近世代数第四章整环里的因式分解

第四章整环里的因式分解

§1. 素元、唯一分解

本讲中, 总假定为整环, 为的商域.

1. 整除

定义1 设D为整环, D

b

,, 如果存在D

a∈

c∈, 使得

则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.

•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.

•整除有下列常用的性质:

(1) 如果, , 则;

(2) 如果, , , 则.

2.相伴

定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：

定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.

例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a

-.

例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：

定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.

３. 素元

定义4 设D为整环，D

p∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.

定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.

定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：

，这里，都不是单位.

推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.

定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：

(i) (为D的素元)

(ii) 若同时有

（为的素元）

则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）

整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的

对象只能是非零也非单位的元.

例３给整环.那么有：

(1)的单位只有.

(2)适合条件的元一定是素元.

首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：

那么

但不管，是何整数，或４

若，则是单位.若，则而为单位.因而

是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.

(3)没有唯一分解：我们有

(A) ,

,

故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.

$2. 唯一分解环

定理１一个唯一分解环有以下性质：

若一个素元能够整除，则有整除或.

定理２做定整环有如下性质：

(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.

（为的素元）

(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.

定义6 元叫做的公因子，如果.

定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.

和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：

（是单位).

推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.

的两个最大公因子只能差一个单位因子.

定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.

$3. 主理想环

引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.

引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.

定理一个主理想环是一个唯一分解环.

证：我们证明是一个唯一分解环.

设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，

都是的真因子.

的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定

有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列

在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).

又设的素元能整除的元乘积，那么

这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：

由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有

或

即有或

亦即或

从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.

$4. 欧氏环

定义一个整环叫做一个欧氏环，如果

(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；

(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成

的形式，这里有或

例整数环是一个欧氏环.因为：

定理１

是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成

这里或

上面定义中的映射称为欧氏映射.

定理１

每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.

证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.

(1) 如果, 则.

(2) 如果, 令

则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.

任给, 因为, 所以存在, 使得

. 于是, .

如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.

又, 所以, 从而.

这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.

定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.

定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.

$５. 多项式环的因子分解

本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素

元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.

定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.

我们有如下结论：

(A)的单位是的仅有的单位.

(B)一个本原多项式不会等于零.

(C)若本原多项式可约，那么

且有

（表示的次数）

引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.