03 第三节 正定二次型
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第三节 正定二次型
分布图示
★ 二次型有定性的概念 ★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定 ★ 定理6 ★ 矩阵的主子式 ★ 定理7
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3
内容要点
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有
0>AX X T （或0 成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X , 都有 0≥AX X T （或0≤AX X T ） 成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）. 注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 二、正定矩阵的判别法 定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p = 定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。 推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A . 定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为 2 2122221r p p z z z z z ---++++ 则 (1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为 2 2221n z z z f ----= ) (2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22 221 ) (3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22 2 21 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即2 2122221r p p z z z z z f ---+++=+ ) 定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式 )1(2121 2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤ 称为A 的一个k 阶主子式.而子式 ),,2,1(||2 1 22221 11211n k a a a a a a a a a A kk k k k k k == 称为A 的k 阶顺序主子式. 定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>. 注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。 (2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>- 其中k A 是A 的k 阶顺序主子式. (3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价: a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的; b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零； c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零. 例题选讲 二次型有定性的概念 例1(E01) 二次型,),,,(2 222121n n x x x x x x f +++= 当0),,,(21≠=T n x x x X 时, 显然有 ,0),,,(21>n x x x f 所以这个二次型是正定的,其矩阵n E 是正定矩阵. 例2 (E02) 二次型,44422 33222312121x x x x x x x x x f -+-+--=将其改写成 ,0)2(),,(2321321≤-+-=x x x x x x f 当02321=-+x x x 时, 0),,(321=x x x f ,故),,(321x x x f 是半负定,其对应的矩阵⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-----422211211是半负定矩阵. 例3 (E03) 2 221212),(x x x x f -= 是不定二次型,因其符号有时正有时负, 如 .0)1,2(,01)1,1(><-=f f 正定矩阵的判别法 例4 (E04) 当λ取何值时, 二次型),,(321x x x f 是正定的: 2 332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++=. 解 题设二次型的矩阵=A ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛λ32321211 ,01||1>=A ,012 111||2>== A ,05||||3>-==λA A ∴5>λ时，),,(321x x x f 是正定的. 例5 (E05) 判别二次型),,(z y x f 是否是负定的, xz xy z y x z y x f 44465),,(222++---=. 解 题设二次型的矩阵=A ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---402062225 ,05||1<-=A ,0266 22 5||2>=--= A ,080||||3<-==A A ∴),,(321x x x f 是负定的. 例6 (E06) 证明: 如果A 为正定矩阵, 则1-A 也是正定矩阵. 证 A 正定，则存在可逆矩阵,C 使,n T E AC C =两边取逆得: .)(111n T E C A C =--- 又因为,)()(11T T C C --=,))((11--=C C T T 因此,)())((111n T T T E C A C =---,0|||)(|11≠=--C C T 故1-A 与n E 合同，即1-A 为正定矩阵. 课堂练习 1.设二次型,222),,(31212 32221321x x x tx x x x x x x f -+++= 试确定当t 取何值时, ),,(321x x x f 为正定二次型. 2.判别二次型312 322213214542),,(x x x x x x x x f -++=是否正定. 3.设A ,B 分别为m 阶,n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.