北师大版必修一复习23函数的单调性.doc

§3 函教的单调性1.函数在区间上增加(减少)的定义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间人上，如果对于任意两数当x!<x2时：［该教材•嫉妻点］(1)都仕/U』)V/L“),就称函数y=f(x)在区间A上是增加的.(2)都有就称函数y=f(x)在区间A上是减少的.2.函数的单调区间如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称人为单调区I'H J.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上丑的;如果函数是减少的，那么它的图像是下降的.3.函数的单调性如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=fM在这个子集上具有单调性.4.单调函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.［小间裁大思辎］1.在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意外X2EA”改为“存在X］,轮3”？提示：不能，如图，虽然存在-1<2使f(- 1)</(2),但7U)在［-1,2］上并不是增加的. 八、1 •:2.函数f(x)=-的单调减区间能否写成(一3, 0)U (0, +8)? —1 o ---------- T-提示：不能，如X\= - 1 , *2=1满足工|<%2，但有爬］)=-1 < f(X2)= 1，不符合减少的要求.3.函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义.所以不存在单调性问题.在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑.若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.Xl x\ - 1考点一 判断函数的单调性向一 ■&］［例1］试判断函数/a )=-f7在其定义域上的单调性，并加以证明.-X 1［自主解答］函数定义域为{xh#l},X又何==(X-1 ) +1 I = ----------------- = ------- + 1, X - 1 X - 1可由反比例函数)，=?图像得其图像如图所示:由图像知，函数在(-3, 1)和(1, +3)上为减函数，证明如下:设由，为仁(1, +8),且X\ <Xz ，则犬涉二己二，f(x2)= 7T7- X\ 1X2 1 Xi 一 趴 _____________ （工2 一 1）（ Xi -1 ）1 <X\ <X2^ X? < 0,一 1 > 0，Xj - 1 > 0.•项瓦)顼由)<0，•顼X2)<73).：.f(X)在(1, +8)上为减函数，同理可证,/U)在(-00, 1)上为减函数.综上7U )在(-co, 1)和(1, +8)上为减函数.［恰一，法］判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种.而证明单调性一般要用定义法，其一 般步骤为：(1) 设元：设心，电为X 间上的任意两个变量，且%1<X 2；(2) 作差：计算必1)一必2)；(3) 变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；(4) 判号：结合题设判定差的符号；(5) 定论：结合单•调性的定义下结论.［成一类］1 .试讨论函数Ax) =-(«#))在其定义域内的单-调性.XX\X2 VXi<%2<0, /. X2一X]>(), X]X2>0.当。

＞0时,.a 3 - Xi） - ,有—二0，即人切为崟）；X\X2当ovO时,.a 3 - Xi) °,有—二V0,即X\X2解：函数的定义域是（-00, 0）U （0, +8）.（1）设X I＜¥2＜0,则由已知/W =《（。

料），有~ 、a。

（ *2 一由）为）-伽）=a工・.・当a>0时，f(x) = -(«#))在(-co, 0)上是减函数; X当。

＜0时，Xx） = -（«#））在（-00, 0）上是增函数. X⑵同理，f(x) = -(«#))在(0, +00)上, X当。

＞0时是减函数, 当QVO时是增函数.综上所述，函数y =知）,当。

＞0时，在区间（-8, 0）, （0, +8）上是减函数；当QV（）时，在区间（- 8, 0）, （0, +8）上是增函数.考点二求函数的单调区间［例2］求函数y = -x2+2Lrl + 3的增区间和减区间.[自主解答]y= ~ x2 + 2I A I + 3-(x - 1) 2 + 4 (x>0),- (x+ 1 ) 2 + 4 (x<0).函数图像如右图所示.由图像可知：函数在（-3, - 1］, ［0, 1］上是增函数，函数在［- 1, （）］, ［1, +oo）上是减函数...・函数的单调增区间是（-00, - 1］, ［0, 1］, 单调减区间是［- 1, 0］, ［1, + 00）.［恰一依］⑴求函数单调区间的常用方法有：%1转化为已知的基本初等函数（如一次，二次等函数）的单调性判断；②图像法；③定义法;(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行.【通一类］2.求函数y=Lr+ll + l2-xl的单调区间.解：函数可化为分段函数形式：-2x + 1, JT <T,尸<3, - l<r<2,2x - 1, x > 2,法一：由解析式可知函数的递增区间为(2, +00),递减区间为(-00, - 1).- 2x + 1, x< - 1, 法二：作出)，=<3, - 1<%<2, 的图像，由图像观察得.2x - 1, x>2单调增区间为(2, +8),递减区间为(-00, - 1).考点守函数单调性的应用网一却［例3］ (1)已知函数於)在区间(0, +oo)上是减函数，试比较为2_。

+1)与局的大小;(2)已知/i>)是定义在［一1, 1］上的增函数，且求x的取值范围.［自主解答］⑴：疽-。

+ 1 = J+|>|,3...日与a -1都是区间(0, +oo)上的值.又•.vw在区间(0, +8)上是减函数，.•捐)矛3一“+ 1)；一\<x一2<1)(2)由题意可知 ~ - 解得1分父・- 1<1 - x<LhW(x)是定义在［-1, 1］上的增函数，且Xx-2)</(l -X), ：.x-2< 1-X,：.X<^.3・・.1分V；为满足题设条件的x的取值范围.［焙一族］(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围.(2)利用函数的单•调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用.［成一类］3.已知函数fix)=x2+2(a-l)x+2在区间(一00, 4］上是减少的，求实数。

的取值范围.解：f(x) = x2 + 2(a - l)x + 2=[x + (a - I)]2-(a - 1产+2,・•・此二次函数的对称轴为x= 1 - a.「•，心)的单调减区间为(- co, 1 - a].・.7W在(-8, 4]上是减函数，对称轴x= I - a必须在直线x = 4的右侧或与其重合.・'• 1 -白24,解得一3.高手|陵解题_ 牙桦的跳果.不一样的过程.节省解题时间.也是得分! __________ 已知/U)是定义在(0, +oo)上的增函数，且满足J(xy)=f(x)+f(y)f犬2)=1.⑴求只8)的值;(2)求不等式fM~f(x~2)>3的解集.[巧思]解答本题关键是巧用犬》)=/3)+/3).(1)对j, y恰当赋值,用汽2)表示房8).⑵将不等式转化成/W>/(g(x))的形式.再利用单调性进一步转化成关于x的不等式组.[妙解I (1)由题意得大8) = /(4x2)=犬4)+人2)= R2x2)+R2) = 3/⑵=3；(2)原不等式可化为:小0〉3+冷-2),.・顶8) = 3,.・.3+/3-2)=/(8)+必-2)=/(8(x-2)).・.・5)〉./(8(]- 2))的解集即为所求.•・如)是(0, +8)上的增函数,x > 0,・・.< 8 (x-2) >0,解#2<x<y.x > 8 ( x - 2 ),「・原不等式的解集为(X I2<X<T^).1.下列函数中，在区间(0, 3)上为增函数的是(A.y=3~xB. y=x2+\C. y=~D. y=—Ixl解析：可知，y= 3~ x在(()，3)上为减函数，> =上在(0, 3)上为减函数，y = - Lrl = - •在(0, 3)上为减函数.答案：B2.函数f(x)=-x2的单调增区间为( )A. (—oo, 0］B. ［0, +oo)C. (—00, 4-oo)D. (0, +oo)解析：由f(x) = - x2的图像知，A正确.答案：A3.函数y=(k+2)x+l在实数集上是减函数，贝以的范围是()A. k>—2B. k<—2C. k>—2D. k<—2解析：..VW = (k+2)x+1在R上是减函数...J + 2vO,即k<-2.答案：D4.如图所示是定义在［-5, 5)上的函数)，=必)的图像.则该函数的单调增区间是_________________ ,减X间是 ____________ .答案：［一2, 1］和［3, 5) 1-5, 一2］和［1, 3］5.若f(x)是R上的增函数，H/U—1)>J(2)，则工的取值范围是解析：由题得%- 1 > 2,得x> 3,故x的范围为{xlx>3}.答案：{血>3}.6.用增函数定义证明fix)=ax+b(a>0)^(—oo, +oo)上的增函数.证明：设X|,松冬(一 8, + 00),且X\ <X2>则处2)= ax2 + b - (ox】+ b)=ax2 _ axi = a(X2 - X\).X\ <X2，- Xi > 0,又。

> 0,・项工2)-A X1)=。

(工2 - 工1) > 0,.\/(对是(- 8, + 00)上的增函数.课下检对一、选择题1.下列函数在（-00, 0）上为增函数的有（）lr| y① y = Lxl ®y=—③尸一布®y=x+t\A.①②B.②③C.③④D.①④解析：当（- co, 0）时，y = Ixl = - x,在（-00, 0）上为减函数，故①不正确，排除A、D.Ir|又），= —=- 1,在（-co, 0）上为常函数,故B不正确..1答案：C2.设函数/U）是（-co, +oo）上的减函数，贝|（）A. f（a）＜f（2a）B. f（a2）＜f（a）C. f（a+a）＜f（a）D. f{a2 +解析：+ 1 - Q =（" -务 + 5。