指数时间相⽐较）15.1 近似算法的性能⼀、近似算法的基本要求对于规模为n 的问题，1. 算法能以n 的多项式时间内完成；2. 算法的近似解满⾜⼀定的精度。
⼆、近似⽐率1、近似算法的近似⽐率∏是最⼩化问题，I 是∏的⼀个实例，A 是解∏的⼀个近似算法， )(I A 是⽤算法A 对∏的实例I 求解时得到的近似值；OPTA 是解∏的最优算法， )(I OPTA 是算法OPTA 对∏的实例I 求解时所得到准确值。
则近似算法A 的近似⽐率)(I ρ为：)()()(I OPTA I A I =ρ如果∏是最⼤化问题，则)(I ρ为：)()()(I A I OPTA I =ρ2、与近似⽐率相关的问题1）对最⼩化问题，有：)()(I OPTA I A ≥；对最⼤化问题，有：)()(I OPTA I A ≤。
2）近似算法A 的近似⽐率)(I ρ总⼤于或等于1。
3）近似算法的近似⽐率越⼩，则算法的性能越好。
三、相对误差1、相对误差的定义相对误差表⽰近似算法的精确度，相对误差定义为：)()()(I OPTA I A I OPTA -=λ2、相对误差的界2若对输⼊规模为n 的问题，存在函数)(n ε，使得：)()()()(n I OPTA I A I OPTA ε≤-称函数)(n ε为近似算法A 的相对误差的界。
3、相对误差)(n ε与近似⽐率)(n ρ的关系1)()(-≥n n ρε。
四、优化问题的近似⽅案（approximation scheme ）1、很多难解的问题，可以增加近似算法的计算量，来改善近似算法的性能。
2、优化问题的近似⽅案把满⾜εερ+≤1),(I A 的⼀类近似算法}0|{>εεA ，称为优化问题的近似⽅案算法的性能⽐率会聚于1。
3、多项式近似⽅案（polynomial approximation scheme PAS ）近似⽅案中的每⼀个算法εA ，以输⼊实例的规模的多项式时间运⾏，称该近似⽅案为多项式近似⽅案。
国科大中科院算法 近似算法
8
-近似旅行商问题是NP难问题
• 假定存在一个多项式时间算法A求解-近似旅行商问题。对于 Hamilton问题实例I, 其图为G=(V,E)，构造一个新的图G1=(V,E1) 它是一个完全图，各边赋权如下：
若(u,v)E, w(u,v)=1 ; 否则 w(u,v)=k。 其中，k=(1+)n, n是G的顶点数，得到旅行商问题实例I'。 可见，图G有Hamilton回路当且仅当图G1有长为n的环游路线。 因为算法A能够求得旅行商问题的-近似解，由 F(I’)-F*(I’)F*(I’), 得F(I’)(1+)F*(I’)F*(I’)k/n 如果F(I’)>n，则由图G1的构造，必有F(I’)n-1+k，结合上式得 F*(I’)n+(n-1)n/k>n，说明G1没有长为n的环游,因而G没有Hamil ton回路；如果F(I’)n,则由G1的构造,必有F(I’)=n,G1有长为n环 游,因而G有Hamilton回路.说明算法A能够求解Hamilton问题.因 为Hamilton回路问题是NPC问题,故-近似旅行商问题是NP难问题9 .
F*(I)=r, F(I)=2, |F*(I)–F(I)|=r–2
4
绝对近似算法（2）
• 最多程序存储问题：两个容量为L的磁盘，n个程序需要的存 储空间分别是：l1, l2, …, ln,求存入磁盘的程序的最大个数。
• 最多程序存储问题存在1-绝对近似的多项式时间算法。
• 算法：将程序按照所需存储空间由小到大编号，然后逐一向 第一个磁盘存储，第一个磁盘不能存储时，再将剩下的程序逐 一向第二个磁盘存储，直至第二个磁盘也不能存储为止。 • 如果考虑将这n个程序向一个容量为2L的磁盘存储，则上述算 法会得到最优解，不妨设为k个。因而，将n个程序向两个容量 各为L的磁盘存储时，存储的最大个数不会超过k。即F*(I)k。 按照上述算法假设第一个磁盘存储了k1个程序，第二个磁盘存储 k2个程序，则k1+k2+1k，即F(I)k-1，于是|F*(I)–F(I)|1。
近似算法
多项式近似方案：
对于某正整数k，令 ε 1/k 。 算法 Aε 的步骤： maxv=0 for 物品集合每个大小<=k的子集S do 将S中的物品放入背包（放得下时）
• 算法原理及应用
对U-S(剩余的物品集合)运行算法KNAPSACKGREEDY if v>maxv then maxv=v // v为背包中物品的总价值 end for
（不妨设s1, s2, …, sn <=C）
子集和问题是0/1背包问题的特例：
每种物品的体积与价值数值相等：si= vi ，i=1,2,…n 背包容量取C
动态规划算法：算法15.4.doc (P253)
近似算法—设计、分析及应用
具有完全多项式近似方案的问题
子集和问题
完全多项式近似方案
近似算法—设计、分析及应用
装箱问题
• 算法原理及应用
近似算法：
最先适配法(FF)：箱子编号为1, 2, …, n，初始时各箱子 为空。各项按u1, u2, …, un的顺序装箱，装项ui时，将其 装入序号最小的可容得下该项的箱子中（即装入满足 l<= 1-si的序号最小的箱子中，其中l表示箱子的已填充 容量）。 最佳适配法(BF)：与FF法类似，不同之处仅在于装项ui 时，将其装入满足l<= 1-si的箱子中使l值最大的箱子中。 递减最先适配法(FFD)：首先将n个项按大小递减的顺序 排序，然后用FF法装箱。
问题描述：设G=(V, E)是一个平面图，对图G的所有顶 点着色，使得任意一对相邻顶点的颜色都不同，最少要 用几种颜色？ 一个带差界K=1的近似算法： if G不含有边 then 输出１ else if G可２着色 then 输出２ else 输出４
参数模型 近似算法
参数模型近似算法
参数模型是一种使用数学函数来描述系统或过程的方法，其中函数的参数通常是通过数据进行估计或拟合得到的。
近似算法是一种用于计算参数模型的方法，它可以在不需要精确计算的情况下提供模型的近似结果。
以下是一些常见的参数模型近似算法：
1. 线性回归：线性回归是一种常用的参数模型，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
它通过最小化误差平方和来估计模型的参数。
2. 最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合参数模型的常用方法。
它通过最小化模型预测值与实际值之间的平方差来确定模型的参数。
3. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代算法，用于寻找函数的最小值。
在参数模型的情况下，可以使用梯度下降法来更新模型的参数，以最小化模型的损失函数。
4. 牛顿法：牛顿法是一种基于导数的迭代算法，用于寻找函数的根或最小值。
在参数模型的情况下，可以使用牛顿法来更新模型的参数，以最小化模型的损失函数。
5. 随机梯度下降法：随机梯度下降法是一种基于随机抽样的梯度下降法，用于处理大规模数据集。
它通过随机选择数据样本进行梯
度计算和参数更新，以提高计算效率。
这些近似算法可以用于不同类型的参数模型，如线性模型、非线性模型、分类模型等。
选择合适的近似算法取决于模型的特性、数据的大小和计算资源的限制等因素。
近似算法总结
近似算法总结近似算法：在计算中寻找近似解的艺术近似算法是一种在计算机科学和数学领域中常用的算法设计技术。
它的目标是在给定的时间限制内，找到一个“近似解”，即不一定是精确解，但足够接近问题的最优解。
这种算法在实际应用中非常有用，因为很多复杂问题的精确解往往难以计算或需要耗费巨大的计算资源。
近似算法可以应用于各种问题，如图论、优化问题、组合问题等等。
它们的设计思想可以归纳为两种主要方法：启发式算法和近似理论。
启发式算法是一种基于经验和直觉的算法设计方法。
它通过不断试探和优化，逐步接近最优解。
其中，贪心算法是最简单和常用的启发式算法之一。
它每次选择当前看起来最好的解决方案，然后继续迭代下去，直到找到一个接近最优解的解决方案。
虽然贪心算法很容易实现和理解，但它并不能保证找到最优解，只能找到一个近似解。
近似理论是一种通过数学分析问题的算法设计方法。
它通过数学模型和理论证明，给出一个近似解的上界或下界。
其中，近似比是衡量近似算法性能的重要指标。
近似比越接近1，表示算法的近似解越接近最优解。
近似理论的好处是可以提供对算法性能的理论保证，但缺点是有时证明复杂且困难。
在实际应用中，近似算法被广泛使用。
例如，在路由问题中，寻找最短路径是一个经典的优化问题。
由于计算所有可能路径的成本太高，人们常常使用近似算法，如迪杰斯特拉算法或A*算法，来找到一个近似最短路径。
在图像处理中，人们也常常使用近似算法来进行图像压缩，以减少存储和传输成本。
值得一提的是，近似算法并不是万能的，它有时可能会给出错误的结果或者无法保证结果的质量。
因此，在使用近似算法时，我们需要根据具体问题的特点和要求，权衡算法的效率和准确性，选择合适的算法。
近似算法是一种在计算中寻找近似解的重要方法。
它通过启发式算法和近似理论，能够在有限的时间内找到一个接近最优解的解决方案。
虽然近似算法不能保证找到精确解，但在实际应用中具有广泛的适用性和实用性。
通过合理选择和设计近似算法，我们能够在计算中更高效地解决复杂问题，提高计算机的性能和效率。
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1. 平面图着色
由四色定理，每个平面图是4可着色的。另外判断一
个图是不是2可着色是相当容易的。对于求平面图G
的色数这个问题，可采用如下算法： (1) 若G没有边，则输出1； (2) 若G有边，判断G是否2可着色，若是则输出2， 否则输出4. 这是一个差界为1的近似算法.
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2. 困难结果：背包问题
为了覆盖M中的边，至少需要|M|个顶点，而算
法得到的覆盖恰好是2|M|个顶点，所以近似度 为2。
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The performance guarantee is tight: take a graph consisting of many disjoint edges. It is also the best known approximation algorithm for the Minimum Vertex Cover problem. No 1.36-factor approximation algorithm exists unless P=NP. (2002) There is a 2-factor approximation algorithm for the Minimum Weight Vertex Cover problem.
K 于 是 ， A( I ) OPT( I ) | | 0 K 1
这说明 A 给出的总是精确解，也就是说它解决了 背包问题。由于背包问题是NP困难的，所以这样 的算法A几乎不可能找到，除非NP=P！
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The following problem can be approximated up to
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Additional facts
(a) There is a 4/3-factor approximation algorithm for the general MAX-SAT (1.27, currently best). (b) Approximating MAX-SAT to within a factor of 74/73 is NPhard. (c) There is no approximation scheme for MAX-3SAT unless P=NP. (d) There is no 2-factor approximation algorithm for the Maximum Clique Problem unless P=NP.
defined to be the infimum of all numbers k for which
there exists an (asymptotic) k-factor approximation
algorithm for Π, or ∞ if there is no (asymptotic) approximation algorithm at all. 知道（渐近）近似比的优化问题很少
such that, for each fixed ε, A is a (1+ε)-factor
approximation algorithm for Π .
9
An asymptotic approximation scheme for Π is a pair
of algorithms (A, A’), where
以及所有与v关联的边，再选取另一条边，重复这
个步骤，直到G不再有边 。
这个近似算法的近似度也是无界的！
21
“小”改进：在G中任选一条边e，将它的两个端 点同时加入到C中，然后删除所有与e的端点关联
的边，再选取另一条边，重复这个步骤，直到G不
再含边 。
这个算法的近似度是
2 ！
证明：算法选取的边构成G的一个极大匹配M，
设A是问题Π 的一个近似算法，如果对Π的任何实 例I，都有：
1 OPT( I ) c A( I ) （ 对 最 大 化 问 题 ） k A( I ) kOPT( I ) c （ 对 最 小 化 问 题 ）
其中k, c是常数，则我们称A是问题Π 的一个渐近近似 度为k的近似算法(asymptotic k-factor approximation
近似算法
(Approximation Algorithms)
1
现在我们只考虑最优化问题。一些困难的组合优化问 题没有有效的解决方案，在这种情况下，对于其中的一 些问题代之以设计近似算法，我们要保证它是近似于最 优解的一个“合理”的解。 每个近似解都有一个性能界，它保证任一个实例的近 似解与精确解不会相差太多。大多数近似算法的一个显 著特点是它们非常快，这是因为它们绝大多数是贪心启 发式的算法。 然而要找一个有效的近似算法也并不乐观，甚至存在 一些困难问题，似乎连“合理”的近似算法都可能不存 在，除非NP=P。
对于所有σ∈SΠ (I)，fΠ (σ* )≤fΠ (σ)
最大化问题的最优解类似定义。 我们统一用OPT(I)表示最优解的值。
4
差界(absolute approximation)
设A是问题Π 的一个近似算法，如果对的任何实例
I，都有：
| A( I ) OPT( I ) | K
其中K是常数, 则我们称A是问题Π 的一个差界为K的 近似算法。 A is said to be an absolute approximation algorithm for problem Π .
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3. 最大割问题(Max-Cut)
寻找一个带权图中的最大割 已知是NP困难的(Page 399) 很容易找到一个2-近似算法。
There is a 1.139-factor approximation algorithm;(1999) There is no 1.062-fator approximation algorithm unless P=NP.(2001, 1991)
物体集合U={u1, u2, …, un}, 其体积分别为整数s1, s2, …, sn , 价值分别为整数v1, v2, …, vn , 背包容量为
整数C，求U的一个子集S（装背包的方案）使得：
ui S
s
i
C 且 vi 最大
ui S
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不存在求解背包问题的带差界的近似算法 除非NP=P！
A’ is a polynomial-time algorithm accepting a
numberε>0 as input and computing a number cε ;
A accepts an instance I of Π and an ε>0 as input, and its output consists of a feasible solution for I
5
相对性能界(k-factor approximation)
差界是所有近似算法中性能最好的，然而，只有很 少的困难问题存在这样的界。 设A是问题Π 的一个近似算法，如果对的任何实例I， 都有：
1 OPT( I ) A( I ) （ 对 最 大 化 问 题 ） k A( I ) kOPT( I ) （ 对 最 小 化 问 题 ）
其中k 1是常数，则我们称A是问题Π 的一个近似度
为k的近似算法，或k近似算法(k-factor approximation
algorithm; k is the “performance ratio/guarantee”. )
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渐近的相对性能界 (asymptotic k-factor approximation)
假设存在这样的近似算法A，其差界K为正整数，
则对每个实例I，
| A( I ) OPT( I ) | K
构造一个新实例 I ，使
sj s j , vj ( K 1)v j
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则 I 和 I 有相同的解，且
A( I ) ( K 1) A( I ) OPT( I ) ( K 1)OPT( I ) | A( I ) OPT( I ) | K
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4. 顶点覆盖问题(Vertex cover)
在图G=(V, E)中找出一个含顶点数最少的子集C,
使得G的每条边至少与C中一个顶点关联。
已知是NP困难的
However, the mimimun (weight) edge cover
problem is solvable in polynomial time. (Page 281)
an additive error of one:
Spanning tree with maximum degree minimum (a generalization of Hamiltonian path problem)
(extension to Steiner Tree version)
Page 412: Proposition 16.23
2
组合优化问题Π 是一个最大（或最小）化问题。它
由三部分组成：
(1) 一个实例的集合DΠ ； (2) 对每个实例 I ∈DΠ ，存在I的一个候选解的有限 集合SΠ (I)； (3) 对DΠ 中的一个实例I的每个候选解σ∈SΠ (I)，
存在一个值fΠ (σ)，称为σ的解值。
3
如果Π 是一个最小化问题，那么实例I的最优解σ* 满足：
satisfying
1 OPT( I ) c A( I , ) (1 )OPT( I ) c . 1
For each fixed ε, the running time of A is bounded in size(I).
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完全多项式(渐近)近似方案
Fully polynomial (asymptotic) approxiLeabharlann ation scheme:8