江西省南昌市八一中学2020-2021学年度高一10月份数学考试试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2019_2020学年高一数学10月联考试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2019-2020学年高一数学10月联考试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）；1,；1.；；下列五个写法：,2,2,,其中错误写法的个数为( )B. 2C. 3D. 4A. 1),若则( 2.A. 1B. C. 0或1 D. 0或1或ABNfAnB中的把集合都是自然数集,映射映射到集合3.中的元素设集合：和集合f下,像20的原像是元素( ,则在映射 )D. B. 4A. 2C. 4或R( 则,集合集合 4.)已知实数集,,C. B.D.A.则5.的值为若( , , )C. B. 5 A. 1D.则函数的定义域是( ,已知函数6. ) 的定义域为B. A.C.- 1 -D.t上的最大值为3,7.则实数已知函数在区间的取值范围是D.A. C.B.则不等式若,,且在区间上单调递增8.,已知函数为偶函数的解集为D.C. B. A.)( 9. 则实数已知函数,若,D. 4C. 2 B. A.)10. 已知 ( ,则D. A. 3 B. 9 C.11.已知D.C. B. A.kZ即,,中被5除所得余数为12.在整数集的所有整数组成的一个集合称为“类”,记为；；,给出如下四个结论：”其中正属于同一“类”,则“若整数；确结论的个数为D. 4A. 1B. 2C. 3分）小题，共二、填空题（本大题共420- 2 -计算：____13.．x,用列举法表示为14.________．将集合,m的取值范围是,则实数若函数在区间上是单调减函数15.______．Ra的取值范围是函数,16.是则实数上的单调递增函数．______ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）,,,,且17.且已知集合B的所有子集；写出集合求,．- 3 -设集合,18.,若,求；m的取值范围．求实数若,已知函数19.请在给定的坐标系中画出此函数的图像；- 4 -写出此函数的定义域及单调区间,并写出值域。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期高一数学10月份联考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅I .其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.【详解】对于①，∈表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，∅是任何集合的子集，故②对； 对于③，{}{}0,1,21,2,0=，{}{}0,1,21,2,0⊆成立，故③对；对于④，0∉∅，故④错； 对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选：C.【点睛】本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.2.若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍），当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1， 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ） A. 2 B. 4或5-C. 4D. 5-【答案】C 【解析】 【分析】设象20在映射f 下的原象为x ，根据题意得出220x x +=，解出自然数x 的值即可.【详解】设象20在映射f 下的原象为x ，由题意可得220x x x N⎧+=⎨∈⎩，解得4x =，故选：C.【点睛】本题考查映射的概念，理解象与原象的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.已知实数集R ，集合{}04M x x =≤≤，集合N x y ⎧⎫==⎨⎩，则()R M N =I ð（ ） A. {}01x x ≤< B. {}01x x ≤≤C. {}14x x <≤D. {}14x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解出集合N ，然后利用补集的定义和交集的定义计算出集合()R M N I ð.【详解】{}{}101N x y x x x x ⎧===->=>⎨⎩，{}1R N x x ∴=≤ð， 的因此，(){}01R M N x x ⋂=≤≤ð，故选：B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，考查计算能力，属于基础题. 5.若a =b =+a b 的值为（ ）A. 1B. 5C. 1-D. 25π-【答案】A 【解析】 【分析】利用根式的性质求出a 、b ，即可得出+a b 的值. 【详解】由根式的性质得3a π==-，22b ππ==-=-，因此，()()321a b ππ+=-+-=，故选：A.【点睛】本题考查根式的性质，,3,2a n n a n n ≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩且为奇数且为偶数进行计算，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A. ()(],22,3-∞--UB. [)(]8,22,1---U C. (]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U D. 9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解出该不等式组可得出函数()y g x =的定义域.【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U ， 故选：C.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. []1,3C. []1,3-D. (]1,3-【答案】D 【解析】 【分析】分11t -<≤和1t >，分析函数()y f x =在区间[]1,t -上的单调性，得出函数()y f x =的最大值，并结合()3f t ≤得出实数t 的取值范围.【详解】二次函数()22f x x x=-图象开口向上，对称轴为直线1x =.①当11t -<≤时，函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上单调递增，则()()max 13f x f =-=； ②当1t >时，函数()22f x x x =-在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,t 上单调递增，此时，函数()y f x =在1x =-或x t =处取得最大值，由于()()max 31f x f ==-， 所以，()223f t t t =-≤，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，此时13t <≤.综上所述，实数t 的取值范围是[]1,3-，故选：D.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.的8.已知函数()f x 为偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，若()32f -=-，则不等式()2f x ≥-解集为（ ） A. []3,0- B. []3,3-C. [3,)-+∞D. (][),33,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，由偶函数的性质得出()()f x f x =，将不等式()2f x ≥-化为()()3f x f ≥-，变形为()()3f x f ≥，再利用函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性求解.【详解】由于函数()y f x =是偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，则该函数在区间[)0,+∞上单调递减，且有()()f x fx =，()32f -=-Q ，由()2f x ≥-，得()()3f x f ≥-，则有()()3f x f ≥，3x ∴≤，解得33x -≤≤，因此，不等式()2f x ≥-的解集为[]3,3-，故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质()()f x f x =，借助函数在[)0,+∞上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.9.设函数()21,1{2,1xx x f x ax x +≤=+>，若()()14f f a =，则实数a 等于（ ） A.12B.43C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：因为()21,1{2,1x x x f x ax x +≤=+>，所以()()()()12,12424,2f f f f a a a ===+==，故选C.的考点：分段函数的解析式.10.已知17a a+=，则1122a a -+= A. 3 B. 9 C. –3 D.【答案】A 【解析】 【分析】令11220a a t -+=>，求出212729t a a =++=+=，从而可得结果.【详解】令11220a a t -+=> 那么212729t a a=++=+= 所以3t =即1122a a -+=3，故选A.【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.11.已知=1fx =+，则函数()y f x =的值域为（ ）A. [)0,+∞B. [)4,+∞C. 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设0t =≥，利用换元法求出函数()y f x =的解析式，然后利用二次函数的性质求出该函数的值域.详解】设0t =≥，则23x t =+，由=1fx =+可得()24f t t t =++，所以，函数()y f x =的解析式为()24f x x x =++，其中0x ≥.()211524f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q ，则该函数在[)0,+∞上单调递增，则()()min 04f x f ==.因此，函数()y f x =的值域为[)4,+∞，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式，同时也考查了二次函数的值域问题，在求解二次函数的值域问题时，要充分结合二次函数的单调性，结合定义进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =；④若整数a 、b 属于同一“类”，则“[]0a b -∈”，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断.【详解】对于①，201354023=⨯+Q ，[]20133∴∈，结论①正确； 对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=U U U U ，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类”，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，则存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.故选：C.【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算：()12223092739.6482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 【答案】32【解析】 【分析】利用指数的运算律可得出代数式的值.【详解】()121222322323092733339.61482223311222--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯=+-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣+⎦=-=⎣⎦，故答案为：32. 【点睛】本题考查指数的运算律，在计算时要注意两个问题：（1）带分数化为假分数；（2）小数化为分数.并利用指数的运算律进行求解，考查计算能力，属于基础题.14.将集合(){},2316,,x y x y x y N +=∈用列举法表示为___________________.【答案】(){2,4,()5,2,()8,0} 【解析】 【分析】将方程2316x y +=变形可得出y 为偶数且5y ≤，由此可得出所求集合.【详解】2316x y +=Q ，()316228y x x ∴=-=-，且x 、y N ∈，y ∴为偶数且5y ≤. 当4y =时，2x =；当2y =时，5x =；当0y =时，8x =. 故答案为：()()(){}2,4,5,2,8,0.【点睛】本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.若函数()2f x mx x m =--在区间(),1-∞上是单调减函数，则实数m 的取值范围是____________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对m 分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，利用一次函数中一次项系数的正负，二次函数图象的开口方向与对称轴讨论函数()y f x =在区间(),1-∞上的单调性，可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()f x x =-，该函数在区间(),1-∞上是单调减函数，合乎题意； （2）当0m ≠时，二次函数()2f x mx x m =--的对称轴为直线12x m=. 当0m >时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向上，要使得函数()y f x =在区间(),1-∞上为减函数，则112m ≥，解得102m <≤； 当0m <时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向下，对称轴为直线102x m=<，则函数()y f x =在区间1,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合乎题意； 综上所述，实数m 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查变系数的二次函数的单调性问题，一般要对首项系数进行分类讨论，结合二次函数图象的开口方向和对称轴来讨论函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中等题.16.函数()()()23,21,2x ax a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,4- 【解析】 【分析】由题意得出函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且有23y x ax a =-+在2x =处的取值大于等于函数1y x =+在2x =处的取值，由此列出不等式组解出实数a 的取值范围. 【详解】由于二次函数23y x ax a=-+图象开口向上，对称轴为直线2a x =. 由题意可知，函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，则22a≤，得4a ≤. 且有222321a a -+≥+，解得1a ≥-，所以，14a -≤≤， 因此，实数a 的取值范围是[]1,4-，故答案为：[]1,4-.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）17.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}37A x x x U =≤≤∈且，{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且.（1）写出集合B 的所有子集；（2）求AB ，U A B U ð.【答案】（1）∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 【解析】 【分析】（1）根据题意写出集合B ，然后根据子集的定义写出集合B 的子集； （2）求出集合A ，利用交集的定义求出集合A B ，利用补集和并集的定义求出集合U A B U ð.【详解】（1）{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且，∴{}3,6,9B =，因此，B 的子集有：∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）由（1）知{}3,6,9B =，则{}1,2,4,5,7,8U B =ð， {}{}373,4,5,6,7A x x x U =≤≤∈=且，因此，{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 的【点睛】本题考查有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考查计算能力，属于基础题.18.设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. （1）若4m =，求A B ；（2）若B A B =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）(],3-∞.【解析】【分析】（1）将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合A B ；（2）由B A B =I 得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）B A B =Q I ，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <；当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤；综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞．【点睛】本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题. 19.已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上是单调的，试确定a 的取值范围．【答案】（1）()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）(]1,3. 【解析】试题分析：（1）设0x <0x ->()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又()()f x f x -=-0x <时，()22f x x x =+()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）根据（1）作出函数()f x 的图象， 根据()f x 的单调性，并结合函数()f x 的图象21{21a a ->--≤13a <≤.试题解析：（1）设0x <，则0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--又函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以0x <时，()22f x x x =+ 所以()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<（2）根据（1）作出函数()f x 的图象，如下图所示：又函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增， 结合函数()f x 的图象，知21{21a a ->--≤， 所以13a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,3考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.21.已知函数()1f x x x=+． （1）判断函数()f x 在()0,1内的单调性，并用定义证明；（2）当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()y f x =在()0,1上是单调减函数，证明见解析；（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间()0,1上的单调性；（2）由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用参变量分离法得出1a x x ≤+，利用函数()1f x x x =+上的单调性求出该函数在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1201x x <<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在()0,1上是单调减函数；（2）由210x ax -+≥得211x a x x x +≤=+恒成立， 由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数， ∴当12x =，()1f x x x =+取得最小值()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，52a ∴≤． 因此，实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，以及利用参变量分离法求解函数不等式恒成立问题，解题时要充分利用函数的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.函数()2223f x x ax =-+在区间[]1,1-上的最小值记为()g a ． （1）当2a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）求()g a 的函数表达式；（3）求()g a 的最大值．【答案】（1）[]1,9；（2）()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩；（3）()max 3g a =. 【解析】【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用二次函数的性质求出函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值和最小值，从而可得出此时函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域；（2）对二次函数()y f x =的对称轴与区间[]1,1-的位置关系进行分类讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,1-上的单调性，可得出函数()y f x =在区间[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；（3）求出分段函数()y g a =在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值.【详解】（1）当2a =时，()()22243211f x x x x =-+=-+，当1x =时，函数()y f x =取最小值，即()()min 11f x f ==；当1x =-时，函数()y f x =取最大值，即()()max 19f x f ==.因此，函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域为[]1,9；（2）①当2a <-时，函数()y f x =的对称轴12a x =<-， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，则()()125g a f a =-=+；②当22a -≤≤时，函数()y f x =的对称轴[]1,12a x =∈-， 此时，函数()y f x =在区间1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 则()2322a a g a f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当2a >时，函数()y f x =的对称轴12a x =>， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递减，则()()152g a f a ==-．综上所述，()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩； （3）①当2a <-时，()251g a a =+<；②当22a -≤≤时，()[]231,32a g a =-∈； ③当2a >时，()521g a a =-<．由①②③可知()max 3g a =．【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了分段函数最值的求解，在求解含参二次函数在定区间上的最值时，要注意分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，分析二次函数在定义域上的单调新，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020-2021学年江西省某校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江西省某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={−2，0，1，3}，B ={x|−52<x <32}，则集合A ∩B 的子集的个数为( )A.4B.8C.16D.322. 给定映射f:x →y ，其中x ∈{a,b,c} ，y ∈{1,2}， 则f (a )=1时不同的映射f 的个数是( )A.2B.3C.4D.53. 在下列四组函数中， f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A.f (x )=x −1，g (x )=x 2−1x+1B.f (x )=|x +1|，g (x )={x +1，x ≥−1，−x −1，x <−1C.f (x )=√x 2−9，g (x )=√x −3⋅√x +3D.f (x )=x ，g (x )=√x 24. 满足关系{1}⊆B ⊆{1,2,3,4}的集合B 的个数( )A.5个B.6个C.7个D.8个5. 已知函数f (x )={1x+1，x <1，√x −1，x >1，则f (2)等于( ) A.0B.13C.1D.26. 已知函数f (2x +1) 的定义域为[0,2]，则y =f (x )的定义域为( )A.[1,5]B.[−12,12]C.[0,2]D.[−1,1]7. 函数f(x)={2x −x 2，(0<x ≤3)，x 2+6x ，(−2≤x ≤0)的值域是( ) A.R B.[−9, +∞) C.[−8, 1]D.[−9, 1]8. 定义差集A−B={x|x∈A, 且x∉B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C−(A−B)可表示下列图中阴影部分的为( )A. B. C. D.9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常(e=2.71828⋯)的图象大用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数f(x)=ex1−x2致是( )A.B.C.D.10. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−311. 已知函数f(x)的图象关于y 轴对称，且f(x)在(−∞,0]上单调递减，则满足f(3x +1)<f(12)的实数x 的取值范围是( )A.(−12,−16)B.[−12,−16)C.(−13,−16)D. [−13,−16)12. 非空集合A 中的元素个数用(A)表示，定义(A −B)={(A)−(B)，(A)≥(B)，(B)−(A)，(A)<(B)．若A ={−1,0}，B ={x||x 2−2x −3|=a}，且(A −B)≤1，则实数a 的取值范围为( )A.{a|a ≥4}B.{a|a >4或a =0}C.{a|0≤a ≤4}D.{a|a ≥4或a =0} 二、填空题幂函数f (x )=(2m 2+m )x m 在[0,+∞)上为单调递增的，则m =__________.若函数f(x)满足 f(3x +2)=9x +8，则f(x)=________.若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A ={−1,12,1}，B ={x|ax 2=1,a ≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a 的值为________．设集合A ={x|0≤x <1}，B ={x|1≤x ≤2} ，函数f (x )={2x ， x ∈A,4−2x ， x ∈B ，x 0∈A 且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是________.三、解答题已知全集U =R ，集合A ={x|2<x <7}， B ={x|x <−4或x >2}，C ={x|a −1≤x <2a −1,a ∈R }，(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁U (A ∪B )，求实数a 的取值范围．已知函数f (x +1)定义域为(−3,1)，函数g (x )=f (2x −1)+f (2−x ).(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域内单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．已知集合A ={x|x 2−5x +6=0}，B ={x|x 2+ax +6=0}.(1)若B =⌀，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )=2x 2x 2+1． (1)求f (2)+f (12)，f (3)+f (13)的值；(2)求证：f (x )+f (1x )是定值；(3)求f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯ f (2019)+f (12019)的值．已知函数y =f (x )的定义域为R ．且满足：①f (1)=3．②对于任意的u ， v ∈R ，总有f (u +v )=f (u )+f (v )−1．③对于任意的u ，v ∈R ，u −v ≠0，(u −v )[f (u )−f (v )]>0.请分析解决以下问题：(1)求f (0)及f (−1)的值；(2)求证：函数y =f (x )−1为奇函数；(3)若f(12m2)−2f(m−12)>−2，求实数m的取值范围．对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b−1(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=mx0成立，则称x0为f(x)关于参数m的不动点．(1)当a=1，b=−2时，求f(x)关于参数1的不动点；(2)若对于任意实数b，函数f(x)恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；(3)当a=1，b=2时，函数f(x)在x∈(0,2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】子集与真子集的个数问题交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A∩B={−2，0，1}，所以集合A∩B子集的个数为23=8.故选B.2.【答案】C【考点】映射【解析】给每一个原象找到对应的象，即为一个映射，通过列举可求得当a的象为1 的映射个数. 【解答】解：根据映射的概念得已知a的象为1时，若b的象为1时，则c的象为1或2；若b的象为2时，则c的象为1或2；故则f(a)=1时不同的映射个数是4个.故选C.3.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】利用函数的定义域，对应关系是否相同判定是否为同一函数.【解答】解：对于A，f(x) 定义域为R，g(x)定义域为{x|x≠−1}，故不是同一函数；对于B，两个函数的定义域为R，且g(x)={x+1，x≥−1，−x−1，x<−1=|x+1|，表示同一函数；对于C，由x2−9≥0，得x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)，而g(x)需满足{x −3≥0，x +3≥0，解得x ≥3，可得两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D ，g(x)=√x 2=|x |，故不是同一函数.故选B .4.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用子集与真子集【解析】利用题设B 中肯定含元素1，分B 中元素个数讨论得解.【解答】解：由题设得集合B 必须包含元素1，则集合B 可能是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}，共8个. 故选D .5.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】因为2>1，所以套x >1时的解析式，求得f(2)的值.【解答】解：∵ 2>1，∴ f(2)=√2−1=1．故选C ．6.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据题意可知0≤x ≤2，求2x +1的范围，即可得所求函数的定义域．【解答】解：函数f (2x +1)的定义域为[0,2]，则0≤x ≤2 ，∴ 1≤2x +1≤5，∴ 函数y =f (x )的定义域是[1,5].故选A .7.【答案】C【考点】函数的值域及其求法【解析】分两段分别求出二次函数的对称轴，求出两段函数的最大值，最小值，选出最大值和最小值，即得到函数的值域．【解答】解：当0<x≤3时，f(x)=2x−x2，其对称轴为x=1，所以当x=1时函数有最大值为1，当x=3时函数有最小值−3.当−2≤x≤0时，f(x)=x2+6x，其对称轴为x=−3，所以当x=−2时函数有最小值为−8，当x=0时函数有最大值为0.综上所述，f(x)的最大值为1，最小值为−8，所以函数f(x)的值域是[−8, 1].故选C.8.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】利用题中对A−B的定义知，首先得出A−B，然后再由差集定义得出C−(A−B)．【解答】解：∵A−B={x|x∈A, 且x∉B}，即A−B是集合A中的元素去掉A∩B，记作集合D，如图所示，∴集合C−(A−B)就是C中的元素去掉集合C∩D.故选A.9.【答案】C【考点】函数的图象【解析】由函数的奇偶性，以及当x∈(0,1)时，f(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f(x)<0，结合选项只有C符合.【解答】解：f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，∵f(−x)=−ex=−f(x)，1−x2∴f(x)为奇函数，又当x∈(0,1)时，1−x2>0，f(x)>0；当x∈(1,+∞)时，1−x2<0，f(x)<0，结合选项只有C符合.故选C ．10.【答案】C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x >−1时，y′=3−a (x−a−2)2≥0，可得{3−a ≥0a +2≤−1，由此求得a 的范围． 【解答】解：y =x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2 ∵ 当a <3时，函数y 在(a +2，+∞)上单调递增，又函数y 在(−1,+∞)上单调递增，∴ a +2≤−1，即a ≤−3，∴ a 的取值范围是：(−∞,−3].故选C .11.【答案】A【考点】函数的对称性函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)的图象关于y 轴对称，且在区间 (−∞,0] 单调递减，则 f(x)在[0,+∞)单调递增；再由f(3x +1)<f(12) ，可得 |3x +1|<12 ，解出即得 −12<x <−16.故选A .12.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断集合中元素个数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A ={−1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A)=2．因为B ={x||x 2−2x −3|=a}，所以(B)就是函数f(x)=|x 2−2x −3|的图象与直线y =a 的交点个数，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，(B)=0或(B)=2或(B)=3或(B)=4．①当(A)≥(B)时，又(A−B)≤1，则(B)≥(A)−1，所以(B)≥1，又(A)≥(B)，所以1≤(B)≤2，所以(B)=2，由图可知，a=0或a>4；②当(A)<(B)时，又(A−B)≤1，则(B)≤(A)+1，即(B)≤3，又(A)<(B)，所以2<(B)≤3，所以(B)=3，由图可知，a=4．综上所述，a=0或a≥4．故选D．二、填空题【答案】12【考点】已知函数的单调性求参数问题【解析】根据幂函数的图象与性质，列方程求出m的值，再验证是否满足题意即可．【解答】解：由幂函数f(x)=(2m2+m)x m在[0,+∞)上为单调递增的，所以{2m2+m=1，m>0，解得m=12．故答案为：12．【答案】3x+2【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：设t=3x+2，则x=t−23，∴函数解析式转化为f(t)=3(t−2)+8=3t+2，∴函数f(x)的解析式为f(x)=3x+2．故答案为：3x+2.【答案】0或1或4【考点】集合新定义问题子集与真子集集合的确定性、互异性、无序性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵B={x|ax2=1, a≥0}，∴若a=0，则B=⌀，满足B⊊A，此时A与B构成“全食”．若a>0，则B={x|x2=1a , a≥0}={√a√a}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则√a =1或√a=12，解得a=1或a=4．综上：a=1或a=4或a=0．故a的取值集合为{0, 1, 4}．故答案为：0或1或4.【答案】[0,14)∪(34,1)【考点】分段函数的应用元素与集合关系的判断【解析】利用当x0∈A，且f[f(x0)]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵ 0≤x0<1，∴ f(x0)=2x0∈[0, 2)，当2x0∈[0,1)，即x0∈[0,12)时，f[f(x0)]=4x0，∵ f[f(x0)]∈A，∴ 0≤4x0<1，∴ 0≤x0<14；当2x0∈[1,2)，即x0∈[12,1)时，∴ f[f(x 0)]=f(2x 0)=4−4x 0.∵ f[f(x 0)]∈A ，∴ 0≤4−4x 0<1 ，∴ 34<x 0≤1.∵ 12≤x 0<1，∴ 34<x 0<1.故答案为：[0,14)∪(34,1). 三、解答题【答案】解：(1)A ={x|2<x <7}，B ={x|x <−4或x >2}，A ∩B ={x|2<x <7}．(2) A ∪B ={x|x <−4或x >2}，∁U (A ∪B )={x|−4≤x ≤2}，当a ≤0时， C =⌀，满足C ⊆∁U (A ∪B )，当C ≠⌀时，只需 {a >0，a −1≥−4，2a −1≤2，即0<a ≤32，综上可知a ∈(−∞，32]．【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】无无【解答】解：(1)A ={x|2<x <7}，B ={x|x <−4或x >2}，A ∩B ={x|2<x <7}．(2) A ∪B ={x|x <−4或x >2}，∁U (A ∪B )={x|−4≤x ≤2}，当a ≤0时， C =⌀，满足C ⊆∁U (A ∪B )，当C ≠⌀时，只需 {a >0，a −1≥−4，2a −1≤2，即0<a ≤32，综上可知a ∈(−∞，32]．【答案】解：(1)∵ f (x +1)的定义域为(−3,1)，∴ f (x )的定义域为(−2,2)，∴ f (2x −1)的定义域为(−12,32)，f (2−x )的定义域为(0,4)， ∴ g (x )=f (2x −1)+f (2−x )的定义域为(0,32)．(2) ∵ f (x )是奇函数，且在定义域内单调递减，∴ g (x )=f (2x −1)+f (2−x )≤0⇒f (2x −1)≤−f (2−x )=f (x −2)，∴ {2x −1≥x −2，−2<2x −1<2，−2<x −2<2，解得0<x <32．故不等式g (x )≤0的解集为(0,32)．【考点】函数的单调性及单调区间函数的定义域及其求法【解析】无无【解答】解：(1)∵ f (x +1)的定义域为(−3,1)，∴ f (x )的定义域为(−2,2)，∴ f (2x −1)的定义域为(−12,32)，f (2−x )的定义域为(0,4)， ∴ g (x )=f (2x −1)+f (2−x )的定义域为(0,32)．(2) ∵ f (x )是奇函数，且在定义域内单调递减，∴ g (x )=f (2x −1)+f (2−x )≤0⇒f (2x −1)≤−f (2−x )=f (x −2)，∴ {2x −1≥x −2，−2<2x −1<2，−2<x −2<2，解得0<x <32． 故不等式g (x )≤0的解集为(0,32)．【答案】解：(1)若B =⌀，则Δ=a 2−4×6<0，解得−2√6<a <2√6.(2)由集合A ={x|x 2−5x +6=0}，∴ A ={2,3}， B ={x|x 2+ax +6=0}，B 为方程x 2+ax +6=0的解集， 所以分类讨论得：①若B ≠⌀，由B ⊆A ，∴ B ={2}或B ={3}或B ={2,3}，当B ={2}时，方程x 2+ax +6=0有两个相等实根，即x 1=x 2=2，x 1x 2=4≠6，∴ 不合题意．同理B ≠{3}．同理当B ={2,3}时， a =−5，合题意．②若B =⌀，则Δ=a 2−4×6<0，∴ −2√6<a <2√6综上所述，实数a 的取值范围为{a|a =−5或−2√6<a <2√6}．【考点】空集的定义、性质及运算集合的包含关系判断及应用【解析】无无【解答】解：(1)若B =⌀，则Δ=a 2−4×6<0，解得−2√6<a <2√6.(2)由集合A ={x|x 2−5x +6=0}，∴ A ={2,3}， B ={x|x 2+ax +6=0}，B 为方程x 2+ax +6=0的解集， 所以分类讨论得：①若B ≠⌀，由B ⊆A ，∴ B ={2}或B ={3}或B ={2,3}，当B ={2}时，方程x 2+ax +6=0有两个相等实根，即x 1=x 2=2，x 1x 2=4≠6，∴ 不合题意．同理B ≠{3}．同理当B ={2,3}时， a =−5，合题意．②若B =⌀，则Δ=a 2−4×6<0，∴ −2√6<a <2√6综上所述，实数a 的取值范围为{a|a =−5或−2√6<a <2√6}．【答案】(1)解：函数f (x )=2x 2x 2+1．当x =2时，f(2)+f (12)=85+1214+1=2 ， 当x =3时，f (3)+f (13)=2×99+1+2×1919+1=2．(2)证明：因为f (x )=2x 2x 2+1，f (1x )=2(1x)2(1x )2+1=21+x 2，所以f (x )+f (1x )=2x 2+21+x 2=2．(3)解：f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (2019)+f (12009)=f (1)+[f (2)+f (12)]+[f (3)+f (13)]+⋯+[f (2019)+f (12009)] =f (1)+2018×2=4037．【考点】归纳推理函数的求值【解析】无无无【解答】(1)解：函数f (x )=2x 2x 2+1． 当x =2时，f(2)+f (12)=85+1214+1=2 ， 当x =3时，f (3)+f (13)=2×99+1+2×1919+1=2．(2)证明：因为f (x )=2x 2x 2+1，f (1x )=2(1x)2(1x )2+1=21+x 2，所以f (x )+f (1x )=2x 2+21+x 2=2．(3)解：f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (2019)+f (12009) =f (1)+[f (2)+f (12)]+[f (3)+f (13)]+⋯+[f (2019)+f (12009)] =f (1)+2018×2=4037．【答案】(1)解：∵ 对于任意u ，v ∈R ，都有f (u +v )=f (u )+f (v )−1， ∴ 令u =0，v =1，得f (1)=f (0)+f (1)−1，∴ f (0)=1 .令u =1，v =−1，得f (0)=f (1)+f (−1)−1，∴ f (−1)=−1 .(2)证明：令t =x ，v =−x ，则有f (0)=f (x )+f (−x )−1，∴ f (x )+f (−x )=2，令g (x )=f (x )−1，则g (−x )=f (−x )−1，∴ g (x )+g (−x )=f (x )+f (−x )−2=0，即g (x )=−g (−x ) .故y =g (x )=f (x )−1为奇函数．(3)解：∵ 对于任意的u ，v ∈R ，u −v ≠0，(u −v )[f (u )−f (v )]>0， ∴ f (x )为单调增函数，∵ f (−1)=f (−12)+f (−12)−1=−1，∴ f (−12)=0.∵ f(12m 2)−2f(m −12)>−2⇔f(12m 2)−[f(2m −1)+1]>−2 ⇔f (12m 2)+2−f (2m −1)−1>0 ⇔f (12m 2)+f (1−2m )−1>0 ⇔f (12m 2+1−2m)>0 .∴ f (12m 2+1−2m)>f (−12)， ∴ 12m 2+1−2m >−12，即m 2−4m +3>0， 解得m <1或m >3 .故实数m 的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞) .【考点】函数的求值函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合已知函数的单调性求参数问题函数奇偶性的性质【解析】（1）∵ 对于任意u ，v ∈R ，都有f (u +v )=f (u )+f (v )−1， ∴ 令u =0，v =1，得f (1)=f (0)+f (1)−1，∴ f (0)=1 .令u =1,v =−1，得f (0)=f (1)+f (−1)−1，∴ f (−1)=−1 .【解答】(1)解：∵ 对于任意u ，v ∈R ，都有f (u +v )=f (u )+f (v )−1， ∴ 令u =0，v =1，得f (1)=f (0)+f (1)−1，∴ f (0)=1 .令u =1，v =−1，得f (0)=f (1)+f (−1)−1，∴ f (−1)=−1 .(2)证明：令t =x ，v =−x ，则有f (0)=f (x )+f (−x )−1，∴ f (x )+f (−x )=2，令g (x )=f (x )−1，则g (−x )=f (−x )−1，∴ g (x )+g (−x )=f (x )+f (−x )−2=0，即g (x )=−g (−x ) .故y =g (x )=f (x )−1为奇函数．(3)解：∵ 对于任意的u ，v ∈R ，u −v ≠0，(u −v )[f (u )−f (v )]>0， ∴ f (x )为单调增函数，∵ f (−1)=f (−12)+f (−12)−1=−1，∴ f (−12)=0. ∵ f(12m 2)−2f(m −12)>−2 ⇔f(12m 2)−[f(2m −1)+1]>−2 ⇔f (12m 2)+2−f (2m −1)−1>0 ⇔f (12m 2)+f (1−2m )−1>0 ⇔f (12m 2+1−2m)>0 . ∴ f (12m 2+1−2m)>f (−12)， ∴ 12m 2+1−2m >−12，即m 2−4m +3>0， 解得m <1或m >3 .故实数m 的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞) .【答案】解：(1)当a =1，b =−2时， f (x )=x 2−x −3，由题意有x 2−x −3=x ，即x 2−2x −3=0，解得：x 1=−1，x 2=3，故当a =1，b =−2时，f(x)的关于参数1的两个不动点为−1和3.(2)∵ f (x )=ax 2+(b +1)x +b −1(a ≠0)恒有两个不动点， ∴ ax 2+(b +1)x +b −1=x ，即ax 2+bx +b −1=0恒有两个不等实根， ∴ Δ1=b 2−4ab +4a >0(b ∈R )恒成立，于是Δ2=(4a )2−16a <0，解得0<a <1，故当b ∈R 且f (x )恒有关于参数1的两个相异的不动点时0<a <1.(3)由已知得x 2+3x +1=mx 在x ∈(0,2]上有两个不同解， 即x 2+(3−m )x +1=0在x ∈(0,2]上有两个不同解，令ℎ(x )=x 2+(3−m)x +1，所以{ℎ(2)=11−2m ≥0，Δ=(3−m )2−4>0，0<m−32<2， 解得5<m ≤112.【考点】函数新定义问题函数恒成立问题函数的零点函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：(1)当a=1，b=−2时，f(x)=x2−x−3，由题意有x2−x−3=x，即x2−2x−3=0，解得：x1=−1，x2=3，故当a=1，b=−2时，f(x)的关于参数1的两个不动点为−1和3.(2)∵ f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)恒有两个不动点，∴ax2+(b+1)x+b−1=x，即ax2+bx+b−1=0恒有两个不等实根，∴Δ1=b2−4ab+4a>0(b∈R)恒成立，于是Δ2=(4a)2−16a<0，解得0<a<1，故当b∈R且f(x)恒有关于参数1的两个相异的不动点时0<a<1.(3)由已知得x2+3x+1=mx在x∈(0,2]上有两个不同解，即x2+(3−m)x+1=0在x∈(0,2]上有两个不同解，令ℎ(x)=x2+(3−m)x+1，所以{ℎ(2)=11−2m≥0，Δ=(3−m)2−4>0，0<m−32<2，解得5<m≤112.。
江西省南昌市八一中学2020-2021学年高一文理分班考试数学试题 答案和解析
6．C
【解析】
由已知可得 ，故选C.
7．C
【解析】
试题分析：区间 的长度为7，满足不等式 即不等式 ，对应区间 长度为2，由几何概型公式可得使不等式 成立的概率是 。
考点：几何概型
8．C
【解析】
由已知可得 （当且仅当 时取等号），故选C.
9．D
【解析】
在第一个判断框中,“是”对应的是 ，故应填 ;在执行框中，计算班级平均分公式应为： ，故正确答案为：D.
5．B
【分析】
通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】
因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，
所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．
三角形的等腰三角形．
A． B． C． D．
8．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为
A．9B．12C．18D．22
9．某班有24名男生和26名女生，数据 ， … 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数： ，男生平均分： ，女生平均分： .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ）
试题分析：A选项， 在 单调递增，不正确；B选项， 在 单调递增，不正确；C选项， 在 单调递增；D选项， 在 单调递减，正确；故选D。
考点：函数的单调性
3．C
【解析】
是首项 、公差 的等差数列 ，故选C.
2021-2022学年江西省南昌市八一中学高一(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年江西省南昌市八一中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（每小题5分）1．下列给出的命题正确的是（）A．高中数学课本中的难题可以构成集合B．有理数集Q是最大的数集C．空集是任何非空集合的真子集D．自然数集N中最小的数是12．已知集合M＝{x|x＞4或x＜1}，N＝[﹣1，+∞），则M∩N＝（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣1，1）∪（4，+∞）C．∅D．[﹣1，1）∪（4，+∞）3．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤0B．∀x∈R，x＞0C．∃x∈R，x＜0D．∃x∈R，x＞0 4．已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|ax+2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为（）A．{﹣1，﹣2}B．{﹣1，0}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0} 5．不等式（x+2）（5﹣x）＜0的解集为（）A．{x|x＞5}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞5}D．{x|﹣2＜x＜5} 6．已知集合P＝{x|x＝}，Q＝{x|x＝}，则（）A．P＝Q B．P⫋Q C．P⫌Q D．P∩Q＝∅7．已知函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．8．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．1849．若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．1B．3C．5D．710．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A．24B．3+13C．9+13D．25二、多选题（每小题全对5分一个，少选2分一个，错选0分）11．下列说法正确的有（）A．若a＞b，则＞B．若a＞b，则a3＞b3C．若ab＝1，则a+b≥2D．若a2+b2＝1，则ab≤12．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（）A．a＞0B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}C．a+b+c＞0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为三、填空题（每小题5分）13．满足M⊆{a，b，c，d}，且M∩{a，b，c}＝{a，b}的集合M有个．14．如图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）15．若命题“∃x∈R，x2﹣2ax+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围的解集是．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b+c ＝10，则此三角形面积的最大值为．四、解答题（17题10分一个，其它12分一个）17．已知集合A＝{x|﹣2a+3≤x＜4a}，B＝{x|﹣3≤x+1≤6}．（1）若a＝2，求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．18．已知二次函数当有最大值，且它的图象与x轴有两个交点，两个交点的距离为5，求这个二次函数的解析式．19．已知集合A＝{x|2a+1≤x＜3a+5}，B＝{x|3≤x≤32}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围．20．已知1≤a﹣b≤2且2≤a+b≤4，求4a﹣2b的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2．（1）当a＝2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．22．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）取得最大值时x的值？（2）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值？（3）函数y＝（x＞1）的最小值为多少？参考答案一、单选题（每小题5分一个）1．下列给出的命题正确的是（）A．高中数学课本中的难题可以构成集合B．有理数集Q是最大的数集C．空集是任何非空集合的真子集D．自然数集N中最小的数是1【分析】利用集合的含义与性质即可判断出．解：A、难题不具有确定性，不能构造集合，故本选项错误；B、实数集R就比有理数集Q大，故本选项错误；C、空集是任何非空集合的真子集，故本选项正确；D、自然数集N中最小的数是0，故本选项错误；故选：C．2．已知集合M＝{x|x＞4或x＜1}，N＝[﹣1，+∞），则M∩N＝（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣1，1）∪（4，+∞）C．∅D．[﹣1，1）∪（4，+∞）【分析】根据集合的交集运算，即可求出M∩N．解：∵集合M＝{x|x＞4或x＜1}，N＝[﹣1，+∞），∴M∩N＝{x|﹣1≤x＜1或x＞4}，故选：D．3．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤0B．∀x∈R，x＞0C．∃x∈R，x＜0D．∃x∈R，x＞0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出全称命题即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈R，x≤0”的否定是：“∀x∈R，x＞0”．故选：B．4．已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|ax+2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为（）A．{﹣1，﹣2}B．{﹣1，0}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】先求出集合A，由A∩B＝B，得B⊆A，再分类讨论a的值即可．解：A＝{x∈N+|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈N+|﹣1＜x＜3}＝{1，2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，①当a＝0时，集合B＝{x|ax+2＝0}＝∅，满足B⊆A，当a≠0时，集合B＝{x|ax+2＝0}＝{﹣}，由B⊆A，A＝{1，2}得，﹣＝1，或﹣＝2，解得a＝﹣2，或a＝﹣1，综上由a的取值构成的集合为{0，﹣2，﹣1}，故选：D．5．不等式（x+2）（5﹣x）＜0的解集为（）A．{x|x＞5}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞5}D．{x|﹣2＜x＜5}【分析】先把不等式（x+2）（5﹣x）＜0化为（x+2）（x﹣5）＞0，再求不等式的解集即可．解：∵（x+2）（5﹣x）＜0，∴（x+2）（x﹣5）＞0，∴x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：C．6．已知集合P＝{x|x＝}，Q＝{x|x＝}，则（）A．P＝Q B．P⫋Q C．P⫌Q D．P∩Q＝∅【分析】由集合的交集及集合的表示得：P＝{x|x＝，k∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，即P∩Q＝∅，得解解：P＝{x|x＝，k∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，即P∩Q＝∅，故选：D．7．已知函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】逐一对选项进行分析，得出与已知条件的矛盾即为错误选项．解：对于B，由图可知，抛物线开口向下，故a＜0，因为a＞b＞c，所以a，b，c均为负值，与a+b+c＝0矛盾，故B错误；对于C，由图可知，a＞0，ax2+bx+c＝0两根分别为0，1，所以c＝0，﹣＝1，即a＝﹣b＞0，所以b＜0，与a＞b＞c矛盾，故C错误；对于D，由图象可知a＜0，ax2+bx+c＝0两根均为正数，所以﹣＞0，即＜0，所以b＞0，与已知a＞b＞c矛盾，故D错误；故选：A．8．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．184【分析】设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示，如图所示：，由韦恩图可知，听讲座的人数为62+7+5+11+4+50+45＝184（人），故选：D．9．若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．1B．3C．5D．7【分析】根据新定义求出集合A中的元素可为﹣1，1，然后写出非空子集，即可得个数．解：∵﹣1∈A时，则A；1∈A时，则∈A，∴集合M＝{﹣1，0，，，1，2}的所有满足新定义的元素有2个，那么A＝{﹣1}或A＝{1}或A＝{﹣1，1}，故选：B．10．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A．24B．3+13C．9+13D．25【分析】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2＝0表示出b，求出a的范围，然后将（a+1）（b+2）中的b消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值．解：因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，所以b＝，又a＞0，b＞0，所以＞0，解得a＞2，又b＝＝1+，所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4＝3a++7＝3（a﹣2）++13≥，当且仅当3（a﹣2）＝即a＝4时等号成立，即（a+1）（b+2）的最小值为25．故选：D．二、多选题（每小题全对5分一个，少选2分一个，错选0分）11．下列说法正确的有（）A．若a＞b，则＞B．若a＞b，则a3＞b3C．若ab＝1，则a+b≥2D．若a2+b2＝1，则ab≤【分析】根据各选项的条件利用特殊值或不等式的基本性质，分别判断即可．解：A．根据a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则＞不成立，故A不正确；B．若a＞b，则根据不等式的性质可知，a3＞b3，故B正确；C．根据ab＝1，取a＝b＝﹣1，则a+b≥2不成立，故C不正确；D．根据a2+b2＝1，可得1＝a2+b2≥2ab，∴ab≤，故D正确．故选：BD．12．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（）A．a＞0B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}C．a+b+c＞0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为【分析】由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，再结合韦达定理可得b＝﹣a，c＝﹣6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a+b+c＜0，从而判断选项C．解：由题意可知，﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＞0，∴﹣2+3＝，（﹣2）×3＝，∴b＝﹣a，c＝﹣6a，a＞0，即选项A正确；不等式bx+c＞0等价于a（x+6）＜0，∴x＜﹣6，即选项B正确；∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），∴当x＝1时，有a+b+c＜0，即选项C错误；不等式cx2﹣bx+a＜0等价于a（6x2﹣x﹣1）＞0，即a（3x+1）（2x﹣1）＞0，∴x＜或x＞，即选项D正确．故选：ABD．三、填空题（每小题5分）13．满足M⊆{a，b，c，d}，且M∩{a，b，c}＝{a，b}的集合M有2个．【分析】利用子集、交集定义直接求解．解：满足M⊆{a，b，c，d}，且M∩{a，b，c}＝{a，b}的集合M有：{a，b}，{a，b，d}，∴满足M⊆{a，b，c，d}，且M∩{a，b，c}＝{a，b}的集合M有2个．故答案为：2．14．如图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【分析】根据线路图，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．由于两个开关为并联电路，即可得到关系．解：由条件知这两个开关为并联电路，当开关K1与K2合至少有一个闭合，则灯泡亮，所以“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．15．若命题“∃x∈R，x2﹣2ax+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围的解集是（﹣1，1）．【分析】根据题意，分析可得命题的否定：∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0是真命题，结合二次函数的性质分析可得答案．解：根据题意，命题“∃x∈R，x2﹣2ax+1≤0”是假命题，则其否定：∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0是真命题，必有△＝4a2﹣4＜0，解可得：﹣1＜a＜1，即a的取值范围为（﹣1，1）；故答案为：（﹣1，1）．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b+c ＝10，则此三角形面积的最大值为12．【分析】由题意，计算p的值，代入S2中，利用基本不等式求出它的最小值．解：由a＝6，b+c＝10，得p＝（a+b+c）＝×（6+10）＝8；所以S2＝8×（8﹣6）×（8﹣b）（8﹣c）＝16[bc﹣8（b+c）+64]＝16（bc﹣16）≤16×[﹣16]＝16×（25﹣16）＝144，当且仅当b＝c＝5时取等号．所以S≤12．故答案为：12．四、解答题（17题10分一个，其它12分一个）17．已知集合A＝{x|﹣2a+3≤x＜4a}，B＝{x|﹣3≤x+1≤6}．（1）若a＝2，求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．【分析】（1）可求出B＝[﹣4，5]，a＝2时，求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，﹣2a+3≥4a；A ≠∅时，，解出a的范围即可．解：B＝[﹣4，5]；（1）a＝2时，A＝[﹣1，8），∴A∩B＝[﹣1，5]，∁R A＝（﹣∞，﹣1）∪[8，+∞），∁R B＝（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞），（∁R A）∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣4）∪[8，+∞）；（2）∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴①A＝∅时，﹣2a+3≥4a，解得；②A≠∅时，，解得，综上得，a的取值范围为．18．已知二次函数当有最大值，且它的图象与x轴有两个交点，两个交点的距离为5，求这个二次函数的解析式．【分析】由题意可以得到二次函数的图象的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），设解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把顶点坐标代入即可求解．解：由题意得，二次函数与x轴的交点坐标是（﹣2，0），（3，0），设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把代入得，，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+2x+12．19．已知集合A＝{x|2a+1≤x＜3a+5}，B＝{x|3≤x≤32}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围．【分析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．解：由题意得A⊊B，当A＝∅时，2a+1≥3a+5，解得a≤﹣4，当A≠∅时，，解得1≤a≤9，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[1，9]．20．已知1≤a﹣b≤2且2≤a+b≤4，求4a﹣2b的取值范围．【分析】令4a﹣2b＝λ（a﹣b）+μ（a+b）（λ，μ∈R），展开后利用系数相等求得λ与μ的值，再由已知结合不等式的性质求解．解：令4a﹣2b＝λ（a﹣b）+μ（a+b）（λ，μ∈R），则4a﹣2b＝（λ+μ）a+（μ﹣λ）b，∴，解得，故4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b），∵1≤a﹣b≤2，∴3≤3（a﹣b）≤6．又∵2≤a+b≤4，∴5≤4a﹣2b≤10，故4a﹣2b的取值范围是[5，10]．21．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2．（1）当a＝2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．【分析】（1）a＝2时不等式化为2x2﹣5x+2≤0，求出解集即可；（2）不等式f（x）≤0可化为ax2﹣（2a+1）x+2≤0，讨论a的取值，求出对应不等式的解集．解：（1）当a＝2时f（x）≤0可化为2x2﹣5x+2≤0，可得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得，∴f（x）≤0的解集为；（2）不等式f（x）≤0可化为ax2﹣（2a+1）x+2≤0，a＞0时，则不等式为a（x﹣）（x﹣2）≤0；①当时，有，解不等式得：；②当时，有，解不等式得：x＝2；③当时，有，解不等式得：；综上：①时，不等式的解集为；②时，不等式的解集为{x|x＝2}；③时，不等式的解集为．22．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）取得最大值时x的值？（2）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值？（3）函数y＝（x＞1）的最小值为多少？【分析】（1）x（4﹣3x）＝，然后结合基本不等式即可求解；（2）由f（x）＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3，然后结合基本不等式可求；（3）先进行分离，y＝＝＝（x﹣1）++2，然后结合基本不等式可求．解：（1）因为0＜x＜1，所以x（4﹣3x）＝＝，当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝时取等号；（2）因为x＜，所以4x﹣5＜0，所以f（x）＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤3﹣2＝1，当且仅当5﹣4x＝，即x＝1时取等号，此时f（x）的最大值1；（3）因为x＞1，所以x﹣1＞0，所以y＝＝＝（x﹣1）++2，当且仅当x﹣1＝，即x＝1+时取等号，此时函数取得最小值2+2．。
2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中学等六校高一上学期期中联考数学试题
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中学等六校高一上学期期中联考数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若{}R x x y y P ∈==,2,(){}R x x y y x Q ∈==,,2，则必有( ) QP A =. Q P B ⊆.Q P D ⊇.2．已知映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下的原象是（ ）A.B. ()1,1C.D.3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）()()x xx x g x x f A -=-=21.与()()()x x g x xx f B ==与22.()()xa a x g x x f C log .==与 ()()nnx x g x x f D ==与.4.把函数23y x =的图像关于x 轴对称向下翻转，再右移14个单位长度，下移13个单位长度，得到函数图像的解析式为（ ）A.2113()43y x =---B.2113()43y x =--C.2113()43y x =-+- D.2113()43y x =+-5.集合，集合则（ ）A.[-2, 3)B. [-2, 3)C.D. [-1, 3)6.已知5log7.0=a ，57.0=b ，7.05=c ，则的大小关系是 （ ）A ．B ．C ．D ．7.集合{}R x x x x ∈=,2100的真子集的个数为A.2B. 4C.6D. 7 8．函数()1++=x e x f x零点所在的区间是 ( )A ．()1,0B ．()0,1-C ．()1,2--D ．()2,1 9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”,，其中R 为实数集，Q 为有理数集．则下列说法正确是（ ） A.B.函数是奇函数C. ∈∀21,x x C R Q,()()()2121x f x f x x f +=+恒成立D. 函数不能用解析法表示10. 已知函数21(1)3,(1)(),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．215⎛⎫⎪⎝⎭，B. 205⎛⎤⎥⎝⎦，C. 2253⎛⎤⎥⎝⎦，D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭11.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为( )A.B.C. D.12.设函数243,(0)()23,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x ，满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A .C.()2,4D.()2,6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某班参加数、理、化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数、理两科的5人，只参加物、化两科的3人，只参加数、化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人14. 函数6ln2-=x y 的单调递减区间是.15. 计算：=-+⎪⎭⎫⎝⎛--+--2ln 432256711.0lg 10lg 125lg 8lg e .16. 定义域为的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x 都成立，则称是一个“伴随函数”有下列关于“伴随函数”的结论,其中正确的是_______________ 若为“伴随函数”，则；存在使得为一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知集合（1）若，求A ∪B,;（2）若A∩B=B ，求值范围.18．已知二次函数.（1）在给定坐标系下，画出函数的图象，并写出单调区间； （2）求在区间上的最小值。
2020-2021学年江西省南昌市某校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江西省南昌市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 设集合A ={−1,1,2,3,5}，B ={2,3,4}，C ={x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C)∪B =( ) A.{2} B.{2,3}C.{−1,2,3}D.{1,2,3,4}2. 已知集合M ={−1, 0}，则满足M ∪N ={−1, 0, 1}的集合N 的个数是（ ） A.2 B.3C.4D.83. 如果二次函数y =ax 2+bx +1的图象的对称轴是x =1，并且通过点A(−1, 7)，则( ) A.a =2，b =4 B.a =2，b =−4 C.a =−2，b =4 D.a =−2，b =−44. 已知全集U ={x ∈R|x <0}，M ={x|x <−1}，N ={x|−3<x <0}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|−3<x <−1}B.{x|−3<x <0}C.{x|−1≤x <0}D.{x|−1<x <0}5. 集合A ={y|y =√x −1}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( ) A.[2,+∞) B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]6. 若偶函数f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，则( ) A.f(−32)<f(−1)<f(2)B.f(−1)<f(−32)<f(2)C.f(2)<f(−1)<f(−32) D.f(2)<f(−32)<f(−1)7. 设f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞, 0)上为减函数，若x 1<0，x 1+x 2>0，则( )B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)<f(x 2)D.不能确定f(x 1)与f(x 2)的大小关系8. 若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x 2+3x +1，则f(x)=( ) A.x 2 B.2x 2 C.2x 2+2 D.x 2+19. 已知函数f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)>f(1−a)，则a 的取值范围是( ) A.(−∞,13) B.(−13,1)C.(−1,13)D.(−13,+∞)10. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则实数m 的取值范围是( ) A.[0, 4] B.[32, 3]C.[32, +∞)D.[32, 4]11. f(x)={(3a −1)x +4a(x <1)，−ax(x ≥1)是定义在 (−∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( ) A. [18,13) B.[0,13]C.(0,13)D.(−∞,13]12. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=（ ） A.50 B.2C.0D.−50二、填空题已知集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=________.已知函数f(x)=(m 2+m −1)x m+3是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是________．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)=−1，对任意的x ∈R 都有f (x )=−f (2−x )，则f (2020)=________.已知函数y=f(x+1)−2是奇函数，g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(x6，y6)，则x1+x2+⋯+x6+y1+y2+⋯+y6=_____.三、解答题已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，C={x|m−1≤x≤2m} (1)求A∩B，(∁R A)∪B；(2)若B∩C=C，求实数m的取值范围．已知集合U=R，集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}.(1)求A∩B，(∁U A)∪(∁U B)；(2)若集合M={x|2k−1≤x≤2k+1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围．已知函数f(x)=2x−1x+1.(1)证明：函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；(2)求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知f(x)在定义域上是增函数，解不等式f(t−1)+f(t)<0．已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+4．(1)若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1, 2]上的值域；(2)若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，求f(x)在[1, a]上的最大值．设函数f(x)=x2−2tx+2，其中t∈R．(1)若t=1，求函数f(x)在区间[0, 4]上的取值范围；(2)若t=1，且对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．(3)若对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8，求t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省南昌市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意解得，A∩C={1,2}，(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】由M与N的并集得到集合M和集合N都是并集的子集，又根据集合M的元素得到元素1一定属于集合N，找出两并集的子集中含有元素1的集合的个数即可．【解答】解：由M∪N={−1, 0, 1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0, −1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0, 1}或{−1, 1}或{0, −1, 1}，共4个．故选C．3.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，由对称轴是x=1可得b2a从而解得结果．【解答】∴b=−1.2a∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．4.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】求出M={x|x<−1}，N={x|−3<x<0}，C U M={x|x≥−1}，图中阴影部分表示的集合是：N∩(C U M)，由此能求出结果．【解答】解：∵全集U={x∈R|x<0}，M={x|x<−1}，N={x|−3<x<0}，∁U M={x|−1≤x<0}，∴图中阴影部分表示的集合是：N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}．故选C.5.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，B，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵集合A={y|y=√x−1}=[0,+∞），B={x|x2−x−2≤0}=[−1,2]，∴A∩B=[0,2].故选D.6.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】由偶函数的定义以及f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，可得f(−3)、f(2)、f(−1)的大小关系．【解答】故有f(−32)=f(32)，f(−2)=f(2)，f(−1)=f(1)．再由f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，可得 f(−2)<f(−32)<f(−1)， 即f(2)<f(−32)<f(−1).故选D ． 7.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：若x 1<0，x 1+x 2>0， 即x 2>−x 1>0，∵ f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞, 0)上为减函数， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上为增函数， 则f(x 2)>f(−x 1)=f(x 1). 故选C ． 8.【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质 【解析】利用奇偶函数性质得到f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，代入已知等式得到关系式，与已知等式联立即可求出f(x)． 【解答】解：∵ 定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)， ∴ f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，代入已知等式f(x)+g(x)=x 2+3x +1①， 得：f(−x)+g(−x)=x 2−3x +1， 即f(x)−g(x)=x 2−3x +1②， 联立①②，解得：f(x)=x 2+1. 故选D ． 9. 【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 函数单调性的性质根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减， 则f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|， 解可得：−1<a <13，即a 的取值范围为(−1, 13). 故选C . 10. 【答案】 B【考点】二次函数的性质 【解析】据函数的函数值f(32)=−254，f(0)=−4，结合函数的图象即可求解． 【解答】解：∵ f(x)=x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴ f(32)=−254.又f(0)=−4，故由二次函数图象可知；m 的值最小为32，最大为3，即m 的取值范围是：32≤m ≤3．故选B . 11.【答案】 A【考点】本题考查了分段函数的单调性，通过单调性求参数的取值范围，属于基础题 【解答】解：由题意，得{3a −1<0，−a <0，3a −1+4a ≥−a ，解得：18≤a <13. 故选A ． 12. 【答案】 C【考点】抽象函数及其应用 函数奇偶性的性质【解析】由题意可得f(0)＝0，进而根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案． 【解答】解：∵ f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)， ∴ f(1−x)=f(1+x)=−f(x −1)，f(0)=0，则f(x +2)=−f(x)，则f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 即函数f(x)是周期为4的周期函数， ∵ f(1)=2，∴ f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)=−2， f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0. 故选C ． 二、填空题【答案】 {x|1≤x ≤2} 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】先求出集合B 的补集，再与集合A 求交集即可. 【解答】解：∵ A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}， ∴ ∁R B ={x|x ≥1}，A ∩(∁R B)={x|1≤x ≤2}. 故答案为：{x|1≤x ≤2}.【答案】 1【考点】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义取舍即可．【解答】解：由题意得：m2+m−1=1，解得：m=1或m=−2，m=1时，f(x)=x4是偶函数，符合题意，m=−2时，f(x)=x是奇函数，不合题意，故m=1.故答案为：1.【答案】1【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得f(x)=−f(x−2)，进而可得f(x)=−f(x−2)= f(x−4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(2020)=f(4+4×504)= f(4)=−f(2)，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x)=−f(2−x)，则f(x)=−f(x−2)，变形可得f(x)=−f(x−2)=f(x−4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2020)=f(4+4×504)=f(4)=−f(2)=1.故答案为：1.【答案】18【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数y=f(x+1)−2为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，g(x)=2x−1x−1=1x−1+2关于点(1,2)对称，∴两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，则(x1+x2+⋯+x6)+(y1+y2+⋯+y6)=2×3+4×3=18.故答案为：18.三、解答题【答案】∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(2)∵B∩C=C，∴C⊆B，①当C=⌀时，∴m−1>2m⇒m<−1；②当C≠⌀时，∴{m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2<m<52，综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；（2）分集合C=⌀和C≠⌀两种情况讨论m满足的条件，再综合．【解答】解：(1)A∩B={x|2≤x<5}，∁R A={x|−3<x<2}，∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(2)∵B∩C=C，∴C⊆B，①当C=⌀时，∴m−1>2m⇒m<−1；②当C≠⌀时，∴{m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2<m<52，综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．【答案】解：(1)因为全集U=R，集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}={x|−2≤x≤3}，所以A∩B={x|1<x≤3}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)={x|x≤1或x>3}.(2)①当M=⌀时，2k−1>2k+1，不存在这样的实数k．②当M≠⌀时，则2k+1<−4或2k−1>1，解得k<−52或k>1．故k的取值范围为：k<−52或k>1.【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）求出集合B，然后直接求A∩B，通过(C U A)∪(C U B)C U(A∩B)求解即可；（2）通过M=⌀与M≠⌀，利用集合M={x|2k−1≤x≤2k+1}是集合A的子集，直【解答】解：(1)因为全集U =R ，集合A ={x|x <−4或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，所以A ∩B ={x|1<x ≤3}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤1或x >3}.(2)①当M =⌀时，2k −1>2k +1，不存在这样的实数k ．②当M ≠⌀时，则2k +1<−4或2k −1>1，解得k <−52或k >1． 故k 的取值范围为：k <−52或k >1.【答案】(1)证明： f (x )=2x−1x+1=2−3x+1, 设x 1>x 2>0，则： f (x 1)−f (x 2)=3x 2+1−3x 1+1=3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1), ∵ x 1>x 2>0,∴ x 1−x 2>0，x 1+1>0，x 2+1>0,∴ 3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)>0,∴ f (x 1)>f (x 2),∴ f (x )在区间(0,+∞)上是增函数．(2)解：∵ f (x )在(0,+∞)上是增函数，∴ f (x )在区间[1,17]上的最小值为f (1)=12，最大值为f (17)=116． 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】无无【解答】(1)证明： f (x )=2x−1x+1=2−3x+1, 设x 1>x 2>0，则： f (x 1)−f (x 2)=3x 2+1−3x 1+1=3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1), ∵ x 1>x 2>0,∴ x 1−x 2>0，x 1+1>0，x 2+1>0,∴ 3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)>0,∴ f (x 1)>f (x 2),∴ f (x )在区间[1,17]上的最小值为f (1)=12，最大值为f (17)=116．【答案】解：(1)∵ f(x)是(−1, 1)上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ b =0．又f(12)=25，∴ 12a 1+(12)2=25， ∴ a =1，∴ f(x)=x1+x 2.(2)∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式可化为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，即 f(t −1)<f(−t).又f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ 有{−1<t −1<1，−1<−t <1，t −1<−t ，解得0<t <12，∴ 不等式的解集为{t|0<t <12}．【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f(x)的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f(x)在(−1, 1)上是增函数；【解答】解：(1)∵ f(x)是(−1, 1)上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ b =0．又f(12)=25，∴ 12a 1+(12)2=25， ∴ a =1，∴ f(x)=x1+x 2.(2)∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式可化为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，即 f(t −1)<f(−t).又f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴有{−1<t−1<1，−1<−t<1，t−1<−t，解得0<t<12，∴不等式的解集为{t|0<t<12}．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)为偶函数，则a−1=0，解可得a=1,则f(x)=x2+4，因为f(x)在[0,+∞]上单调递增，所以当−1≤x≤2，有4≤f(x)≤8，即f(x)在[−1, 2]上的值域为[4, 8].(2)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，则a−1≥2，解得a≥3，又由1<a−1<a，则f(x)在区间[1, a−1]上递减，在[a−1, a]上递增，且f(1)=7−2a，f(a)=−a2+2a+4，f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a2+2a+4)=a2−4a+3=(a−2)2−1，又由a≥3，则f(1)≥f(a)，则f(x)在[1, a]上的最大值为7−2a．【考点】二次函数在闭区间上的最值函数的值域及其求法【解析】(Ⅰ)求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a−1＝0，解可得a＝1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，由二次函数的性质分析可得a−1≥2，则a≥3；分析函数f(x)在区间[1, a]上的单调性，求出并比较f(1)、f(a)的值，即可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)为偶函数，则a−1=0，解可得a=1,则f(x)=x2+4，因为f(x)在[0,+∞]上单调递增，所以当−1≤x≤2，有4≤f(x)≤8，即f(x)在[−1, 2]上的值域为[4, 8].(2)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，则a−1≥2，解得a≥3，又由1<a−1<a，则f(x)在区间[1, a−1]上递减，在[a−1, a]上递增，且f(1)=7−2a，f(a)=−a2+2a+4，f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a2+2a+4)=a2−4a+3=(a−2)2−1，又由a≥3，则f(1)≥f(a)，则f(x)在[1, a]上的最大值为7−2a．【答案】解：(1)因为f(x)=x2−2tx+2=(x−t)2+2−t2，所以f(x)在区间(−∞, t]上单调递减，在区间[t, +∞)上单调递增，且对任意的x∈R，都有f(t+x)=f(t−x)，若t=1，则f(x)=(x−1)2+1．①当x∈[0, 1]时．f(x)单调递减，从而最大值f(0)=2，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 2]；②当x∈[1, 4]时．f(x)单调递增，从而最大值f(4)=10，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 10]；所以f(x)在区间[0, 4]上的取值范围为[1, 10]．(2)“对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5”．①若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，所以f(x)在区间(−∞, 1]上单调递减，在区间[1, +∞)上单调递增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5，得−3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1>a+1，即a<0时，由[f(x)]max=f(a)=(a−1)2+1≤5，得−1≤a≤3，从而−1≤a<0．综上，a的取值范围为区间[−1, 1]．(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8”等价于“M−m≤8”．①当t≤0时，M=f(4)=18−8t，m=f(0)=2．由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1．从而t∈⌀．②当0<t≤2时，M=f(4)=18−8t，m=f(t)=2−t2．由M−m=18−8t−(2−t2)=t2−8t+16=(t−4)2≤8，得4−2√2≤t≤4+2√2．从而4−2√2≤t≤2．③当2<t≤4时，M=f(0)=2，m=f(t)=2−t2．由M−m=2−(2−t2)=t2≤8，得−2√2≤t≤2√2．从而2<t≤2√2．④当t>4时，M=f(0)=2，m=f(4)=18−8t．由M−m=2−(18−8t)=8t−16≤8，得t≤3．从而t∈⌀．综上，t的取值范围为区间[4−2√2, 2√2]．二次函数在闭区间上的最值函数最值的应用函数的值域及其求法【解析】(1)若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，根据二次函数在[0, 4]上的单调性可求函数的值域(2)由题意可得函数在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a, a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a 的范围(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8等价于M−m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：(1)因为f(x)=x2−2tx+2=(x−t)2+2−t2，所以f(x)在区间(−∞, t]上单调递减，在区间[t, +∞)上单调递增，且对任意的x∈R，都有f(t+x)=f(t−x)，若t=1，则f(x)=(x−1)2+1．①当x∈[0, 1]时．f(x)单调递减，从而最大值f(0)=2，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 2]；②当x∈[1, 4]时．f(x)单调递增，从而最大值f(4)=10，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 10]；所以f(x)在区间[0, 4]上的取值范围为[1, 10]．(2)“对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5”．①若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，所以f(x)在区间(−∞, 1]上单调递减，在区间[1, +∞)上单调递增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5，得−3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1>a+1，即a<0时，由[f(x)]max=f(a)=(a−1)2+1≤5，得−1≤a≤3，从而−1≤a<0．综上，a的取值范围为区间[−1, 1]．(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8”等价于“M−m≤8”．①当t≤0时，M=f(4)=18−8t，m=f(0)=2．由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1．从而t∈⌀．②当0<t≤2时，M=f(4)=18−8t，m=f(t)=2−t2．由M−m=18−8t−(2−t2)=t2−8t+16=(t−4)2≤8，得4−2√2≤t≤4+2√2．从而4−2√2≤t≤2．③当2<t≤4时，M=f(0)=2，m=f(t)=2−t2．由M−m=2−(2−t2)=t2≤8，得−2√2≤t≤2√2．从而2<t≤2√2．④当t>4时，M=f(0)=2，m=f(4)=18−8t．由M−m=2−(18−8t)=8t−16≤8，得t≤3．综上，t的取值范围为区间[4−2√2, 2√2]．。
2021年高一年级10月月考数学试题word版含答案
2021年高一年级10月月考数学试题word 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．下列关系式或说法正确的是（ ）A.N ∈QB.C.空集是任何集合的真子集D.（1，2）2．已知集合A={(x, y)|4x+y=6}, B={(x, y)|3x+2y=7}，则A ∩B=（） A.{x=1或y=2} B.{1, 2} C. {(1, 2)} D.(1, 2)3．已知集合A={x|x 2－x －2≤0}，集合B=Z ，则A ∩B=（ ）A.{－1，0，1，2}B.{－2, －1，0，1}C.{0, 1}D. {－1，0}4．函数f (x )=+的定义域为（ ）A.（－∞，3）∪（3，+∞）B.[－，3）∪（3，+∞）C. （－，3）∪（3，+∞）D. [－，+∞）1, x ＞0,5．设f (x )= 0, x =0, g (x ) = f (g(π))－1, x ＜0, A.1 B.0 C.－1 D.π则满足f (g (x ))＜g (f (x ))的x 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.1或2或37．下列函数在指定区间上为单调函数的是（ ）A.y=, x ∈（－∞，0） ∪（0，+∞）B.y=, x ∈（1，+∞）C.y=x 2，x ∈RD.y=|x|，x ∈R8．设y 1=40.9, y 2=80.5, y 3=()－1.6，则（ ）A. y 3＞y 1＞y 2B. y 2＞y 1＞y 3C. y 1＞y 2＞y 3D. y 1＞y 3＞y 29．若x ＜，则等于（ ）A.3x －1B.1－3xC.(1－3x)2D.非以上答案10．设函数f (x )=ax 3+bx+c 的图像如图所示，则f (a )+ f (－a )的值（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.以上结论都不对二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数f(x)是指数函数，且f（－）=，则f(3)= 。
江西省2021高一数学10月联考试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2019-2021学年高一数学10月联考试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.下列五个写法：2,；；1,,2,；；",其中错误写法的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 42.若,则( )A. 1B.C. 0或1D. 0或1或3.设集合A和集合B都是自然数集N,映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素,则在映射f下,像20的原像是( )A. 2B. 4或C. 4D.4.已知实数集R,集合,集合,则( )A. B. C. D.5.若,,则的值为( )A. 1B. 5C.D.6.已知函数的定义域为,则函数的定义域是( )A. B. C.D.7.已知函数在区间上的最大值为3,则实数t的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数为偶函数,且在区间上单调递增,若,则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知函数,若,则实数( )A. B. C. 2 D. 410.已知,则( )A. 3B. 9C.D.11.已知A. B. C. D.12.在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成的一个集合称为“类”,记为,即,给出如下四个结论：；；；若整数属于同一“类”,则“”其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算：____．14.将集合,x,用列举法表示为________．15.若函数在区间上是单调减函数,则实数m的取值范围是______．16.函数是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）17.已知集合,,且,,且写出集合B的所有子集；求,．可修改18.设集合,,若,求；若,求实数m的取值范围．19.已知函数请在给定的坐标系中画出此函数的图像；写出此函数的定义域及单调区间,并写出值域。
20.已知定义在R上的奇函数,当时,求函数在R上的解析式；若函数是区间上的单调函数,求实数a的取值范围．21.已知函数．判断函数在内的单调性,并用定义证明；当时,恒成立,求实数a的取值范围．22.函数在区间上的最小值记为．当时,求函数在区间上的值域；求的函数表达式；求的最大值．2019-2021学年上学期高一数学联考卷参考答案1. C2. B3. C4. B5. A6. C7.C8. B9. C10. A11. B12. C13.14. ,,15.16.17. 解：因为,且,所以6,, ………………2分所以B的子集有：,,,,,,,6,…………5分由6,,所以, ………………6分因为,且,所以4,5,6,,所以,．………………10分18. 解：由题意：集合,, 当时,,．…………5分,,当时,满足题意,此时,解得：；…………8分当时,,解得：；…………11分综上所得：当时,m的取值范围为．…………12分19. 解：图像如图所示………………6分可修改定义域为R, ………………8分增区间为,减区间为、、………………10分值域为．………………12分20. 解：设,则,,又为奇函数,所以且,于是时．所以．………………6分作出函数的图象如图：则由图象可知可修改要使函数在上单调,结合的图象知,所以,故实数a的取值范围是．………………12分21. 解：任意取,且2，,因为,所以,所以所以,即,可修改所以在上是单调减函数．………………7分由得恒成立,由,在为减函数,当,取得最小值,．………………………………12分22. 解：；；. ………………………………3分当时,函数的对称轴,则；当时,函数的对称轴,则；当时,函数的对称轴,则．综上所述,．………………8分当时,；当时,；当时,．由可得．………………12分- 11 -。
江西省南昌市八一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
江西省南昌市八一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．N 中最小的数是1B ．若*a N -∉，则*a N ∈C ．若*a N ∈，*b N ∈，则a b +最小值是2D ．244x x +=的实数解组成的集合中含有2个元素2．若a b >，则下列正确的是（ ）A ．22a b >B ．b c a c -<-C ．ac bc >D ．11a b< 3．已知命题p ：()01,3x ∃∈，200430x x -+<，则命题p 的否定是（ ） A ．()01,3x ∃∈，200430x x -+≥ B ．()01,3x ∃∉，200430x x -+< C ．()1,3x ∀∈，2430x x -+≥ D ．()1,3x ∀∉，2430x x -+<4．下列不等式中，可以作为2x <的一个必要不充分条件的是（ ）A ．13x <<B ．3x <C ．1x <D ．01x << 5．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．106．下列不等式中解集是R 的是（ ）A ．331x x -<；B ．||0x >；C ．2210x x ++>；D ．2210x x ++>. 7．不等式20ax x c -->的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax x c =+-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．6m ≤D ．6m ≥二、多选题9．（多选题）已知集合{}220A x x x =-=，则有（ ） A ．A ∅⊆ B ．2A -∈ C ．{}0,2A ⊆ D ．{}3A y y ⊆< 10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（ ）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件11．下列说法中正确的是（ ）A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若2m n +=，则22m n +的最小值为4C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1,0x y >>满足2x y +=，则121x y+-的最小值为3+三、填空题12．已知全集U =R ，集合A ={x |x >1}，B ={y|-1<y <2}，则U A B ⋂ð=13．若集合{}2210A x ax ax a =-+-==∅，则实数a 的取值范围是. 14．下列结论中，请写出正确的结论序号是.①不等式214802x x -+-<解集为实数集R ②若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为1 ③已知{}2540A x x x =-+=，{}10B x mx =-=，A B A =U ，则m 值为1或14④函数y =R ，则实数k 的取值范围为[]0,4四、解答题15．已知集合{}1A x a x a =<<+，{}20B x x =-≤≤．（1）若1a =，求A B U ；（2）在①A B B =U ，②()R B A ⋂=∅ð，③()R B A ⋃=R ð这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．16．设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.17．设()212y mx m x m =+-+-．(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．18．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k 值；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 19．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[,]a b 上存在实数00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，那么称函数()y f x =是区间[,]a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.（1）判断函数4()f x x =是否是区间[1,1]-上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数()21x g x m =⋅-是区间[0,1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）若函数2()4(1,)h x kx x k k N =+-≥∈是区间[2,](1,)t t t N -≥∈上的“平均值函数”，且1是函数()h x 的一个均值点，求所有满足条件的有序数对(,)k t .。
江西省南昌市八一中学2020-2021学年高二10月考试数学试题
2020-2021学年度第一学期南昌市八一中学高二数学10月份考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是白球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④恰有1个白球与都是黄球. 其中互斥而不对立的事件共有（ ） A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组2．已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则1AF B△的周长为（ ） A ．10B ．20C ．30D ．403．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y -++=C ．22(2)(2)1x y +++=D ．22(2)(2)1x y -+-=4．若执行右边的程序框图，输出S 的值为5，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．15?k ≤B ．16?k ≤C ．31?k ≤D ．32?k ≤5．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到A 、B 、C 、D 四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到A 医院的概率为（ ）A ．112B ．16C ．14D ．136．点(,)P x y 的坐标满足约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则()224y x +-的最小值为（ ）A ．5B ．322C ．5D ．297. 如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =，在ABC ∆内任取一点，则此点取自正方形DEFC 的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49 D ．598．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上．若线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为（ ） A ．3±B ．2±C ．34±D ．3±9．已知圆1C 的圆心在x 轴上，半径为1，且过点()2,1-，圆2C ：()()224210x y -+-=，则圆1C ，2C 的公共弦长为（ ）A ．2B ．32C ．37 D ．62 10．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭11．若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个12．已知实数x ，y 满足260,02,x y x y x -+≥+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]0,2C ．(][],10,2-∞-⋃D ．[]1,2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．如右边程序语句，其执行的结果为________．14．若直线()0112:013:21=+++=++y a x l y ax l 与互相平行，则a 的值为________．15．过点(2,3)且与圆22(1)1x y -+=相切的直线的方程为________.16．小明和小强是同一个小区同校不同班的两个中学生，约定每星期天下午在5：00~6：00之间的任何一个时间随机地在小区附近的固定图书馆里共同学习.两人商量好提前到达图书馆的人最多等对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人自行离开.则每次两人能够见面的概率是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线210x my m +--=恒过定点A .（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程.18．（12分）某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨． （I ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域； （II ）该公司每天需生产A ，B 产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？19．（12分）已知椭圆C 与椭圆22961x y +=的焦点12,F F 相同,且椭圆C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在椭圆C 上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.20.在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的顶点A 的坐标为()4,2-，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为10x y -+=，B ∠的角平分线所在的直线方程为220x y +-=． （1）求点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．21．（12分）已知一圆的圆心C 在直线20x y +=上，且该圆经过()2,0和(两点. （1）求圆C 的标准方程；（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC ∆面积的最大值和此时直线l 的方程.22．（12分)已知圆 C ：228120x y y +-+=，直线l ：(31) (1) 40m x m y ++--=. （1）证明直线l 总与圆C 相交；（2）当直线l 被圆C 所截得的弦长为l 的方程；（3）当0m =时，直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求过M 、N 两点在y 轴截得弦长为的方程。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中等五校2020-2021学年高一上学期中数学试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中等五校2020-2021学年高一上学期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M ={-1，0，1}，N ={-2，0，1}，则M ∪N =（ ） A ．{2,1,--0,1}B ．{}0,1C ．{1,-0,1}D ．{}02．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-3．函数)1(log 4)(-+=x x f a （a>0，且a ≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）A ．（1，4）B ．（4，2）C ．（2，4）D ．（2，5）4．设a =50.8，b =0.67，c =log 0.74，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=近似解的过程中，有f （1）0<，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则该方程的根所在的区间为( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定6．函数2()2(3)1f x ax a x =+-+在区间[)3,-+∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,0B ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．0,7．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()2m 与时间t （月）的关系：ty a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ） A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①②8．已知f （x ）=x 5-ax 3+bx +4，且f （-5）=2，则f （5）+f （-5）的值为（ ） A ．4B ．1C ．0D ．89．已知f （x ）在（0，2）上是增函数，f （x +2）是偶函数，那么正确的是（ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜ B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜ D ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜ 10．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．设函数f （x ）满足()2132f x f log x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则f （4）等于（ ） A ．32B ．6C ．92D ．112．已知函数()2242,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，且方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．15,04⎛⎤-⎥⎝⎦B ．15,24⎛⎤-⎥⎝⎦C ．[) 4,-+∞D ．[)4,2-二、填空题13．函数f （x ）=log 3（1+x ）的定义域是______．14．函数f （x ）与g （x ）互为反函数，且g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1），若函数f （x ）的图象经过点（2，9），则函数f （x ）的解析式为______ 15．函数y =lo 13g （2x 2-5x -3）的单调递增区间为______ ．16．给出定义：若（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作。
2020-2021学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.无穷数列1，3，6，10…的通项公式为()A. a n=n2−n+1B. a n=n2+n−1C. a n=n2+n2D. a n=n2−n22.下列命题正确的是()A. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗且a⃗≠0⃗，则b⃗ =c⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =0，则a⃗=0⃗或b⃗ =0⃗C. |a⃗+b|⃗⃗⃗ =|a⃗−b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =0D. 若a0⃗⃗⃗⃗ 与b0⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则a⃗0⋅b⃗ 0=13.等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于()A. 452B. 12 C. 454D. 64.若|a⃗|=2sin15°，|b⃗ |=4cos15°，a⃗与b⃗ 的夹角为30°，则a⃗⋅b⃗ 的值是()A. √32B. √3 C. 2√3 D. 125.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A. 北偏东10°B. 北偏西10°C. 南偏东10°D. 南偏西10°6.在△ABC中，若sin A：sin B：sinC=5：7：8，则此三角形的最大角与最小角之和为()A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°7.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n+1(n∈N∗)，则S5=()A. 31B. 42C. 37D. 478.在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=4，S5=15，则数列{1a n a n+1}的前2017项和为()A. 20162017B. 20172016C. 20172018D. 2018201710.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,3)，则向量2a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角为()A. 135°B. 60°C. 45°D. 30°11. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则数列{a n }的前n 项和为S n ，则(S 10−S 8)：(S 8−S 6)=( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√212. 设a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )的最小值为( )A. −2B. √2−2C. −1D. 1−√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的垂直，则实数λ= ______ ．14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且b =2，则外接圆的半径R = ______ ． 15. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 各项不全为0的等差数列{a n }，前n 项和为S n .若S 100=S 104，S k =S 106，k +S 204= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，求 (1)|a ⃗ +b ⃗ |及|a ⃗ −b ⃗ | (2)向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角．18. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a =2，．(1)若b =4，求的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC =4，求b,c 的值．19.某公司今年年初用36万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为16万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．(1)设n年纯收入与年数n的关系为f(n)，求f(n)的最大值；(2)引进这种设备后，试求有哪几年该公司开始获利；20.在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acosB−12b)=a2−b2．(1)求角A；(2)若a=√3，求△ABC周长l的取值范围．21.已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n⋅log12a n，Sn=b1+b2+⋯+b n，求使S n+n⋅2n+1>50成立的正整数n的最小值．22. 如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB分别相交于点M 、N ，若 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)利用NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，把y 用x 表示出来(即求y =f(x)的解析式)；(2)设数列{a n }的首项a 1=1，前 n 项和S n 满足：S n =f(S n−1)(n ≥2)，求数列{a n }通项公式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a2−a1=3−1=2，a3−a2=6−3=3，a4−a3=10−6=4，…∴a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=n2+n2．故选：C．通过观察分析可得a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+2+3+⋯+n，利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可得出．熟练掌握“累加求和”和等差数列的前n项和公式是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗且a⃗≠0⃗，说明b⃗ 与c⃗在a⃗向量上的投影相同，不一定b⃗ =c⃗，所以A不正确；若a⃗⋅b⃗ =0，说明两个向量垂直，不一定a⃗=0⃗或b⃗ =0⃗，所以B不正确；|a⃗+b|⃗⃗⃗ =|a⃗−b⃗ |，说明两个向量为邻边的平行四边形是矩形，则a⃗⋅b⃗ =0，所以C正确；若a0⃗⃗⃗⃗ 与b0⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则a⃗0⋅b⃗ 0≤1，所以D不正确．故选：C．利用向量的数量积的物理意义判断A；向量的数量积判断B；向量的平行四边形法则判断C；向量的数量积判断D即可．本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为S15=15a1+15×142d=15(a1+7d)=15a8=90，所以a8=6故选：D．令等差数列的前n项和公式中的n=15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可．本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，解题的关键是求出S15后提取15找出S15与a8的关系．4.【答案】B【解析】解：根据向量数量积的定义，得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cosθ，其中θ为a⃗与b⃗ 的夹角∵|a⃗|=2sin15°，|b⃗ |=4cos15°，θ为30°，∴a⃗⋅b⃗ =2sin15°⋅4cos15°⋅cos30°=4(2sin15°cos15°)cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=√3故选：B．根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式化简，得a⃗⋅b⃗ =2sin60°，再根据特殊角的三角函数值，得到本题答案．本题以向量数量积的计算为载体，着重考查了二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值和平面向量数量积公式等知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：由题可知△ABC中，∠ACB=50°+30°=80°，AC=BC，所以∠ABC=BAC=50°，由∠BCD=∠CBE=60°，所以∠ABE=60°−50°=10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°．故选：B．根据题意画出图形，结合图形得出△ABC中各个角的度数，从而判断灯塔A在灯塔B的位置．本题考查了方位角的应用问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题．6.【答案】B【解析】解：设△ABC中三边长a=5k，b=7k，c=8k，则C为最大角，A为最小角．由余弦定理可得cosA=b2 +c2− a22bc =1114，∴sinA=5√314．cosC=a2 +b2− c22ab =17，∴sinC=4√37．故cos(A+C)=cosAcosC−sinsAinC=1114×17−5√314×4√37=−12，由于0<A+C<π，∴A+C=120°，故选：B．设△ABC中三边长a=5k，b=7k，c=8k，则C为最大角，A为最小角，利用余弦定理求得cos A和cos C 的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin A和sin C，利用两角和的余弦公式求得cos(A+C)的值，可得A+C．本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，求出A、C两个角的正弦和余弦值，是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由a n+1=S n+1(n∈N∗)，可得S n+1−S n=S n+1(n∈N∗)，变形为：S n+1+1=2(S n+1)(n∈N∗)，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=S n+1(n∈N∗)，∴S n+1−S n=S n+1(n∈N∗)，变形为：S n+1+1=2(S n+1)(n∈N∗)，∴数列{S n+1}为等比数列，首项为3，公比为2．则S5+1=3×24，解得S5=47．故选：D．8.【答案】C【解析】解：∵a=2bcosC=2b×a2+b2−c22ab =a2+b2−c2a∴a2=a2+b2−c2∴b2=c2因为b，c为三角形的边长∴b=c∴△ABC是等腰三角形．故选：C．先根据余弦定理表示出cos C，代入整理即可得到b=c从而知是等腰三角形．本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．9.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=4，S5=15，5a3=15，∴，a3=3；∴d=1，a1+3d=4，解得a1=d=1，∴a n=1+(n−1)=n．∴1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．则数列{1a n a n+1}的前2017项和=(1−12)+(12−13)+⋯+(12017−12018)=1−12018=20172018．故选：C．设等差数列{a n}的公差为d，由a4=4，S5=15，可得a1=d=1，可得a n，利用裂项相消法求解数列的和即可．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,3)，则向量2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(1,3)=(3,−1)，∴|2a⃗−b⃗ |=√10，|a⃗|=√5，(2a⃗−b⃗ )a⃗=6−1=5，设向量2a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角为θ，则cosθ=(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ |2a ⃗ −b ⃗ |⋅|a ⃗ |=√10·√5=√22， ∵0°≤θ≤180°， ∴θ=45°， 故选：C ．根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可．本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 1，12a 3，2a 2成等差数列，可得a 3=a 1+2a 2， 即有a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)，则(S 10−S 8)：(S 8−S 6)=(a 9+a 10)：(a 7+a 8)=q 2(a 7+a 8)：(a 7+a 8)=q 2=3+2√2． 故选：C ．设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．12.【答案】D【解析】解：∵a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴a ⃗ ⊥b ⃗ ，|a ⃗ +b ⃗ |=√2．∴(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ −(a ⃗ +b ⃗ )⋅c ⃗ +c ⃗ 2=0−(a ⃗ +b ⃗ )⋅c ⃗ +1=1−|a ⃗ +b ⃗ |⋅ |c ⃗ | cos <a⃗ +b ⃗⃗⃗ , c ⃗ > =1−√2cos <a ⃗ +b ⃗⃗⃗ , c ⃗ >≥1−√2． 故选项为D由题意可得|a ⃗ +b ⃗ |=√2，故要求的式子即a ⃗ ⋅b ⃗ −(a ⃗ +b ⃗ )⋅c ⃗ +c ⃗ 2=1−|a ⃗ +b ⃗ |⋅ |c ⃗ |cos <a ⃗ +b ⃗⃗⃗ , c ⃗ >=1−√2cos <a ⃗ +b ⃗⃗⃗ , c ⃗ >，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．13.【答案】−53【解析】解：∵已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的垂直， ∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=a ⃗ 2+λ⋅a ⃗ ⋅b ⃗ =5+3λ=0，∴实数λ=−53， 故答案为：−53．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得结果． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】2√33【解析】解：∵在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列， ∴2B =A +C ， ∵A +B +C =180°， ∴B =60°， ∵b =2，∴由正弦定理bsinB =2R 得：R =b2sinB =2×√32=2√33．故答案为：2√33利用等差数列的性质列出关系式，再利用内角和定理求出B 的度数，根据b 的值，利用正弦定理即可求出外接圆半径R 的值．此题考查了正弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15.【答案】−7【解析】解：在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7， 故答案为：−7根据向量加法以及向量减法法则，结合向量数量积的应用进行求解即可．本题主要考查向量数量积的计算，结合向量加法和减法的运算法则进行化简是解决本题的关键．16.【答案】98【解析】解：∵等差数列的前项和S n 可看成关于n 的二次函数且无常数项，则由二次函数的对称性及S 100=S 104，S k =S 106， 得100+1042=k+1062=0+2042，∴k =98，S 204=0，∴k +S 204=98+0=98．故答案为：98．利用等差数列的前项和S n 可看成关于n 的二次函数，以及对称性即可求解．本小题主要考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．17.【答案】解：a ⃗ ⋅b ⃗ =2×2×(−12)=−2 (1)(a ⃗ +b ⃗ )2=4−4+4=4，∴|a ⃗ +b ⃗ |=2；(a ⃗ −b ⃗ )2=12，∴|a ⃗ −b ⃗ |=2√3．(2)(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2−b ⃗ 2=0，∴向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为90°．【解析】(1)根据条件可以求出a ⃗ ⋅b ⃗ ，再求(a ⃗ +b ⃗ )2,(a ⃗ −b ⃗ )2，从而求出答案．(2)求出(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b)⃗⃗⃗⃗ ，用上第一问的结果，再根据向量夹角的余弦公式，就能求出这两向量夹角的余弦，接着便求出夹角．本题考查向量的模，向量的数量积，向量的夹角．求模先求模的平方，对于第二问当求得数量积为0时，便能得出其夹角为90°．18.【答案】解：(Ⅰ)∵B 为△ABC 的内角，且cosB =35，∴sinB =45，∵a =2，b =4，∴由正弦定理得：sinA =asinB b=2×454=25； (Ⅱ)S △ABC =4=12×2c ×45，∴c =5，=√4+25−2×2×5×35=√17．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)先求出sinB=45，再利用正弦定理求sin A的值；(Ⅱ)由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．19.【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2(n−1)=2n，则：f(n)=16n−[2n+n(n−1)2⋅2]−36=15n−n2−36，对称轴为7.5，当n=7或8时取得f(n)最大值20万元．(2)由f(n)>0得n2−15n+36<0，解得：3<n<12，又因为n∈N，所以n=4，……11，即从第4年该公司开始获利．【解析】(1)由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式求解．(2)利用二次函数的性质求解．本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的前n项和公式，考查了二次函数的性质，是中档题．20.【答案】解：(1)∵c(acosB−12b)=a2−b2∴a2+c2−b2−bc=2a2−2b2，(2分)a2=b2+c2−bc(3分)∵a2=b2+c2−2bccosA，∴cosA=12.(5分)又0<A<π，∴A=π3.(6分)(2)由正弦定理得b=asinBsinA =√3sinBsinπ3=2sinB，c=asinCsinA=√3sinCsinπ3=2sinC.(8分)∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+√3cosB=2√3sin(B+π6)(10分)∵B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6). sin(B +π6)∈(12,1]，所以b +c ∈(√3,2√3].△ABC 周长l =a +b +c ∈(2√3,3√3].(12分)【解析】(1)利用已知条件，结合余弦定理，转化求解A 即可．(2)利用正弦定理求出b +c 的表达式，然后求解三角形的周长的范围即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，是中档题．21.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ．依题意，有2(a 3+2)=a 2+a 4，代入a 2+a 3+a 4=28，可得a 3=8，∴a 2+a 4=20，…(2分)即{a 1q 2=8a 1q +a 1q 3=20，解之得{q =2a 1=2或{q =12a 1=32 …(4分) 又∵数列{a n }单调递增，所以q =2，a 1=2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n . …(6分)(2)因为b n =2n log 122n =−n ⋅2n ， 所以S n =−(1×2+2×22+⋯+n ⋅2n )，2S n =−[1×22+2×23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1]，两式相减，得S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1. …(10分)要使S n +n ⋅2n+1>50，即2n+1−2>50，即2n+1>52．易知：当n ≤4时，2n+1≤25=32<52；当n ≥5时，2n+1≥26=64>52.故使S n +n ⋅2n+1>50成立的正整数n 的最小值为5.…(12分)【解析】(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，可得到关于a 1与q 的方程组，解之即可求得数列{a n }的通项公式；(2)(1)得a n =2n ，再由b n =a n ⋅log 12a n ，可得b n =−n ⋅2n ，于是S n =−(1×2+2×22+⋯+n ⋅2n )，利用错位相减法即可求得S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1，解不等式S n +n ⋅2P n+1P >50即可求得使之成立的正整数n 的最小值．本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(1+x)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x −y(1+x)=0，∴y =x x+1．即函数的解析式为：f(x)=x x+1(0<x <1)；(2)当n ≥2时，由S n =f(S n−1)=S n−1Sn−1+1，则1S n −1S n−1=1 又S 1=a 1=1，那么数列{1S n }是首项和公差都为1的等差数列，则1S n =n ，即S n =1n n ≥2时，a n =S n −S n−1=1n−n 2；n =1时，a 1=1故a n ={1,n =11n−n 2,n ≥2．【解析】(1)用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量共线的条件，即可得到结论；(2)当n ≥2时，由S n =f(S n−1)=S n−1Sn−1+1，则1S n −1S n−1=1，可得数列{1S n }是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题．。
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一、单选题
1. 已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 设集合
，
，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．
B．
C．
D．
3. 函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 下列函数中，与函数
相同的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 设函数
的最大值
的解析式.
22. 已知函数
是定义域为
上的奇函数，且
.
（1）求
的解析式；
（2）判断并用定义证明
（3）若实数 满足
的单调性； ，求实数 的范围.
，则
的值为( )
A．
B．
C．
D．
6. 已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 已知
，则
（）
A．
B．
C．
D．
8. 已知函数 A．
是幂函数，且在 B．
上是减函数，则实数 C．
（）
D． 或
9. 若二次函数
在
A．
一定为奇函数
C．
一定为奇函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
处取最大值，则( )
B．
一定为偶函数
D．
一定为偶函数
10. 在如图所示的图象中，二次函数 A．
总收益为
元，当月产量超过400台时，总收益为80000元.（注：利润=总收益-总成本）
（1）将利润表示为月产量 的函数
；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元
21. 已知函数 （1）若函数 （2）若 （3）当
在区间 对于一切 时，求函数
.
单调递减，求实数 的取值范围；
恒成立，求实数 的取值范围；
与函数
的图象可能是（ ）
B．
C．
D．
11. 已知函数
是（ ） A．
，若对 上的任意实数
，恒有
B．
C．
成立，那么 的取值范围 D．
12. 如图，点 在边长为1的正方形的边上运动， 是
函数
的图象大致是下图中的( )
的中点，则当 沿
运动时，点 经过的路程 与
的面积 的
A．
C．
二、填空题
13. 已知集合
，
B． D．
，那么集合
=_______
14. 当
且 时，函数
的图象经过的定点坐标为_______.
15. 计算
=_______
16. 若定义域为
的函数
三、解答题
17. 已知集合
，
（1）若
，求
；
（2）若
，求 的取值范围.
是偶函数，则
的值域是_______
.
18. 已知函数 （1）求 的值； （2）求函数
的图象经过点 . 的值域.
19. 已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
（1）平面直角坐标系中，画出函数
的图象；
（2）根据图象，直接写出
的单调增区间，同时写出函数的值域.
20. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为 台，当月产量不超过400台时，