2018长春三模理科数学含答案 吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷
【高三数学试题精选】2018届高三数学理科质量监测试题4(长春市附答案)
2018届高三数学理科质量监测试题4（长春市附答案）
5 c 长春市普通高中2
c 是奇函数，最小值为 D 是偶函数，最小值为
7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A B
c D
8二项式的展开式中，项的系数为
A B c 15 D -15
9据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数（单位万）服从正态分布，则日接送人数在6万到68万之间的概率为（）
A B c D
10球面上有A,B,c三点，球心到平面ABc的距离是球半径的，且，则球的表面积是
A B c D
11已知是双曲线的两个焦点，P是双曲线c上的一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线c的渐近线方程为
A B c D
12已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围为
A B c D
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共5不等式选讲
（1）已知函数，若不等式的解集为，求的值；
（2）已知实数，且，求证
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
吉林省长春市2018届高三质量监测(四)数学理
吉林省长春市2018届高三质量监测(四)数学理长春市普通高中2018届高三质量监测（四）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
4.考试结束，只需上交答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={-3,-1,1,3}，B={x|x²+2x-3=0}，则A∩(全体实数B)={-3,1}。
2.若复数z=(1+i)/(1+ai)为纯虚数，则实数a的值为0.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行了药物A实验和药物B实验，得到等高条形图，根据图中信息，最佳的说法是：药物A、B对该疾病均有显著的预防效果。
4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(-3,3)，C(4,2)，则向量AB在AC方向上的投影为-2/5.5.设公差小于1的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=11a6，则当Sn取得最大值时n的值为8.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)(x∈R)的部分图像如图所示，则f(π/2)=-A。
7.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱AA'B'，底面三角形A'B'C'是正三角形，A1为BC中点，则下列叙述正确的是：AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，$x\in(0,+\infty)$，求证：对于任意的正整数$n$，都有$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\geqslant\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)$。
证明：对于任意的正整数$n$，有begin{align*}sum_{k=1}^n\frac{1}{k}&=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\\geqslant\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ln(n+1)-\ln 1\\ln(n+1)end{align*}又因为$f(x)=\frac{1}{x}$在$x\in(0,+\infty)$上单调递减，所以begin{align*}f(n+1)&=\frac{1}{n+1}\\leqslant\frac{1}{k},\quad k\in[1,n]\\Rightarrow\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)&\leqslant\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{n+1}\\frac{1}{n+1}end{align*}因此，$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\geqslant\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)$成立。
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷(理科)(解析版)
求证： 平面 ；
Ⅱ 求二面角 的余弦值．
20.已知椭圆 的右焦点为 ，点 为椭圆 上的动点，若 的最大值和最小值分别为 和 ．
求椭圆 的方程
Ⅱ 设不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，求 面积的最大值
故答案为： ．
14.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如图所示，
由 ，可得 ，
根据 的几何意义，可以确定其在直线 和直线 的交点 处取得最小值，
由 解得 代入求得 ，从而确定出最小值为 ．
故答案为： ．
15.
【答案】
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（2）根据茎叶图比较，在一模考试中甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）;
（3）若规定分数在 的成绩为良好，分数在 的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出 位同学参加数学提优培训，求这 位同学中恰含甲、乙两班所有 分以上的同学的概率．
【解答】
解：取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ， ，
∵棱长为 的正方体 中， 为棱 中点，
∴ ， ，
又 ， ，
， 平面 ， 、 平面 ，
∴过点 ，且与平面 平行的正方体的截面为四边形 ，
∵ ，
，
，
∴过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为：
．
吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷
长春市普通高中20怡届高三质量监测(三〉数学试题卷(理科)耆生硕知： t 各试空分试聰砂答題卡,構分150井,石试时间】20分钟.2. 淬聴乩 在斟SF 抬宼位据匕境写学检.班纽 社名和准警证号.3. 希有答案必皱耳在务朗左上，打龙试总上无效. 4号试黠忆 製需上殳界轉卡一一、谨择題:本鏈共M 小题，每小眩空井"吞每小赵给出的四个选项中、只商一项是符 合题目毀滾的一 (t > 设集 fr.l^{x||x|<l), B = {x\x(x-3)<U}.刪 dURz(A)卜IQ U) (0.1)(C) (-13><D> (1,3)(2> 若埶数工=则|=|=[-i迅行运兀跑的摆辿們式仃纵横:老种瞄 式(如图所示).如吟松位数时*輝阿拉时汁数 样.把朴牛数旳的数码从圧到右抑列，«H 他栽码的序式胡徑覘* 釧町 个仏 百肯、力中t ［网做虫 紬粘卜位.丁世・十万何用槌式展叮；•以 此芟他 例俎H66用S7并盂小祖肚二II 丄「刚翳71用券尊可劇为 2 占丄 Tl (B) HT X X I (C) i T± ■ (D> TIT 丄 1F_J5)榔ift 眈/(.¥)'Sin(2.i h 3)的用傑向f I T ft <J 个讯位曙f i!函数耳(灯二COS 2x 的 r 3 牌傑.測凸的ffl 诃门打；T S JT1 1,7 1?肚 l A )一 CID 二 fC>心—— 12J2 12 12 数学试独艸科〉 詭1贞(搖4就)(B) 0CD)迈(3) 中国有个名旬“运磬桂犍Z 中.决胖『咐之外■・其中的“溥”療您赴描<*hf P 经)中记朝的算靜.古代川订为廉址行计 ■ KSA#几寸长的小竹棍摆机平血LI II 01 Illi hli T T nr >± X = ms痢数 /(x) = l + /+—为til 图所不程用Hi 图是为r 求出满足2"-^ >28抑扯小偶 如、那么唯白框中的迥旬及巌后输岀的”悄分別是(A) n = n + l ^1 6(BJ M = “ + 2和 6 (CJ H = rt 4-1 S (D) n = n + 2^ml_«j(7} (T 本用间的W 摆放在恪架时同一栏上「變求屮、乙第本肝必坝摆做张幅攔• W* 丁两点书謝须相邻，则小岡的建旗方汎有I )种.(A) 24CB )36 «：1 48(8> 某几何縊的 濒用如图所同；(单册cm ),则劇L 何体的体扔E 帕趴cm >是<A) 4^3 〔B 〉罗厉(C )2血 (D)語(9) LABlA^flC 的内的对边分别为，b * Ci 齐 2/fttwi /?兰fjgs ( + c ix>s A・ h-2 ・则△屛賦曲 紂的城人Fi 圧<M I⑹ J3 <C)2(D )4(IQ) |2扫1边怏为2的竽追決形MC ・0为肚的中点・以』£>为析腿将4仏「 折诫zm, ant 凡乩GDIB 点的球的泯面机为 (A) 2JT口昇 M(C) 4ffCD)Ml) 口甜悠曲线三-亠 "的左后柄忙建点仃劭为幷利巧•种儿和支卜一存症一nr rtv -\点尸淌址丹；丄怦；，何冷△丹•出的圍舉为L 则谀取曲冀的禺心率为(A)—【1口 — <C> 2 <Di 32 2(12)已知定又域为H 的甫H/QO 的用乂择ii 点亿I)，H 对*wR ，都有 广⑴八2. /(1QU 313T -11) < 3- log 7；： | T 为CA )似心) &B )(-oo,0}U<OJ) (C) Y 」)3 (-LO>U(0J)G'r 试趣连t 理斟】 苹2 1「人4 i ；CSC' -1A =2" ft'訂/畔上/二、填空砸：本SLh 4小題，旬小趣5分.“0（IJ）设实fltxj需足釣束策林・4一丫一$心0*聊二二” + 2y們最大值为x + V 5L °i456y口m涯Ift点圈井折町知=y』』x找性机羌. 为㈱确fjo.i）,畠/（盘）耳2,则实数“的联恒盘国虽lag, Jr J：>O P(15)（15）乜殛长为2的弄蝮白柳△#放屮…讨为斜边/R的屮0,点P为该平记内-动啟苦冈卜2・M（S4'PS + 4XPC*/*A7）的眾小值屋______________•三、解答麵：共期分解答应舄生女字说明、证明过程或演算歩骤一第17-21掘为必考建, 毎个试强考生都叠须作答.第2篁苗趣为选考题*考生根揣要求件答•<-）必考题：共60分.（17）Ct耶题満分俺和仪进列｛叫｝的4沖项和为乙+吐忆二用"，在正项巒说戳列｛和也爲-吋（1）求｛叫｝和仏讣的期琨企式;< JD址1打二务求麹列｛□｝的li沏顶和匚-（18）（本小题満分门分）树立和躅行41録朮育山就是金血阚山・甲排人与自然和躅共牛"'射理念越来拯怎入人心.已圧威了全代门応穆叮*造祖方41的肚性劭环一据此旅H站推! 11T关严卞奁文明翅设进展愴况的确杳.大凰的蟒计截霍憲明・雾与谓査舟中关注此问趣的约占闕需刀!从需与调査的人郡中册应出200人■笄谒这200人按年岭分第I 组P5J5），閉2 ^｛25,35）.谊J犯［3翼45）「第4疑［4畀55）・笫3姐［5黑祐“再到的频率分布口方團如團所示i< \）求左的th（ri）現在熨从年龄鞍小的第b 2t 3蛆中用务层抽样的方世抽胞门人・再从这门人中樂机抽取J人迥订何卷英許・求在f I组巴帔拯到［人的刑覆F.^3 坦褫扯到2人的魄率；（IU）苕从所有参与调査的人中址意选出J A-记关注"诜丈明”的人数为片I 求X的分布対与期卑.灶学试軀隹f；T i!h u：（K- 4 ）（旳〉（:本小题満分门分）在如图瞬示的儿忖悴屮，PA.1平面A BCD t E.F卧訓杲im AD, PH的中点・PA -AB = \（I）求证:EF#平面DO1；（II j求平面EFX7与平面/YX?所或锐二面角的金径值.rio> ｛本小题満分M分）托平删倒处坐栋承4 E油【関q的方用为"7口於虫・阀匚的方程^（i+ty+Z^b动岡卍与BIG内切切.< ［）诜动訂関心厂的比迹E的厅楼：（ID巴知理-2』）制02,（1｝为甲面内的两个宦点*过（14）点的氏战丿与轨迹E空于川』B两点、求0ii® APBQ的鈕大值.CD （本小趣滿分订労）已知隅議/"（工）冃”-4工*5-耳，（1〕若/'（刃在R上垦单魁递增喀咯求"的取遠范凤（It） ^g（T）-^/（X）.当Q1时.若竄斗）乜（对"童（冊卜眞中^! < ftf < Jj -求i吐Jf t + x2< 2m（-）進考降垄】0处请考生在22、工3题中任选一题柞答一如果务傩*则按所做的第一12计*<22）（本申題満分苗分）选^4-4:坐标系与参賞方程选讲在氏期坐标JfiQ巾.以坐悔亂虫为楼血，X轴正半输为极挡建宜极劭标氛*曲啦；："畑話— R「“如?"H ）求G弓匚；交点的極磋标；〔II）设点a在G」：・觅=亍囲・欢动点尸的极坐标方翟（23）（本小麓潘分4份）选捲1黛不等武逸讲己知函数f （工）=|纠*|2x*3| + m・meR.〔I ）当耐=—2时.求不等式/（i）^3的解能：£ ［［）讨卜滋F（F,0h都有一广（工）$工+二怔戍立+求椭的眾值施阴■耽学试啦養！呷孑门第斗旬｛扛4亟）长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分) 1. C 2. A 3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B10. D11. B12. B简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查集合的运算 .【试题解析】C A 二{x| -1 ：：： x :：: 1}, B 二{ x| 0 ：：： x ：： 3}, AUB =(一1,3).故选 C. 2. 【命题意图】本题考查复数 . 【试题解析】A z =i,|z|=1.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题 . 【试题解析】C 由算筹含义.故选C.4.【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质【试题解析】D 由函数是偶函数，排除 A ，C ,当x ・(0, —)，tanx .0.故选D.25.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识 .【试题解析】C 由题意知，a = -一 • k 二，k • Z .故选C.126. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识 . 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7.【命题意图】本题考查计数原理的应用 . 【试题解析】A 由题意知A 2A 3A ； =24.故选A.8.【命题意图】本题主要考查三视图问题 .【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用【试题解析】B 令F(x) = f(x)+2x ，有L(x)=f(x 七 刃，所以F(x)在定义域内 单调递增，由 f(1)=1，得 F® =f) 2 3 ，因为 f(log 2 |3x —1|) v3—log 出 |3x —1|9.V=4E 」2G 」°W .故选B.3 3【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识 .【试题解析】B 由题意知B=60，由余弦定理,2ac =a2c 一 4 — 2ac - 4，有 ac 空 4，故 S2 2ac = a c - 4，故1acsin B 乞、3 .故选 B.210.11.【命题意图】本题主要考查球的相关问题 .【试题解析】 D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 故其外接球的半径为 5，其表面积为2【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 1+1+3二、一 5，5二.故选D.【试题解析】B 由双曲线可知S PFF=m 2-1 = 3,m 2= 4，从而』.故选B.2等价于 f （log 2|3x -1|） 2log 2|3x -1|：：：3，令 t=log 2|3x -1|，有 f （t ） 2t ：：：3，则有t ：1，即 log 2 |3x-1| ：：：1,从而 0 ：：：| 3x _ 1| ：：： 2，解得 x ：： 1,且 x 严 0.故选 B. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.715. （_：：,_1]U[4, ：：） 16. 48-32、、2简答与提示： 13. 【命题意图】本题考查线性规划问题 . 【试题解析】由可行域可确定目标函数在 （1,4）处取最大值9.14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 x=3.2代入回归方程为y? = x ・1可得y -4.2，贝U 4m = 6.7 , 解得m= 1.675，即精确到0.1后m 的值约1.7. 15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识1【试题解析】当X _0,（—）x_2,x _-1，当x 0 竄_4x_，故（：：〒]4lh ： .216. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识 【试题解析】由题意可知其最小值为48 - 32-、2.三、解答题17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和2【试题解析】解：（1） Q S n = n 2 -n ，令n =1 , q =0a . =Sn -S n 」=2 n -1 , n — 2a n =2 n-1 又 Q 数列仏？为等比，b 2 二 a 2=2 , b 4 二 a 5=8—=q = 4，又各项均为正• q = 2 , - bn = 2°4b 2(2)由(1)得：c n 二 n-1 -2nT n =0 2-1 23-1 23 L n-12n=1 222 23L n-1 2n2T n 二 1 232 24Ln - 2 2n n-1 2n 1-T n =222324L 2n - n-1 2n 1T n = n -2 2n 14 18. （本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识 【试题解析】解：（1）由 10 0.010 0.015 a 0.030 0.010 =1，得 a = 0.035,（2）第1, 2, 3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1, 2, 3组中用分层抽样的 方法抽取12人，则第1 , 2, 3组抽取的人数分别为 2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ,汁""1尹 1-2n 1n 1=2-n-12-4C ；CP AB G 32P(A) " C2C1O - C |C ；0C 2则 P B|A 二21 50(3)从所有参与调查的人中任意选出4概率为P , X 的可能取值为0,54 3 1.P X =0 二咖--)3：5 125 1人，关注“生态文明”的 1，2, 3.14 1 4 2 12Px" 话 19. 2 4 2 4 1 48 343P X =2 二C 3(y (1-匸) ，P X =3 二C 3(匚) 5 5 125 5想象能力、推理论证能力和运算求解能力 • 【试题解析】答案：(1 )取PC 中点M ，连接DM ,MF64 125本题考查学生的空间1丁 M ,F 分别是 PC, PB 中点，二 MF 〃CB MF =^CB ，， 21E 为 DA 中点，ABCD 为矩形，.DE/CB’DE -^CB ，2.MF // DE, MF = DE ，.四边形DEFM 为平行四边形.EF // DM , EF -平面 PDC ， DM 二平面 PDC ，. EF // 平面 RDC(2PA_平面ABC ，且四边形 ABCD 是正方形，.AD, AB, AP 两两垂直, 原点，AP AB AD x, y, z A-xyz 则 P 1,0,0 , D 0,0,1,C 0,1,1, E(0,0,设平面EFC 法向量为m =(x, y,z)，1 1 1；),F(；,；,°) 2 2 21 1 11 1 EF 十，，)，FC =(, ,1)EF n = 0则一11，取 m = 3,-1,2y z = 0召2 T T则设平面 PDC 法向量为 n 2=(x,y,z)， PD= (-1,0,1)，PC =(-1,1,1)，即 \FC n =0PD n 2 PC n 2 4 T cos ： n 1,=0 -0_ x + z = 0 -* 「x + y + z = 0，取宀1。
吉林省长春市2018届高三质量监测(四)数学(理)试卷(含答案)
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{3,1,1,3}A =--，2{|230}B x x x =+-=. 则()A B =R I ðA. {1,3}-B. {1,3}--C. {1,3}-D. {1,3}2. 若复数1i1iz a +=+为纯虚数，则实数a 的值为A. 1B. 0C. 12-D. 1-3. 为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 C. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 D. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果4. 已知ABC △的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,3)B -，(4,2)C ，则向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为A.10B. 10-C.22D. 22-5. 设公差小于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3611S a =，则当n S 取得最大值时n 的值为A. 6B. 7C. 8D. 116. 函数()sin()(0,0,)()22f x A x A x ππωϕωϕ=+>>-<<∈R 的部分 图像如图所示，则()3f π=A.12B.32 C. 12- D. 32- 7. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是 A . 1CC 与1B E 是异面直线患病未患病服用药没服用药00.10.20.30.40.50.60.70.80.91患病未患病服用药没服用药00.10.20.30.40.50.60.70.80.91Oxyπ61π32B . AC ⊥平面11ABB AC . AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D . 11//AC 平面1AB E8. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --⎪⎪-+⎧⎨⎩≤≥≥≥，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 9. 如图所示程序框图，若输出的x 为1-，则输入0x 的值为A. 1B. 12C. 1-D. 210. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1||PA 是12||F F 和12||A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为A.B.C. 2D.12. 已知函数()xf x e =，对任意的12,x x ∈R ，都有121212()()||(()())f x f x k f x f x x x -<⋅+-恒成立，则实数k 的取值范围是 A. [2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞UC. 11[,]22-D. 11(,][,)22-∞-+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春市普通高中2018届高三上学期质量监测理数试题Word版含解析
吉林省长春市普通高中2018届上学期质量监测高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（ ） A. 1213i + B. 1312i + C. 13i - D. 13i【答案】D.考点：复数的运算．2若实数a ，b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A.22a b > B. 1ab> C. 22a b > D. lg()0a b -> 【答案】C. 【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当a b >时，22a b >为正确选项，故选C. 考点：不等式的性质．3.设集合2{|30}A x x x =-<，{|||2}B x x =<，则A B =（ ） A. {}|23x x << B. {}|20x x -<< C. {}|02x x << D. {}|23x x -<<【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可知{|03}A x x =<<，则{|22}B x x =-<<，∴{|02}A B x x =<<，故选 C.考点：集合的关系．4.运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 99212-B. 99212+C. 1010212-D. 1010221+【答案】A. 【解析】试题分析：由算法流程图可知，输出结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即为99212-，故选A.考点：程序框图．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和．6.几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.323B. 2163π-C. 403D. 8163π-【答案】C.【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为14022422233⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C.考点：空间几何体体积计算．7.已知变量X 服从正态分布(24)N ，，下列概率与(0)P X ≤相等的是（ ） A.(2)P X ≥ B.(4)P X ≥ C.(04)P X ≤≤ D. 1(4)P X ≥-【答案】B. 【解析】试题分析： 由变量X 服从正态分布(2,4)N 可知，2x =为其密度曲线的对称轴，因此(0)(4)P X P X ≤≥=，故选B.考点：正态分布的性质．8.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ）A. 24πB. 12πC. 8πD. 1124π【答案】A.考点：三角函数的图象和性质．9.已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（ ）A.1C. 2D.【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，设(1cos ,sin )A θθ+，(,1)P x x +，则(1cos ,sin )B θθ--， ∴(1cos ,sin 1)PA x x θθ=+---，(1cos ,sin 1)PB x x θθ=-----， ∴(1cos )(1cos )(sin 1)(sin 1)PA PB x x x x θθθθ⋅=+---+-----22222(1)cos (1)sin 211x x x θ=--+---=+≥，当且仅当0x =时，等号成立，故选A. 考点：1.圆的标准方程；2.平面向量数量积及其运用．10.已知函数()f x 满足()(2)2f x f x +-=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，当(1,0]x ∈-时，()2f x +=，若定义在(1,3)-上的函数()()(1)g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ） A. 1(0,]2B. 1[,)2+∞C. (0,6+D. (0,6-【答案】D. 【解析】试题分析：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，∴22()2211xf x x x -=-=-=++，即()f x 在(1,1]x ∈-上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xx f x x x x -⎧ ∈-⎪=+⎨⎪ ∈⎩，又∵()(2)2f x f x +-=，∴()f x 的图象关于(1,1)点对称，可将函数()f x 在(1,3)x ∈-上的大致图象如下图所示，令()0()(1)g x f x t x =⇒=+，而(1)y t x =+表示过定点(1,0)-斜率为t 的直线，由图可知为其临界位置，当[1,2)x ∈时，2()(2)2f x x =--+，联立2(1)(2)2y t x y x =+⎧⎨=--+⎩，并令0∆=，可求得6t =-，因此直线的斜率t的取值范围是(0,6-，故选D.考点：1函数与方程；2.数形结合的数学思想．11.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）种. A. 18 B. 27 C. 37 D . 212【答案】C. 【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为37C ，为35种；共计37种取法，故选C.考点：排列组合．12.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A. 10 B. 13 C. 16D. 19【答案】B.考点：圆锥曲线综合题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知实数x ，y 满足2040240x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，则2y x -的最小值为___________.【答案】1. 【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令2z y x =-，可化为2y x z =+，因此当直线过点(1,3)时，z 取得最小值为1，故填：1.考点：线性规划.14.已知向量(13)a =，，2(0,1)b t =+，则当[t ∈时，||||ba t b-的取值范围是_________. 【答案】. 【解析】试题分析：由题意，||bb 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||b a t b -表示||b tb 向量终点到a 终点的距离，当t =时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，可算得该距离||||b a t b-的取值范围是，故填：.考点：平面向量的线性运算.15.已知0>a ，6)x-展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰___________.【答案】2233π++考点：1.二项式定理；2.定积分的计算.16.已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈，若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积，已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________. 【答案】2520-. 【解析】试题分析：由题意可知，11p =，22p =，34p =，48p =，51p =，62p =，74p =，88p =，91p =，102p =，114p =，128p =，131p =，……，又∵{}n p 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，11q =-，21q =-，31q =，41q =-，51q =-，61q =，71q =-，81q =-，91q =，101q =-，111q =-，121q =，131q =-，……，又∵{}n q 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}n n p q ⋅，每12项的和循环一次，易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-，因此2016S 中有168组循环结构，故2016151682520S =-⨯=-，故填：2520-.考点：1.新定义问题；2.数列求和.三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A满足()26A f π-=sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）最小正周期：π，单调递减区间：7[,]1212k k ππππ++()k Z ∈；（2）试题解析：（1）2()2sin cos sin2f x x x x x x =+=2sin(2)3x π=+，因此()f x 的最小正周期为22T ππ==，()f x 的单调递减区间为3222232k x k πππππ≤≤+++， 即7[,]1212x k k ππππ∈++()k Z ∈；（2）由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==，又∵A 为锐角，∴3A π=，由正弦定理可得2sin a R A ===，sin sin 2b c B C R ++==，则1314b c +==，由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===， 可求得40bc =，故1sin 2ABC S bc A ∆==．考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）可以；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）计算离散型随机变量X 取到各个可能值时对应的概率，列出分布列后即可求解.试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表：22200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5， 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==，X 的分布列为：由于~(5,)5X B ，则525EX =⨯=，5(1)555DX =⨯⨯-=．考点：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布与期望和方差． 19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ︒∠=.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --的大小为60︒，AC ，BD 的交点为O ，连接1B O ，求三棱锥1B ABO -外接球的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）12548π.试题解析：（1）连接11B D ，∵面//ABCD 面1111A B C D ，面PBD 面ABCD BD =，面PBD 面111111A B C D B D =，∴11//BD B D ，即11B D 为PBD ∆的中位线，∴1B 为PB 中点；（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，1OB 方向为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)B ，1(0,0,)B t，(C，从而()AP t =，(,0)AB =，则13(3,3,)n t=，又∵2(0,0,1)n =，∴1212123||1cos ,2||||n n n n n n ⋅<>===⋅，则32t =，由题可知，OA OB ⊥，1OA OB ⊥，1OB OB ⊥，即三棱锥1B ABO -外接球为以OA ，OB ，1OB 为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为52d ==，即外接球半径为54，则三棱锥1B ABO -外接球的体积为33445125()33448V R πππ===． 考点：1.面面平行的性质；2.二面角的求解；3.空间向量在立体几何中的运用．20.（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆内切圆面积的最大值为3π. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析. 试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F PF ∆内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =12122F PF F PF r S C ∆∆=⋅，由12F PF C ∆为定值，因此12F PF S ∆也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12(22)22r c b a c ⋅⋅=⋅+，112(42)22t t t ⋅=+，解得1t =， 则椭圆的方程为22143x y +=；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， 直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----， 直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----， 则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ， 则116(4,)2y MP m n x =--+，226(4,)2y MQ m n x =--+， 2121266(4)()()022y y MP MQ m n n x x ⋅=-+--=++，即2121266(4)()()033y y MP MQ m n n ty ty ⋅=-+--=++， 即22121221212(3612)18()(4)03()9nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，2222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，即2269(4)0nt n m -++-=，若PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，即不论t 为何值时，0MP MQ ⋅=恒成立，因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点(1,0)和(7,0)．考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆锥曲线中的定点问题．21.（本小题满分12分） 已知函数22ln ()a x f x x -=在点(1,(1))f 处的切线与直线41y x =-+平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值；（2）若对任意1x ，2x 1(0,]e∈，有1222221212()()||>f x f x k x x x x --⋅，求实数k 的取值范围； 【答案】（1）1a =，()f x 有极小值为21()f e e =-；（2）(,4]-∞. 【解析】 试题分析：（1）首先求导，根据导数的几何意义可求得a 的值，再根据导数的取值情况确定原函数的极值点；（2）将原不等式变形为122212()()||4f x f x x x ->-，再构造对应函数，将问题等价转化为求函数最值即可.试题解析：（1）由题意得3224ln ()a x f x x --+'=，又∵(1)4f '=-，解得1a =， 令33224ln 44ln ()0a x x f x x x --+-+'===，解得x e =，即()f x 有极小值为21()f e e =-；（2）由1222221212()()||f x f x k x x x x ->-⋅，可得122212()()||11f x f x k x x ->-，令21()()g f x x =，则()l n g x x x x =+，其中2[,)x e ∈+∞，()2ln g x x '=+，又∵2[,)x e ∈+∞，则()2ln 4g x x ≥'=+，即122212()()||411f x f x x x ->-，因此实数k 的取值范围是(,4]-∞.考点：导数的综合运用．请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【答案】（1）曲线2C的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）最小值为8.【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可将2C 的极坐标方程化为相应直角方程，即可求解；（2）联立1C ，2C 的方程，将||AB 表示为相应的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos sin ρρθθ=+，因此曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）联立曲线1C 与曲线2C的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===||AB的最小值为8.考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|2|||()f x x x a a R =++-∈.（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式3()2f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥-；（2）(,4]-∞.【解析】试题分析：（1）对a 的取值分类讨论，将问题等价转化为不等号左边的最小值不小于0即可；（2）由题意可知，问题等价于函数()y f x =的图象恒在32y x =的上方，画出两个函数图象，即可得到关于a 的不等式，从而求解.试题解析：（1）当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a ≥-恒成立，即()f x 的最小值|2|a a ≥--，解得1a ≥-；（2）根据函数()f x 图象的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =，∴a 的取值范围是(,4]-∞时，3()2f x x ≥恒成立.考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题；4数形结合的数学思想．。
吉林省吉林市普通中学2018年高三数学第三次调研考试题理
吉林省吉林市普通中学2018年高三数学第三次调研考试题 理本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||2z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin2α= A ． 22B ． 42C ．42D ．224. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为 n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n +D.(3)4n n + 5． 若1()nx x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.12018B.12019 C. 20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A. B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f x m x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为 A.B.C.D.10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===- 点M 在边CD 上，则MA MB 的 最大值为 A. 2B. 221C. 5D.31yz正视图方向O xyxyxyxy11．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n n S S -的最大值与最小值的比值为A. 125-B. 107-C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln 2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
长春三模理科数学答案
长春市普通高中2018届高三质量监测<三）数学(理科>参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试卷的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. b5E2RGbCAP二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. p1EanqFDPw三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分>1. C2. A3. B4. C5. B6. C7.D8. C9. B10. A11. A12. D.简答与提示：1.【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试卷解读】C∵，∴，故选C.2.【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求.DXDiTa9E3d【试卷解读】A∵，∴，故选A.3.【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.RTCrpUDGiT【试卷解读】B∵，∴，∴，∵，∴，∴向量与向量的夹角为，故选B.4.【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.5PCzVD7HxA【试卷解读】C∵，∴，∴，又，∴的面积为，故选C.5.【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试卷解读】B∵为增函数，∴>0，又，∴，又，∴函数为增函数的概率是，故选B.6.【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试卷解读】C∵，因此应选择时满足，而时不满足的条件∴，故选C.7.【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.jLBHrnAILg【试卷解读】D由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为，故选D. xHAQX74J0X8.【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.LDAYtRyKfE【试卷解读】C根据线性规划的方法可求得最优解为点，此时的值等于14，故选C.9.【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.Zzz6ZB2Ltk【试卷解读】B，∵，且，∴，解得，故选B.10.【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.dvzfvkwMI1【试卷解读】A(i>在上，四个函数都满足；(ii>；对于①，，满足；对于②，，不满足.对于③，而，∴，∴，∴，∴，满足；对于④，，满足；故选A.11.【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求.rqyn14ZNXI【试卷解读】A设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，故双曲线的离心率是，故选A；12.【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.EmxvxOtOco【试卷解读】D因为，再由可有，令，则，可得，且在上，在上，故的最小值为，于是即，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分>13. 14. 15. 16.简答与提示：13.【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试卷.【试卷解读】∵，∴函数的增区间为，又，∴增区间为. 14.【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能.【试卷解读】∵的通项为，令，∴，故展开式中常数项为；15.【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试卷解读】由已知或，∴解集是.16.【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. SixE2yXPq5【试卷解读】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D为BC中点，且，故. 设，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD上，∴，因此三、解答题17. (本小题满分12分>【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.6ewMyirQFL 【试卷解读】解：<1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分><2）由<1）可知，，当时，从而.(12分>18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.kavU42VRUs 【试卷解读】解：<1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M. ∵点F 为PD 中点，∴.∴，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵， ∴直线AF 平面PEC. (6分> <2），如图所示，建立坐标系，则 P(0，0，1>，C(0，1，0>， E(，0，0>，A(，，0>，∴，.设平面PAB 的一个法向量为. ∵，，∴，取，则，∴平面PAB 的一个法向量为.∵，∴设向量，∴，∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为.(12分>y6v3ALoS8919.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.M2ub6vSTnP 【试卷解读】解：<1）两个班数据的平均值都为7，MFBACD P FE BACDyz xP甲班的方差，乙班的方差，因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.4分<2）可能取0，1，2，，，所以6分数学期望8分可能取0，1，2，，，所以10分数学期望.12分20.【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.0YujCfmUCw【试卷解读】解：<1），，，椭圆方程为. 2分<2）法一：椭圆:，当时，，故，当时，. 4分切线方程为，，. 6分同理可证，时，切线方程也为.当时，切线方程为满足.综上，过椭圆上一点的切线方程为. 7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为，联立方程：可得，化简可得：，①由题可得：， 4分化简可得：，①式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，切点的纵坐标，所以，所以，所以切线方程为：，化简得：. 6分当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，综上：在点处的切线方程为. 7分<3）设点为圆上一点，是椭圆的切线，切点，过点的椭圆的切线为，过点的椭圆的切线为.两切线都过点，.切点弦所在直线方程为. 9分，，.当且仅当，即时取等，，的最小值为. 12分21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.eUts8ZQVRd【试卷解读】解：<1），所以，即. 又，所以，所以.4分<2），.5分①当时，，函数在上单调递增；6分②当时，由得，∴时，，单调递减；时，，单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分<3）解：设，，在上为减函数，又，当时，，当时，.，，在上为增函数，又，时，，在上为增函数，.①当时，，设，则，在上为减函数，，，，，比更靠近.②当时，，设，则，，在时为减函数，，在时为减函数，，，比更靠近.综上：在时，比更靠近.12分22.【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.sQsAEJkW5T【试卷解读】解：(1>连接是圆的两条切线，，又为直径，，.5分(2>由，，∽，，.10分23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.GMsIasNXkA【试卷解读】解：<1）圆的参数方程为<为参数）所以普通方程为.2分圆的极坐标方程：. 5分<2）点到直线：的距离为7分的面积所以面积的最大值为10分24.【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.TIrRGchYzg【试卷解读】解：<1）证明：.因为都是正数，所以.又因为，所以.于是,即所以；5分<2）证明：因为，所以.①同理.②.③①②③相加得7EqZcWLZNX从而.由都是正数，得，因此.10分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测一数学理试题 含答案
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数22cossin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，则A N （N 为自然数集）为（ ） A ．(,2)(3,)-∞-+∞ B ．(2,3) C ．{0,1,2} D ．{1,2}3. ABC ∆是边长为1的等比三角形，已知向量,a b满足2AB a = ，2AC a b =+ ，则下列结论正确的是（ ）A ．||2b =B ．a b ⊥C ．12a b ∙=D ．1()4a b BC +⊥4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石5.命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1xx a -> B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤ D ．0x ∀≤，使2()1xx a ->6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（ ） A ．32k > B ．16k ≥ C ．32k ≥ D ．16k <7.已知递减等差数列{}n a 中，31a =-，146,,a a a -成等比，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则7S 的值为（ ）A ．-14B ．-9C ．-5D ．-18．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．342π+B ．63π+C ．362π+D ．3122π+9.已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(4x y -+=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）11.双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF = ，120PF PF ∙=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．y =± B．y =± C ．5y x =± D ．34y x =±12.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d满足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 261()2x x-展开式中的常数项是 . 14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为 .15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .16.如图，直角ABC ∆中，1,2AB BC ==，90ABC ∠=，作ABC ∆的内接正方形1BEFB ，再做1B FC ∆的内接正方形1112B E F B ，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}n a ，其前n 项和为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知2()cos sin 2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，A 为锐角且()2f A =，3AB AC AD +=，AB =2AD =，求sin BAD ∠.18. （本小题满分12分）某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ，已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ，若当年产量不低于350kg 而低于550时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg . （1）求图中,a b 的值；（2）试估计年销售额的期望是多少？19. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM . （1）求PM 的长度；（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.20. （本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上.21. （本小题满分12分）已知函数2()3f x x ax =+-，ln ()k xg x x=，当2a =时，()f x 与()g x 的图象在1x =处的切线相同. （1）求k 的值；（2）令()()()F x f x g x =-，若()F x 存在零点，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F 为圆O 上一点，点A 在直线BD 的延长线上，过点B 作圆O 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =.（1）证明：2AE AD AB =∙；（2）若4,6AE CB ==，求圆O 的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程； （2）曲线2C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，求1C 与2C 的公共点的极坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. C5. B6. C7. A 8. C9. C10. D11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】B 题意可知，21cos 32π=-，2sin 3π=，则1z 2=-，对应的点在第二象限. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】C 由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2A N = ，故选C. 3. 【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.【试题解析】D 由已知，ABC ∆的边长为1，21AB a ==，所以12a = ，AC AB BC =+ ，则1BC b == ，因为2,3a b π<>= ，故选D.4. 【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.【试题解析】C 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898⨯石. 故选C.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.【试题解析】B 由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1x x a ⋅-≤使），故选B. 6. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】C 有已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==，31,32s k ==，符合条件输出，故选C.7. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.【试题解析】A 由已知，3121a a d =+=-，2416()a a a =-即2111(3)(5)a d a a d +=--，且{}n a 为递减数列，则11,1d a =-=.有714S =-，故选A. 8. 【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.【试题解析】C 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(122)322V π=⋅+⨯⨯⨯，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.【试题解析】C 由已知，直线l 满足到原点的距离为1，到点(2的距离为2，满足条件的直线l 即为圆221x y +=和圆22(2)(4x y -+=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.10. 【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.【试题解析】D 由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.【试题解析】B 由已知1a =，18PF = ，则26PF = .又因为120PF PF ⋅=，则1210F F =，即5c =.则渐近线方程为y =±，故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来.【试题解析】A 因为ln(1)+30b a b +-=，则=3l n (1)a b b -+，即3l n (1)y x x =-+因为20d c -=，则2c d =2y x =要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为132311x y x x +'=-=++，则2y '=，有0x =，0y =，即过原点的切线方程为2y x =. 最短距离为1d ==. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.151614. 3 15.316. ])94(1[54nn S -=简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为422456115()()216T C x x =-=. 14. 【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.15. 【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.【试题解析】由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则2r =则到面ABC 距离的最大值为222)33r ==（. 16. 【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题. 【试题解析】数列{a n }构成以94为首项,以94为公比的等比数列,故])94(1[54nn S -=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.【试题解析】(1) 由题可知1()sin 2cos2)222f x x x =-++sin(2)3x π=-， 令222232k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z . （6分）(2) 由()f A =，所以sin(2)3A π-=3A π=或2A π=（舍）因此11sin sin()324BAD AEB π∠=-∠=⋅=（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由已知，⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯=+++45515.06001005004.04001003001)0040.0015.0(100b a b a ，即⎩⎨⎧=+=+05.250030045.0)(100b a b a ，有⎩⎨⎧==0035.0001.0b a .（6分）（2）由（1）结合直方图可知当年产量为kg 300时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 400时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 500时，其年销售额为7500元； 当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元； 则估计年销售额的期望为652515.0600035.075004.060001.06000=⨯+⨯+⨯+⨯（元）.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了线面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，由已知)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)1,0,0(P ，)0,1,0(D ，)0,1,2(C . 令λ=，因为)1,1,2(-=，所以),,2(λλλ-=， 则)1,,2(λλλ-M . 因为ADM BP 面⊥且)1,0,2(-=BP .所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-==⋅0150λ，则51=λ. 即PM 的长为56.（6分） (2)因为)54,51,52(M ，则)54,51,52(-=MD ， 因为面ABP 的一个法向量)0,1,0(=n ，令MD 与面ABP 成角为θ，则322516251625454sin =++=θ，故35cos =θ.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程，直线和椭圆的位置关系及定值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)由题意可知两焦点为(与，且26a =，因此椭圆的方程为22196x y +=. （4分）(2) ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x可得22(23)120m y ++-=，即12223y y m -+=+，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y则BM：2y x -= ① CN：2y x += ② ②-①得4(x =1221212(2)(2)4(my y my y x m y y +--=1212224(y y x my y +=2234(1223m x mm +=-+4x =则x =x =②当MN 与x 轴重合时，即MN 的方程为0x =，即(3,0)M ，(3,0)N -.即BM：2y x -= ① CN：2y x +=- ②联立①和②消去y 可得x =.综上BM 与CN 的交点在直线x =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) 当2a =时，2()23f x x x =+-()22f x x '=+，则(1)4f '=，又(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为44y x =-，又因为()f x 和()g x 的图像在1x =处的切线相同，2(1ln )()k x g x x -'=所以(1)4g k '==. （4分）(2) 因为()()()F x f x g x =-有零点 所以24ln ()30x F x x ax x=+--= 即324ln 3x x x a x -+=有实根. 令3224ln 34ln 3()x x x x h x x x x x-+==-+ 342348ln 348ln 3()1x x x x x x h x x x x ----'=--= 令3()48ln 3x x x x ϕ=--- 则28()330x x xϕ'=---<恒成立，而(1)0ϕ=， 所以当1x >时，()0x ϕ<，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ>.所以当1x >时，()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()0h x '>.故()h x 在(1,)+∞上为减函数，在(1,0)上为增函数，即max (1)2h h ==.当x →+∞时，()h x →-∞，当0x +→时，()h x →-∞.根据函数的大致图像可知2a ≤. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 由已知连接DE ，因为ABE AED ∠=∠且BAE ∠公用，所以AEB ADE ∆∆∽即AB AD AE ⋅=2 （5分）(2) 因为 AB AD AE ⋅=2，所以16)(42=+=BD AD AD因为CE BC =，所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+ 2)(36100DB AD ++=，则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ，所以半径是3. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+=（5分） (2)由已知2:()6C R πθρ=∈，即x y 33=， 因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,3(π（10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，所以max ()(1)2k f x f ==-=. （5分）(2)由已知22222=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ，因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）， 所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ，故[]2)(max =+c a b （10分）。
2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)
2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．(★)若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{-1，0，1}D．R2．(★)已知复数z=1+i（i为虚数单位）给出下列命题：①；②；③z 的虚部为i．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．(★)若，且，则sin2α=（）A．B．C．D．4．(★)已知等差数列{a n}的公差不为0，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．5．(★★)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是（）A．-462B．462C．792D．-7926．(★★)执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．C．D．7．(★★) =（）A．1B．2C．3D．8．(★★)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．9．(★★)设曲线f （x ）=mcosx （m ∈R*）上任一点（x ，y ）处切线斜率为g （x ），则函数y=x 2g （x ）的部分图象可以为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．(★★)平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，•=-1，点M 在边CD 上，则•的最大值为（ ）A ．2B ．2-1C ．5D ．-111．(★★★)等比数列{a n }的首项为 ，公比为，前n 项和为S n ，则当n ∈N*时，的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．(★★★)已知函数（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828…），若存在实数m ，n （m ＜n ），满足f （m ）=f （n ），则n-m 的取值范围为（ ）A ．（0，e 2+3）B ．（4，e 2-1]C ．[5-2ln2，e 2-1]D ．[5-2ln2，4）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．(★★★)设x ，y 满足约束条件 ，则z=2x-y 的最大值为．14．(★★★)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2 ，•……则按照以上规律，若8 具有“穿墙术”，则n= ．15．(★★)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布N（110，10 2），从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）= （用分数表示）附：X满足P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.95，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.99．16．(★★★)已知抛物线y 2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在x轴负半轴且AF=2p，B是抛物线上的一点，BC垂直l于点C且BC=2p，AB分别交l，CF于点D，E，则= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．(★★)已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求φ值及图中x 0的值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，f（C）=-2，sinB=2sinA，求a的值．18．(★★★)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m-n，求X的分布列及其数学期望．19．(★★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若棱PB上存在一点E，使得二面角E-AC-P的余弦值为，求AE与平面ABCD所成角的正弦值．20．(★★★★)已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P（，-1），且△PF 1F 2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|=λ|AB|（λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程21．(★★★★)已知函数f（x）=ax+xlnx在x=e -2处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）设F（x）=x 2+（x-2）lnx-f（x），其导函数为F'（x），若F（x）的图象交x轴于两点C （x 1，0），D（x 2，0）且x 1＜x 2，设线段CD的中点为N（s，0），试问s是否为F'（x）=0的根？说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（）．（1）分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（2，-1），直线l与曲线C相交于M，N两点，若|MN| 2=6|PM|•|PN|，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x-1|（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．。
2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)理科数学试题及答案 精品
长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数 学（理 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P = ð（ ） A ．(),2-∞ B ．(],1-∞- C ．()1,0- D ．[]0,22、复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 4、已知:p 函数()f x x a =+在(),1-∞-上是单调函数，:q 函数()()log 1a g x x =+（0a >且1a ≠）在()1,-+∞上是增函数，则p ⌝成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、若x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则35x y +的取值范围是（ ）A ．[]13,15-B ．[]13,17-C ．[]11,15-D ．[]11,17-6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．152D ．1327、已知平面向量a ，b 满足a = ，2b = ，3a b ⋅=-，则2a b += （ ）A ．1 B ． C ．4D ．8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A ．6B ．10C ．91D ．929、已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．12πD ．512π10、设m ，R n ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ） A ．(),22⎡-∞-++∞⎣ B ．(),⎡-∞-+∞⎣C ．22⎡-+⎣ D ．(][),22,-∞-+∞11、若()F ,0c 是双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∆OAB 的面积为2127a ，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．53B ．43C ．54D ．8512、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则n a =（ ） A ．12n n- B ．1121n n -++ C ．2121n n -- D ．112n n ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、62x ⎛ ⎝的展开式中常数项为 ．14、已知0a >且曲线y x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a = ．15、正四面体CD AB 的外接球半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为 ． 16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，tan 2A =，tan 3B =． ()1求角C 的值；()2设AB =C A ． 18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CDP-AB中，PA⊥平面CDAB，D2PA=AB=A=，四边形CDAB满足DAB⊥A，C//DB A且C4B=，点M为CP中点，点E为C B边上的动点，且C λBE=E．()1求证：平面D A M⊥平面CPB；()2是否存在实数λ，使得二面角DP-E-B的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．20、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，顶点()1,0B -，()C 1,0，G 、I 分别是C ∆AB 的重心和内心，且G//C I B． ()1求顶点A 的轨迹M 的方程；()2过点C 的直线交曲线M 于P 、Q 两点，H 是直线4x =上一点，设直线C H 、PH 、Q H 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，试比较12k 与23k k +的大小，并加以证明． 21、（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． ()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线与AE ，BE 分别交于点C ，D ，其中30∠AEB = ．()1求证：D DD CE PB P ⋅=B PAP ；()2求C ∠P E 的大小． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为21x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．()1求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；()2试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈． ()1当3a =时，求不等式()7f x >的解集；()2对任意R x ∈恒有()3f x ≥，求实数a 的取值范围．长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.A3.C4.C5.D6.D7.B8.B9.C 10.A 11.C 12.A简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以{|02}P Q x x =≤≤R ð. 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】A131255ii i-=--，所以其共轭复数为3155i +. 故选A.3. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.【试题解析】C (01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ==->=≤≤≤≤. 故选C. 4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题. 【试题解析】C 由p 成立，则1a ≤，由q 成立，则1a >，所以p ⌝成立时1a >是q 的充要条件.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知，35x y +在(2,1)--处取得最小值，在35(,)22处取得最大值，即35[11,17]x y +∈-.故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B|2|+==a b . 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题. 【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.【试题解析】C 由题意()sin(2)6f x x π=+，将其图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后解析式为()sin[2()]6f x x πϕ=-+，则26k πϕπ-=，即212k ππϕ=+()k ∈N ，所以ϕ的最小值为12π. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】A由直线与圆相切可知||m n +=理得1mn m n =++，由2()2m n mn +≤可知211()4m n m n ++≤+，解得(,2[2)m n +∈-∞-++∞ . 故选A.11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b aθ=，222tan 2ab a bθ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a=，则54e =. 故选C.12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题. 【试题解析】A 设(2)n n n b nS n a =++，有14b =，28b =，则4n b n =， 即(2)4n n n b nS n a n =++= 当2n ≥时，1122(1)(1)01n n n n S S a a n n ---++-+=-所以12(1)11n n n n a a n n -++=-，即121n n a a n n -⋅=-，所以{}n a n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以11()2n n a n -=，12n n n a -=. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.60 14.4915.83π 16.192,8⎛⎫⎪⎝⎭简答与提示： 13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为2246(2)(60C x =. 14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.【试题解析】由题意32223aa x ==⎰，所以49a =.15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.【试题解析】由题意，面积最小的截面是以AB 为直径，可求得AB =，进而截面面积的最小值为283ππ=.16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有4个零点，有(1)(1)(3)(3)g f g f >⎧⎨<⎩，解得19(2,)8a ∈.17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+(3分)tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴=(6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin 3cos cos B B B B⇒=⇒=，而22sincos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =.(9分)所以在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=.(12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150，200，250，300.363101(150)6C P X C ===，21643101(200)2C C P X C ===， 12643103(250)10C C P X C ===， 343101(300)30C P X C ===，(10分) 且1131150200250300210621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==，又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (6分)(2) 存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B从而(0,2,2)PD =- ，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-，又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =，则1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅， 解得3t =或1t =，进而3λ=或13λ=.(12分) 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b ===进而其方程为22143x y +=(0)y ≠.(5分)(2) 1232k k k =+，以下进行证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分)由题意：13m k =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-.11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=--21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m mk x x x x k ++-+++====-+++当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 【试题解析】解：(1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1ax f x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. (3分)(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =；②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =；③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.综上可知，所求实数a的取值范围是1(,]2-∞-.（8分）(3) 对要证明的不等式等价变形如下：2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+ 所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立. 并且继续作如下等价变形 2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n +++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n nq n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩对于()p 相当于（2）中21(,0)52a =-∈-，12m =情形，有()f x 在1[0,]2上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.取1x n=，当2n ≥时，211(1)ln(1)05nn n++-<成立；当1n =时，277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<.从而对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n++-<成立.对于()q 相当于（2）中12a =-情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =. 取1x n=，得：对于任意正整数n 都有111(1)ln(1)02n n n++->成立. 因此对于任意正整数n ，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立.这样依据不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+，再令10000n =利用左边，令1000n = 利用右边，即可得到10000.41000.5100011001()()100001000e <<成立.(12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠， 则△PED ∽△PAC ，则PE PD PAPC=，又PE ED PBBD=，则ED PB PD BD PAPC⋅=. (5分)(2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠，在△ECD 中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= . (10分) 23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分)(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1)当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或 （5分） (2)()2122121f x x a x a x a x a a a =-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥所以a 的取值范围是[)2,+∞ （10分）。
吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测一理数试题 -
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.复数22cossin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知，21cos 32π=-，23sin 32π=，则13z 22i =-+，对应的点在第二象限. 故选B. 考点：复数几何意义2.已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，则A N （N 为自然数集）为（ ）A ．(,2)(3,)-∞-+∞B ．(2,3)C ．{0,1,2}D ．{1,2}【答案】C 【解析】试题分析：由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2A N =，故选C.考点：集合运算.【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.3.ABC ∆是边长为1的等比三角形，已知向量,a b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．||2b =B ．a b ⊥C ．12a b ∙=D ．1()4a b BC +⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知，ABC ∆的边长为1，21AB a ==，所以12a =，AC AB BC =+，则1BC b ==，因为2,3a b π<>=，故选D.考点：平面向量数量积运算.【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石 【答案】C 【解析】考点：抽样中的用样本去估计总体.5.命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1xx a -> B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤D ．0x ∀≤，使2()1x x a -> 【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1x x a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题. 6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（ ） A ．32k > B ．16k ≥ C ．32k ≥ D ．16k <【答案】C 【解析】考点：直到型循环结构程序框图运算.【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知递减等差数列{}n a 中，31a =-，146,,a a a -成等比，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则7S 的值为（ ）A ．-14B ．-9C ．-5D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知，3121a a d =+=-，2416()a a a =-即2111(3)(5)a d a a d +=--，且{}n a 为递减数列，则11,1d a =-=.有714S =-，故选A. 考点：等差数列和等比数列的基本量的求取8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．342π+B ．63π+C ．362π+D ．3122π+【答案】C 【解析】考点：三视图【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9.已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(5)4x y -+-=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，直线l 满足到原点的距离为1，到点(25)，的距离为2，满足条件的直线l 即为圆221x y +=和圆22(2)(5)4x y -+-=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C. 考点：相离两圆的公切线10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D. 考点：函数图像11.双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF ∙=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．22y x =±B ．26y x =±C ．5y x =±D ．34y x =± 【答案】B 【解析】试题分析：由已知1a =，18PF =，则26PF =.又因为120PF PF ⋅=，则1210F F =，即5c =.则渐近线方程为26y x =±，故选B. 考点：双曲线的定义及渐近线12.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d 满足250d c -+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：因为ln(1)+30b a b +-=，则=3ln(1)a b b -+，即3ln(1)y x x =-+因为250d c -+=，则25c d =+，即25y x =+. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为132311x y x x +'=-=++，则2y '=，有0x =，0y =，即过原点的切线方程为2y x =. 最短距离为225121d ==+. 故选A.考点：导数的几何意义二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.261()2x x -展开式中的常数项是 . 【答案】1516【解析】试题分析：常数项为422456115()()216T C x x =-=. 考点：二项展开式系数【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为 .【答案】3 【解析】试题分析：由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.考点：线性规划15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .【答案】433【解析】试题分析：由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则223r =. 则到面ABC 距离的最大值为22432)(23)333r ==（.考点：三棱锥的外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．16.如图，直角ABC ∆中，1,2AB BC ==，90ABC ∠=，作ABC ∆的内接正方形1BEFB ，再做1B FC ∆的内接正方形1112B E F B ，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}n a ，其前n 项和为 .【答案】])94(1[54n n S -= 【解析】考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知23()cos sin 3cos 2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，A 为锐角且3()2f A =，3AB AC AD +=u uu r u u u r u u u r ，3AB =，2AD =，求sin BAD ∠.【答案】（1）5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z .（2）3518- 【解析】试题分析：（1）由二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数：133()sin 2(1cos2)222f x x x =-++sin(2)3x π=-，再根据正弦函数性质求函数单调区间（2）先根据3()2f A =得3sin(2)32A π-=，再根据A 范围得3A π=；由3AB AC A D+=u u u r u u u r u u u r 平方可得AC ，3AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r可得BC 边上中线长AM=3，由余弦定理可得BC ，最后在三角形ABM 中根据余弦定理得cos BAD ∠，即得sin BAD ∠ 试题解析：(1) 由题可知133()sin 2(1cos2)222f x x x =-++sin(2)3x π=-， 令222232k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z . （6分） (2) 由3()2f A =，所以3sin(2)32A π-=，解得3A π=或2A π=（舍）又因为3AB AC AD +=,则D 为ABC ∆的重心，以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，因为2AD =，所以6AE =，在ABE ∆中，3120AB ABE =∠=，,由正弦定理可得36sin 32AEB =∠，解得14AEB ∠=且15cos 4AEB ∠= 因此31511351sin sin()324248BAD AEB π-∠=-∠=⋅-⋅=. （12分） 考点：三角函数的化简以及恒等变换公式，正弦定理 【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则18.（本小题满分12分）某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ，已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ，若当年产量不低于350kg 而低于550时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg . （1）求图中,a b 的值；（2）试估计年销售额的期望是多少？【答案】（1）⎩⎨⎧==0035.0001.0b a （2）6525【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积和为1得1)0040.0015.0(100=+++b a ，再根据组中值估计平均数得45515.06001005004.0400100300=⨯+⨯+⨯+⨯b a ，解方程组可得⎩⎨⎧==0035.0001.0b a （2）先确定随机变量：当年产量为kg 300时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 400时，其年销售额为6000元；当年产量为kg 500时，其年销售额为7500元；当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元，再根据数学期望公式求数学期望由（1）结合直方图可知当年产量为kg 300时，其年销售额为6000元；当年产量为kg 400时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 500时，其年销售额为7500元； 当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元； 则估计年销售额的期望为652515.0600035.075004.060001.06000=⨯+⨯+⨯+⨯（元）.（12分）考点：频率分布直方图，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM . （1）求PM 的长度；（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.【答案】（1）56（2）35cos =θ【解析】试题解析：解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，由已知)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)1,0,0(P ，)0,1,0(D ，)0,1,2(C . 令PC PM λ=，因为)1,1,2(-=PC ，所以),,2(λλλ-=PM ， 则)1,,2(λλλ-M . 因为ADM BP 面⊥且)1,0,2(-=BP .所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-==⋅0150AD BP AM BP λ，则51=λ. 即PM 的长为56.（6分） (2)因为)54,51,52(M ，则)54,51,52(-=MD ， 因为面ABP 的一个法向量)0,1,0(=n ，令MD 与面ABP 成角为θ，则322516251625454sin =++=θ，故35cos =θ.（12分）考点：利用空间向量求线段长度及线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20.（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上.【答案】（1）22196x y +=（2）33x =【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则2426,2236a AB BD c AD b =+=+===⇒=（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x 轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设MN 的方程为3x my =+，22(,)N x y ，则BM ：1122(3)3y y x x --=-- ，CN ：2222(3)3y y x x ++=--，消去y 得1212224(3)y y x my y +=-，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得1224323m y y m -+=+，1221223y y m -=+，代入化简得33x = 试题解析：(1) 由题意可知两焦点为(3,0)-与(3,0)，且26a =，因此椭圆的方程为22196x y +=. （4分）设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM ：1122(3)3y y x x --=-- ①CN ：2222(3)3y y x x ++=-- ②②-①得2121224(3)()33y y x x x +-=----1221212(2)(2)4(3)my y my y x m y y +--=-1212224(3)y y x my y +=-2283234(3)1223m m x m m -+=--+ 234(3)3x =- 则323x -=，即33x =.联立①和②消去y可得33x =.综上BM 与CN 的交点在直线33x =上. （12分） 考点：直线和椭圆的位置关系及定值【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21.（本小题满分12分）已知函数2()3f x x ax =+-，ln ()k xg x x=，当2a =时，()f x 与()g x 的图象在1x =处的切线相同. （1）求k 的值；（2）令()()()F x f x g x =-，若()F x 存在零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4（2）2a ≤ 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得(1)(1)f g ''=，分别求导得()22f x x '=+，2(1ln )()k x g x x-'=，即得(1)4g k '==（2）研究函数零点问题，一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题：即求函数324ln 3x x xa x -+=的值域，先求函数导数342348ln 348ln 31x x x x x xa x x x ----'=--=，再研究导函数零点，设3()48ln 3x x x x ϕ=---，则28()330x x xϕ'=---<，而(1)0ϕ=，所以324ln 3x x xa x-+=在(1,)+∞上为减函数，在(0,1)上为增函数，max (1)2a a ==. 试题解析：(1) 当2a =时，2()23f x x x =+-()22f x x '=+，则(1)4f '=，又(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为44y x =-，又因为()f x 和()g x 的图像在1x =处的切线相同，2(1ln )()k x g x x -'= 所以(1)4g k '==. （4分）342348ln 348ln 3()1x x x x x xh x x x x----'=--= 令3()48ln 3x x x x ϕ=--- 则28()330x x xϕ'=---<恒成立，而(1)0ϕ=， 所以当1x >时，()0x ϕ<，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ>. 所以当1x >时，()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()0h x '>.故()h x 在(1,)+∞上为减函数，在(0,1)上为增函数，即max (1)2h h ==. 当x →+∞时，()h x →-∞，当0x +→时，()h x →-∞. 根据函数的大致图像可知2a ≤. （12分） 考点：导数几何意义，利用导数求函数值域请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F 为圆O 上一点，点A 在直线BD 的延长线上，过点B 作圆O 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =.（1）证明：2AE AD AB =∙；（2）若4,6AE CB ==，求圆O 的半径.【答案】（1）详见解析（2）3 【解析】试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似：由弦切角定理得ABE AED ∠=∠，再由BAE ∠=BAE ∠，可得AEB ADE ∆∆∽，可得AB AD AE ⋅=2 ，（2）先由AB AD AE ⋅=2得1642=⋅=AB AD ，再由直角三角形得222AB BC AC +=，解得AB=8，即得362===r BD AD试题解析：(1) 由已知连接DE ，因为ABE AED ∠=∠且BAE ∠公用，所以AEB ADE ∆∆∽即AB AD AE ⋅=2 （5分） 因为AB AD AE ⋅=2，所以16)(42=+=BD AD AD因为CE BC =，所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+2)(36100DB AD ++=，则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ，所以半径是3.（10分） 考点：三角形相似23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，求1C 与2C 的公共点的极坐标.【答案】（1）xy 33=（2）)6,3(π 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系22sin cos 1θθ+=消参数得22(2)1x y -+=（2）利用222,cos x y x ρρθ=+=先将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程24cos 30ρρθ-+=，再将6πθ=代入求得223cos 303ρρθρ-+=⇒=，所以1C 与2C 的公共点的极坐标为)6,3(π试题解析：(1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+=（5分） (2)由已知2:()6C R πθρ=∈，即x y 33=，因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,3(π（10分）考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值. 【答案】（1）2（2）2 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将函数化为分段函数3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，再分别求各段最大值，比较三个最大值的最大得k 的值；（2）先化简条件22222=++b c a ，再利用基本不等式化简)(22)2(2222222c a b ca b b c a b c a +=+≥++≥=++，最后确定等号能取到(2)由已知22222=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ，因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）， 所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ，故[]2)(max =+c a b （10分） 考点：绝对值定义，利用基本不等式求最值。
【高三数学试题精选】吉林市2018届高三数学第三次调研试题(理带答案)
吉林市2018届高三数学第三次调研试题（理带答案）
5
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1设全集，集合，，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A． B． c． D．
2复数（）
A． B． c． D．
3已知数列为等差数列，若成等比数列，且，则差（）
A．0 B．1 c．2 D．4
4设是定义在上的偶函数，则的解集为（）
A． B． c． D．
5下列有关命题的说法错误的是（）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间内有零点
c．已知函数，若，则
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为01，则在内取值的概率为04
6运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）
A．-3 B．-2 c．4 D．8
7某综艺节目固定有3名男嘉宾，2名女嘉宾，现要求从中选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，则不同的组队方案共有（）种
A．9 B．15 c．18 D．21。
长春市普通高中 2018 届高三质量监测(一)数学理科答案
ΔABC 面积的最大值为 3 3 ，当且仅当 b = c 时取到最大值. 16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.
【试题解析】设圆锥的底面圆半径为 r (0 < r < 3) ，有圆锥的高为 9 − r ，从而圆
2
锥的体积为 V =
9.
1 2 1 π r 9 − r 2 = π 9r 4 − r 6 ，令 t = r 2 (0 < t < 9) ，有 3 3
18.
（12 分）
3 ，设菱形 ABCD 的边长为 a 2 1 1 3 2 3 ，则 a = 3 . VP− ABCD = S. ABCD ⋅ PA = × (2 × a ) ×1 = 3 3 4 2 取 BC 中点 M ，连接 AM . 以点 A 为原点，以 AM 方向为 x 轴，以 AD 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴，
1 15
2 5
1 3
1 5
【试题解析】(1) 由椭圆定义 2a =| EF1 | + | EF2 |= 4 ，有 a = 2, c = 1, b = 从而
3，
x2 y2 + = 1. 4 3
（4 分）
（12 分）
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题以四棱锥为载体， 考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解： （1）连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 OE 在 △PBD 中，
12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识. 【试题解析】D 由题意知 f ( x) 为奇函数，周期为 2π ，其图象关于 (π , 0) 对称，
g ( x) 的零点可视为 y = f ( x), y =
长春市普通高中2018届高三质量检测
长春市普通高中2018届高三质量检测（二）数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合{}{}21|412,|28x A x x x x B x -=-+>+=<，则()R A C B = A.{}|4x x ≥B.{}|4x x >C.{}|2x x ≥-D.{}|24x x x <-≥或3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.R4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参1.732,sin150.2588,sin7.50.1305=≈≈ ）A. 48B. 36C. 30D. 246.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为D.()F x 是偶函数，最小值为 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 6+B. 4+C. 4+D.4+8.二项式1022x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A. 152B. 152- C. 15 D. -159.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布()26,0.8X N ，则日接送人数在6万到 6.8万之间的概率为（()()()0.6826,20.9544,30.9974P X P X P X μσμσμσ-<=-<=-<=） A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D.0.3413 10.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB AC BC=⊥，则球O 的表面积是 A. 81π B. 9π C.814π D.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30 ，则双曲线C 的渐近线方程为A.0y ±= B. 0x = C. 20x y ±= D.20x y ±=12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.11e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ .14. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .15. 某班主任准备请2016年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（种）.（用数字作答） 16.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P A B C D -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈（1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++ ，求证：()1.2n n n T ->18.（本题满分12分） 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ （2）①按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求二面角A CE D --的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程； （2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈（1）若()f x 存在极值点1，求a 的值；（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：12 2.x x +>请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a b a b ≥.长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. D8. B9. D10. B11. A12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由可知，原式. 故选A.2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由，， 故 . 故选B.3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的的图像可知，该函数的值域为.故选B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由，则. 故选C.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体21i =-110i i =--+={|24}A x x x =<->或{|4}B x x =<(){|4}A B x x =>R ð()f x (1,)-+∞()cos 2sin 2)4f x x x x π=-=+())))2842F x x x x πππ=++=+=的直观图，再求得该几何体的表面积为：故选D.8. 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B故选B. 9. 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D . 故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知为△的直径，令球的半径为，则，可得，则球的表面积为. 故选B.11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义.【试题解析】A 不妨设，则，则，，且，即为最小边，即，则△为直角三角形，且，即渐近线方程为，故选A. 12. 【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.【试题解析】A 已知，则， 当时，恒成立，因此. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212+e14. 91 15. 1080 16. 21111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+102()2x-773102(()2C x -=0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤AB ABC R 222()3RR =+32R =249S R ππ==12||||PF PF >1212||||2||||6PF PF aPF PF a -=⎧⎨+=⎩1||4PF a =2||2PF a =12||2F F c =2||PF 1230PFF ∠=12PF F 2c =y =22()(ln )x e f x k x x x=-+32()()x x f x e kx x -'=-0x >0x e kx -≥k e ≤简答与提示：1. 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .2. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 3. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题.【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.4. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBC，F 为BC 边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-= n n n n T c c c n ， 所以(1)2->n n n T . （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.（4分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==， 31416420(3)C C P X C ==，44420(4)C P X C ==即X 的分布列为：(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2(50,)5B ξ ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥= AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .（6分）（2）由已知可得CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B，A，D，1)2E .有1)2= CE，=CA，= CD ，设平面ACE 的法向量(,,)= n x y z ，有00,1002⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,= n ， 设平面CED 的法向量(,,)= m x y z，有00,1002⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =- ，二面角--A CE D的余弦值||cos 5||||n m n m θ⋅===⋅.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .x（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x ，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a .（4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)l n 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ，作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ， 令2()()()(2)()22ln-=-=--=--a xh x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+ 所以()h x 在(0,2)a 上单调递增， 不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=， 即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数，故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立，故122+>x x .（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=-12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos 7α=. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b b a a b a b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a b ab，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b ab，可知,a b 均为正数时()1-≥a b ab，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.（10分）。
吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷
长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 2. A 3. C 4. D 5.C6. D7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x AB =-<<=<<=-.故选C.2.【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题. 【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质. 【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识. 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9.【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10.【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D 故其5π.故选D. 11.【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =.故选B.12.【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 914. 1.715. (,1][4,)-∞-+∞ 16. 48-简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =， 解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞.16.【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥ ∴()21n a n =- 又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （2）由（1）得：()12nn c n =-⋅ ∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅()2341222212n n n T n +-=++++--⋅()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =， （2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===4~(3,)5X B ，()4123.55E X np ==⨯=19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM ,F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴， E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A - 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0CD 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n EF ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n n PD ， 即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ， 取()1,0,12=n121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+ 从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-.（2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥- ∴设()(42)xh x x e =- x R ∈ ，∴()(22)xh x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max ()(1)2h x h e ==max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245xx x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210xx x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->1x m <，2x m >∴12m x m ->，()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 （1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.、总体概述：工程概况、施工组织总体设想、方案的.- 11 - 【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜ 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立. 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，. ()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜ 当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=-.故选C.2. 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D 7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B 由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10. 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，5π.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x xf 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-xt ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.7 15. (,1][4,)-∞-+∞16. 48-简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =， 解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞. 16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. 【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a == ∴2424bq b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （2）由（1）得：()12nn c n =-⋅∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅()2341222212n n n T n +-=++++--⋅()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =， （2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===~(3,)5X B ，()3.55E X np ==⨯=19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴，E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n PC n PD ， 即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ， 取()1,0,12=n 121212311021cos ,||||n nn n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥-∴设()(42)xh x x e =- x R ∈ ，∴()(22)x h x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->1x m <，2x m >∴12m x m ->，()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 （1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，.()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。