分块矩阵乘法的例子
分块矩阵乘法
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
a11
A
a21
L
a12 L a22 L LL
am1
am 2
L
系数矩阵
a1n
a2n
L
amn
x1
X
x2
M
xn
未知向量
b1
b2
M
bm
常数向量
矩阵表示形式
Amn X
线性代数
矩阵乘法
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 L a2n xn LLLLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表示形式
Amn X
a11 a12
a1n b1
a21
M
x1
a22 M
x2
L
a2n M
xn
b2
M
am1 am2
amn bm
a11
A
a211
am 2
L
系数矩阵
a1n
a2n
L
amn
x1
X
x2
M
xn
未知向量
b1
b2
M
bm
常数向量
矩阵表示形式
Amn X
线性代数
矩阵乘法
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 L a2n xn LLLLLLL
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第二章 矩阵的代数运算
2.5.2 分块矩阵乘法
分块矩阵乘法
分块矩阵乘法 设A 为 s t 分块矩阵 ( Aij )st ，B 为 t r 分块矩阵 (Bij )tr ，
矩阵的分块乘法
a2 b1 a2 b2 · · · M = . .. . . . . . . an b1 an b2 · · · (1) |A| = |I + αβ | = = 1 0
a1 b1 a1 b2 · · ·
α I + αβ
α I + αβ
−α I
1 + βα −β 0 I
= 1 + βα = 1 + a1 b1 + · · · + an bn .
2
直接计算可以验证等式(1)成立. 问题是: 要想将方阵 T =
其中的数替换成矩阵块, 你就自己发明出Schur 公式了. 分块运算没有任何公式, 只有一 项功夫: 难得糊涂. 忘掉那些字母是代表矩阵块还是代表数, 将它们当成数来运算, 就适 用于矩阵块了. 有两点不能忘掉: 1. 分块运算只适用于矩阵的加减乘法, 不适用于初等变 换和求行列式. 2. 虽然可以将矩阵块看成数, 但这些“数”做乘法不满足交换律.
−a1 bn −a2 bn . . . 1 + λ − an bn
其中 λ = a1 b1 + · · · + an bn . 点评 例 2 的关键步骤是矩阵分块乘法等式 ( )( )( ) 1 0 1 −β 1 0 α I + αβ 0 I −β I ( ) 1 + βα −β 0 I ( 1 )
x1 . . a1 x1 + · · · + an xi = ( a1 , . . . , an ) . = AX xn 其中 A = ( a1 , . . . , an ) 是 n 个列向量 ai 从左到右排成的一“行”, X 是 n 个数 xi 从上 到下排成的一列, 例 4 将线性方程组 a x + a12 y + a13 z = b1 11 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用矩阵乘法表示. 解法1 数的 3 个等式写成列向量的一个等式 b1 a11 x + a12 y + a13 z a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z b3 列向量的3个分量对应相等, 就是原方程组的3个方程. 每个方程左边 ai1 x + ai2 y + ai3 z 看成两个行向量 αi = (ai1 , ai2 , ai3 ) 与 ξ = (x, y, z ) (I)
分块矩阵及其运算
0 B22 性
代
线
数
= =
A C 1 矩阵D 也可逆, 并求D的逆阵D 0 B
线 性
则 XA I1 X A1 ,
WA 0 W 0, XC+ZB 0, 数
1
将X A1代入, 有ZB A1C , Z A1CB 1 , WC+YB I 2 , 将W 0代入 Y B , 所以
= =
1.4 分块矩阵及其运算
一般地, 若A1 , A2 , 则 X Ar X 1 1 A1
, Ar 均为可逆方阵(阶数不一定相同) A2 A1 为可逆阵, 且其逆阵为 1 Ar
7 1 14 2 AB 6 3 0 2
3k 2 2 4k 2 1 , A B 6 3 0 k 0 2 1 3 2 4 1 0 0 1
1 3 2 4 0 0 0 0
= =
1.4 分块矩阵及其运算
又如矩阵按列分块
a11 a A 21 am1 其中 j a12 a22 am 2 a1n a2 n 1 amn
线 性
2
n
代 数
a1 j a 2j , j 1, 2, amj
= =
1.4 分块矩阵及其运算
a11 a12 a1n b1 j b a a a 21 22 2n 2 j a m1 a m 2 a mn bmj A j
npu矩阵乘法分块策略
npu矩阵乘法分块策略NPU矩阵乘法分块策略矩阵乘法是线性代数中常见的基本运算，也是许多科学计算和工程应用中必不可少的运算之一。
在现代计算机体系结构中，为了提高矩阵乘法的计算效率，研究人员提出了许多优化方法，其中一种常见的方法是使用NPU（神经处理单元）进行矩阵乘法的计算。
而矩阵乘法分块策略则是在NPU上进行矩阵乘法计算时的一种重要技术。
矩阵乘法分块策略的思想是将大的矩阵乘法问题拆分成多个小的矩阵乘法问题，并通过合理的计算顺序和数据传输方式来提高计算效率。
具体而言，矩阵乘法分块策略可以分为两个层次：外层循环和内层循环。
外层循环是指对于两个矩阵A和B，将它们分别划分成多个小的子矩阵，并按照一定的顺序对这些子矩阵进行计算。
这种分块方式可以使得计算过程中的数据访问更加连续，减少了缓存的失效，从而提高了计算效率。
同时，外层循环还可以通过并行计算的方式，将计算任务分配给多个NPU进行并行处理，进一步提高了计算速度。
内层循环是指在每个小的子矩阵中，使用传统的矩阵乘法算法进行计算。
在传统的矩阵乘法算法中，我们通常使用三个嵌套的循环来遍历矩阵的元素，并进行相应的乘法和累加操作。
而在NPU中，我们可以利用SIMD（单指令多数据）指令集来进行向量化计算，从而进一步提高计算效率。
通过合理地划分内层循环的计算任务，我们可以充分利用NPU的向量计算能力，加速矩阵乘法的计算过程。
除了外层循环和内层循环，矩阵乘法分块策略还需要考虑数据传输的方式。
在NPU中，数据传输的延迟是影响计算效率的一个重要因素。
因此，我们需要将需要的数据尽可能地从主存或其他存储器中提前加载到NPU的缓存中，以减少数据传输的延迟。
同时，我们还需要合理地安排数据传输的顺序，以避免数据传输的冲突和带宽瓶颈，进一步提高计算效率。
总结起来，NPU矩阵乘法分块策略是一种通过将大的矩阵乘法问题拆分成多个小的子问题，并通过合理的计算顺序和数据传输方式来提高计算效率的方法。
并行计算矩阵分块乘法
目录一、题目及要求 (1)1、题目 (1)2、要求 (1)二、设计算法、算法原理 (1)三、算法描述、设计流程 (2)3.1算法描述 (2)3.2设计流程 (4)四、源程序代码及运行结果 (6)1、超立方 (6)1.1超立方的源程序代码 (6)1.2运行结果 (11)2、网孔连接 (11)2.1源程序代码 (11)2.2运行结果 (18)3、在数学软件中的计算结果 (19)五、算法分析、优缺点 (19)1、简单的并行分块乘法的过程为 (19)2、使用Cannon算法时的算法分析 (20)3、算法的优缺点 (21)六、总结 (22)参考文献 (23)一、题目及要求1、题目简单并行分块乘法：（1）情形1: 超立方连接；（2）情形2：二维环绕网孔连接已知,177511195310135411274329,75638957123142120143321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=B A 求B A C ⨯=。
2、要求（1）题目分析、查阅与题目相关的资料； （2）设计算法；（3）算法实现、代码编写； （4）结果分析和性能分析与改进； （5）论文撰写、答辩；二、设计算法、算法原理要考虑的计算问题是C=AB,其中A 与B 分别是n n ⨯矩阵。
①A 、B 和C 分成p p p ⨯=的方块阵ij A ,ij B 和ij C ,大小均为pnp n ⨯，p 个处理器编号为1,1, (1)0,....,0,0---p p p pp p , ij P 存放ij A ,ij B 和ij C 。
②通讯:每行处理器进行A 矩阵块的多到多播送(得到ik A , k=0~1-p ) 每列处理器进行B 矩阵块的多到多播送(得到kj B , k=0~ 1-p )③乘-加运算: ij P 做kj p k ikij B AC ∑-==1三、算法描述、设计流程3.1算法描述超立方情形下矩阵的简单并行分块算法 输入：待选路的信包在源处理器中 输出：将原处理器中的信包送至其目的地 Begin（1） for i=1 to n do11--⊗=i i i d s r endfor(2) S V i ==,1 (3) while n i ≤do(3.1)if 1=i r then 从当前节点V 选路到节点为V ⊗1 （3.2）1+=i i endwhile End二维网孔情形下矩阵的简单并行分块算法 输入：待选路的信包处于源处理器中 输出：将各信包送至各自的目的地中 Begin（1） 沿x 维将信包向左或向右选路至目的地的处理器所在的列 （2） 沿y 维将信包向上或向下选路至目的地的处理器所在的行 分块乘法算法//输入: n n A ⨯,n n B ⨯ ; 子快大小均为pn pn ⨯输出: n n C ⨯nBegin(1)for i=0 to 1-p do for all par-do ij p if i>k then ij A ←()mod ,1j i A +endifif j>k thenij B ← B (i+1)mod , j endif endfor endforfor i=0 to 1-p do for all ij p par-do ij C =ij A +ij B endfor Endfor End3.2设计流程以下是二维网孔与超立方连接设计流程。
分块矩阵及其运算共21页
则
AB
A11 0
0 B11
A22
0
0 B22
A11 B11
0
0
A2
2
B
2
2
因 A11 B22
2,
A22 B22
1 3
2 4
4
6
8
2
8 1 2
4
16
2 0 0
所以AB
0
8
4
0 12 16
线
0
B
22
性
代
数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
▪乘法
线
Amn, Bnp,设对A关于列的分法与对B关于行的分法
相同,分别得分块矩阵
性
A11 A12 L A A21 A22 L
A1t
B11 B12 L
Байду номын сангаасA2t
,
B
B21
B22
L
B1s
B2s
代
M M
M
Ar1
Ar2
L
Art
M M
M
Bt1
Bt2
L
Bts
数
=
即Ai1, Ai2,L , Ait的列数等于B1j,B2j,L ,Btj的行数
i1,L,r; j 1,L,s
1,L
,s)
性
A
s
s
代
A 1 11
都 可 逆 ,则 A -1=
A 1 22
O
数
=
A
1 ss
=
1.4 分块矩阵及其运算
1 2 0 0 0
2 3 0
0
0
线
分块乘法的初等变换及应用介绍举例
分块乘法的历史与发展
01
分块乘法的思想起源于19世纪中叶，当时主要用于解决线性方 程组问题。
02
随着计算机技术的发展，分块乘法在数值计算、图像处理、机
器学习等领域得到了广泛应用。
近年来，分块乘法的研究主要集中在算法优化、并行计算等方
03
面，以提高计算速度和效率。
分块乘法的应用场景
图像处理
在图像处理中，分块乘法可以用 于图像压缩、图像变换等算法中 ，提高计算效率。
数值积分和微分
在数值分析中，分块处理被积函数或被微分函数，可以提高数值积分的精度和数值微分的稳定性 。
有限元分析
在有限元分析中，将连续的求解域划分为有限个小的、互不重叠的子域（即分块），然后在每个 子域上应用近似函数进行计算。
分块乘法在图像处理中的应用
图像压缩
通过将图像分块，可以对每个分块进行压缩编码， 从而实现图像的压缩存储和传输。
应用领域拓展
分块乘法将逐渐应用于更多领域，如机器学习、图像处理等。
分布式计算
利用分布式计算技术，实现大规模分块乘法的并行计算，提高计 算能力。
分块乘法的未来应用
科学计算
在科学计算领域，分块乘法将用于解决大规模线性方 程组、矩阵运算等问题。
数据处理
在数据处理中，分块乘法可用于加速大规模数据的分 析和处理。
图像增强
将图像分块后，可以对每个分块进行不同的处理， 从而实现图像的局部增强。
图像特征提取
将图像分块后，可以提取每个分块的特征，从而 进行图像识别、目标检测等任务。
04
分块乘法的优缺点分析
分块乘法的优点
计算效率高
分块乘法将大矩阵的乘法转换为多个小矩阵的乘法，减少 了计算量，提高了计算效率。
分块矩阵的各种运算
分块矩阵是一种将矩阵分割成若干个子矩阵的特殊矩阵。
通过对分块矩阵进行运算，我们可以更方便地处理一些大规模的矩阵问题。
以下是分块矩阵的几种常见运算：
分块矩阵的加法
分块矩阵的加法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相加，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1+B1,A2+B2,...,An+Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的减法
分块矩阵的减法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相减，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1-B1,A2-B2,...,An-Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的乘法
分块矩阵的乘法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相乘，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1B1,A2B2,...,An*Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的转置
分块矩阵的转置是指将分块矩阵的子矩阵分别进行转置，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设一个分块矩阵 A，其分块形式为 (A1,A2,...,An)，则 A 的转置矩阵 AT 可以表示为(A1T,A2T,...,AnT)。
通过对分块矩阵进行以上几种运算，我们可以更好地处理大规模的矩阵问题。
同时，这些运算也具有很好的递推性质，可以通过递归的方式进行计算，进一步降低了计算的复杂度。
1-4 分块矩阵
１－４ 分块矩阵一、ｍ⨯ｎ矩阵的子式［Ｐ２８ 定义及例子］方阵的前主子矩阵［Ｐ２８ －８行——－４行］二、矩阵的分块方法及分块矩阵［Ｐ２８ －２行－Ｐ２９ １６行］ 三、分块矩阵的运算：［Ｐ２９－３０］分块矩阵相等：Ａ、Ｂ行数算等、列数等；分块方式相同，对应子块相等。
加法：Ａ、Ｂ行数算等、列数等；分块方式相同，对应子块相加。
数与矩阵乘法：（无条件）用数ｋ乘分块矩阵的每一个子块。
转置：将分块矩阵的行变成列，同时把每个子块转置。
分块乘法[重点]：例［补充］分块体现Ａ的结构特点 Ｂ的行的分法必须与Ａ的列的分法一一致Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1011012100100001＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2120E A E ，Ｂ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0211140110212301＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21B B 。
ＡＢ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2120E A E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21B B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22112120B E B A B B E ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2111B B A B［注］左因子矩阵的子块作左因子；右因子矩阵的子块作右因子。
Ａ１Ｂ１＋Ｂ２＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-102123011121＋⎥⎦⎤⎢⎣⎡--02111401＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33200343＋⎥⎦⎤⎢⎣⎡--02111401＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--35111142ＡＢ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3511114210212301 说明：分块运算结果与直接做矩阵乘法一致，但这里只求乘积Ａ１Ｂ１，故简单些。
读Ｐ３０－３１书中例子。
矩阵分块乘法法则：Ｐ３１：－１５――１１行；Ｐ３１：－１０行－Ｐ３２：８行。
四、分块对角矩阵（准对角矩阵）例１．１１ ［Ｐ３２］设矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8000000700023000001000011，求Ａ２。
解：将Ａ分块为Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8000000700023000001000011＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡３２１ＡＡＡ， ［主对角线上各子块都是小方阵，而其它子块全是零子块，称为分块对角矩阵。
矩阵的乘法例题
矩阵的乘法例题矩阵的乘法是线性代数中的一个重要概念，它可以用来表示多个线性变换的组合，或者是多个线性方程组的求解。
矩阵的乘法也有一些特殊的性质和规律，需要我们掌握和运用。
本文将介绍矩阵的乘法的定义、性质、计算方法和一些典型的例题。
矩阵的乘法的定义给定两个矩阵A 和B ，如果A 是m×n 的矩阵，B 是n×p 的矩阵，那么我们可以定义A 和B 的乘积为一个m×p 的矩阵C ，其元素由下式给出：C ij =n ∑k =1A ik B kj ,i =1,2,…,m ;j =1,2,…,p也就是说，C 的第i 行第j 列的元素，等于A 的第i 行与B 的第j 列对应元素相乘再相加。
这种运算也叫做点积或内积。
注意，要求A 和B 相乘，必须满足A 的列数等于B 的行数，否则无法进行点积运算。
因此，矩阵的乘法不是任意两个矩阵都可以进行的。
矩阵的乘法的性质矩阵的乘法有以下一些基本的性质：结合律：如果A ，B ，C 都是可以相乘的矩阵，那么(AB )C =A (BC )分配律：如果A ，B ，C 都是可以相乘的矩阵，那么A (B +C )=AB +AC ，(A +B )C =AC +BC单位元：存在一个特殊的方阵I ，称为单位矩阵，它满足对任意可以相乘的矩阵A ，都有AI =A ，IA =A 。
单位矩阵就是对角线上全是1，其他位置全是0的方阵。
零元：存在一个特殊的矩阵O ，称为零矩阵，它满足对任意可以相乘的矩阵A ，都有AO =O ，OA =O 。
零矩阵就是所有元素都是0的矩阵。
转置：如果A 和B 都是可以相乘的矩阵，那么(AB )T =B T A T 。
其中T 表示转置运算，就是把矩阵沿着主对角线反转。
需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，也就是说一般情况下AB ≠BA 。
这一点和普通数学中的乘法不同，需要特别注意。
矩阵的乘法的计算方法根据定义，我们可以按照如下步骤计算两个矩阵A 和B 的乘积：首先检查A 和B 是否可以相乘，即A 的列数是否等于B 的行数。
矩阵乘法
矩阵乘法编辑矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。
矩阵，是线性代数中的基本概念之一。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。
中文名矩阵乘法外文名Matrix multiplication基本性质结合性等类别对称矩阵等应用学科数学应用领域代数1适用范围2C语言程序3相关符号4基本性质5特殊类别6经典题目7乘法算法1适用范围编辑只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。
一个m×n的矩阵a(m,n)左乘一个n×p的矩阵b(n,p)，会得到一个m×p的矩阵c(m,p)。
左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，比如说,A左乘E即AE。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和约去律一般的矩乘要结合快速幂才有效果。
（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）在计算机中，一个矩阵实际上就是一个二维数组。
一个m行n列的矩阵与一个n行p 列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数为第一个矩阵第i行上的n个数与第二个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i）行第二（j)列）=2（第一个矩阵第二(i)行第一列）*2（第二个矩阵中第一行第二(j)列）+0（第一个矩阵第二(i)行第二列）*1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：2C语言程序编辑#include<stdio.h>int p, q, k;int fun(float A[][2], float B[][1]{float C[2][1] = { 0 };for (p = 0; p < 2; ++p){for (q = 0; q < 1; ++q){for (k = 0; k < 2; ++k)C[p][q] += A[p][k] * B[k][q];}}for (p = 0; p < 2; p++){for (q = 0; q < 1; q++){printf("%f", C[p][q]);printf("\n");}}return 0;}int main(){float A[2][2] = { 1, 1, 2, 1 }, B[2][1] = {2, 1}; printf("矩阵A*矩阵B为:\n"); // 计算两个矩阵相乘；以[2][2]*[2][1]为例fun(A, B);system("pause");return0;}程序运行结果示例：一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;vari,j,k : longint;c : Tmatrix;beginfillchar( c , sizeof( c ) , 0 );for k:=0 to n dofor i:=0 to m dofor j:=0 to p dobegininc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );if c[ i , j ] > ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;end;mul:=c;end;这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
分块矩阵及其运算
线
0 B22 性
代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
乘法
线 性
Am×n , Bn× p , 设对A关于列的分法与对B关于行的分法 相同, 分别得分块矩阵 A11 A 21 A= Ar1 A12 A22 Ar 2 A1t B11 B A2t , B = 21 Art Bt1 B12 B1s B22 B2 s Bt 2 Bts
A22
A11 = Amm
n n
ij
A22
n
n Amm
ij
线 性 代 数
其中A (I=1,2,…,m) ,m)均为方阵 其中Aii(I=1,2,…,m)均为方阵
例 1 . 13 . 设 A = ( a 则 Ab 的第 j 列为 )
m × n
, B = (b
线 性 代 数
k 0 kA = 0 0
0
k
k 2k 0 k 0 0
7 1 14 2 AB = 6 3 0 2
3k 2 2 2 1 4k , A+ B = 6 3 0 k 0 2 1 3 2 4 1 0 0 1
1 3 2 4 0 0 0 0
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 1 2
线 性 代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例
设A,C分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：
0 矩阵X = C A 0 C 1 也可逆, 且X 1 = 1 0 0 A
线
B1 1 解： X = 设 B 3
B2 AB3 1 , XX = CB B4 1
sgemm矩阵算法
sgemm矩阵算法sgemm矩阵算法是一种常用的矩阵乘法算法，它在科学计算、机器学习和图像处理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍sgemm矩阵算法的原理、优化方法以及应用场景。
一、矩阵乘法简介矩阵乘法是线性代数中的一项重要运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作C，C的元素c[i][j]等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。
矩阵乘法可以用于解线性方程组、计算特征值和特征向量等众多数学和科学计算问题。
sgemm矩阵算法是一种基于分块矩阵的优化算法。
它将大矩阵的计算任务划分为小矩阵的计算任务，通过利用计算机的并行计算能力来提高计算效率。
具体来说，sgemm算法将矩阵A和B分割成若干个小块，分别为A 的子矩阵A[i][k]和B的子矩阵B[k][j]，其中i、j和k分别表示矩阵的行和列索引。
然后，对于每个子矩阵A[i][k]和B[k][j]，计算它们的乘积得到子矩阵C[i][j]。
最后，将所有的子矩阵C[i][j]合并得到最终的结果矩阵C。
三、sgemm矩阵算法的优化方法1. 高效的内存访问模式：由于矩阵计算时存在数据依赖关系，为了减少内存访问延迟，可以采用局部存储（loop blocking）的方法，将一部分子矩阵加载到高速缓存中进行计算。
2. 向量化指令优化：现代计算机通常支持SIMD（单指令多数据流）指令集，通过使用SIMD指令，可以同时对多个数据进行计算，提高计算效率。
3. 并行计算优化：对于大规模的矩阵乘法计算，可以利用多核处理器或者分布式计算系统进行并行计算，提高计算速度。
四、sgemm矩阵算法的应用场景sgemm矩阵算法在科学计算和机器学习领域有着广泛的应用。
例如，在深度学习中，神经网络的前向传播过程可以看作是大规模矩阵乘法的计算，sgemm算法可以用于加速神经网络的计算过程，提高训练和推理的效率。
此外，sgemm算法还可以用于图像处理、信号处理和数据分析等领域。
分块矩阵的知识点
分块矩阵的知识点分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和矩阵分析中扮演着关键角色。
分块矩阵将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵，从而简化了复杂的矩阵运算和计算过程。
本文将介绍分块矩阵的基本概念、构造方式以及在矩阵运算中的应用。
1.分块矩阵的定义分块矩阵是由若干个小的子矩阵组成的大矩阵。
这些子矩阵可以是任意大小和形状，而且它们可以是实数矩阵或复数矩阵。
分块矩阵可以表示为如下形式：A=[A11A12A21A22]其中A ij表示分块矩阵A的第i行第j列的子矩阵。
2.分块矩阵的构造方式分块矩阵的构造方式有多种，常见的有水平分块和垂直分块两种方式。
–水平分块：将大矩阵按行划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]–垂直分块：将大矩阵按列划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]分块矩阵的构造方式可以根据实际问题的需求选择，不同的构造方式对于矩阵运算的简化程度有所差异。
3.分块矩阵的运算分块矩阵的运算可以通过对子矩阵进行逐个操作来完成。
常见的分块矩阵运算包括矩阵的加法、乘法和转置。
–矩阵的加法：对应位置的子矩阵进行相加。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其加法运算可以表示为：A+B=[A11+B11A12+B12A21+B21A22+B22]–矩阵的乘法：通过子矩阵的乘法和求和得到结果。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其乘法运算可以表示为：AB=[A11B11+A12B21A11B12+A12B22 A21B11+A22B21A21B12+A22B22]–矩阵的转置：将子矩阵沿主对角线进行交换。
例如，对于一个分块矩阵A，其转置运算可以表示为：A T=[A11T A21TA12T A22T]通过分块矩阵的运算，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
4.分块矩阵的应用分块矩阵在各个领域中都有广泛的应用，特别是在数值计算和矩阵分析中。
分块矩阵
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1 13
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x22 xnn b
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则
Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1,, s; w 1,,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
A11
A
cuda 矩阵分块乘法
CUDA矩阵分块乘法1. 引言在计算机科学中，矩阵乘法是一种非常重要且广泛应用的计算操作。
然而，当涉及到大规模矩阵的乘法时，传统的串行算法往往无法满足性能要求。
为了加速矩阵乘法运算，我们可以利用图形处理器（GPU）的并行计算能力。
CUDA（Compute Unified Device Architecture）是一种由NVIDIA开发的并行计算平台和编程模型，它允许开发者利用GPU进行高效的并行计算。
本文将介绍如何使用CUDA实现矩阵分块乘法（Matrix Block Multiplication），以进一步提升矩阵乘法运算的性能。
2. 矩阵分块乘法原理矩阵分块乘法是一种优化技术，它将大规模矩阵乘法问题转化为多个小规模矩阵乘法问题，并通过合理地划分和组织计算任务来提高并行度和数据局部性。
具体而言，对于两个大小为N×N的方阵A和B，我们可以将其划分为大小为n×n的子块，并按以下方式进行计算：1.将A和B划分为大小为n×n的子矩阵Aij和Bij；2.分别计算每个子矩阵的乘积Cij = Aij * Bij；3.将所有Cij的结果合并得到最终的结果矩阵C。
通过这种方式，我们可以将原本复杂的N×N矩阵乘法问题转化为多个较小规模的n×n矩阵乘法问题。
由于这些小规模问题可以并行计算，因此可以充分利用GPU的并行计算能力。
3. CUDA编程模型在使用CUDA进行并行编程时，我们需要了解一些基本概念和编程模型。
3.1 线程层次结构CUDA将并行计算任务划分为多个线程块（Thread Block），每个线程块包含多个线程（Thread）。
线程块是GPU上最小的调度单位，而线程是执行计算任务的最小单位。
线程块和线程之间可以通过共享内存进行通信和协作。
3.2 内存层次结构在CUDA中，存在多级内存层次结构。
全局内存（Global Memory）是GPU上所有线程可访问的共享内存空间，但其访问速度较慢。
分块矩阵乘法的分块原则
分块矩阵乘法的分块原则在数学的世界里，分块矩阵乘法就像是一场舞会，各种矩阵在舞池中翩翩起舞。
大家可能会想，分块矩阵乘法究竟是个啥玩意儿？简单来说，就是把一个大矩阵拆分成几个小矩阵，然后分别进行乘法运算，再把结果合并起来。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢聊，保证你听完后能把这个概念吃透。
想象一下，你有一块巨大的巧克力蛋糕，太大了，一口吃不下去。
于是你决定把它切成小块，分给朋友们。
每个人一块，大家都开心。
分块矩阵乘法其实就是这个道理。
大矩阵就像那块蛋糕，分块后每个小矩阵就变成了一个个小块。
你可以先计算小块之间的乘法，然后再把结果合并。
这个过程不仅让计算变得简单，也让你能更好地掌控每一步，就像做蛋糕时逐层叠加一样。
说到这里，可能有人会问，这样做有什么好处呢？嘿，分块的魔力就在于提高计算效率！想象一下，你要在家里清理一大堆玩具。
假如你一次性把所有的玩具都收进一个箱子，可能要费不少劲儿。
可要是你分成几组，先收一组再收另一组，效率立刻提高。
矩阵乘法也是如此。
把大矩阵分块之后，能充分利用计算机的内存，提高运算速度。
这个技巧在处理大规模数据时简直就是个神器。
再聊聊具体的操作吧。
假设你有两个矩阵，一个是A，另一个是B，大小分别是m×n和n×p。
现在，如果我们把它们都分成小块，A被划分为四个小矩阵，B也分成四个小矩阵。
于是，我们可以分别计算这些小块的乘积，然后再把结果拼起来。
这就像是拼图游戏，每一块都能完美契合，最后组成一幅美丽的画面。
在这个过程中，得注意小块的大小。
如果小块太大，计算可能又变得笨重。
如果小块太小，又会增加合并的次数，得不偿失。
就像做饭，调料放得多了少了都不好，得拿捏好那个度。
找到一个合适的平衡点，才能让整个过程顺畅无比。
说到这里，咱们得提到一个小技巧，那就是用矩阵的行列式来判断可乘性。
记得矩阵的行列数得对得上，这样才能顺利乘法。
就好比，朋友们来你家聚会，得提前确认人数，才能准备好够的零食和饮料。
矩阵乘法tile分块
矩阵乘法tile分块简介矩阵乘法是线性代数中的重要概念，它在科学计算、机器学习等领域都有广泛的应用。
然而，在大规模矩阵乘法的计算过程中，计算复杂度往往非常高，为了加速计算过程，研究者们提出了许多优化算法，其中之一就是矩阵乘法的tile分块。
什么是tile分块Tile分块方法是将矩阵划分为多个相等大小的块，然后进行计算。
首先将矩阵按照一定大小划分成小块，然后将小块两两进行相乘并累加到最终结果矩阵中。
这种方法的优点是可以将数据局部化，减少数据的访问次数，从而提高计算效率。
tile分块的原理Tile分块的原理是基于计算机缓存的工作原理和空间局部性原理。
在计算矩阵乘法时，每次计算与数据的访问时间相比，计算时间很短，因此有效地利用缓存可以提高计算性能。
而tile分块方法正是通过将矩阵划分为多个小块，将数据局部化，使得计算时只需要访问局部的数据，减少了缓存的命中率，从而提高了计算效率。
tile分块的步骤Tile分块的步骤主要包括矩阵划分、块内计算和块间通信三个过程。
1. 矩阵划分：将待计算的矩阵按照一定大小划分成多个小块。
一般情况下，小块的大小越大，计算的并行度越高，但是也会增加通信的开销。
2. 块内计算：对每个小块进行矩阵乘法计算。
3. 块间通信：将每个小块的计算结果进行累加，得到最终的结果矩阵。
tile分块的优势矩阵乘法的tile分块方法相较于常规的矩阵乘法有以下优势： - 局部性：tile分块方法能够将计算过程中的数据局部化，减少了数据的访问次数，提高了计算效率。
- 并行性：通过将矩阵划分为多个小块，实现了并行计算的可能性，提高了算法的运行速度。
- 缓存友好：tile分块方法能够更好地利用计算机缓存，提高了计算效率。
tile分块的应用Tile分块方法在科学计算和机器学习等领域都有广泛的应用，例如： - 图像处理：在图像处理中，常常需要对图像进行卷积运算，而卷积运算可以看作是矩阵乘法的一种特殊形式。