浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习《第三十三讲讲义解直角三角形的应用》课件新人教版
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图1
2．坡度(坡比)、坡角
如图 2，坡面的高度 h 和水___平__宽__度__l_的 h
比叫坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝___l _， 坡面与_水__平__线__的夹角叫坡角．
图2
3．方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于__9_0_ 度的水平角叫做方向角．如图3，OA表示的是 __北__偏__东__6_0_°方向的一条射线．
图3
名师助学 1．东北方向指北偏东45°方向； 2．一般画图的方位为上北下南，左西右东．
运用解直角三角形的方法解决实际问题
在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应 用，我们要善于将某些实际问题中的数量关系归结 为直角三角形中的_边__、__角__之间的关系，这样就可以 运用解直角三角形的方法了．
名师助学 在解直角三角形时，要注意以下各点： 1．认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角
形，有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添 加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩 形； 2．选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便， 并且不容易出错； 3．按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按 题目要求精确度确定答案，注明单位．
∴BD＝DE·tan 67°＝6×73＝14， ∵AF⊥BD， ∴AC＝DF＝9，AF＝CD＝12， ∴BF＝BD－DF＝14－9＝5，
在 Rt△AFB 中，AF＝12，BF＝5， ∴AB＝ AF2＋BF2＝ 122＋52＝13， ∴两树间的距离为 13 米．
答 两树间的距离为13米．
【预测 2】 如图防洪大堤的横断面是
2011年 2012年
解直角三角形—— 坡度问题(10分)
解直角三角形—— 方向角问题(10分) .
题型 难易度 选择题 容易 解答题 中等 解答题 中等
网 络构 建
遇角度求线段 常解直角三角形 相关概念应理解 结合条件图中找 坡度概念尤注意.
考 点梳 理
解直角三角形的应用中的相关概念
1．仰角、俯角 如图1，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线 在水平线_上__方__的角叫仰角，在水平线_下__方__的角叫 俯角，图①中， __α_是仰角， __β_是俯角．.
答 乙先到达B处．
1. 已知角度求线段时常常运用解直角三角形的知 识来解决；
2．图中包含两个直角三角形，一般是先“盖上一 个看另一个，一个一个的看”．
【预测 1】 如图所示，为求出河对岸 两棵树 A、B 间的距离，小坤在河 岸上选取一点 C，然后沿垂直于 AC 的直线前进了 12 米到达点 D，测得 ∠CDB＝90°.取 CD 的中点 E，测 得∠AEC＝56°，∠BED＝67°， 求河对岸两树间的距离(提示：过点 A 作 AF⊥BD 于点 F)．(参考数据：
由题意可得，CN＝ME＝MA＋AE＝1.7＋10＝11.7， MN＝CE＝CB＋BE＝30＋10 3.
在 Rt△DMN 中，MN＝30＋10 3，∠DMN＝30°.
由
ND MN
＝
tan
∠ DMN
得
DN ＝ MNtan
30 ° ＝ (30 ＋
10 3)× 33＝10 3＋10，
∴CD＝DN＋CN＝10＋10 3＋11.7＝21.7＋10 3
≈21.7＋10×1.732≈39.0(m)．
答 高压电线杆CD的高度约是39.0 m．
易 错防 范
解直角三角形的应用中常见错误
问题1.选用的三角函数式常常出错； 问题2.添加辅助线，“造出”的直角三角形不正确； 问题3.坡度的定义理解不正确．
浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习
精品jing
来自百度文库 课 前必 读
考纲要求
会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际 问题(主要包含仰角、俯角问题、坡度问题、航海问 题、方案设计问题等). .
近三 年浙 江省 中考 情况
年份
考情分析 考查点
2010年
解直角三角形—— 仰角俯角问题(4分)
对 接中 考
对接点：解直角三角形的应用
常考角度 1．常规的计算距离、角度、高度的应用题； 2．用解直角三角形的知识解决航海、测量、环境
污染、设计等问题．
【例题1】 (2012·温州)某海滨浴场东西走向的海岸线可 近似看作直线l(如图)。救生员甲在A处的瞭望台上观 察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信 号。他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在 海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上从C处入海，径直 向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B处游去。若CD＝40米，B在C的北偏东 35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到 达B处？请说明理由。(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
梯形，背水坡 AB 的坡比 i＝1∶ 3
(指坡面的铅直高度与水平宽度的 比)，且 AB＝20 m．身高为 1．7 m 的小明站在大堤 A 点，测得高压 电线杆顶端点 D 的仰角为 30°. 已知地面 CB 宽 30 m，求高压电 线杆 CD 的高度(结果保留三个有
效数字， 3≈1.732)．
解 如图，过 A 作 AE⊥BF，垂 足为 E， 在 Rt△ABE 中，i＝ 13＝ABEE，AB ＝20，由 AE2＋BE2＝AB2 得( 3 AE)2＋AE2＝202，∴AE＝10，BE ＝10 3，
分析 在直角三角形CDB中，利用三角函数即可求 得BC、BD的长，则求得甲、乙的时间，比较二者 之间的大小即可．
解 由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°， ∵tan ∠BCD＝BCDD， ∴BD＝CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°
≈57.2， ∵cos ∠BCD＝CBDC， ∴BC＝cos C∠DBCD＝cos4505°≈70.2， ∴t 甲＝572.2＋10＝38.6 秒， t 乙＝702.2＝35.1 秒，∴t 甲＞t 乙．
sin 56°≈45，tan 56°≈32，sin 67°
≈1145，tan 67°≈73)
解 ∵E 为 CD 中点，CD＝12，∴CE＝DE＝6， 在 Rt△ACE 中， ∵tan 56°＝ACCE，
∴AC＝CE ·tan 56°≈6×32＝9.
在 Rt△BDE 中，∵tan 67°＝BDDE，
2．坡度(坡比)、坡角
如图 2，坡面的高度 h 和水___平__宽__度__l_的 h
比叫坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝___l _， 坡面与_水__平__线__的夹角叫坡角．
图2
3．方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于__9_0_ 度的水平角叫做方向角．如图3，OA表示的是 __北__偏__东__6_0_°方向的一条射线．
图3
名师助学 1．东北方向指北偏东45°方向； 2．一般画图的方位为上北下南，左西右东．
运用解直角三角形的方法解决实际问题
在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应 用，我们要善于将某些实际问题中的数量关系归结 为直角三角形中的_边__、__角__之间的关系，这样就可以 运用解直角三角形的方法了．
名师助学 在解直角三角形时，要注意以下各点： 1．认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角
形，有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添 加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩 形； 2．选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便， 并且不容易出错； 3．按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按 题目要求精确度确定答案，注明单位．
∴BD＝DE·tan 67°＝6×73＝14， ∵AF⊥BD， ∴AC＝DF＝9，AF＝CD＝12， ∴BF＝BD－DF＝14－9＝5，
在 Rt△AFB 中，AF＝12，BF＝5， ∴AB＝ AF2＋BF2＝ 122＋52＝13， ∴两树间的距离为 13 米．
答 两树间的距离为13米．
【预测 2】 如图防洪大堤的横断面是
2011年 2012年
解直角三角形—— 坡度问题(10分)
解直角三角形—— 方向角问题(10分) .
题型 难易度 选择题 容易 解答题 中等 解答题 中等
网 络构 建
遇角度求线段 常解直角三角形 相关概念应理解 结合条件图中找 坡度概念尤注意.
考 点梳 理
解直角三角形的应用中的相关概念
1．仰角、俯角 如图1，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线 在水平线_上__方__的角叫仰角，在水平线_下__方__的角叫 俯角，图①中， __α_是仰角， __β_是俯角．.
答 乙先到达B处．
1. 已知角度求线段时常常运用解直角三角形的知 识来解决；
2．图中包含两个直角三角形，一般是先“盖上一 个看另一个，一个一个的看”．
【预测 1】 如图所示，为求出河对岸 两棵树 A、B 间的距离，小坤在河 岸上选取一点 C，然后沿垂直于 AC 的直线前进了 12 米到达点 D，测得 ∠CDB＝90°.取 CD 的中点 E，测 得∠AEC＝56°，∠BED＝67°， 求河对岸两树间的距离(提示：过点 A 作 AF⊥BD 于点 F)．(参考数据：
由题意可得，CN＝ME＝MA＋AE＝1.7＋10＝11.7， MN＝CE＝CB＋BE＝30＋10 3.
在 Rt△DMN 中，MN＝30＋10 3，∠DMN＝30°.
由
ND MN
＝
tan
∠ DMN
得
DN ＝ MNtan
30 ° ＝ (30 ＋
10 3)× 33＝10 3＋10，
∴CD＝DN＋CN＝10＋10 3＋11.7＝21.7＋10 3
≈21.7＋10×1.732≈39.0(m)．
答 高压电线杆CD的高度约是39.0 m．
易 错防 范
解直角三角形的应用中常见错误
问题1.选用的三角函数式常常出错； 问题2.添加辅助线，“造出”的直角三角形不正确； 问题3.坡度的定义理解不正确．
浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习
精品jing
来自百度文库 课 前必 读
考纲要求
会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际 问题(主要包含仰角、俯角问题、坡度问题、航海问 题、方案设计问题等). .
近三 年浙 江省 中考 情况
年份
考情分析 考查点
2010年
解直角三角形—— 仰角俯角问题(4分)
对 接中 考
对接点：解直角三角形的应用
常考角度 1．常规的计算距离、角度、高度的应用题； 2．用解直角三角形的知识解决航海、测量、环境
污染、设计等问题．
【例题1】 (2012·温州)某海滨浴场东西走向的海岸线可 近似看作直线l(如图)。救生员甲在A处的瞭望台上观 察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信 号。他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在 海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上从C处入海，径直 向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B处游去。若CD＝40米，B在C的北偏东 35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到 达B处？请说明理由。(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
梯形，背水坡 AB 的坡比 i＝1∶ 3
(指坡面的铅直高度与水平宽度的 比)，且 AB＝20 m．身高为 1．7 m 的小明站在大堤 A 点，测得高压 电线杆顶端点 D 的仰角为 30°. 已知地面 CB 宽 30 m，求高压电 线杆 CD 的高度(结果保留三个有
效数字， 3≈1.732)．
解 如图，过 A 作 AE⊥BF，垂 足为 E， 在 Rt△ABE 中，i＝ 13＝ABEE，AB ＝20，由 AE2＋BE2＝AB2 得( 3 AE)2＋AE2＝202，∴AE＝10，BE ＝10 3，
分析 在直角三角形CDB中，利用三角函数即可求 得BC、BD的长，则求得甲、乙的时间，比较二者 之间的大小即可．
解 由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°， ∵tan ∠BCD＝BCDD， ∴BD＝CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°
≈57.2， ∵cos ∠BCD＝CBDC， ∴BC＝cos C∠DBCD＝cos4505°≈70.2， ∴t 甲＝572.2＋10＝38.6 秒， t 乙＝702.2＝35.1 秒，∴t 甲＞t 乙．
sin 56°≈45，tan 56°≈32，sin 67°
≈1145，tan 67°≈73)
解 ∵E 为 CD 中点，CD＝12，∴CE＝DE＝6， 在 Rt△ACE 中， ∵tan 56°＝ACCE，
∴AC＝CE ·tan 56°≈6×32＝9.
在 Rt△BDE 中，∵tan 67°＝BDDE，