北师大版必修一复习23函数的单调性.doc

§3 函教的单调性

1.函数在区间上增加(减少)的定义

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间人上，如果对于任意两数当x!

［该教材•嫉妻点］

(1)都仕/U』)V/L“),就称函数y=f(x)在区间A上是增加的.

(2)都有就称函数y=f(x)在区间A上是减少的.

2.函数的单调区间

如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称人为单调区I'H J.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上丑的;如果函数是减少的，那么它的图像是下降的.

3.函数的单调性

如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=fM在这个子集上具有单调性.

4.单调函数

如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.

［小间裁大思辎］

1.在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意外X2EA”改为“存在X］,轮3”？提示：

不能，如图，虽然存在-1<2使f(- 1)

2］上并不是增加的. 八、

1 •:

2.函数f(x)=-的单调减区间能否写成(一3, 0)U (0, +8)? —1 o ---------- T-

提示：不能，如X\= - 1 , *2=1满足工|<%2，

但有爬］)=-1 < f(X2)= 1，不符合减少的要求.

3.函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？

提示：函数在某一点处的单调性并无意义.所以不存在单调性问题.在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑.若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.

Xl x\ - 1

考点一 判断函数的单调性

向一 ■&］

［例1］试判断函数/a )=-f7在其定义域上的单调性，并加以证明.

-X 1

［自主解答］函数定义域为{xh#l},

X

又何==

(X-1 ) +1 I = ----------------- = ------- + 1, X - 1 X - 1

可由反比例函数)，=?图像得其图像如图所示:

由图像知，函数在(-3, 1)和(1, +3)上为减函数，证明如下:

设由，为仁(1, +8),且X\

则犬涉二己二，f(x

2)= 7T7- X\ 1

X2 1 Xi 一 趴 _____________ （工2 一 1）（ Xi -

1 ）

1 0，Xj - 1 > 0.

•项瓦)顼由)<0，•顼X2)<73).

：.f(X)在(1, +8)上为减函数，

同理可证,/U)在(-00, 1)上为减函数.

综上7U )在(-co, 1)和(1, +8)上为减函数.

［恰一，法］

判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种.而证明单调性一般要用定义法，其一 般步骤为：

(1) 设元：设心，电为X 间上的任意两个变量，且%1

(2) 作差：计算必1)一必2)；

(3) 变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；

(4) 判号：结合题设判定差的符号；

(5) 定论：结合单•调性的定义下结论.

［成一类］

1 .试讨论函数Ax) =-(«#))在其定义域内的单-调性.

X

X\X2 VXi<%2<0, /. X2一X]>(), X]X2>0.

当。＞0时,

.a 3 - Xi） - ,有—二0，即人切为崟）；

X\X2

当ovO时,

.a 3 - Xi) °,有—二V0,即

X\X2

解：函数的定义域是（-00, 0）U （0, +8）.

（1）设X I＜¥2＜0,则由已知/W =《（。料），有

~ 、a。。（ *2 一由）

为）-伽）=a工

・.・当a>0时，f(x) = -(«#))在(-co, 0)上是减函数; X

当。＜0时，Xx） = -（«#））在（-00, 0）上是增函数. X

⑵同理，f(x) = -(«#))在(0, +00)上, X

当。＞0时是减函数, 当QVO时是增函数.

综上所述，函数y =知）,

当。＞0时，在区间（-8, 0）, （0, +8）上是减函数；

当QV（）时，在区间（- 8, 0）, （0, +8）上是增函数.

考点二求函数的单调区间

［例2］求函数y = -x2+2Lrl + 3的增区间和减区间.

[自主解答]y= ~ x2 + 2I A I + 3

-(x - 1) 2 + 4 (x>0),

- (x+ 1 ) 2 + 4 (x<0).

函数图像如右图所示.

由图像可知：

函数在（-3, - 1］, ［0, 1］上是增函数，函数在［- 1, （）］, ［1, +oo）上是减函数.

..・函数的单调增区间是（-00, - 1］, ［0, 1］, 单调减区间是［- 1, 0］, ［1, + 00）.

［恰一依］

⑴求函数单调区间的常用方法有：

%1转化为已知的基本初等函数（如一次，二次等函数）的单调性判断；②图像法；③定义法;

(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行.

【通一类］

2.求函数y=Lr+ll + l2-xl的单调区间.