基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

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专题:基本不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的基本不等式:

①,、)(2

22

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;

④)(333

3+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;

② 熟悉一个重要的不等式链:b

a 112

+2a b

+≤≤≤

2

2

2b a +。 二、函数()(0)b

f x ax a b x

=+

>、图象及性质 (1)函数()0)(>+

=b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、性质:

①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ;

②单调递增区间:(,-∞

,)+∞

;单调递减区间:(0,

,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)2(1)

y x x x =+

>-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)x x x x --=+++>-

1

≥312≥+52=, 当且仅当

211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5

2

。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值:

①23

(32)(0)2

y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<

解析:①

3

0,3202

x x <<->∴, ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3

(32)[]13

x x x ++-≤=,

当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ②

0,sin 0,cos 02

x x x π

<<

>>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。

2

4

2

sin cos y x x =⋅2

2

2

sin sin cos x x x =⋅⋅222

1(sin sin 2cos )2

x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,

当且仅当22

sin 2cos x

x =(0)2

x π

<

<

tan x ⇒=x arc

= “=”号成立,故

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +

∈R ,求4

()f x x x

=+

)10(≤

f x ax a b x

=+>、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数

4

()f x x x

=+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则

12121244

()()()(

)f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅, ∵1201x x <<≤,∴121212

4

0,

0x x x x x x --<<,则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>,

即4()f x x x =+

在(0,1]上是减函数。故当1x =时,4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。 解法二:(配方法)因01x <≤,则有4

()f x x x =

+24=+, 易知当01x <≤

时,0μ=

且单调递减,则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数, 即4()f x x x =+

在(0,1]上是减函数,当1x =时,4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。 解法三:(拆分法)4

()f x x x

=+

)10(≤

+31≥5=,

当且仅当1x =时“=”号成立,故此函数最小值是5。

评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足81

1x y

+=,求2x y +的最小值。

解法一:(利用均值不等式)2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+

+1018≥+=, 当且仅当81

1

16x y x y y

x ⎧+=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立,故此函数最小值是18。 解法二:(消元法)由811x y +=得8x y x =-,由00088

x

y x x x >⇒>>⇒>-又,则

2x y +22(8)161616

2(8)108888

x x x x x x x x x x -+=+

=+=++=-++---

-1018≥=。 当且仅当16

88

x x -=

-即12,3x y ==此时时“=”号成立,故此函数最小值是18。 解法三:(三角换元法)令228sin 1cos x x x y

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨

⎪=

⎪⎩ 则:22

82

2sin cos x y x x

+=

+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++

10≥+18≥,易求得12,3x y ==此时时“=”号成立,故最小值是18。

评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

812()(2)8x y x y x y +=++≥=。原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++,试求xy 、x y +的范围。 解法一:由0,0x y >>,则3xy x y =+

+3xy x y ⇒-=+≥,

即2

30-≥

13≤-≥(舍),

当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2

3(

)2

x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或, 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号,故x y +的取值范围是[6,)+∞。

解法二:由0,0x y >>,3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠,

则:31x y x +=

-,由3

0011

x y x x +>⇒>⇒>-, 则:2233(1)5(1)44

(1)51111

x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++---

-59≥=, 当且仅当4

1(0)31

x x x x -=

>=-即,并求得3y =时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+

=+=++=-++≥=----, 当且仅当4

1(0)31

x x x x -=

>=-即,并求得3y =时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。 评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析: 例1. 求函数()()

y x x x

=

++49的最值。

错解:()()y x x x x x x

=

++=++491336

2=++≥+⋅=133********x x x x

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