构造中位线巧解圆锥曲线题
构造中位线巧解圆锥曲线题
构造中位线 巧解圆锥曲线题徐志平 （浙江金华一中 321000）在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。
1．求点的坐标例1. 椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。
如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ）A. 43±B. 22± C. 23± D.43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。
连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以MO 是21F PF ∆的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x23±=，43±=∴My ，故选（D ）。
例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2=x 上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。
解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41-=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1是梯形AA 1B 1B )(21)(21111BF AF BB AA MM +=+=，在ABF ∆可以取等号）通径∴>≥+AB AB BF AF (，2211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离=。
454123=-即45=M x 。
∴显然这时弦AB 过焦点），（041F 。
设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有121x y = ① 222x y = ②，①-②得My x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--⇒-=-+MAB y k 21=∴，又MF AB k k =，214145(2121412=-=⇒=-∴M M M M y y x y 22±=∴M y ，即M 的坐标为)22,45(或)22,45(- 以上两题的解法较多，以上给出的解法最为简洁。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33-B ．33C ．13-D ．133．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2-D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 6D 4235．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2CD9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-10．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．52D ．32二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 所以11()1213m m +-=⇒=-， 故选C.3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=， 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =， 且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：512e ≥或512e -≤，又01e << 511e -≤<， 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．5．C解析：C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+， 即111413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333413t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.10．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=渐近线方程为by xa=±，其中一条为0bx ay-=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．12．C解析：C【解析】双曲线2214xy-=中，222224,1,5,a b c a b e==∴=+=∴==本题选择C选项.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x yB x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x yB x y，则利用中点坐标公式知1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为1y x =+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =， 所以点P的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.23．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >， 所以124y y m +=，1222y y m =-+， 又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-， 所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．24．（1）8；（2）是，定值为2.【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --=∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++ ()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
构造三角形中位线解圆锥曲线问题
例３ 已知点Ｐ （ ０ ， ） 是椭圆 ＋ 手 ； （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 上的任意一 Ｃ Ｄ
点， 、 是 焦 点 ， 求证 ： 以 为 直 径 的 圆必 和 以椭 圆 长 轴 为 直
径 的 圆相 内切 。 证 明 设 以Ｐ 为直 径 的 圆 的圆 心 为Ａ， 半 径 为ｒ 。 因为 、 为 焦 点 ， 所 以 由椭 圆 定 义 知 ， ｛ 踞 …Ｐ １ ＝ ２ ａ ， Ｉ
§ ｌ
０｛
｝
三、 判 断 两 圆 的 位 置 关 系
通 过 构 造 三 角形 中位 线 建 立 圆锥 曲线 中 变 量 之 间 的相
互关系。
综合版
２ ０ １ ４年 １ ～ ２月
二、 求动 点 的 轨 迹
通 过 对 弓箭 形 状 补 成 等 腰 三 角 形 ， 借 助 于 对 称 性 构 造 三 角形 中位 线 ， 获 取 圆 锥 曲线 中 动 点 与 不动 点 间 的关 系 。
是该椭圆的左焦点。
若 点Ｍ满足 ： （
， 则Ｉ Ｉ ＿
—
—
。
例 ２设 ， Ｆ ２ 分 别 是 双 曲 线 等 一 等 ＝ １ 的 左 右 两 个 焦 点 ， Ｑ
所以Ｉ Ｉ — Ｉ Ｑ Ｆ ： ｌ ＝ ４ ， Ｉ 腿 Ｉ ＝ ４ ， 从 而Ｉ ｏ Ｐ Ｉ ＝ １ ｌ Ｍ Ｆ ２ Ｉ ： ２ ， Ｐ ， Ｐ
Ｉ
｝ ： ４。
于 是 点Ｐ 的轨 迹 方 程 是 圆 的 一 部分 。
综上所述 ， 我 们在 解答涉及 圆锥 曲线问题 时 ， 要 注 重 平 面几何知识的运用 ， 加 强 数 与 形 的认 识 ， 提 高 综 合 解 题 能 力。 ◆（ 作者单位 ： 江 西省 南 昌市 第 三 中学 ）
构造方程解一类圆锥曲线题
构 造 方 程 解 一 类 一
若 直 线 与 圆锥 曲线 相交 于不 同两 点 、 ，并 且 这 两 点 与
曲 线 题
，
第 三点 构 成直 线 的斜 率 的和 或积 存 在一 定 关 系 时 ，除 了 常规
的解 析 法 ， 还 有什 么 更 好 的解 决 方法 吗 ？ 下 面 通 过 四道 高考 题
＼ ／
图 ３
圆是 否过 点Ｆ ． 并说 明理 由。
解 析 由题 得 ： Ａ（ 一 １ ， ０ ） ， Ｆ （ ２ ， ０ ） 。设 ａ（ ｘ ｌ ， Ｙ ） ， Ｃ（ ｘ ， Ｙ ｚ ） ， 知
２ ３ Ｙ
Ｙ ｌ
，
。
所 以 卑 一 ｌ ＾ １ ＋ １ ， 栅， ｋ Ｎ ｔ ＝ － 埘 ｙ ２ 十 ２ ｌ 。
１ ２ ＝－１舯
ｚ Ｙ ｏ
Ｚ
戈ｃ
Ｚ Ｏ
１ 一 Ｏ
例３ 如 图３ ， 已知 双 曲 线 方 程 ２ 一 —
３
１ ，定 直线ｆ ： ＝
Ｊ
÷ ＾ ， 过右焦点 Ｆ 的直线交双曲线于 Ｂ 、 Ｃ 两点， Ａ 为左顶点，
直 线Ａ Ｂ、 ＡＣ 分 别 交ｆ 于 点 、 Ⅳ， 试 判 断 以 线 段 Ⅳ为 直 径 的
掣
一
—
—
： （ ≠ ） 。
一 一
卜
２
由 椭 圆 方 黼Ｔ （ ｘ － ４ １ ） ２ ＋ 掣＋ 丁 ｘ － ７ １ ＋ ＼ ２ ／
／ ３ ＼ ２
３— ２—
Ｌ 一 一 ３ ，． 一 ２ ，。
即
４
（ 一 １ ）
…
ｙ
‘
一
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
2018年高考数学 专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题黄金解题模板
专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【变式演练1】【2018贵州省遵义市模拟】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由圆F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，∵∴点M的轨迹C的方程为；方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.【变式演练2】【2018河南郑州市第一中学模拟】设，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.【高考再现】1. 【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以，令得，即弦长为3.试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现AC⊥BC的情况。
第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题(解析版)
第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是( ) A 15B 3C ．23D ．2【解答】解：如图所示，设线段PF 的中点为M ，连接OM ． 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '．则//OM PF '． 又||||2OM OF c ===，11||||(22)122FM PF a c a c ==-=-=． 设MFO α∠=，在OMF ∆中，2222121cos 2214α+-==⨯⨯，215sin 1cos αα∴- tan 15α∴=．故选：A ．2．如图，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为( )A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -<-C ．||||MO MT b a -=-D ．以上三种可能都有【解答】解：将点P 置于第一象限． 设1F 是双曲线的右焦点，连接1PFM 、O 分别为FP 、1FF 的中点，11||||2MO PF ∴=． 又由双曲线定义得， 1||||2PF PF a -=，22||||||FT OF OT b =-=．故||||MO MT - 11||||||2PF MF FT =-+ 11(||||)||2PF PF FT =-+ b a =-．故选：C ．3．从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -等于( )A ．c a -B ．b a -C ．a b -D ．c b -【解答】解：如图所示，设F '是双曲线的右焦点，连接PF '． 点M ，O 分别为线段PF ，FF '的中点， 由三角形中位线定理得到：111||||(||2)||222OM PF PF a PF a ='=-=- ||MF a =-，||||||||||OM MT MF MT a FT a ∴-=--=-，连接OT ，因为PT 是圆的切线，则OT FT ⊥，在Rt FOT ∆中，||OF c =，||OT a =， 22||||||FT OF OT b ∴=-=．||||OM MT b a ∴-=-．故选：B ．4．设1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 在双曲线上，已知1||PF 是2||PF 和12||F F 的等差中项，且12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为( )A ．1B ．32C ．52D ．72【解答】解：设1||PF m =，2||PF n =，由1||PF 是2||PF 和12||F F 的等差中项，12120F PF ∠=︒， 则点P 在C 的右支上，2m n a ∴-=，12122||||||PF PF F F =+，即22m n c =+， 22m c a ∴=-，24n c a =-，由余弦定理可知：22212111212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，222(2)(22)(24)2(22)(24)cos120c c a c a c a c a ∴=-+----︒， 整理得222920c ac c -+=，由c e a=， 22970e e ∴-+=，由1e >，解得：72e =， 曲线的离心率为72， 故选：D ．5．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是( ) A ．(0,)cB ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【解答】解：如图，延长2PF ，1F M ，交于N 点，PM 是12F PF ∠平分线，且1F M MP ⊥，1||||PN PF ∴=，M 为1F N 中点，连接OM ，O 为12F F 中点，M 为1F N 中点 2212111||||||||||||||||222OM F N PN PF PF PF ∴==-=- 在椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠中，设P 点坐标为0(x ，0)y则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，120000|||||||||2|2||PF PF a ex a ex ex e x ∴-=+-+==P 点在椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上，0||(0x ∴∈，]a ，又当0||x a =时，1F M MP ⊥不成立，0||(0,)x a ∴∈ ||(0,)OM c ∴∈．故选：A ．6．设1(,0)F c -，2(,0)F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为( ) A ．定值a B ．定值b C ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【解答】解：过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，交2PF 的延长线于M ， 由三角形1PF M 为等腰三角形，可得Q 为1F M 的中点， 由双曲线的定义可得122||||||2PF PF F M a -==， 由三角形的中位线定理可得21||||2OQ F M a ==， 故选：A ．7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线:280l x y +-=与椭圆22:11612x y C +=相切于点P ，椭圆C 的焦点为1F ，2F ，由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF ∠的角平分线所在的直线的方程为( ) A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y --=【解答】解：由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF ∠的角平分线所在的直线为法线，即与直线l 垂直的直线，而直线:280l x y +-=，所以设所求的直线的方程为20x y m -+=， 联立222803448x y x y +-=⎧⎨+=⎩，整理可得：2690y y -+=，解得3y =， 代入直线l 的方程可得2380x +⨯-=，可得2x =， 即(2,3)P ，将(2,3)P 代入所求的直线方程可得：2230m ⨯-+=，可得1m =-， 所以12F PF ∠的角平分线所在的直线的方程为210x y --=， 故选：A ．8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为( ) A ．3-B ．3C 3 D 3【解答】解：由已知可得0(A x ，2)在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得：20412x -=，解得03x =(3A 2)， 又由双曲线的方程可得1a =，2b ，所以3c =，则2(3,0)F ， 所以2||2AF =，且点A ，2F 都在直线3x =12||||3OF OF = 所以12122||23tan 3||F F F AF AF ∠==，所以1260F AF ∠=︒， 设2F AM ∠的角平分线为AN ，则21(18060)602F AN ∠=︒-︒⨯=︒， 所以直线AN 的倾斜角为150︒， 所以直线的斜率为3tan150︒= 故选：B ．9．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是( )A 5B ．32C ．52D 51【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为by x a=±，分别与30(0)x y m m -+=≠联立，解得(3am A a b --，)3bm a b --，(3am B a b -+，)3bma b+， AB ∴中点坐标为222(9ma b a -，2223)9mb b a -， 点(,0)P m 满足||||PA PB =， ∴22222230939mb b a ma mb a --=---， 2a b ∴=， 5c b ∴，5c e a ∴==． 故选：A ．10．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A 51-B 2 C 21- D ．35【解答】解：设(,)Q m n ，由题意可得2222221n c m c bn b m cc m n ab ⎧=-⎪-⎪+⎪=⋅⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③，由①②可得：322c cb m a -=，222bc n a=，代入③可得：3222222222()()1c cb bc a a a b -+=， 解得2422(441)41e e e e -++=， 可得，62410e e +-=．即64422422210e e e e e -+-+-=， 可得242(21)(21)0e e e -++= 解得2e ． 故选：B ．二．多选题（共1小题）11．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为3y x =，且1F 到l 的距离为33点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是( )A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．12||2||PF PF = C ．12||36PF PF += D ．点P 到x 315【解答】解：渐近线l 的方程为3y x =，∴3ba， 1(,0)F c -到l 的距离为332|()|331()bc a b b a ⋅-∴==+， 3a ∴=，∴双曲线的标准方程为221927x y -=，即选项A 正确；229276c a b =++， 1(6,0)F ∴-，2(6,0)F ，由角分线定理知，1122||||82||||4PF FQ PF QF ===，即选项B 正确；由双曲线的定义知，12||||26PF PF a -==， 112||12||PF F F ∴==，2||6PF =，在等腰△12PF F 中，221121||312cos ||124PF PF F F F ∠===， 2212115sin 1PF F cos PF F ∴∠=-∠ 222119||||cos 6642P x OF PF PF F ∴=-⋅∠=-⨯=， 22115315||sin 6P y PF PF F =⋅∠==D 正确； 229315||()()3622OP ∴=+，12|||2|2||6PF PF OP OP ∴+===C 错误．故选：ABD ．三．填空题（共7小题）12．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则||PF = 2 ；P 点的坐标为 ．【解答】解：椭圆22195x y +=的3a =，5b 2c =，23e =设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得32m =-，15n =，由||2||4PF AO '==，||642PF =-=， 故答案为：2；3(2-15．13．已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为54． 【解答】解：由于F 是抛物线2y x =的焦点， 得1(4F ，0)，准线方程14x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1211||||344AF BF x x ∴+=+++=， 解得1252x x +=， ∴线段AB 的中点横坐标为54． ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54． 故答案为：54．14．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为3． 【解答】解：设||AF a =，||BF b =，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP =，在梯形ABPQ 中，2||||||MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得，22222||2cos120AB a b ab a b ab =+-︒=++， 配方得，22||()AB a b ab =+-， 又2()2a b ab +， 222213()()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+得到3||()2AB a b +． ∴1()||32||3()a b MN AB a b +=+， 即||||MN AB3． 3．15．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 1 ．【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||MN AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又()2a b ab + 2， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+得到1||()2AB a b +． ∴||1||MN AB ，即||||MN AB 的最大值为1． 故答案为：116．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为2． 【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||MN AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos90AB a b ab a b =+-︒=+，配方得，22||()2AB a b ab =+-， 又()2a b ab +2， 222211()2()()()22a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+得到2||()2AB a b +． ∴||22||MN AB ，即||||MN AB 的最大值为2． 217．已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = 6 ．【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上AM 为12F AF ∠的平分线∴1122||||82||||4AF F M AF MF === 又12||||26AF AF a -== 解得2||6AF = 故答案为618．如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是 11(,)22- ．【解答】解：由题意知，椭圆C 在点0(P x ，0)y 处的切线方程为00143xx yy +=，且0(2,2)x ∈-， ∴切线的斜率为034x y-，而12F PF ∠的角平分线的斜率为0y x t-， 又切线垂直于12F PF ∠的角平分线， 0000314x y y x t ∴-⋅=--，即011(42t x =∈-，1)2． 故答案为：1(2-，1)2．四．解答题（共8小题）19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为：1(2,0)F -，2(2,0)F ，P 为椭圆E上除长轴端点外任意一点，△12PF F 周长为12． （1）求椭圆E 的方程；（2）作12F PF ∠的角平分线，与x 轴交于点(,0)Q m ，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为：1(2,0)F -，2(2,0)F ，2c ∴=，△12PF F 周长为12， 21248a ∴=-=，4a ∴=，则16423b -=∴椭圆E 的方程为2211612x y +=．（2）在△12PF F 中，1||(,)PF a c a c ∈-+，即1||(2,6)PF ∈， PQ 为12F PF ∠的角平分线，∴1212||||||||QF QF PF PF =， 由合比性质得12121212||||||||21||||||||22QF QF QF QF c PF PF PF PF a +====+， 即111||||(1,3)2QF PF =∈， 1||(2)2QF m m =--=+，2(1,3)m ∴+∈， (1,1)m ∴∈-．20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系． （1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设所求椭圆方程为22221x y a b+=，则22222121||||||435F B F F BF ++=， 由椭圆的性质：12||||2BF BF a +=，所以12||||1(35)422BF BF a +==+=，22224223b a c =-=-=所以椭圆的方程为2211612x y +=．（2）由椭圆的方程为2211612x y +=，则1(2,0)F -，2(2,0)F ．①存在直线8x =，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值． 设椭圆上的点0(P x ，0)y ，则2220||(2)PF x y -+P 到直线x m =的距离0||d m x =-，所以222220000022200031(2)12(8)(2)||44()()x x x x y PF d m x m x -+---+=-- 所以，当8m =时，2||12PF d =（定值）． 即存在8m =，使得P 到2F 和P 到直线8x =的距离之比为定值12． ②设椭圆上的点0(P x ，0)y ，则001200,22y y k k x x ==+-， 又椭圆2211612x y +=在点0(P x ，0)y 处的切线方程为0011612x x y y+=，证明如下：对于椭圆2211612x y +=，当0y >，23124x y =-234124y x '=-所以椭圆2211612x y +=在0(P x ，0)y 处的切线方程为00020)34124y y x x x -=--，又由220011612x y +=，可以整理切线方程为：000002003)()44x y y x x x x y y -=-=--， 即切线方程为00004()3()y y y x x x -=--，即220000344348x x y y y x +=+=，也即0011612x x y y+=．所以椭圆2211612x y +=在点0(P x ，0)y 处的切线方程为0011612x x y y+=，同理可证：当0y <，椭圆2211612x y +=在点0(P x ，0)y 处的切线方程为0011612x x y y+=，综述：椭圆2211612x y +=在点0(P x ，0)y 处的切线方程为0011612x x y y+=，所以在点0(P x ，0)y 处的切线l 的斜率为034x y -， 又由光学性质可知：直线PQ l ⊥，所以00314x k y -⋅=-，则0043yk x =． 所以0001000424(2)33y x x k k x y x ++=⋅=， 0002000424(2)33y x x k k x y x --=⋅=， 那么0012004(2)4(2)8333x x k k k k x x +-+=+=． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:()l x m m R =∈，四点(3,1)-，(22-，0)，(3,1)-，(3-3)-中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上． ()I 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得||||PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥．证明直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标．【解答】()I 解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点(3,1)-，(3,1)-一定在椭圆C 上， 即22911a b+=①，⋯（2分） 若点(22-0)在椭圆C 上，则点(2-，0)必为C 的左顶点，而322>，则点(22-0)一定不在椭圆C 上，故点(33-C 上，点(2-，0)在直线l 上，⋯（4分）所以22331a b+=②， 联立①②可解得212a =，24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=； ⋯（6分）（Ⅱ）证明：由()I 可得直线l 的方程为22x =-设(22P -0)y ，023(y ∈，23， 当00y ≠时，设1(M x ，1)y 、N 2(x ，2)y ，显然12x x ≠， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点，M ，N 代入椭圆方程相减可得直线MN 022⋯（10分） 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0022)22y y x -=+，⋯（13分）即042)22y x =， 显然l '恒过定点42(，0)，⋯（15分） 当00y =时，直线MN 即22x =-l '为x 轴亦过点42(，0)； 综上所述，l '恒过定点42(3-，0)． ⋯（16分） 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ．Q 为抛物线224y x =的焦点，且10F B QB ⋅=，12120F F QF += （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点(0,4)P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(M 在P ，N 之间），设直线l 的斜率为(0)k k >，在x 轴上是否存在点(,0)A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知(6,0)Q ，1F B QB ⊥， 1||46QF c c ==+，所以2c =．⋯（1分）在Rt △1F BQ 中，2F 为线段1F Q 的中点， 故2||24BF c ==，所以4a =．⋯（2分）于是椭圆C 的标准方程为2211612x y +=．（Ⅱ）设:4(0)l y kx k =+>，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，取MN 的中点为0(E x ，0)y ． 假设存在点(,0)A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE MN ⊥． 联立22224(43)3216011612y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩△102k >⇒>． 1202232164343k k x x x k k --+=∴=++，00212443y kx k =+=+． 因为AE MN ⊥，所以1kAE k=-． 2221211644()34343434k k m m k k k k k k=-⨯--⇒=-=-++++．12k >，∴313443,34k k k k+∈+所以3[m ∈． 23．在①离心率12e =，②椭圆C 过点3(1,)2，③△12PF F 3中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、F ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为3_____． （1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：1||||PQ NF 为定值． 【解答】解：（1）选择①离心率12e =，可得12c e a ==，223b =，即223b a c -， 解得2a =，1c =，即有椭圆的方程为22143x y +=；选②椭圆C 过点3(1,)2，即有221914a b +=，又223b =，即3b =2a =，即有椭圆的方程为22143x y +=；选③△12PF F 3可得P 位于短轴的端点时，取得最大值，且为1232c b =，即为3bc =223b =，即3b =，1c =，222a b c =+=，即有椭圆的方程为22143x y +=；（2）证明：设直线l 的方程为(1)y k x =+，联立椭圆方程可得2222(34)84120k x k x k +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，可得4222221212222264164812(1)||1()41(34)3434k k k PQ kx x x x kk k k -+=++-=+-=+++，设PQ 的中点为(,)H t s ，可得21224234x x k t k +==-+，2334ks k =+， 由题意可得2223134434HNN kk k k k x k +==---+，解得2234N k x k =-+， 可得221223(1)|||1|3434k k NF k k+=-+=++， 可得1||4||PQ NF =，即为定值．24．已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【解答】解：()I 四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点(2,0)∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为1x =设(1,)A t ，得22114t +=，解之得3t =（舍负）A ∴的坐标为3，同理可得C 的坐标为3(1,)因此，||3AC =，可得菱形OABC 的面积为1||||32S AC BO == ()II 四边形OABC 为菱形，||||OA OC ∴=，设||||(1)OA OC r r ==>，得A 、C 两点是圆222x y r +=与椭圆22:14x W y +=的公共点，解之得22314x r =-设A 、C 两点横坐标分别为1x 、2x ，可得A 、C 两点的横坐标满足 212231x x r ==-，或21231x r -且22231x r =-，①当212231x x r ==-时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点(2,0)；②若21231x r -且22231x r =-，则120x x +=，可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．25．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为21(A x ，1)y 和2(B x ，212)()y x x <两点，且9||2AB =．（1）求抛物线C 的方程； （2）若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线:20m x y +-=上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．【解答】解：（1）抛物线22y px =的焦点(2p F ，0)，准线方程为2px =- ∴直线AB 的方程为22()2py x =-， 代入22y px =可得2281020x px p -+= 1254x x p ∴+=， 由抛物线的定义可知，1299||||||42AB AF BF x x p p =+=++==， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）设(,2)P a a -，则过P 与直线:20m x y +-=垂直的直线方程为22y x a =+-， 与24y x =联立，可得2244840x ax a a -+-+=，∴△22164(484)3216a a a a =--+=-， ∴△0>，12a >，满足条件的圆的个数是2个；△0=，12a =，满足条件的圆的个数是1个；△0<，12a <，满足条件的圆的个数是0个． 26．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ， 设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则21222(2)k x x k ++=，121x x =， 由21222(2)||28k AB x x p k+=++=+=，解得：21k =，则1k =， ∴直线l 的方程1y x =-；方法二：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式2224||8p AB sin sin θθ===，解得：21sin 2θ=，4πθ∴=，则直线的斜率1k =，∴直线l 的方程1y x =-；（2）由（1）可得AB 的中点坐标为(3,2)D ，则直线AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+，设所求圆的圆心坐标为0(x ，0)y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩， 解得：0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩，因此，所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．。
九年级数学上册23.4中位线巧用中位线,妙解几何题素材华东师大版(new)
巧用中位线妙解几何题三角形、梯形中位线定理是初中几何重要定理之一，当题目中含有中点条件时，添加一定的中位线会给我们解题带来便利,这是一种常用的辅助线，是一种重要的几何转化方法.一．构造中位线，平移角例1．如图1,已知BC=EF，M、D分别是边BF、CE的中点，求证：∠1=∠2.分析:因为要证的是两个角相等，可以想到角的转移，可能利用同位角相等或在等腰三角形中出现的两个底角的相等来证明,又因为M、D分别是边BF、CE的中点，可想到中位线定理，于是我们连结BE，可以得到两个三角形的中位线。
证明：连结BE，取BE的中点N,连结MN,DN，∵M、D分别是边BF、CE的中点,∴MN∥EF,12MN=12EF，DN∥BC，DN=12BC,∴∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4。
二．构造中位线，巧用Rt△斜边上的中线例2．如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC，AB=CD，对角线交于点O，∠BOC=60°,点E、F 分别是OA、OB的中点，G是CD的中点，求证:△EFG是等边三角形。
分析：由题意可知EF=12AB，下一步去证出EG=FG=12CD=12AB即可，∠BOC=60°，由等腰梯形的性质可知，△BOC、△AOD均为等边三角形，连结DE、CF，得到EG是Rt△DEC，FG是Rt△CFD的中线,问题易解。
证明:∵在等腰梯形ABCD中， AB=CD，∴AC=BD,BC=CB∴△ACB≌△DBC，∠ACB=∠DBC∵∠BOC=60°，∴△BOC为等边三角形,连结CF，F分别是OB的中点，∴CF⊥OB，在Rt△CFD中，G是CD的中点,ABCDEFGMN图11234ABCDEFGO图2∴FG=12CD，同理可证EG=12CD，点E、F分别是OA、OB的中点,∴EF=12AB，又AB=CD，∴EG=FG= EF即△EFG是等边三角形。
三．平移对角线，巧用三角形的中位线例3．如图3，在梯形ABCD中,AD∥BC，AC⊥BD，∠DBC=30°，梯形中位线与边AB、CD交于点E、F，求证:AC=EF分析：EF是上下底之和的一半,则AC也必须是上下底之和的一半，对角线互相垂直,平移AC,恰好构造出30°直角三角形，而斜边长也是上下底之和，问题迎刃而解.证明：过D作DG∥AC交BC延长线于G，得ACGD,∴AD=CG，AC=DG,∴BG=BC+CG=BC+AD∵AC⊥BD，∴BD⊥DG，在Rt△BDG中,∠DBC=30°，∴DG=12 GB，∴AC=GD=12(BC+AD），∵EF是梯形中位线，∴EF=12(BC+AD)，∴AC=EF 尊敬的读者：ABCDE FGO图3本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
九年级数学上册 23.4 中位线 构造中位线素材 (新版)华东师大版
构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1 如图1，D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 是等边三角形.连接FM.那么EP 与FM 相等吗？为什么？分析：由D 、E 、F 是中点，想到连接中点，得到中位线DE 、DF.这样就可以把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF 、DE.因为D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，所以DF ∥BC ，DF=12BC ；DE ∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF 是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC 、△DPM 是等边三角形，所以BC ＝AC ，DP ＝DM ，∠PDM ＝60°.所以DF ＝DE.因为∠EDP ＝60°－∠PDF ，∠FDM ＝60°－∠PDF ，所以∠EDP ＝∠FDM.所以△DEP ≌△DFM.所以EP ＝FM.跟踪训练1 如图2，四边形ABCD 中，AC=BD ，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，MN 交BD 于点E 、交AC 于点F.OE 与EF 相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 分别是BC 、AD 边的中点，延长BA 、MN交于点F ，延长CD 交MF 于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M 、Ｎ分别是BC 、AD 的中点，若连接BD ，取其中点G ，再连接NG 、MG,则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧM Ｎ中，从而使问题得以解决.解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接NG 、MG ，则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD. 所以∠1＝∠GNM ，∠2＝∠GMN.因为AB ＝CD ，所以NG ＝MG.所以∠GNM ＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2 如图4，△ABC 的一个外角平分线AE 与过点C 的直线互相垂直，垂足为点E ，D 为BC 的中点，试说明：DE ∥AB ，且DE=12（AB+AC ）答案1.解：取AD 的中点Ｇ，连接GM 、GN ，得GM ∥BD ，GN ∥AC ，且GM ＝12 BD ，GN ＝12AC ，因为AC ＝BD ，故GM ＝GN ，所以∠GMN ＝∠GNM ，又∠OEF ＝∠GMN ，∠OFE ＝∠GNM ，所以∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ．2.解：延长BA 、CE 相交于点F ，由AE ⊥CF ，AE 平分∠CAF ，得EF ＝EC ，AF ＝AC ，又D是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，故有DE ∥AB ，且DE=12 BF=12（AB+AC ）．。
构造中点弦妙解圆锥曲线问题
构造中点弦妙解圆锥曲线问题作者：***
来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期
[摘要]“中点弦”问题是圆锥曲线和直线相交的常考题型，采用中点弦结论可以快速解决这类问题，在解决非“中点弦”问题时也应想方设法去构造中点，利用平面几何知识巧妙将其转化为“中点弦”问题，从而使问题得到顺利解决.
[关键词]中点弦;圆锥曲线;构造
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0029-02
在解析几何中，与圆锥曲线的弦中点有关的问题，称为“中点弦”问题.“中心弦”问题是解析几何中很重要的一类题型，也是历年高考常考的内容，解决这类问题的方法很多，点差法是比较被大众认可的一种，运用点差法求解，计算过程相对简单.
运用中点弦结论解圆锥曲线“中点弦”问题非常快速简便，但是此法很多时候还停留在解决明显的中点问题，笔者主要通过两个例子来说明结论的迁移和使用，抓住题干中的斜率关系，通过敏锐判断和构造将相关问题转化为中点弦问题，提高学生应用结论解决问题的灵活度.
[ 参考文献 ]
[1] 方诚.关注教材习题，归纳数学结论[J].中学教学参考，2019（14）：6-7.
[2] 郑美华.浅谈圆锥曲线中点弦问题[J].教育教学论坛，2014（52）：193-194.
[3] 陈阳恒.巧解直线与圆锥曲线相交的中点弦问题[J].中学教学参考，2011（32）：34-35.
（責任编辑陈昕）。
构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题
y2 =
1
6x
(
l
lx+ x 0+
m m
y y
0
)
16lx 2 - 16mx y -
( l x 0 + my 0 ) y 2 = 0.
-
( lx0+ my0) 16l
=
-
1
l ( x 0 - 16) +
my 0 = 0恒成立. 定点为( 16, 0) .
∃ 例 3% 抛物线 y 2 = p ( x + 1) ( p > 0) , 直
(x0, y0), 则
A
x2 0
+
B x 0y 0 +
Cy
2 0
+
( Dx 0 +
Ey0 ) #
(-
l
x
0
+ n
my
0
)
+
F( -
l
x
0
+ n
m
y
0
)
2
=
A
x
2 0
+
Bx0y0 +
C
y
2 0
+
( Dx0 +
Ey0 ) +
F= 0.
(x0, y0) 满足 ! , ! 代表 过原点 且与 L
与 C 的交点( x 0 , y 0 ) 的两条直线 方程, ! 可化
( Dl+
Em) n+ F( l 2 + m2 ) = 0. 第二种方法
若直线 L 与二次曲线 C 有两个交点 A , B, 则将直线方程与二次曲线方程联立, 分别消去 x , y , 所得的关于 x 和 y 两个一元二次方程( 让
22年乙卷数学圆锥曲线巧解
22年乙卷数学圆锥曲线巧解圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
圆锥曲线在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学、工程学和天文学等。
圆锥曲线巧解的方法有很多，下面介绍一种常用的方法：参数方程法。
参数方程法是一种通过引入参数来表示圆锥曲线上的点的方法。
通过参数方程，我们可以将复杂的圆锥曲线问题转化为简单的代数问题，从而更容易地找到解决方案。
下面是一个使用参数方程法解决圆锥曲线问题的例子：题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上任意一点，从 F1 向 P 引一条直线，交椭圆 C 于 M，N 两点，从 F2 向 P 引一条直线，交椭圆 C 于 Q，R 两点。
求证：F1F2/MN = F1F2/QR。
证明：设 P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x3,y3)，R(x4,y4)，则有：x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 1x4^2/a^2 + y4^2/b^2 = 1将以上四个方程相减，得到：(x1 - x2)(x1 + x2)/a^2 + (y1 - y2)(y1 + y2)/b^2 = 0同理，将 x0 和 y0 代入椭圆方程，得到：x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1将以上两个方程相减，得到：(x1 - x0)(x1 + x0)/a^2 + (y1 - y0)(y1 + y0)/b^2 = 0同理，可以得到：(x2 - x0)(x2 + x0)/a^2 + (y2 - y0)(y2 + y0)/b^2 = 0(x3 - x0)(x3 + x0)/a^2 + (y3 - y0)(y3 + y0)/b^2 = 0(x4 - x0)(x4 + x0)/a^2 + (y4 - y0)(y4 + y0)/b^2 = 0由于 F1(-c,0)，F2(c,0)，所以 F1F2 = 2c。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构造中位线 巧解圆锥曲线题
徐志平 （浙江金华一中 321000）
在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。
1．求点的坐标
例1. 椭圆13
122
2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。
如果线段1PF 的
中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ）
A. 43±
B. 2
2± C. 23
± D. 43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。
连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，
所以MO 是21F PF ∆的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x
2
3±=，43±=∴M
y ，故选（D ）。
例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2
=x 上移动，记线段AB 的中点
为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。
解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41
-=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1
是梯形AA 1B 1B )(21
)(21111BF AF BB AA MM +=+=
，在ABF ∆可以取等号）
通径∴>≥+AB AB BF AF (，2
211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离=。
4
5
4123=-即45=M x 。
∴显然这时弦AB 过焦点），（04
1F 。
设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12
1x y = ① 22
2x y = ②，①-②得M
y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--⇒-=-+
M
AB y k 21
=
∴，又MF AB k k =，2
14145(21214
12
=-=⇒=
-
∴M M M M y y x y 22±
=∴M y ，即M 的坐标为)22
,45(或)22,45(- 以上两题的解法较多，以上给出的解法最为简洁。
在解题中要善于运用圆锥曲线的定义，并注意构造三角形与梯形的中位线，挖掘题目中隐含的几何性质，可使解题简明快捷，少走弯路。
2．求轨迹方程
例3．已知两个同心圆，其半径分别为R 、r(R>r>0)，AB 为小圆的一条直径，求以大圆切线 为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 的轨迹方程。
分析：该题中A 、B 与准线之间的关系，可借助于抛物线的定义解决。
解：以小圆的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心为坐 标原点建立平面直角坐标系（如图）。
则A(-r,0)、 B(r,0)，设Q 为大圆上的任一点， 为过点Q 的切线， 设抛物线的焦点F(x,y)，作 ⊥AC 于C ， ⊥BD 于D 由抛物线定义得：,,BD BF AC AF ==连接OQ ，在梯形ACDB 中，OQ 是中位线， R OQ BD AC BF AF 22==+=+∴,∴点F 到定点A 、B 的距离之和为定值2R ，由于∴=>r AB R 22点F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆。
且a=R,c=r ,222r R b -=∴，其方程为：)0(12
22
22
≠=-+
y r R y R
x 。
本题借助于抛物线的定义建立关系，同时还要利用梯形的中位线进行过渡是关键。
解题时要注意建立合理的直角坐标系，还要注意轨迹的完备性和纯粹性。
3．判断直线与圆的位置关系
例4．设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线
（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 相交或相离
分析：要判断直线与圆的位置关系，只需比较
圆心到直线的距离与圆半径的大小即可。
解：设椭圆的左焦点为F ，离心率为e （0<e<1）设以AB 为直径的圆心为M ，半径为r ，在左准线 上分别作点A 、B 、M 的投影为A 1、B 1、M 1
由于MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，又有由椭圆的第二定义
知：e
BF B B e AF A A =
=11,，r e r e AB B B A A MM A >==+=∴2)(21
11. 即以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线相离。
故答案选（ C ）。
例5．设P 为抛物线)0(22>=P px y 上任一点，F 为其焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 由点P 的位置确定
分析：同例4。
解：设以PF 为直径的圆心为A ，半径为r ，则r PF 2=
在准线 ：2
p
x -=上分别作点P 、A 的投影为P 1、A 1，
PP 1、AA 1分别交y 轴分别为P 2、A 2，则由抛物线的定义 知.,21p KF r PP ==由于AA 1是梯形KFPP 1的中位线，
22)(21
11p r P P KF AA +=+=，r p p r AA =-+=∴2
222，即以PF 为直径的圆与
y 轴相切。
故答案选（ B ）。
以上两题也可以用代数方法来做，但上述解法避免了要设出点的坐标，只要利用梯形的中位线以及直线与圆的位置关系来判断即可，解题思路清晰、明快。
4．判断两圆的位置关系
例6．已知点P 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上的任意一点，21,F F 分别是左
右焦点。
求证：以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切。
两圆的圆心距即可。
解：设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r 为直径的圆的圆心为O ，半径为a,因为
,2,2221r PF a PF PF ==+所以由椭圆的定义知
,221r a PF -=连接OA ，则OA 是21F PF ∆的中位线，由三角形的中位线的
性质定理，知.2
11r a PF OA -==故以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径
的圆相内切。
例7．已知点P 是双曲线122
22=-b
y a x 上的任意一点，2F 是它的右焦点。
则以
PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+ 的位置关系是 （ ） A. 内切 B. 外切 C. 外切或内切 D. 无公共点或相交 两圆半径的和、差关系即可。
解：（1）若点P 在双曲线右支上时，连接PF 1，设以为直径的圆心为A ，半径为r ，即r PF 22=，连接OA ， 则根据双曲线的定义有：r a PF 221+=，圆O 的半径为a ，由于OA 是21F PF ∆的中位线，所以r a PF OA +==
2
1
， 故以PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+相外切。
（2）若点P 在双曲线左支上时，同理易得a r OA -=，故以PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+相内切。
综上（1）（2）知，答案选（ C ）。
以上两题分别运用椭圆与双曲线的定义，然后结合三角形中位线的性质定理使题得解，这种运用平面几何的结论简化解析几何中的代数计算的技巧常常要用到。
解圆锥曲线题时，除了要充分利用圆锥曲线的定义，有时还要注意联系题目中的条件与焦点以及准线的关系，构造出三角形或梯形的中位线，利用中位线的性质定理，可以大大减少烦琐的代数运算，突出“形”的作用，真正实现数形结合。