基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
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专题:基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式:
①,、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;
② 熟悉一个重要的不等式链:b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 二、函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质:
①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ;
②单调递增区间:(,-∞
,)+∞
;单调递减区间:(0,
,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+
>-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)x x x x --=+++>-
1
≥312≥+52=, 当且仅当
211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5
2
。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值:
①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析:①
3
0,3202
x x <<->∴, ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3
(32)[]13
x x x ++-≤=,
当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ②
0,sin 0,cos 02
x x x π
<<
>>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。
2
4
2
sin cos y x x =⋅2
2
2
sin sin cos x x x =⋅⋅222
1(sin sin 2cos )2
x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,
当且仅当22
sin 2cos x
x =(0)2
x π
<
<
tan x ⇒=x arc
= “=”号成立,故
评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +
∈R ,求4
()f x x x
=+
)10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则 12121244 ()()()( )f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅, ∵1201x x <<≤,∴121212 4 0, 0x x x x x x --<<,则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>, 即4()f x x x =+ 在(0,1]上是减函数。故当1x =时,4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二:(配方法)因01x <≤,则有4 ()f x x x = +24=+, 易知当01x <≤ 时,0μ= 且单调递减,则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数, 即4()f x x x =+ 在(0,1]上是减函数,当1x =时,4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三:(拆分法)4 ()f x x x =+ )10(≤ +31≥5=, 当且仅当1x =时“=”号成立,故此函数最小值是5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足81 1x y +=,求2x y +的最小值。 解法一:(利用均值不等式)2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+ +1018≥+=, 当且仅当81 1 16x y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立,故此函数最小值是18。 解法二:(消元法)由811x y +=得8x y x =-,由00088 x y x x x >⇒>>⇒>-又,则 2x y +22(8)161616 2(8)108888 x x x x x x x x x x -+=+ =+=++=-++--- -1018≥=。 当且仅当16 88 x x -= -即12,3x y ==此时时“=”号成立,故此函数最小值是18。 解法三:(三角换元法)令228sin 1cos x x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨ ⎪= ⎪⎩ 则:22 82 2sin cos x y x x += +2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++ 10≥+18≥,易求得12,3x y ==此时时“=”号成立,故最小值是18。 评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法: 812()(2)8x y x y x y +=++≥=。原因就是等号成立的条件不一致。 类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++,试求xy 、x y +的范围。 解法一:由0,0x y >>,则3xy x y =+ +3xy x y ⇒-=+≥, 即2 30-≥ 13≤-≥(舍), 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3( )2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或, 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号,故x y +的取值范围是[6,)+∞。 解法二:由0,0x y >>,3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠, 则:31x y x += -,由3 0011 x y x x +>⇒>⇒>-, 则:2233(1)5(1)44 (1)51111 x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++--- -59≥=, 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即,并求得3y =时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。 314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+ =+=++=-++≥=----, 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即,并求得3y =时取“=”号,故xy 的取值范围是[9,)+∞。 评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析: 例1. 求函数()() y x x x = ++49的最值。 错解:()()y x x x x x x = ++=++491336 2=++≥+⋅=133********x x x x