三种典型矩阵方程的简单解法

… =
B
…
1 0 4
…
2 1 5
…
3 2 3
→
…
1 0 4
…
0 1 - 3
…
0 2 - 9
… 1 … 2 … 3 3
- 6 - 8 - 3 - 6 - 2
3 0 1
4 3 … 1
→0
0 1
… 0 … 0 … 1 … 0 … 0
→0
0
福建商业高等专科学校学报 2005 年 6 月 84
… 9 … 2 … 1 … 3 … 2
= (E ┊ X)
… 0 0 0 3 1
2 - 2 0 - 1 3
… 4 … 2 1
2 1 0 0 2 0 1 1 3 1 0 百度文库 0 2 - 4 3 - 9 1 2 0 0 0 1 0 0 X=
于是 X=
。
→0 1 0
… 3 →0 1 0
- 3 由引理 2 及引理 3 又可得 : 若 XA = B ,且| A| ≠ 0 ,则
这也就是说 ,解矩阵方程时 ,一般也都须运用求逆矩 阵的方法与矩阵乘法的运算。显然这是比较麻烦的 ,本文 从矩阵理论出发 ,给出这三种矩阵方程的简单解法。 引理 1 对 m× n 矩阵 A 施行初等行变换就相当于在
A 的左边乘上相应的 m 阶初等矩阵 ; 对 m × n 矩阵 A 施行
并写成
- 1 - 1 - 1 - 1 PL PL - 1 … P1- 1 (A ┊ B) = ( PL PL - 1 …P1- 1 A ┊PL- 1 PL- -1 1
简单方法。 例 1 解下列矩阵方程 :
1 (i) - 2 1 1 1 1 - 1 1 1 1 ( b) 1 1 1 - 2 1 2 X= 3 ; 6 - 1 1 1 2 ,B = 3 6
(a)
于是有 X=
- 1 - 1 PL PL - 1
… P1- 1B 。
解 设A=
。
证 因| A| ≠ 0 ,故 A 可逆 ,即 A - 1 存在。由引理 2 ,知
- 1
=A
- 1
CB
- 1
,即 X =
- 1
。 于是只要分别求出 A 与 B 的逆矩阵 A
与
,再分别左乘与右乘于 C ,即得 X。
上面的 (a) 式表明矩阵 A 经一系列初等行变换可变成
E 。( b) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等行变换即变成 X。 ( b) 两式可合 用分块矩阵形式 ,及按矩阵的分块乘法 , ( a) 、
…
0 - 1/ 3 1/ 4
… =
0 0 3/ 8
… ,
X
→
0
→
0
→
…
2 1 0 0
…
3 0 1 0
…
- 6 0 0 1 =
…
- 4 E
…
3
…
15
…
- 4
…
3
…
3
1
0 - 1/ 3
0 0
于是有 X = 4/ 3
。
3/ 8 1/ 4 3/ 8 利用上述矩阵方程 AX = B , XA = B 的解法 , 综合之
0 0 →( 对后二列施行初等列变换) 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 2 10 - 10 1 0 1 - 4 4 0 1 - 2 1 - 4 。 10 1 0 = E O X E ,
于是 Y = 0
2 B 5
→0
0 0
… =
Y
…
1 0 0
…
1 - 2 2
→
…
1 - 2 2
…
1 0 0
1 0 - 2 0 0 0 1 0 0 1
… 1 … 0
1 4 2
1 0 ( 对前三行施行初等行变换) → 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0
1 0 0 2 5
1 - 2 2 1 3
→0
0 1 0 1 0
… 0 … 1 1 … 0 … 0 1
0 1 3 2 1 - 2 ; 2
→0
0
- 2 = ( E ┊Y) 1 0 1 3 2 5 1 3 0 - 1
解 设A=
( 3) ( 4)
1 B= 0 0 0
2 1 0 0
5 2 - 4 0
由 XA = B ,得
X = BA - 1 。
。
将 ( 3) 代入 ( 4) ,即得
- 1 - 1 X = BQ S QS Q 1- 1 。 - 1 …
证毕
1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
… Q 1- 1 … … … Q 1- 1
………
- 1 - 1 BQ S QS - 1
B E 4 - 1 6 - 3 =
… 1 … 0 … 0
… 。
X A
(f )
→
- 4 0
→
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
… 1 … 0 … 0 … 0
… 0 0 1 4
2 - 2 0 - 1 3 - 3
( d)
- 1 - 1 于是有 X = BQ S QS Q 1- 1 。 - 1 …
( e)
。
证 因| A| ≠ 0 , 故 A 可逆 , 即 A
A = Q1 Q2 … QS 。
- 1
存在 。由引理 2 ,
知存在有限个初等矩阵 Q1 ,Q 2 , … QS , 使 又由引理 3 ,可得
- 1 AQ - 1 Q 1- 1 = E SQ S - 1 … - 1 及 Q- 1 Q 1- 1 = A - 1 。 SQ S - 1 …
Ξ 收稿日期 :2005 - 1 - 10 ) 男 福建商业高等专科学校 讲师 作者简介 :陈逢明 (1962 -
福建商业高等专科学校学报 2005 年 6 月 82
1 ( A 1 0 0 1 3 0 1 0 - 1 - 1 2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 - 1 1
B 就变成 X。(c) 式提供了一个具体解矩阵方程 AX = B 的
引理 3 初等矩阵皆可逆 ,且其逆矩阵也是初等矩阵。 由引理 2 及引理 3 可得 :若 AX = B ,且| A| ≠ 0 ,则存在 有限个初等矩阵 P1 ,P2 , … PL ,使
- 1 - 1 PL PL - 1 … P1- 1 A = E - 1 - 1 即 PL PL - 1 … P1- 1 = A - 1 。
3 1 2 3 2 4 1 ,B = 3
解法一 设A= 2
3 1 C= 2 3 0 。
2 5
1 3
,
解 设A= 4
6 ,B = 0
3 1 则有 AXB = C 。
又令 XB = Y ,则 A Y = C 。 →
1 (A ┊ C) = 2 3 1 2 - 2 - 2 0 - 2 0 3 - 5 - 6 - 2 - 5 - 1 2 2 3 1
0 1 1 3
… 1 … 0 … 0
2 1 0
5 2 - 4 0
2 - 4 3 - 9
上面的 ( d) 式表明矩阵 A 经一系列初等列变换可变 → 成 E 。( e) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等列变换即变
( e) 成 X 。用分块矩阵形式 , 及按矩阵的分块乘法 , ( d) 、
(A ┊ B) =
… ,
X
可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法 例3 解下列矩阵方程 。
1 (i) 2 3 2 2 4 3 1 X 3 2 5 1 3 1 1 = 2 3 0 ;
…
- 4
…
- 3 1 (ii) X 4 7
…
3 2 5 8 3
于是有 X = ( - 4 - 3 3) 。
1 4 2 5 8 2 5 8 3 1 3 6 1 2 1 5 3 2 。 3 1 4 1 4 7 2 1 5 3 2 。 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 20 6 = 0 1 1 7 1 4 A 7
- 1 - 1 X = PL PL - 1 … P1- 1B 。 证毕
,再左乘 B 即得 X。 ,再右乘 B 即得 X。
- 1 - 1
若 XA = B ,则有 XAA - 1 = BA - 1 ,即 X = BA - 1 。于是
- 1
(1) (2)
又若 AXB = C ,则有 A AXBB
CB
… 2 … 3 … 6 → →
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0
… 1 … 0 … 0
0 1 0 0
0 1 0
3 2 - 2
1 - 1 3 - 3 = (E ┊ X) ,
┊ B ) … 2 … 7 … 4
0 1
= 1 0 1 0 1 0
- 2 1
1 … 4
→ 0 3 0
存在有限个初等矩阵Q 1 ,Q 2 , … QS , 使
- 1 - 1 AQ S QS Q 1- 1 = E - 1 … - 1 - 1 即 QS QS Q 1- 1 = A - 1 。 - 1 …
于是 X = 3
1 (ii) 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 , 2 1 0 0 5 2 - 4 0 2 - 4 3 - 9
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法
81
三种典型矩阵方程的简单解法
Simple Solution of Three T ypical Matrix Equations
陈逢明 Ξ
( 福建商业高等专科学校基础部 福建福州 350012)
内容提要 本文从矩阵理论出发 ,给出三种典型矩阵方程的简单解法。 关 键 词 矩阵方程 ;可逆矩阵 ;初等矩阵 ;初等变换 中图分类号 : G63316 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 4940 (2005) 03 - 0081 - 05 当矩阵 A 、 B 可逆时 一般矩阵方程的计算步骤可由下 面推得 : 若 AX = B , 则有 A AX = A B , 即 X = A B 。于是 只要求出 A 的逆矩阵 A 只要求出 A 的逆矩阵 A
初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n 阶初等矩 阵。 引理 2 若 A 为可逆方阵 , 则存在有限个初等矩阵
P1 ,P2 , … PL ,使 A = P1 P2 … PL 。
… P1- 1B) =
(E ┊ X) (c)
即对矩阵 (A ┊ B) 施行初等行变换 ,当把 A 变成 E 时 ,
→
…
1 - 2 2
…
- 1 4 - 4
→ 于是求得 X=
0 (ii) 1 0 1 0 0 0 1
- 10 4 0 0 1 0 1 = 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
- 4 0
3 - 1 。
1 0
0 1
0 X 0
…
- 2 10 - 10
…
1 - 4 4
E =
… ,
X
- 2 0 1 0 0 0 1 1 , 0 0
即对矩阵 … 施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B
B 就变成 X 。(f ) 式提供了一个具体解矩阵方程 XA = B 的
简单方法 。 例2 解下列矩阵方程 。
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法 3 (i) X - 1 3 1 2 4 0 1 2 3 - 1 3 3 A - 1 = 3 1 2 4 2 1 0 0 1 2 = (0 2 3) ; 1 2 4 0 1 2 3 0 0 5 0 1 2 1 2 0 1 2 3 - 1 3 ,B = ( 0 2 3) 。 1 4 7 0 1 2 0 0 - 8 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1
A B
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
存在有限个初等矩阵 P1 ,P2 , … PL ,使
A = P1 P2 … PL 。
又由引理 3 ,可得 PL- 1 PL- -1 1 … P1- 1 A = E , 即 PL- 1 PL- -1 1 … P1- 1 = A - 1 。 由 AX = B ,得 X = A - 1B 。 将 (1) 代入 (2) ,即得
83
…
1 0 4 1
…
0 - 1/ 3 1 0 1 0
…
0 0 - 3 0 0 1
→
…
1 4/ 3 0
…
0 - 1/ 3 1/ 4
…
0 0 3/ 8
→
解 设A=
…
B 1 2 4 0 1 2
→
4
→
0 0
…
0 0 - 7 - 9
… …
…
2 1 0
…
3 0 1 2
…
0 0 0 1
E
…
1 4/ 3 3/ 8
解法一 设A= 1
1 - 4 0 3 - 1 。
0 ,B = 0
- 2
1 - 4 。
C= 2
所以 X =
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 2 0
- 2 1 1 1 1 0 0 0
… 1 … 0 … 0 … 0
0 1 0 0 1 0 2 0
… 0 0 1 10
2 - 4 0 - 4 3 - 3 0 1 0 1 2
两式可合并写成
A
- 1 - 1 … QS QS Q 1- 1 = - 1 … - 1 - 1 AQ S QS - 1