第12天已知两边及其夹角解三角形-每日一题之2017快乐暑假高二数学(理)人教版Word版含解析
高二夹角的计算练习题
高二夹角的计算练习题夹角是几何学中常见的概念，它是指两条射线在一个平面上的相交部分形成的角度。
在高中数学中，夹角的计算是重要的基础知识。
本文将提供一些高二夹角的计算练习题，帮助同学们巩固和提高他们的数学技能。
1. 问题一在一个直角三角形中，两个锐角的大小分别是30°和60°。
求第三个角的度数。
解析：由于直角三角形的两个锐角和必须等于90°，因此第三个角的度数为90° - 30° - 60° = 90° - 90° = 0°。
2. 问题二一条射线与一条平行线相交，夹角的度数为80°。
求另一条射线与平行线的夹角度数。
解析：由于平行线的性质，与它交叉的两条射线的夹角度数是相等的。
因此另一条射线与平行线的夹角度数也为80°。
3. 问题三两条平行线被一条截线相交，夹角的度数为60°。
求另一条截线与平行线的夹角度数。
解析：同样地，根据平行线的性质，与它相交的两条截线的夹角度数也是相等的。
因此另一条截线与平行线的夹角度数也为60°。
4. 问题四一对互相垂直的直线被一条截线相交，夹角的度数为45°。
求另一条截线与直线的夹角度数。
解析：根据垂直直线的性质，与它相交的两条截线的夹角度数是相等的。
因此另一条截线与直线的夹角度数也为45°。
5. 问题五一个凸多边形内，两条不相邻的边的夹角度数分别为120°和60°。
求该凸多边形的内角和。
解析：凸多边形的内角和等于 (n-2) * 180°，其中 n 表示多边形的边数。
已知两条不相邻的边夹角分别为120°和60°，因此内角和为 (3-2) * 180° + 120° + 60° = 360°。
通过以上五个例题，我们对高二夹角的计算有了更深入的了解。
2018高中数学每日一题之快乐暑假第14天已知两边及其中一边的对角解三角形文新人教A版
(2)由余弦定理，得'- - ，解得“二(负值舍去).故选D. 第14天 已知两边及其中一边的对角解三角形(2)八加「的内角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,若［，贝yC. 2D. 3(3)已知在—丄「中，「，丁 —二，角B 的平分线阳—…；，则 B(= __________ .【参考答案】(1) D; (2) D; (3)斤.【试趣嘶】⑴ 由题意NC 二寸疋=胭=二心必=屁因为心5所以坪或亍,当 £ =-时，cosB = -^3 22冗1当"二时」g 出二一「故选D. 3 2 典例在线(〔)在二二「中, -，丄「— J ；.，则的值为 或1 -2 - 或 1 - 2 D 则有5111^AB BD AR<wx\A 、呂（3）在_.上」中，由正弦定理得^ ，所以所sinZi4D5 SIHJ4 RD2以/ ADB45° , 所以/ ABD15° ,所以/ ABC30° ,所以/ ACB30°，所以祀二肋二边-在LABC中，由余弦定理得八一匚—亠一学霸推荐1•在S匚中，若二二〔「，： _-、，’，则匚I '边上的高为3^3A. _B. J-'C. _；D.2.—的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知1 , , ，则4 = ______________ .3. _________ 在S：中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a= , b=2, A=60°,则sin B=___________ , c= ___________ .参考答案I23I .【答秦】A【解析】因为△一购匚中」仝鶴二申，所以月C 边上的高为亡血6呼=干，故选A.X2 •【答案】h c — sirtli =【解析】由正弦定理 ，得结合 可得 ，贝y 心•3.【答案】 ，3【解析】由正弦定理得 ，所以由余弦定理得=卜＞「…氷-“…丁 「 上负值舍去） 所 cos 60° = 解得芒二3或亡二―1 （舍去）。
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形每日一题之2017快乐暑假高二数学文人教版
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆ 典例在线（1）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8,7,60a b B ===︒，则c =A ．3B ．5C ．3或5D ．无法求解（2）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5a =，2c =，2cos 3A =，则b = A ．2B ．3C ．2D ．3（3）已知在ABC △中，120A =︒，2AB =，角B 的平分线3BD =，则BC =____________．【参考答案】（1）C ；（2）D ；（3）6．（2）由余弦定理，得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （负值舍去）．故选D ． （3）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BD ADB A ∠=，所以·sin 2sin =2AB A ADB BD ∠=所以∠ADB =45°，所以∠ABD =15°，所以∠ABC =30°，所以∠ACB =30°，所以2AC AB ==ABC △中，由余弦定理得222cos 6AB AC A B AC A C B +-⋅⋅=．【解题必备】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解三种情况．（2）求解此类问题的一般方法及步骤（以已知,,a b B 为例）：方法1：①由正弦定理经讨论求A ；②由180A B C ++=︒求C ；③由sin sin a c A C =求； 方法2：根据余弦定理，列出以边为未知数的一元二次方程222(2cos )()0c a B c a b -+-=，根据一元二次方程的解法求边，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．学霸推荐1．在ABC △中，若13AB =，BC =3，120C =︒∠，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．42．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC 的长为 A ．4B ．5C ．4或5D ．无法求解 3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C ∠=︒，则b =A ．5B ．8C ．5或−8D ．−5或83．B 【解析】由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴49＝9＋b 2－3b ，即(b －8)(b ＋5)＝0．∵b ＞0，∴b ＝8．故选B ．。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
第12天 已知两边及其夹角解三角形-每日一题之快乐暑假高二数学(文)人教版
第12天 已知两边及其夹角解三角形高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）在△ABC 中，已知43b =，23c =，120A =︒，则a 等于A ．B ．6C ．6D ．（2）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c =______________． （3）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35，则b=__________，sin C=__________.【参考答案】（1）A ；（2）61；（3）√17，41717.【试题解析】（1）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-=48+12－2×××(12-)＝84，所以a =故选A ．（2）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-=2254254cos12061⨯⨯⨯︒+-=，故c =（3）∵b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝4＋25-2×2×5×35＝17，∴b ＝√17. ∵cos B ＝35，∴sin B ＝45，由正弦定理sin sin b cB C=，得54sin 5C =，则sin 17C =. 【解题必备】（1）已知两边及其夹角解三角形，必有一解． （2）已知两边,a b 及其夹角C 的解题步骤：（3）已知两边及其夹角，求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便．应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间(0,)π上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π,13B b a ===，则c =A ．1B ．2C 1D 2．在ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a =6,c =4,3sin 23B =，则b = A ．9 B ．36C ．6√2D ．63．在ABC △中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a =3,A =60∘，c =2b ，求b .1．【答案】B【解析】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得：222π3=12cos 3c c ，即220c c --=，解得2c =，或1c =-（舍去）. 故选B. 2．【答案】D【解析】∵sin23B =，∴221cos 12sin 1223B B =-=-⨯=⎝⎭． 由余弦定理得2222212cos 64264363b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴b =6． 故选D ．3．【解析】在ABC △中，a =3,A =60∘，c =2b ，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得9=b 2+4b 2−2b ×2b ×12， ∴b =√3.。
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案)高中数学解三角形在高中数学中，解三角形是一个重要的概念和技巧。
掌握解三角形的方法对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将介绍几种常见的解三角形的方法，并附上相应的答案，帮助读者巩固和拓展数学知识。
一、解决直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
解决直角三角形的方法主要有三种：勾股定理、正弦定理和余弦定理。
勾股定理适用于已知两条边求第三边的情况，其公式为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。
正弦定理适用于已知一个角和两条角边的情况，其公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，a、b、c 分别为对应的边长。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，其公式为：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中A为夹在b和c之间的角，a为对应的边长。
二、解决等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
解决等腰三角形的方法主要有两种：勾股定理和正弦定理。
勾股定理适用于已知两条等腰边求底边的情况，其公式与直角三角形相同。
正弦定理适用于已知一个角和两条等腰边的情况，其公式与直角三角形相同，只是此时的两条边为等腰边。
三、解决一般三角形一般三角形是指三个角和三个边都不相等的三角形。
解决一般三角形的方法主要有两种：正弦定理和余弦定理。
正弦定理适用于已知一个角和两条边的情况，公式同上。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，公式同上。
答案示例：1. 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。
解法：根据勾股定理，斜边的长度c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c = √25 = 5cm。
2. 已知一等腰三角形的底边长度为5cm，两条等腰边的长度分别为4cm，请计算顶角的度数。
2018高中数学 每日一题之快乐暑假 第14天 已知两边及其中一边的对角解三角形 理 新人教A版
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）在中，，，，则的值为A．B．C．或D．或（2）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A．B．C．2 D．3（3）已知在中，，，角B的平分线，则BC=____________．【参考答案】（1）D；（2）D；（3）．（2）由余弦定理，得，解得（负值舍去）．故选D．2（3）在中，由正弦定理得，所以所以∠ADB =45°，所以∠ABD =15°，所以∠ABC =30°，所以∠ACB =30°，所以．在中，由余弦定理得．【解题必备】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解三种情况．（2）求解此类问题的一般方法及步骤（以已知为例）： 方法1：①由正弦定理经讨论求；②由求；③由求； 方法2：根据余弦定理，列出以边为未知数的一元二次方程，根据一元二次方程的解法求边，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．学霸推荐1．在中，若，，，则边上的高为A ．B ．C ．D ．2．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知，，，则_____________． 3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．2．【答案】【解析】由正弦定理，得，结合可得，则．3．【答案】，3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.3。
已知两边及其夹角作三角形.doc
3.7.2 已知两边及其夹角作三角形课前预习：1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步应为（）A、做一条线段等于已知线段B、作一个角等于已知角C、作两条线段等于已知三角形的两边，并使其夹角等于已知角D、作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角2、作出∆ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能落在∆ABC外部的是（）A、ADB、AEC、AFD、都有有可能3、已知线段a、c、∠α，求作∆ABC，使BC=a，AB=c，∠B=∠α，请根据下列作法画出对应的图形.作法：(1)作一条线段BC=a；(2)以B为顶点，以BC为一边作∠DBC=∠α；(3)在射线BD上截取线段AB=c；(4)连接AC，∆ABC就是所求作的三角形.当堂检测：1、已知两边及其夹角作三角形，所用的基本作图是（）A、平分已知角B、作线段的中垂线C、作直线的垂线D、作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段2、用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知条件是（）A、三角形的两条边和它们的夹角B、三角形的两角和它们的夹边C、三角形的三条边D、三角形的三个角3、如左图，已知线段a，b，作等腰∆ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=b，张红的作法是：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段b；（4）连结AB，AC，则∆ABC为所作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步.你认为是（）A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）baa课后练习：1、 已知线段a 和∠α，求作：∆ABC ，使∠C=∠α，AC=a,BC=2a.2、完成下列作图： '如左图，已知A 、B 为直线MN 外两点. （1）过点A 作AC ⊥MN 于C ； （2）延长AC 到'A ，使C 'A =AC ； （3）连结B 'A 交MN 于P .3、已知：线段a.求作：等腰三角形，使AB=AC=a ，且∠A=90︒.a4、如图，MN 是一条公路，A 、B 分别是公路两侧的两个村庄，现在要在公路MN 上修建一个汽车站C ，使汽车站C 到村庄A 、B 的距离都尽可能短，请你帮助设计人员确定汽车站的准确位置，并说明理由.MNABMNAB5、在第7题中，如果村庄A、B是在公路的同侧，如图所示，汽车的准确位置又如何确定呢？请作图说明.6、已知：∠α和线段a.求作：等腰∆ABC，使腰长AB=a，底角=∠α.7、已知：线段a，求作：∆ABC，使AC=BC，∠ACB=90 ，AB边上的中线等于a.a8、已知斜边，一直角边分别为c，a，求作直角三角形.a cM N AB答案：课前预习：1、D ,2、A,3、 解:如图:B C当堂检测：1、D2、A3、C课后练习：1、解：如图：作法:(1)作射线CM ，作∠MCN=∠α；(2)在CM 上截取BC=2a ，在CN 上截取AC=a ；(3)连结A 、B 两点，则∆ABC 就是所求作的三角形. 2、略3、解:作法;(1)作射线AM ，(2)过点A 作直线EF ⊥AM ，(3)在射线AM 和直线AF 上分别截取AB=a ，AC=a. 则∆ABC 为所求作的等腰三角形.4、解：连结AB 与MN 交于点C ，则C 就是汽车站的准确位置，因为连结两点的所有连线中，线段最短. 5、解:先找到A 村庄关于公路MN 的对称点'A ，连结'A A 交于MN 点C ，连结B 'A 交于MN 点D ，则D 为汽车站的位置.因为在∆ABC 和∆ACD 中AD=D 'A ，∠ADC=∠A DC '=90︒，DC=DC ，所以ACD A CD '∆≅∆，所以AC=A C '，AC+BC=A C '+ BC ，而连结两点的所有连线中，线段最短.6、解：已知：∠α和线段a.求作：等腰∆ABC ，使腰长AB=AC=a ，∠ABC=∠ACB=∠α. 作法：（1）作∠MBN=∠α，（2）在射线BM 上截取BA= a ，a（3）以A为圆心，以a为半径作弧交BN于点C，则∆ABC即为所求作的三角形.7、解：作法：（1）作一条直线EF,在直线EF上取一点C，（2）过点C作直线EF的垂线MN，则∠MCF=.90︒（3）作∠MCF的平分线CG，（4）在CG上截取CD=a，(5) 过点D作射线CG的垂线分别交CM、CN于A、B，.则∆ABC即为所求作的三角形.8、解：已知：线段a,c，.求作：直角∆ABC，使得∠C=90︒，BC=a，AB=c.作法：（1）作CB=a，（2）过点C作CB的垂线MN,（3）以B为圆心，以C长为半径画弧交MN于点A，则∆ABC即为所求作的三角形.。
解三角形 例题及解答
解三角形例题及解答在初中数学中，解三角形是一个重要的内容，它包含了求解三角形的各个要素，如边长、角度等。
本文将通过几个例题来详细解答解三角形的方法和步骤，帮助读者更好地理解和掌握这个知识点。
一、已知两边和夹角，求第三边示例题：已知△ABC，∠A=30°，a=5cm，b=7cm，求边c的长度。
解答：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解。
余弦定理给出了任意一个三角形的两边和夹角之间的关系，即c²=a²+b²-2ab*cosA 。
代入已知数据，可得：c²=5²+7²-2*5*7*cos30°。
化简得：c²=25+49-35*cos30°。
接下来，我们需要求解cos30°的值。
根据三角函数表，我们知道cos30°=√3/2。
代入这个值，可得：c²=25+49-35*(√3/2)²。
继续化简，得到c²=25+49-35*3/4。
计算后可得：c²=25+49-105/4。
进一步计算，得到c²=161-105/4。
最后，我们求解c的值。
将c²=161-105/4代入，可得：c=√(161-105/4)。
进而计算得：c≈9.21cm。
因此，边c的长度约为9.21cm。
二、已知两角和一边，求其他两边示例题：已知△ABC，∠A=30°，∠B=60°，c=8cm，求边a和边b的长度。
解答：根据已知条件，我们可以应用正弦定理来求解。
正弦定理给出了三角形的两边与其对应的角度之间的关系，即 a/sinA = b/sinB =c/sinC 。
代入已知数据，可得 a/sin30° = b/sin60° = 8/sinC 。
解方程组，可得 a/sin30° = b/sin60°。
化简得a/(1/2) = b/(√3/2)。
高中数学 每日一题之快乐暑假 第13天 已知三边解三角形 理 新人教A版
第13天已知三边解三角形
高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
典例在线
（1）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是
A．B．
C．D．
（2）在中，分别是角的对边,,那么等于
A．B．
C．D．
（3）在中，已知，，，则
A．B．
C．D．
【参考答案】（1）D；（2）C；（3）A．
（3）由向量模的定义和余弦定理可得，
，，故．故选
A．
【解题必备】（1）已知三边解三角形，必有一解．
（2）已知三边解三角形时，可以连续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角）．学霸推荐
1．在中,角的对边分别为,且=,则等于A．1 B．
C．2 D．3
2．在中,分别为角的对边,已知,则
.
3．设的内角所对边的长分别为,若,则角
__．
1．【答案】A
【解析】=可得=
由余弦定理可得sin=cos,故tan=1.
2．【答案】
【解析】由,则可化为, 又因为,则,故,
因为,所以,
所以.。
两边和夹角
2b＝a＋c，则此三角形是 ( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解：选 D.因为 2b＝a＋c，所以 4b2＝ (a＋c)2，即(a－c)2＝0. 所以 a＝c.所以 2b＝a＋c＝2a.所以 b＝a，即 a＝b＝c.
3．在△ABC 中，若 a2＝bc，则角 A 是 ( ) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．60°
问题2 如果已知三角形的两边及其夹角，能 解这个三角形吗？
根据三角形全等的判定方法，这个三角形 是大小、形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它 们的夹角求三角形的另一边和两个角？
这就是我们这节课要讲的内容.
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法.（重点）
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问 题.(难点)
解：由余弦定理的推论得：
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
= 87.82 + 161.72 - 134.62 2×87.8×161.7
0.554
3，
所以A 56°20'，
cosB = a2 + c2 - b2 = 134.62 + 161.72 - 87.82
2ac
2×134.6×161.7
A =π 3
.
（2）由
S
=
1 2
bcsinA
=
1 2
bc×
3 2
=
3 bc = 5 4
3,得
bc = 20 .
又 b = 5 ，知 c 4 .
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = 25 + 16 - 20 = 21,
高中解三角形大题20道
高中解三角形大题20道解三角形是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常常出现的题型。
下面是高中解三角形大题的20道题目，希望对同学们复习和提高解题能力有所帮助：1. 已知一个三角形的两边和夹角，求第三边的长度。
2. 已知一个三角形的两个夹角和一边的长度，求另外两边的长度。
3. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余弦值，求第三边的长度。
4. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正弦值，求第三边的长度。
5. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正切值，求第三边的长度。
6. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余切值，求第三边的长度。
7. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余弦值，求第三个角的正弦值。
8. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。
9. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的正切值。
10. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。
11. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余弦值。
12. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。
13. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。
14. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。
15. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。
16. 已知一个三角形的一个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。
17. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。
18. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的正弦值，求第三个角的正弦值。
19. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。
20. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。
这些题目涉及到了三角函数的概念和性质，需要同学们熟练掌握三角函数的定义和运算规律。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案三角形是几何学中的基本图形之一，解三角形的练习题对于学习和理解三角形的性质和关系非常重要。
本文将介绍一些常见的三角形练习题，并提供详细的解答过程。
一、已知三角形两边及夹角，求第三边的长度这类题目常常要求根据已知的两边和夹角，求第三边的长度。
解题的关键在于应用三角函数的定义和性质。
例如，已知三角形的两边分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解答：根据余弦定理可以得到第三边的长度。
设第三边为c，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中a和b分别为已知的两边的长度，C为夹角的度数。
代入已知数据，得到c^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos60°，化简得到c^2 = 25 + 64 - 80*cos60°。
由于cos60°=0.5，所以c^2 = 25 + 64 - 80*0.5，继续化简得到c^2 = 25 + 64 - 40 = 49，即c = √49 = 7。
因此，第三边的长度为7cm。
二、已知三角形两边和一个角度，求另外两个角度的度数这类题目要求根据已知的两边和一个角度，求另外两个角度的度数。
解题的关键在于应用三角形内角和为180度的性质。
例如，已知三角形的两边分别为3cm和4cm，夹角为60度，求另外两个角度的度数。
解答：设另外两个角度为A和B，则有A + B + 60° = 180°，即A + B = 120°。
根据正弦定理可以得到A和B的关系。
设a和b分别为已知两边的长度，C为已知角的度数，则有sinA/a = sinC/c和sinB/b = sinC/c。
代入已知数据，得到sinA/3 = sin60°/c和sinB/4 = sin60°/c。
由于sin60°=√3/2，所以s inA/3 = √3/2c和sinB/4 = √3/2c。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案在数学学习中，解题是一项非常重要的技能。
而三角形作为几何学中的基本形状之一，解三角形的练习题对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力非常有帮助。
本文将介绍几道常见的三角形练习题，并给出详细的解答过程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握解题方法。
题目一：已知一个三角形的两边长分别为5cm和7cm，夹角为60度，求第三边的长。
解答：根据三角形的余弦定理，可以得到第三边的平方等于两边平方之和减去两倍两边的乘积与夹角的余弦值的乘积。
即：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos60°c² = 25 + 49 - 70×0.5c² = 74 - 35c² = 39因此，第三边的长为根号39cm。
题目二：已知一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，夹角为45度，求第三边的长。
解答：同样利用余弦定理，可以得到：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 6² + 8² - 2×6×8×cos45°c² = 36 + 64 - 96×0.707c² = 100 - 67.632c² = 32.368因此，第三边的长为根号32.368cm。
题目三：已知一个三角形的两边长分别为10cm和12cm，夹角为30度，求第三边的长。
解答：同样利用余弦定理，可以得到：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 10² + 12² - 2×10×12×cos30°c² = 100 + 144 - 240×0.866c² = 244 - 207.84c² = 36.16因此，第三边的长为根号36.16cm。
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第12天已知两边及其夹角解三角形
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆
典例在线
（1）在△ABC 中，已知b =c =，120A =︒，则a 等于
A ．
B ．6
C ． 6
D ．
（2）在△ABC 中，B ＝π4
，AB BC ＝3，则sin A ＝
A B C D （3）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，＝5，＝4，C ＝120°，则c =______________．
【参考答案】（1）A ；（2）C ；（3．
（2）在△ABC 中，由余弦定理得
2222cos 2935,AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-=即AC =由正弦定理
sin sin =，AC BC B A 3sin A =，所以sin A =．故选C ．
（3）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-=2254254cos12061⨯⨯⨯︒+-=，故c =
（3）已知两边及其夹角，求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便．应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间(0,)π上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．
学霸推荐
1．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,30a b C ===︒，则A =_____________．
2．在△ABC 中，已知120,3,5A b c =︒==，则sin sin B C =______________．
2222cos 925a b c bc A =+=+--1235()492
⨯⨯⨯-=，所以7a =．由正弦定理，得
sin sin b A B a ==，sin sin c A C a ==，所以45sin sin 196B C ==． 方法2：因为120,3,5A b c =︒==，所以由余弦定理，得
222
2cos 925235a b c bc A =+=+-⨯⨯⨯-1()492-=，所以7a =．由正弦定理的变形2sin ,a R A =得
2sin a R A ==，sin 2b B R =，sin 2c C R =，所以
345s i n s i n 2214196
b c B C R R =⋅==．。