《教学案例等比数列求和》教学案例
等比数列的求和教案
等比数列的求和教案一、引言数列是数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊形式。
在解决等比数列问题时，求和是一个常见的需求。
本教案将介绍如何求解等比数列的求和问题，帮助学生掌握解题技巧。
二、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与前一个数的比值都相等的数列。
具体而言，如果一个数列的通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数，则这个数列为等比数列。
三、等比数列的求和公式在求等比数列的和时，可以使用以下公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示等比数列前n项的和，a1为首项，r为公比。
四、教学步骤为了帮助学生理解等比数列的求和过程，我们将按照以下步骤进行教学：Step 1: 引入概念首先，我们会引入等比数列的概念，并通过具体的数列示例来说明等比数列是如何构成的。
Step 2: 推导求和公式接下来，我们将通过推导的方式得出等比数列求和的公式，让学生能够理解公式的来由，并通过实际例子进行验证。
Step 3: 解题示例在这一步骤中，我们将给出一些实际的问题，让学生运用所学的公式解决等比数列求和的问题。
教师可以给予学生一些指导，鼓励他们独立思考和解答问题。
Step 4: 练习题最后，我们将给学生一些练习题，让他们在课后巩固所学知识。
这些题目既包括应用题，也包括理论题，以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
五、教学反馈在教学结束后，教师可以与学生进行互动交流和反馈。
可以找学生上台讲解解题过程，或者进行小组合作讨论。
通过反馈，可以检验学生对等比数列求和的掌握情况。
六、教学延伸如果学生对等比数列求和已经掌握得很好，可以进行一些拓展讨论。
比如，介绍等比数列的性质和应用，以及更高阶的数列求和问题。
七、总结通过本教案的学习，学生应该能够掌握等比数列求和的基本技巧和方法。
同时，也明白了等比数列的应用和重要性。
教师可以进一步引导学生拓展思维，培养他们独立解决问题的能力。
等比数列求和(详细教案)
= .
⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率.
例3某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项 的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
变式3：等比数列 中， （答案： ）
2.等比数列前n项和 的性质
（1）在等比数列 中， ，...，也成等比数列，公差为
注意：是 ，...，成等比数列，而不是 ，...；
（2）若项数为2n，则
（3）
（4） 为等比数列
例2一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数（答案：2,8）
变式1一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求
变式2设 是由正数组成的等比数列， 是其前n项和，证明 ；（2）求证：等比数列中有
变式3已知等比数列 中， 求
3.等比数列常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4.设{an}是等比数列，且a1= ，S3= ，则它的通项公式为an= ( )
(A) (B) (C) (D) 或
5.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().
等比数列前n项和教学教案
等比数列前n项和教学教案第一章：等比数列的概念1.1 等比数列的定义引导学生复习数列的概念，引入等比数列的定义。
通过示例，让学生理解等比数列的特点，即相邻两项的比值相等。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的性质，如通项公式的推导，公比的确定等。
利用性质解决问题，例如求等比数列的某一项或某几项的和。
第二章：等比数列的通项公式2.1 通项公式的定义和推导引导学生复习数列的通项公式，引入等比数列的通项公式。
通过示例，让学生理解通项公式的应用，能够求出等比数列的任意一项。
2.2 通项公式的运用利用通项公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考通项公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第三章：等比数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义和推导引导学生复习数列的前n项和的概念，引入等比数列的前n项和公式。
通过示例，让学生理解前n项和公式的应用，能够求出等比数列的前n项和。
3.2 前n项和的运用利用前n项和公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考前n项和公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第四章：等比数列的求和公式4.1 求和公式的定义和推导引导学生复习数列的求和公式，引入等比数列的求和公式。
通过示例，让学生理解求和公式的应用，能够求出等比数列的前n项和。
4.2 求和公式的运用利用求和公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考求和公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第五章：等比数列前n项和的性质5.1 等比数列前n项和的性质探讨等比数列前n项和的性质，如对公比的依赖性，与项数的关系等。
利用性质解决问题，例如判断等比数列前n项和的符号。
5.2 等比数列前n项和的运用利用前n项和的性质解决实际问题，例如判断等比数列前n项和的符号。
引导学生思考前n项和的性质在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第六章：等比数列前n项和的计算方法6.1 利用通项公式计算前n项和引导学生利用通项公式计算等比数列的前n项和。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握等比数列的概念和性质；理解等比数列求和公式的推导过程；能够运用等比数列求和公式解决实际问题；2.过程与方法目标：合作探究，培养学生的自主学习能力；让学生在实践中运用公式，提高思维能力；3.情感态度与价值观目标：培养学生合作意识和团队精神；加深学生对数学知识的兴趣；培养学生的分析问题和解决问题能力；二、教学重点与难点：1.教学重点：等比数列的概念和性质；2.教学难点：如何引导学生理解和掌握等比数列求和公式的推导过程；如何在实际问题中运用等比数列求和公式；三、教学准备：1.教学资料：教材、课件、黑板、书写工具等；2.实验器材：计算器；3.教学环节和内容安排：导入新课、概念讲解、公式推导、例题演示、合作探究、课堂练习、总结与布置作业。
四、教学过程：1.导入新课（10分钟）通过提问学生已学的等差数列的求和公式，引导学生回顾和思考，并激发学习等差数列求和公式的兴趣。
老师问：“大家回忆一下，我们之前学过的等差数列能用什么方法求和呢？”学生回答：“可以用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2、”老师说：“非常好，那么我们今天来学习一下等比数列的求和公式。
”2.概念讲解（15分钟）a.等比数列的概念：老师出示等比数列的定义：“等比数列是指一个数列中后一项是前一项乘以同一个固定的数。
”b.等比数列的性质：老师通过举例子来解释等比数列的性质。
-等比数列首项为a，公比为r，第n项为an，则有如下性质：an=a*r^(n-1)（其中，^表示乘方运算）a(n-1)=a*r^n（其中，n-1表示n-1项）(an/an-1)=r（相邻项的比值恒为r）- 当公比，r，<1时，等比数列的前n项和的极限为S=infinity当公比，r，=1时，则无极限值。
当公比，r，>1时，等比数列的前n项和的极限为S=a/(1-r)3.公式推导（15分钟）a.老师引导学生思考如何推导等比数列的求和公式。
等比数列求和优秀教学设计
等比数列求和优秀教学设计一、引言数学是一门理论性和实践性相结合的学科，在学习数学的过程中，很多学生常常会遇到难以理解和掌握的概念和知识点。
作为教师，我们需要设计有效的教学方案，以帮助学生理解和应用数学知识。
本文将以等比数列求和为例，探讨一个优秀的教学设计。
二、教学目标1. 理解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列的通项公式和求和公式；3. 能够应用等比数列的求和公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：a. 具备等比数列的相关知识；b. 精心设计课堂教学活动。
2. 学生准备：a. 已掌握等比数列的基本概念；b. 具备一定的数学计算能力。
四、教学过程1. 导入环节在课堂开始时，可以提出一个问题：在日常生活中，有哪些例子可以用等比数列来描述？引导学生回忆和分享自己的观察和思考。
2. 概念讲解通过幻灯片或白板，向学生展示等比数列的概念和性质，并解释其通项公式和求和公式的推导过程。
可以通过具体的实例来说明等比数列的特点和规律。
3. 探究活动将学生分成小组，每个小组设计一个等比数列求和的实际问题。
可以是某家公司的销售额，或者某种动物繁殖的数量等。
要求学生根据实际情况，确定等比数列的首项、公比和项数，并计算出求和的结果。
4. 教师辅助在学生进行探究活动的过程中，教师需要提供必要的指导和支持。
可以通过与学生的讨论，引导他们找出正确的解题思路和方法。
5. 小结与总结在学生完成探究活动后，教师组织全班讨论，总结等比数列求和的关键步骤和方法。
并引导学生应用所学知识解决其他类似的问题。
六、教学评价教师可以通过以下方式进行教学评价：1. 观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 检查学生完成的课堂练习和作业；3. 针对学生的理解程度和能力水平，进行个别或小组评价；4. 收集学生的反馈意见，了解教学效果和改进方向。
七、结语通过本文的教学设计，我们可以看到等比数列求和的教学过程充满了趣味性和互动性，激发了学生的学习兴趣和主动性。
等比数列求和教案
等比数列求和教案
一、教学目标
1.理解等比数列求和公式的推导过程和含义；
2.能够运用等比数列求和公式解决实际问题；
3.培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
二、教学内容
1.等比数列求和公式的推导；
2.等比数列求和公式的应用。
三、教学重点与难点
重点：等比数列求和公式的推导和应用。
难点：理解等比数列求和公式的本质，解决较复杂的等比数列求和问题。
四、教具和多媒体资源
1.黑板；
2.投影仪；
3.教学软件：PPT。
五、教学方法
1.激活学生的前知：回顾等差数列求和公式及其推导方法；
2.教学策略：通过讲解、示范、小组讨论、案例分析等方式，
使学生掌握等比数列求和公式及其应用；
3.学生活动：小组讨论、案例分析、解题练习。
六、教学过程
1.导入：通过回顾等差数列求和公式及其推导方法，引出等
比数列求和公式的推导方法。
2.讲授新课：通过讲解、示范、小组讨论等方式，引导学生
推导等比数列求和公式，并理解其含义和应用。
3.巩固练习：通过案例分析、解题练习等方式，让学生运用
等比数列求和公式解决实际问题。
4.归纳小结：总结等比数列求和公式的推导方法和应用，强
调解题思路和技巧。
七、评价与反馈
1.设计评价策略：小组讨论、案例分析、解题练习等；
2.为学生提供反馈，针对不同学生的情况给予建议和指导，
以便学生更好地理解和掌握等比数列求和公式及其应用。
八、作业布置
1.完成教学软件中的相关练习题；
2.自己收集一些等比数列求和的实际问题，尝试运用所学知
识解决。
我的教学设计《等比数列求和》
我的教学设计《等比数列求和》一、教学目标1. 了解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列通项公式的推导和应用；3. 掌握等比数列前n项和的公式的推导和应用；4. 能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点：1. 等比数列通项公式的推导和应用；2. 等比数列前n项和的公式的推导和应用。
教学难点：1. 教师如何引导学生发现等比数列的规律；2. 学生如何理解等比数列通项公式和前n项和公式的推导过程。
三、教学过程1.引入（5分钟）教师出示一组数列：2, 4, 8, 16, 32…，问学生如何推算下一个数是多少。
学生可能会发现：每个数是上一个数乘以2得到的。
教师引导学生思考这个数列的规律，引入等比数列的概念。
2.概念讲解（10分钟）教师给出等比数列的定义，即每一项都是前一项乘以同一个非零常数q得到的数列。
然后详细讲解等比数列的性质，包括：公比是固定的；任何一个非零项都可以看作是第一项乘以公比的若干次方等等。
3.通项公式的推导（30分钟）教师以2, 4, 8, 16, 32…为例，引导学生推导出等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)。
教师先让学生用数学归纳法求出n=2时的通项公式，再让学生通过误差法求出q的值，最后求出n通项公式的公式式。
4.通项公式的应用（15分钟）教师通过实例讲解通项公式的应用，如：已知数列的前两项为1和3，求第10项的值；已知数列的前三项为2，6，18，求第8项的值等等。
5.前n项和公式的推导（30分钟）教师以2, 4, 8, 16, 32…为例，引导学生推导出等比数列前n项和的公式Sn=（a1(1-q^n)）/（1-q）。
教师先让学生通过数学归纳法求出n=2时的前n项和公式，再通过误差法求得q的值，最后推出n的公式。
6.前n项和公式的应用（10分钟）教师通过实例讲解前n项和公式的应用，如：已知数列的前两项为1和3，求前5项的和；已知数列的前三项为2，6，18，求前4项的和等。
等比数列教学案例
等比数列教学案例第一篇：等比数列教学案例等比数列求和教学案例等比数列求和公式的推导,是数列教学的难点,推导的方法学生不易理解,但是其求和的方法,思路在后面一般数列求和里面有着非常重要的作用.本案例试着利用问题教学的模式让学生自己去寻找.1、案例师：西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注，其中一个重要的举措即是退耕还林。
王师傅是当地一名热心群众，退休后，他决心用一个月的时间做下面的事：第一天，他自已种一棵树；第二天，他发动两个人和他一起每人做一棵树；第三天，这三个人每人再发动两个人加入他们的行列，每人种一棵树。
如此继续，持续了一个月（30天计）。
请问他们能让多少耕地还林？对此我们需要考虑哪些问题？生：就是森林覆盖的面积问题.所以要求出30天种树的总量，以及相邻两树之间的距离。
师：这是一个实际问题，为了简便起见，我们假设任何相邻两树间的距离都是0.5米。
因此剩下的问题即是求树的总数，大家可以尝试着做一下。
（学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）师：有同学求出来了吗？生：我发现他们第一天种1棵，第二天种3棵，第三天种9棵，第四天种27棵，依次类推，他们每天种的树构成一个以1为首项，3为公比的等比数列。
所以。
但我算不出来。
S30=1+3+32+Λ+329（1）师:当数列项数比较多时,那么一项一项累加就比较繁琐;为了又快又巧地解决这个问题.我们通常有两种思路: 一种就是在项数仍然较多的情况下，使得每一项都相同，即将之特殊化，如前面提到的高斯求和的方法。
生:老师,这个方法我们试过了，S30=329+328+327+Λ+1∴2S30=(1+329)+(3+328)+(32+327)+Λ+(1+329)但是下面就没有办法了.因为括号里的不是全部相等.师：对的非常好.,所以我们应该去考虑另一种方法,那就是想办法抵消一些项，使之转化为只有几项相加减的情况。
对于等比数列求和，我们采用后一种思路。
即求和关键是要消去中间过多的项。
等比数列求和教案
2.5等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写 Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第66页第1.2.3题[课堂小结](1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2)如果已知a1, a n,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个《等比数列的前n项和》教学案例设计一、设计思想1、设计理念本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。
等比数列的求和公式教案
保康县中等职业技术学校数学导学案授课人：卢长凤课题：等比数列的求和公式 导学案教学过程设计一、情境导入 创设情景 激发兴趣 自主解决：无 二、自主探究探究一 等比数列的求和公式一的推导国王的奖励到底能否兑现？（老师引导学生用错位相减法进行操作）设等比数列{}n a 的前n 项和为.321n n a a a a S ++++= (1) 将(1)式的两边同时乘以q ，得2341+=+++++ n n n qS a a a a a ． (2)用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得()()1111111+-=-=-⋅=-n nn n q S a a a a q a q ． (3)当1≠q 时，由(3)式得等到数列{}n a 的前n 项和公式知道了等比数列{}n a 中的1a 、n 和),1(≠q q ，利用此公式直接计算n S ．探究二 等差数列的求和公式二的推导将等比数列的通项公式代入上面的求和公式可得到当1=q 时，等比数列的各项都相等，此时它的前n 项和为（若知道等比数列的1a 、n 和q ，利用该公式更科学）三、互动质疑例1 写出等比数列 ,27,9,3,1--的前n 项和公式并求出数列的前8项的和（三个用意：一是学生将文字命题转化为字母的能力，二是公式的选择，三是公式的初步应用，当然计算能力的培养也不容忽视）例2 一个等比数列的首项为49，末项为94，各项的和为36211，求数列的公比并判断数列是由几项组成．（旨在培养学生将文字命题转化为数字的能力以及计算的技巧 ）例3现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为 646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-，据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！ 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？（旨在学以致用）例4 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）（旨在体会生活中的数学，如何 用数学知识去解决实际问题）四、检测反馈1．求等比数列91，92，94，98，…的前10项的和． 2．已知等比数列｛n a ｝的公比为2，4S ＝１，求8S 求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和． 张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?五、 总结提升：1、 理解等比数列的求和公式，并会正确选择公式和熟练计算 六、教学反思：。
等比数列求和公式教案
等比数列的前n 项和公式教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用；难点是公式的推导方法及公式在实际问题中应用 ．教学过程:1引入设问：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？写出麦粒总数为：=++++633222221K麦粒总数是：)1(22221633264K K K +++++=S上式有何特点？如果（1）式两端同时乘以2得)2(22222643264K K K ++++=S比较（1）、（2）两式，有什么关系)1(22221633264K K K +++++=S)2(22222643264K K K ++++=S两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 126464-=S 。
2同样的方法：设等比数列{}n a ，首项为1a ,公比为q ,如何求前n 项和n S ？)3(631312111K K K q a q a q a q a a S n +++++=)4(6414131211K K K q a q a q a q a q a qS n +++++=探讨1：由()11111+-=-=-n nn a a q a a S q 得q a a q q a a S n n n --=--=+111111对不对？1=q 时，?=n S探讨2：结合等比数列的通项公式11-=n n q a a ，如何把n S 用q a a n ,,1 表示出来？ 思路1：)1(6321631312111q q q a q a q a q a q a a S n +++=+++++=K K 思路2：q a a a a a a n n ====-12312K 3例题：1一个等比数列的第5项和第12项分别是16和-2048,求公比和第7项2 在等比数列{}n a 中，（1）已知a 1= -4,q =21,求S 10 ; (2)已知a 1= 1，a k = 243, q =3,求S k .4小结：{)1()1(11)1(111=≠--=--=q na q qq a a q q a n n n S K K K K K K K K K 5布置作业：6板书设计：。
17.等比数列求和教案
启东市江海中学2017届高一数学学案7课题：等比数列的前n 项和主备人：陆荣荣 授课时间： 月 日【学习目标】1. 掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；2. 会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．【学习重点】掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路 【学习难点】会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【学习过程】一、温故链接，导引自学1.等比数列的前n 项和公式： 用错位相减法证明：二、交流质疑，精讲点拨例1：(1)求等比数列的 161814121，，， 前n 项和(2)a 1=27,a 9=1/243,q<0,求前8项的和例2：在等比数列｛n a ｝中，273=S ，2636=S ，求n a例3：设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；变式：已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3,S 9,S 6成等差数列，求证：a 2,a 8,a 5成等差数列.例4：(1)求数列 1614,813,412,211的前n 项的和(2) 求和：(x+)1()1()122n n yx y x y ++⋅⋅⋅+++(其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)三、当堂反馈，拓展迁移1.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,θθθ 前100项之和为0，则θ=作业7---等比数列的前 n 项和班级 姓名 学号 得分1、等比数列的 161814121，，，前8项和=2、等比数列的 161814121，，，--前n 项和=3、在数列{a n }中，已知a 6=48，a n +1=－2a n ，则数列{a n }的前n 项和S n =4、若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是5、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且1053132S S =，则此数列的公比为 6、求(x+x 1)2+(x 2+21x )2+…+(x n +n x1)2的值7、在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果14231812a a a a +=+=，则这个等比数列前8项的和为8、已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的． （1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值}{n a 11=a 0>d 1452a a a ，，}{n b 432b b b ，，}{n a }{n b }{n c n 12211+=+++n nn a b cb c b c 2010321c c c c ++++。
《等比数列求和》教案
《等比数列求和》教案等比数列的前n项和（第一课时）一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看,等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系, 另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。
就知识的应用价值上来看, 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导.不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q =1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3.学情分析4.重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用.教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用.二、目标分析1.知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3.情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
等比数列求和 教案
等比数列求和教案教案标题：等比数列求和教案教案目标：1. 学生能够理解等比数列的概念和性质。
2. 学生能够应用等比数列求和公式解决相关问题。
3. 学生能够运用等比数列求和的方法解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔或白板笔。
2. 教师准备教学课件或手写的等比数列求和的相关例题和习题。
3. 学生准备笔记本和铅笔。
教学步骤：引入活动：1. 教师通过提问，引导学生回顾等差数列的概念和求和公式。
2. 教师提出问题：“在现实生活中，你们遇到过哪些与等差数列不同的数列？”鼓励学生分享自己的观察和经验。
概念讲解：1. 教师介绍等比数列的概念，并给出等比数列的定义：“如果一个数列从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个非零常数r得到的，那么这个数列就是等比数列。
”2. 教师解释等比数列的性质，包括公比的概念和作用。
求和公式讲解：1. 教师引导学生观察等比数列的前几项和它们的比值。
2. 教师推导等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示等比数列的前n项和，a1表示首项，r表示公比。
例题演示：1. 教师给出一个具体的等比数列，如2，4，8，16，...，并要求学生计算前4项的和。
2. 教师引导学生应用求和公式进行计算，并解释每一步的操作。
练习与巩固：1. 教师提供一些等比数列求和的练习题，要求学生独立完成。
2. 学生互相交流并讨论解题思路，教师适时给予指导和纠正。
拓展应用：1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用等比数列求和的方法解决。
2. 学生进行思考和讨论，并给出自己的解决方案。
3. 教师引导学生分享自己的解题思路和答案，鼓励学生展示创造性思维和解决问题的能力。
总结与反思：1. 教师总结本节课的重点和要点，强调等比数列求和的方法和应用。
2. 学生进行自我评价和反思，教师给予必要的指导和鼓励。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究等比数列的其他性质和应用，如等比中项、等比数列的乘法、等比数列的图像等。
高三数学 典型课例 等比数列的求和公式教学设计
教学设计：《等比数列的求和公式》课程分析：本节是在学习了等差数列和等比数列的概念及性质的基础上，学习等比数列的求和公式的推导，及其求和的方法――错位相减求和法，因此，本节是本章的重点、难点。
学情分析：学生已经学习了等差数列和等比数列的概念及性质，有一定的探究思维和能力，但是，逻辑推理能力比较薄弱，给本节课等比数列的求和公式的推导带来思维障碍。
教学模式：诱思探究教学模式；计算机辅助教学。
设计理念：根据诱思探究学科教学理论中提出的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。
教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。
整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。
学习目标：1、知识目标：掌握等比数列求和公式及推导公式的方法。
2、智力目标：⑴理解“错位相减”并会初步应用。
⑵培养学生分析、比较、类比、证明等逻辑思维能力。
3、情感目标：通过诱思探究教学，使学生在享受成功喜悦的同时，体验数学美，激发他们的求知欲望，培养探究意识、探究意识、创新意识。
重点和难点：等比数列求和公式及推导公式的方法------错位相减求和法。
教学流程：一、特例激疑（在简要复习等比数列的概念和通项公式之后，导引新课。
）师：现在，一个穷人遇到了等比数列的难题，我们大家一起来帮他解决好吗？生：好！（电脑显示：一个穷人到富人那儿去借钱，原以为富人会不愿意，哪知，富人竟一口应承了下来，但提出了如下附加条件：在30天中每天借给穷人1万元，借钱第一天，穷人还给富人1分钱，第二天还给2分钱，以后每天所还钱数是上一天的2倍，30天后互不相欠，穷人听后，觉得很划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出名的，怕上当受骗，所以很为难。
）师：怎么样？同学们，帮帮他，如何？点评：创设趣味性的问题情境，增强学生的有意注意，调动学生的学习主动性和积极性，学生带着帮穷人解决问题的责任，愉快地去探讨、去研讨。
审定新人教版六年级上册数学《求等比数列之和》教学设计教案
审定新人教版六年级上册数学《求等比数列之和》教学设计教案
审定新人教版六年级上册数学《求等比数列之和》教学设计教案
数与形二：求等比数列之和
主备人：时间：XX.9 课型：新授
教学目标：
1、通过图形直观的表征，让学生更加清晰求的都是同一个阴影部分的面积。
从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，越来越接近1，感悟极限思想。
2、培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。
3、重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力
一、创设情景，导入新课
计算出结果。
二、探索交流，解决问题
1、教学例2
计算
从第二个数开始，每个数是前一个数的
我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。
加下去，等号右边的分数越来越接近于1。
可以画个图来帮助思考。
用一个圆或一条线段来表示“1”。
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
2、渗透极限思想。
如果不停地加下去，
1．猜一猜“和”是多少？
2．请用“形”来解释这个结果。
3．反馈：
如果不停地加下去，空白部分会怎么样？
那的结果怎么样？（无限接近1。
）
运用知识
你能用所学知识解决下列问题吗？
我是这样想的
所以原式的结果是1。
四、布置作业
作业：第110页练习二十二，第3题、第4题、第5题。
等比数列求和教案设计
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是维是一个突破，另外，对于1在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
等比数列求和教案
《等比数列的前n项和》三维目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；（2）等比数列的前n项和公式的应用；教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；教学方法：问题探索法及启发式讲授法一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式。
（1）等比数列定义：（，（2）等比数列通项公式：（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。
二、问题引入：“国王赏麦的故事”：传说，印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明人，当时的宰相是西萨·班·达依尔。
这位聪明的宰相胃口似乎并不大，他跑在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样每一小格内比前一小格加一倍。
陛下啊，把这棋盘的64个小格放满就行啦！”国王一听，心中暗喜，这个奇妙的发明家所请求的赏赐并不多，便答道：“爱卿，你当然会如愿以偿的！”并立即令人把一袋麦子拿来，叫仆人照办。
谁知还没到第二十格，袋子已经空了。
一袋又一袋的麦子扛到国王面前，但麦粒数一格接一格迅速增长，国王很快就看出，即便把全印度的麦子都给他的宰相，也实现不了他的诺言！问题:如何计算引出课题:等比数列的前n项和。
三、问题探讨：问题：如何求等比数列的前n项和公式回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。
倒序相加法。
等差数列它的前n项和是根据等差数列的定义（1）（2）（1）+（2）得：探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。
回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。
构造相同项，化繁为简。
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《等比数列求和》教学案例
背景介绍：
《等比数列求和公式》是数列这一章的重点，尤其是乘公比错位相减法，在考试中学生经常出错，所以这节课，怎么教好学生公式的推导很重要。
案例描述:
在我讲等比数列求和这一课时，首先讲了一个故事：
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。
为什么呢？
当我将古印度国王奖励国际象棋发明者的讲给学生并引出“012632222+++⋅⋅⋅+”时，有的学生是这样完成的：
设
01212222n n S -=+++⋅⋅⋅+， 则11S =，
23S =，
37
S =， …
21n n S =-，所以646421S =-。
我备课时可没有想到学生会这么做，学生的意外思维让我怦然心动，于是更改了自己的课堂预设，顺着学生的思路抛出了如下问题：
求和：01213333n n S -=+++⋅⋅⋅+。
如何设计情境，才能更符合学生的认知规律呢？
要猜想n S 的结果并不容易，在我的适时引导及学生的共同努力下可得出
312n n S -=。
那么01214444n n S -=+++⋅⋅⋅+呢？
412n n S -=。
此时便可猜想出更一般的结论：
2111(1)1n n n q S q q q q q --=+++⋅⋅⋅+=≠- ①
以上的过程展示了从特殊到一般的归纳猜想思想，这不仅与以前的数学结构大不相同，而且承接了前面数列递推公式的内容，符合学生的认知规律。
所以等比数列的求和公式推导为：
2111111(1)(1)1n n n a q S a a q a q a q q q --=+++⋅⋅⋅+=≠- ②
不过，式①仅仅是猜想而已，如何证明其成立呢？于是我又启发引导学生，根据多项式的运算：
因为
21(1)(1)n q q q q --+++⋅⋅⋅+ =23n q q q q ++⋅⋅⋅+
-21(1)n q q q -+++⋅⋅⋅+
=1n q -
当1q ≠时，211n q q q -+++⋅⋅⋅+=1
1n q q --。
板书时，我有意地按以上的格式来书写，则：
已知{}n a 为等比数列，公比为q ，求其前n 项和n S 。
因为11n n a a q -=，所以
211111n n S a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+
n qS = 211111n n
a q a q a q a q -++⋅⋅⋅++， 相减得：(1)n q S -11n a a q =-，
当1q ≠时，
1(1)1n n a q S q -=-。
这种方法就叫做乘公比错位相减法，学生也很容易接受。
……
教学反思：
1.本节以国际象棋的故事为引例来激发学生的学习兴趣，然而却在求和公式的证明中以“我们发现，如果用公比乘…”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，。
而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。
因此如何在有趣的数学文化背景下进一步拓展学生的视野，使数学知识的发生及形成更为自然，更能贴近学生的认知特征，是每一位教师研讨新教材的重要切入点。
2.课程内容的呈现，应注意反应数学发展的规律，以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。
教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。
在新课程的教学中，我也曾留足时间让学生思考，却没有人能“发现”用“公比乘以①的两边” ，设计“从特殊到一般”即由2,3,4，…到q ,再到n a ，也是对教学的不断实践与探究的成果。
因此，新课程教材留给教师更多发展的空间，每位教师有责任也应当深刻理会《标准》的理念，认真钻研教材，促进《标准》及教材更加符合学生的实际。
有些数学结论的发现并不容易，如等比数列前n 项和公式推导的思维方法的产生是一个教学难点，乘以公比q 后错位相减，如果学生没有事先预习，或者参考课本的方法，既使是优秀的学生也极难想到这一方法，实在没有办法，便只好由老师指出这种方法，学生更多的是惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成功感。
3.在导出公式及证明中值得花这么多时间吗？或者直接给出公式，介绍证明，可留有更多的时间供学生练习，以上过程，是不是偏多了？如果仅仅是为了让学生学会如何应试，诚然以上的过程将不为人所喜欢，因为按此过程，一节课也差不多把公式给证明完，又哪来例题与练习的时间呢？但是我们要追问：课堂应教给学生什么呢？课堂教学应从庞杂的知识中引导学生去寻找关
系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。
因此，本节课在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与学习，其价值远远超过了公式的应用。
4.对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。
在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。