“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案).

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (考试时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题满分50分．)
1．方程x ＝3-55
35x
3++ 的根是x ＝( )． (A)4-15 (B)4+15 (C)15-4 (1))3-5
2．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5-29x 4++x 3-2x 2
+x －l 的值为( )． (A)610-2-323+ (B) 6102323+++ (C) 6102-327-++ (D) 6102327+++
3．若32x ＝6²22x -5²6x
，则( )．
(A)2x >3x (B)2x <3x ， (C)2x >3x 或2x <3x 都有可能 (D)以上三者都不对
4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( )条直线．
(A)20 (B)36 (C)34 (D)22
5．图中一共可以数出( )个锐角．
(A)22 (B)20 (C)18 (D)15
6．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，
E 3]＝3，则
]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( )．
(A)2 000 000 (B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001
7．如图，长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可
以找出( )对．
(A)8 (B)7 (C)6 (D)4
8．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321³(1+2+3 +……+9+……+3+2+1)，
B 2＝0，012 345 679，则9²109(1-｜A ｜)B ＝ ( )．
(A)10 (B)±10 (C)l (D)±l
9．如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB
与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 (B)19 (C)32 (D)17
10．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线
上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED
＝( )． (A)4mn (B)3mn (C)2mn (D) mn
二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)
1．分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10＝ ．
2.已知
4a -3c 32c -b 2b a ==+ ，则9b
8a 7c -6b 5a ++= ．(abc ≠0) 3.方程2x -92x -112x -172x -192x -152x -172x -112x -13+=+ 的解是x ＝ ． 4．已知：4zx z x 3zx -z x 3yz z y 2yz -z y 2xy y x xy -y x +++=+++=+++ ，且z
1-y 3x 2=，则 x= ,y= ，Z=
5，一个多边形的每个外角都等于10°，则它有 条对角线．
6．设a ，b ，c ，d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ．有一个三角形的三边长分别为22c a +,22d b +,22c)-(d a)-(b +，则此三角形的面积为
7.如图，设P 为△ ABC 外一点，P 在边AC 之外，在∠B 之内．S △PBC ：
S △ PCA ：S △ PAB ＝4：2：3．又知△ ABC 三边a ，b ，c 上的高为ha ＝3，
h b ＝5，hc ＝6，则P 到三边的距离之和为 ．
8.已知5 =2．236，那么56-14253-95
-3+=
9．在三边长为自然数、周长不超过30、最大边与最小边之和恰好等于第三边的2倍的不等边三角形中，互不全等的三角形有 个．
10．如图，已知凸四边形ABCD 的两对角线BD 与AC 之比为k ，菱
形EFGH 各顶点位于四边形ABCD 的顺次四边之上，且EF ∥AC ，FG
∥BD ，则四边形ABCD 与菱形EFGH 的面积之比为 ．
答案
一、1．B． 2．A．3．D．
4．D．任选两点都在m(或n)上，只能连出直线m(或n)．若任选两点分别在m，n上，则可连4³5=2O条．所以一共可以连2 2条直线．
5．C．如图，以A为顶点的锐角总共有1+2+3=6个，以B为顶点的锐角也有6个，以C，D，F为顶点的锐角各有2个，所以图中一共可以数出1 8个锐角．
6．B．设n(n≥2)为自然数，有n-1<
5．5 94．设该多边形有n条边，则其n个外角之和为3 60°，即n²1 0°一3 6 0°，n=3 6．此3 6边形的每个顶点都可向其他3 3个顶点(除了2个相邻顶点)连一条对角线，
又因为一条对角线有2个顶点，因此，对角线数目1 8 X 3 3=594．
第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (考试时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)
1.方程2-7x
227x)
(17+++=0的根是x=( )， (A)97-14 (B)914-7 (C)311497-+ (D) 31
1497+
2.设x ＝3-2，则x 6+3x 5+11x 3
+2x+1＝( )． (A)143 +24 (B)143 -24 (C)143－32 (D)32－143 3．要使分式|
4-x ||
8-x |3-3-x 有意义，则x 的取值范围是( )． (A)x ≥12 (B)x ≥12或x ＝3，6，7，8，9，10
(C)x ≥3且x ≠4，5，11 (D)x ≥3
4.如图，∠AOB 的两边分别有5个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5和4个点B 1,B 2，
B 3，B 4，线段AiB j (1≤i ≤5, 1≤j ≤4) 之中，在∠AOB
内及其边上不相交的一对线段称为“和睦线对”(不分顺序)，例如
A 5
B 4和A 4B 3便是和睦线对，那么图中一共有 ( )个“和睦线对”．
(A)100 (B)90 (C)66 (D)60
5．一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上(如图)．用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个
平行四边形，共有( )种套法．
(A)82 (B)40 (C)22 (D)21
6．如图，按给定的点和边，一共可以数出( )个多边形，
(A)24 (B)30 (C)36 (D)40
7．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍
表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4，
3.4✍=3,则方程3 x +2 x ✍ +[ x ✍=8的解为( )．
(A)满足l<x<1．5的全部实数
(B)满足l<x<2的全部实数
(C)满足l<x<l.5或1．5<x<2的全部实数
(D)以上答案都不对
8．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0．5，n 为整数)，则
]36[]3[]2[]1[+∙∙∙+++＝( )，
(A)131 (B)146 (C)161 (D)666
9．如图，梯形ABCD 两腰DA ，CB 的延长线交于O ．已知S △AOB ＝4，S △
AOC ＝9，则S 梯形ABCD ＝( )．
（A ）25（B ）16．25（C ）16（D ）15．25
10．如图，设梯形两对角线交于 M ，且 S △AOB=c 2,S △AMB=a 2,c>a>0,
则S 梯形ABCD =( )
（A ）22242)(4a c c a +（B ）22224a c c a +（C ）2224
2)
(4a c c a -（D ）22224a c c a -
二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．分解因式：(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4＝
2． 已知42b 3a c 33c 2c -b 23c -2b a ++=+=+,则2c
-3b a 3c 2b -a ++= ．(a ≠0) 3．不等式3
-4x 2-x -1-4x x 1-4x x -34x 2x >++的解是 4．设4
1y 3-x 2=，x ，y 都是正整数，则方程有 组正整数解．
5．一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为
6．上图是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ ．(用
度数表示)
7．把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同
的分法共有 种．
8．如图，∠AOB ＝45°，角内有点P ，PO ＝10．在两边上有点Q ，R(均
不同于O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．
9．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2
的三角形中，互不全等的三角形共有 个．
10．如图，△ ABC 的面积为S ，在BC 上有点A'，且BA'：A'C ＝m(m>0)；
在CA 的延长线有点B ’，且CB'：AB'＝n(n>1)；在AB 的延长线有点C'，
且AC'，BC ’＝k(k>1)．则S △A ’B ’C ’＝
初三答案
7．1 1 2．因为把7件彼此相异的物件分给两个人，每件物件都有2种分法，故不同的分法共有27=1 2 8种．其中，使得有一个人没有分得物件的分法有2种，使得有一个人恰好分得一件物件的分法有2 ³7=1 4种，故使得每人至少分得2件物件的分法共有1 2 8—2—1 4=112种．
2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题
一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分)
1．方程的根是x= ( )
2．设x 3-33 x 2+6x-22 -8=O ，则x 5-41x 2
+1的值为 ( ) A ．13-2 B ．-13+2 C.13 D ．1 3
3．绝对值方程|(x-2)(x+3)|=4+| x-1|的不同实数解共有 ( )
A ．1个
B 2个 C,3个D ．4个
4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4， 3.4✍=3．，则不等式8≤2x+ x +3 x ✍+4 x ✍≤14的解为 ( )
A ．0．5≤x≤2 B．0．5<x<1．5或1．5<x<2
C ．O ．5<x<1．5
D ．1．5<x<2
5．设 x ✍表示最接近x 的整数(x ≠n+O ．5，n 为整数)，则 21⨯✍ + 32⨯✍+ 43⨯✍+…+ 101100⨯✍的值为 ( )
A 51 51 B.5150 C 5050 D. 5049
6．图中，按给定的点和边，可以数出的多边形共有 ( )
A ．31个B. 48个 C. 63个D ．1 5个
7．如图在等边△ABC 中，D 、E 、F 是三边中点．在图中可以数出的三角形
中，任选一对三角形(不计顺序)，如果这2个三角形至少有一条边相等，
便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有
( )
A ．120对 B.240对 C .234对 D ．114对
8．图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、
DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42
9．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD,DA 的第1
个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、．J 、
K 、L ，又△AEL，、△BFI、△CGJ、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，
S 1=a+b+c+d ，则四边形IJKL 的面积为 ( ) A.194S S - B. 195S S - C. 192S S + D ．13
1S S +
10．设S=+，则S —T= ( )
二、填空题(每小题答对得5分，否则得O 分，本大题满分共50分．)
11．在实数范围内的分解因式：x 8-1=
1 2．已知
，a 、b,c≠0，a≠b,b≠c,c≠a，则
= ．(5a ≠2b+9c)
13．不等式的满足x>O 的解是 ． 14．5位数n ，满足以下4个条件：
1.n 是回文数(数字逆排仍等于自身的正整数称为回文数，例如33，252，10601);
2．n 是完全平方数；
3．n 的各位数字之和k 也是完全平方数；
4．k 是2位数，k 的2位数字之和r 也是完全平方数．那么，n= ．
15．平面上n 条直线，它们恰有2002个交点，n 的最小值是 ．
16．三边长为整数、周长等于20的互不全等的锐角三角形共有 个．
17．五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河．如图
l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大
门．为方便人员来往，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河
岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离
40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A．B两点水平距
离(与小河平行方向)120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条
桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是米．
18．把7本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有种．
19．已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，则n等于．
20．设2002!=1³2³3³4³…³2002，那么计算2002!的得数末尾有个0．
2002年第14届“五羊杯’’数学竞赛初三
一、选择题：1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分)
1．方程223232323=+-+-+x
x
的根是 ( ) A.-3 B. 2 C.-1 D ．0。

2．设3x 3+(4—37)x 2一37x —7=O ，则x 4+7x 3一7x 2
一37x+2的值为 ( ) A ．307 B. 30 C. 7 D. 0
3．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0
|x ||y |4-y 0|y ||x |4-x 22在实数范围内( ) A.有1组解 B.有2组解 C.有4组解 D.有多于4组的解
4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4， 3.4✍=3．，则不等式组 23．2≤4 x +3 x ✍+2 x ✍+x ≤35．6
24．3≤4 x ✍+3 x +2 x ✍+x ≤37．7 的解为 ( )
A ．2．3≤x≤3．6，x≠2．5，3．5 B. 2≤x ≤4，x≠2．5，3.5
C. 2．3≤x≤3．6 D ．x=2，3
5．作自然数带余除法，有算式A÷B=C…27．如果B<100，且A-80B+21C+524=O ，则A=( )
A ．2003 B.3004 C ．4005 D ．4359
6．图由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分(小菱形)的面积为1，那
么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为 ( )
A ．400 B.300 C 200 D ．150．
7．在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为 ( )
A 5468
B 6028
C 5828
D ．5058
8．图中，BP ：PQ ：QC=1：2：1，CG ：AG=1:2，则BE ：EF ：FG= ( )
A 12：17：7 B.11：16：6 C. 10：15：6 D ．9：14：5
9.设S=99
9795297527532531248
32⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
T=99
97275253231148
2⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯，则12S-3T= ( ) A ．96032149- B. 9603249- C. 3201
2149- D ．3201249
- 10．设n=99…9(100个9)，则n 3
的10进位制表示中，含有的数字9的个数是 ( )
A ．201 B.200 C.100 D ．199
二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分)
11．在实数范围内分解因式：x 4-3x 2+4= ．
12．已知
13．不等式
的解是 ．
14．要使分式
和
都有意义，则x 的取值范围是 15．设，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．如图，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B
处，经过2座桥：DD'，EE'．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在
东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使AD 、
D'E’、EB 的路程最短．这个最短路程为 米．
17．四边形ABCD 的四边长为AB=34，BC=1m)-(72+，CD=22n)-(6m +，DA=16n 2+，一条对角线BD=22n)-(57+，其中m ，n 为常数，且0<m<7，0<n<5，那么四边形的面积为
18．设x≠0，x≠1，P=x 2-1，Q=2x 2x 1-，R=2
x)-(1x)-x(2，且AP+BQ+CR=s 对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数，s=2
24
2x)-(1x x x 5x 41-+-．则AQ+BR+CP= (x≠0，1)．
19．利用不等式3ABC 3
C B A ≥++，A ，B ，c>0，等号成立当且仅当A=B=C”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁
片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子(折缝不计)，要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x= dm．
20．以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕”=．
可怕非典³抗³抗³抗³抗=非典不可怕
2003年第15届“五羊杯"初中数学竞赛初三
一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D
2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
一、选择题(4选l 型。

每小题选对得5分。

否则得O 分．本大题满分50分．)
1．方程52522525--=++x
x
=2的解是( )． (A)5 (B)2 (C) 10 (D)1
2．设x 2-7x+7-0，则x 4+7x 2
+49=( )．
(A)7(B) 7 (C)-7 (D)0
3．绝对值方程||x-2|-|x-6||=l 的不同实数解共有( )个．
(A)2 (B)4 (C)l (D)0
4．设 x 表示不大于x 的最大整数，如 3．4 =3， 2 =2， -3.4 =-4，则下列结论中，不成立的有( )个．
① x ≤x< x +l ； ②x -1< x ≤x；
③ -x =- x ； ④ 2x =2 x ； ⑤ x + l-x =1．
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
5．下列各式结果最大的是( )． (A)52 -7 (B)7-52 (c)3434- (D))0．1
6．下述结论中，正确的结论共有( )个．
①若a ，b>0，则
11++<a b a b ；②若a>b ，则2)(b a +=a+b ；③若a>b ，则33b a -<-； ④若a>b ，则a 2>b 2；⑤若a ，b>0，则ab b a 2≥+
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
7．如图，□ABCD 中，E 为BC 上一点，且 BE ：EC=m ：n ，AE 交BD 于点F ，则BF ：FD=( )．
(A)m ：(m+n)(B)m ：n(C)m ：(2n)(D)m ：(m+2n)
8．设实数a ，b ，c ，d ，e 满足(a+c)(a+ d)=(b+c)(b+d)=e≠O，且a≠b,
那么(a+c)(b+c)-(a+d)(b+d)=( )．
(A)e(B)2e(C)0 (D)不确定
9．A ，B ，C ，D ，E 五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分．其中E 排第三，得96分．又知A ，B ，C 平均95分，B ，C ，D 平均94分．若A 排第一，则D 得( )分．
(A)98 (B)97 (C)93 (D)92
10．已知4名运动员体重(以千克为单位)都是整数．他们两两合称体重，共称5次，称得重量分别为99，113，125，130，144千克．其中有两人没合称过，那么这两人体重较大的是( )千克．
(A)78 (B)66 (C)52 (D)47
二、填空题(每小题答对得5分。

否则得O 分．本大题满分50分．)
11．在实数范围内分解因式：(x-1)4+ x(2x+1)(2x-1)+5x= ．
12.已知,5,7823,132-=-+-=+--=-+c b c b c a c a b a b a 则c
b a
c b a 375436-+++= 13．不等式1|
5||26||10||2|>++++y y y y 的解是 ． 14．如图。

∠C=90°，∠BAC=60°，AD=AB ， BC=4，则D ，B 两点间的距离是 ．
15.方程
5
49)2(61)2(21)2(216)1(84)1(422222=-----+-+--+--+x x x x x 的解为x=
16．如图两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠
部分面积是 ．
17．五羊公共汽车公司的555路车在A ，B 两个总站间往返行
驶，来回均为每隔x 分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前
行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分
钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均
匀，忽略停站耗费时间，则x= 分钟．
18.计算：
a
a a a a a a a a a a a ++⋯⋯++++++9898939
3929299= (其中a>0) 19．以 x 表示不大于x 的最大整数，例如 3．7 =3， 3 =3．则 (6 +5 )6 =
20．设p ，q 是任意两个大于100的质数，那么p 2-1和q 2
-l 的最大公约数的最小值是
第十六届五羊杯初中数学竞赛试题参考答案
1. D
2. D
3. A
4. B
5. D
6. D
7. A
8. C
9. B 10. B
11.(x 2 +3+22 )(x 2 +3-22) 12. –2 13. –3<y<1且y 4
5-≠ 14. 8 15. 225±
16. 34 17. 4 18. 4 19. 10581 20. 8。