有理函数
《有理函数积分等》课件
2
n= 1
代入欧拉公式或使用三角代换。
3
n大于等于2 的情况
使用递推公式将多项式一般式转化为比较简单的情况。
积分分母为一次因式的情况
一般式
$\int\frac{f(x)}{(ax+b)^n}dx$，其中$n\geq2$。
一次换元法
设$ax+b=t$，积分化解成$\int\frac{g(t)}{t^n}dt$的形式，使用反函数法，将积分结果从$t$转 化回$x$。
公式重要性
熟练掌握数学公式是个人成 长和职业发展的基础，有助 于解决复杂问题和快速准确 完成工作。
通俗易懂
数学公式需要深厚的理论基 础，但也有很多通俗易懂的 说明方式，冲破难点，前行！
有理函数积分练习题
练习题目覆盖了以上主题，共15道题。坚持切勿停息。
习题讲解：简单有理函数
针对简单有理函数常见的积分形式进行操作演示，并介绍一些小技巧，加速 解题速度。
《有理函数积分等》PPT 课件
探索有理函数积分的奥秘，了解有理函数的定义和分解原理，学习如何将多 次因式的有理函数进行分式分解并进行积分计算，掌握等式变形技巧，训练 积分练习题，达到熟练掌握有理函数积分知识的目标。
有理函数定义
什么是有理函数？
一种函数形式：分子和分母 都是多项式函数，其值域为 有理数集合。
3 注意事项：
不同于多项式函数的因式分解，有理函数的分解结果并不唯一。
部分分式分解原理
因式类型 一次因式 不可约的二次因式
重根的二次因式
对应的部分分式形式
$\frac{A}{x-a}$
$\frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$或 $\frac{Ax+B}{(px+q)^k}$
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
有理函数的定义
有理函数的定义有理函数（Rational Function）是指由多项式函数分母和分子组成的函数，其中分母函数不等于零。
有理函数的定义域是所有使分母函数不等于零的实数集。
有理函数的一般形式可以表示为：f(x) = p(x) / q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数。
其中，p(x)为分子函数，q(x)为分母函数。
有理函数的定义域是所有使分母函数q(x)不等于零的实数集。
因为分母函数不等于零时，有理函数的值才有定义。
如果在定义域内，分母函数q(x)等于零，那么有理函数的值为无穷或不存在。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
这个函数的分子函数为p(x) = x^2 + 1，分母函数为q(x) = x - 2。
根据定义，要使有理函数有定义，分母函数q(x)不等于零。
因此，x - 2 ≠ 0，即x ≠ 2。
所以，有理函数的定义域是所有实数除了2。
有理函数的图像通常表现出一些特殊的性质。
由于分子函数和分母函数都是多项式函数，所以有理函数的图像通常是连续的。
有理函数的图像也可能有一个或多个垂直渐近线，这些渐近线对应于使分母函数q(x)等于零的点。
考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
将这个函数进行分解，可以得到f(x) = x + 2 + 5 / (x - 2)。
因此，这个有理函数的图像有一个斜渐近线y = x + 2，这是因为当x趋近于正无穷时，有理函数趋近于x + 2。
此外，由于分母函数q(x)等于零时，有理函数的值不存在，所以有理函数的图像也有一个垂直渐近线x = 2。
有理函数的图像还可能有零点和极值点。
零点是使有理函数等于零的点，极值点是有理函数的局部最大值或最小值的点。
例如，考虑有理函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 2)。
要找到这个函数的零点，即解方程f(x) = 0。
这个方程可以化简为(x^2 + 1) = 0。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
不定积分有理函数的积分
不定积分有理函数的积分不定积分是微积分中的重要概念之一，它是对函数进行求导运算的逆运算。
在数学中，有些函数的不定积分可以用有理函数表示出来。
本文将介绍有理函数的积分，包括有理函数的定义、有理函数的积分规则以及一些例子。
首先，什么是有理函数？有理函数是指可以用两个整式的商表示的函数。
具体地说，设f(x)和g(x)是整式，g(x)≠0，那么f(x)/g(x)就是一个有理函数。
有理函数的积分有一定的规律可循。
对于整式1/x的不定积分∫1/x dx，则有∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
这一结论称为常数倍分配律。
通过这个规则，我们可以计算更复杂的有理函数的不定积分。
例如，对于整式1/(x-a)的不定积分，其中a是常数，我们可以将它拆解成∫1/(x-a) dx = ln|x-a| + C。
这个结果可以用常数倍分配律推导出来。
具体过程如下：∫1/(x-a) dx = ∫[1/(x-a)]*(x-a)/(x-a) dx= ∫(x-a)/(x-a)^2 dx= ∫(x-a)^(-1) dx= ln|x-a| + C类似地，对于整式1/(ax+b)的不定积分，其中a和b是常数，我们可以将它拆解成∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C。
这个结果也可以通过常数倍分配律推导出来。
有时，有理函数的积分需要进行部分分式分解。
部分分式分解是指将一个分式表达式拆解成几个简单的部分，使得每个部分易于计算积分。
通过部分分式分解，我们可以将原函数转化为更容易求解的积分问题。
举个例子，考虑不定积分∫(3x+1)/(x^2-4) dx。
首先，我们需要分解分母x^2-4。
由于该分母是一个乘法形式，我们可以将它分解成(x-2)(x+2)。
因此，可以将原函数写成∫(3x+1)/[(x-2)(x+2)] dx。
接下来，我们可以进行部分分式分解：(3x+1)/[(x-2)(x+2)] = A/(x-2) + B/(x+2)通过等式两边的相乘，我们可以得到一个方程：(3x+1) = A(x+2) + B(x-2)。
有理函数积分表
有理函数积分表有理函数积分表是数学中的一个重要工具，用于求解有理函数的不定积分。
有理函数是指多项式函数与有理函数的商，其积分可以通过分部积分、换元积分等方法来求解。
本文将介绍有理函数积分表的使用方法及一些常见的有理函数积分公式。
有理函数积分表是一个包含各种有理函数积分公式的表格，它可以帮助我们快速求解有理函数的不定积分。
在使用有理函数积分表时，我们只需要查找相应的公式，并根据具体的问题进行运用即可。
下面是一些常见的有理函数积分公式：1. $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$这是最基本的有理函数积分公式之一，其中C为常数。
2. $\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$当$n \neq 1$时，其中a为常数，C为常数。
3. $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C$其中a为常数，C为常数。
4. $\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$其中a、b为常数，C为常数。
5. $\int \frac{ax+b}{x^2 + px + q}dx = \frac{a}{2} \ln |x^2 + px + q| + (b-ap) \int \frac{1}{x^2 + px + q}dx$其中a、b、p、q为常数。
这些公式只是有理函数积分表中的一小部分，实际上有理函数积分表中还包含许多其他的公式。
在使用有理函数积分表时，我们需要根据具体的问题选择合适的公式，并注意进行适当的变量代换或分部积分等运算。
有理函数积分表的使用方法并不复杂，但需要一定的数学基础和熟练的运算技巧。
在使用有理函数积分表时，我们需要先对给定的有理函数进行分解或化简，然后根据分解后的形式选择合适的公式进行求解。
8有理函数
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
rational函数
rational函数
Rational函数，也称有理函数，是指以多项式为分子和分母的函数。
它们可以表示为两个多项式的比值，其中分母的多项式不为零。
有理函数在数学中具有广泛的应用和重要性。
从代数的角度来看，有理函数可以表示为以下形式，f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别是多项式，且Q(x)不为零。
这意味着有理函数的定义域是所有使得分母不为零的实数。
有理函数的图像可以呈现出各种形状，包括直线、抛物线、双曲线等。
它们的性质和行为可以通过分子和分母的特征来推断。
例如，当分子和分母的次数相同时，有理函数在无穷远处有一个水平渐近线；当分子的次数小于分母的次数时，有理函数在零点附近有一个垂直渐近线。
从微积分的角度来看，有理函数的导数和不定积分可以通过对分子和分母进行求导和积分来得到。
这使得有理函数成为研究其他函数的基础。
从实际应用的角度来看，有理函数可以用来建模和解决各种实
际问题。
例如，在物理学中，有理函数可以描述运动的轨迹和速度变化；在经济学中，有理函数可以表示成本、收益和供需曲线等。
此外，有理函数还具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和对称性等。
这些性质可以通过分子和分母的特征来推断。
总之，有理函数是一类重要的函数，它们以多项式为分子和分母，并在数学和实际应用中发挥着重要的作用。
它们的研究和应用有助于我们更好地理解和解决各种数学和实际问题。
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
有理函数的特性总结
有理函数的特性总结有理函数是指能够用多项式函数的比值来表示的函数。
在数学中，有理函数属于基本的一类函数，具有一些特性和性质。
一、定义和形式有理函数的形式通常为：f(x) = P(x) / Q(x)其中，P(x)和Q(x)是两个多项式函数，Q(x) ≠ 0。
二、定义域和值域1. 定义域：有理函数的定义域是除去使得分母Q(x)等于0的点，即Q(x) ≠ 0 的x值。
2. 值域：有理函数的值域由定义域上的函数值所确定。
三、分解和分解式1. 分解：对于有理函数，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成简单的有理函数之和。
2. 分解式：分解式可以更好地展示有理函数的分解形式，例如：f(x) = P(x) / (x-a)(x-b) * K其中，a和b是P(x)中的根，K是常数。
四、奇偶性1. 奇函数：如果对于任何x，有 f(-x) = -f(x)，则有理函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像在原点对称。
2. 偶函数：如果对于任何x，有 f(-x) = f(x)，则有理函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
五、水平渐近线1. 水平渐近线：有理函数在水平方向上的趋势，即当x趋向于正无穷大或负无穷大时，函数值的趋势。
2. 水平渐近线的存在性：有理函数可能存在水平渐近线，当且仅当分母的次数大于等于分子的次数时。
六、斜渐近线1. 斜渐近线：有理函数在某一方向上的趋势，即当x趋向于正无穷大或负无穷大时，函数值的趋势。
2. 斜渐近线的存在性：有理函数可能存在斜渐近线，当且仅当分子的次数比分母的次数多1时。
七、零点和极点1. 零点：有理函数在定义域上使得函数值为0的点称为零点。
2. 极点：有理函数在定义域上使得分母为0的点称为极点。
八、曲线的形态1. 横截点：有理函数的图像与y轴的交点称为横截点。
2. 极值点：有理函数的图像上的最高点和最低点称为极值点。
以上是有理函数的一些基本特性和性质总结。
有理函数在数学中具有广泛的应用，能够描述和解决各种实际问题。
有理函数的基本性质及应用
有理函数的基本性质及应用有理函数是指由两个多项式函数求商得到的函数，它在数学中具有重要的应用和基本性质。
本文将介绍有理函数的定义、基本性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、有理函数的定义有理函数是指形如$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$的函数，其中$P(x)$和$Q(x)$是两个多项式函数，$Q(x)$不等于零。
P(x)和Q(x)的系数可以是实数也可以是复数。
有理函数在定义域内除了使分母为零的点外都有定义。
二、有理函数的基本性质1. 定义域和值域：有理函数的定义域由分母的零点确定，除去这些零点后的实数集合为定义域。
值域则由函数表达式的特点和定义域的限制决定。
2. 分解因式：对于有理函数$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，若分母$Q(x)$可分解成多个不可约多项式的乘积，则可以将$f(x)$进行部分分式分解，便于进一步研究和计算。
3. 复合函数：有理函数可以与其他函数进行复合，如$f(g(x))$等形式。
复合函数的运算规则是先计算内层函数，再将结果代入外层函数中。
4. 对称性：若有理函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若$f(-x) = -f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
根据有理函数的定义可以得知，分子函数的对称性与整个有理函数的对称性一样。
5. 渐近线：有理函数的图像在趋近于正无穷或负无穷时，会有水平、垂直或斜渐近线。
水平渐近线的方程可通过计算函数表达式中各项的阶数决定。
三、有理函数的应用有理函数在数学中有广泛的应用，以下列举两个常见的应用例子：1. 电路分析：在电路分析中，有理函数常用于描述电路的输入输出关系。
通过建立电路的模型，可以将电压和电流表示为有理函数的形式，从而求解电路的性质和特点。
2. 经济学模型：经济学中的需求方程、供给方程等经济模型通常可以用有理函数来表示。
通过对有理函数的分析，可以了解不同因素对经济变量的影响，帮助制定经济政策和预测经济走向。
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
有理函数的积分
2
1 u2
2
dx
du,
1 u2
1 sin 4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6 du
1 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
C
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 tan 8
x 2
214
tan
x 2
3
C.
或
1
1
sin4 x dx sin2 x sin2 x dx
csc2 x(1 cot2 x)dx
x3 5x
6
dx.
解 x3 x3 A B , x2 5x 6 ( x 2)(x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B).
因此
A B 1, (3A 2B) 3,
解得
A 5, B 6.
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1).
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C.
取 x 0 得 A 1, 取 x 1, 得 B 1.
取 x 2 ,并将 A, B的值代入 (1), 得 C 1 1 1 1 1 .
x( x 1)2 x ( x 1)2 x 1
1 x(x
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
1 sin x cos x
1
1 u2
2u 1 u2
1 1
u2 u2
有理函数积分的教学探讨
有理函数积分的教学探讨
有理函数积分是高等数学中的一个重要内容，也是微积分的基础知识之一。
本文将对有理函数积分进行教学探讨，以便更好地帮助学生理解和掌握这一知识点。
我们来回顾一下有理函数的基本概念。
有理函数是指一个多项式与另一个多项式的比值，通常表达为：f(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式，且Q(x)不恒为零。
对于有理函数的积分，可以分为以下几种情况进行讨论：
情况一：分母Q(x)没有实根或有重根。
当分母Q(x)没有实根或有重根时，我们可以将有理函数拆分成部分分式的和。
具体步骤是将分母Q(x)进行因式分解，然后将因式分解的结果分别拆分成部分分式，再用分部积分法进行积分。
在计算有理函数积分时，还需要考虑到有理函数的奇偶性。
如果有理函数是奇函数，那么它的积分结果一定是偶函数。
如果有理函数是偶函数，那么它的积分结果一定是奇函数。
计算有理函数积分的基本步骤是：
1. 对有理函数进行分解，将其化为部分分式的和。
2. 对每一个部分分式进行积分，根据具体的情况选择合适的积分方法。
3. 若有理函数是奇函数，则结果为偶函数；若有理函数是偶函数，则结果为奇函数。
需要注意的是，在实际计算中，有时候会遇到一些特殊的情况，例如有理函数的分母是二次因式，或者分母是高次多项式等。
针对这些特殊情况，需要根据具体的题目要求采用相应的方法进行积分计算。
通过大量的练习和实践，加深对有理函数积分的理解和掌握。
希望本文的探讨能够帮助学生更好地理解和应用有理函数积分的知识，提高解题能力。
4-4第四节 有理函数的积分
高 等 数 学 电 子 教 案
数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法. 例9 求 从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函
学 数
∫x
dx
2
4 − x2
高 等 数 学 电 子 教 案
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示.
高 等 数 学 电 子 教 案
1 例2 把真分式 2 分解为部分分式之和 x( x − 1)
解:
A B C A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) 1 = + + = 2 2 x( x − 1) x ( x − 1) x −1 x( x − 1) 2
A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) = 1
当n > 1时,
Mx + N M b dx = − +∫ 2 dt 2 2 n +1 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n 2(n − 1)(t + a ) (t + a ) 1 ∫ (t 2 + a 2 )n dt用递推公式解之,
学 数
有理函数的原函数都是初等函数
高 等 数 学 电 子 教 案
A B A( x − 3) + B ( x − 2) + = x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3)
x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2) = ( A + B) x − (3 A + 2 B)
有理函数
例如：
因为 考虑
Байду номын сангаас
），则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解，
将分子分解，以便应用上面的替换： 左边： 另一边： 代入
d dx / 3
另一种可行的代入方法是：
[编辑] 奥斯特洛格拉德斯基方法
奥斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是这样的：
[编辑] 例子
，其中
是
的因子，
分拆 分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：
因为
，所以
其中 A 和 B 是常数。两边乘以 即 比较系数，得
，得
解得
。
故： 也可以把 x 的特殊值代入等式来解出 A 和 B。例如，当 x=4时，我们有
当 x=-7时，我们有
[编辑] 应用
设求积的有理函数为 ，其中
公因子， Q2
Q Q1
。则有：
是多项式，
（ P 的次数少于 ）。设 为 Q 的导数 Q'和 Q 的最大
其中
为多项式，
[编辑] 应用例子
•求 设
。 。
两边取导数： 通分母，右边的分子为： 比较分子的多项式的系数，得
后者可用部分分数的方法求得。 [编辑] 证明
。于是有
两边乘以
有理函数是可以表示为以下形式的函数：
有理数式是多项式除法的商，有时称为代数分数。
渐近线
• 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在
线
。
•若
，有水平渐近线
。
，使得
， 不全为0。
是分母
的因子，则有理函数存在垂直渐近
有理函数
1 ln x ln( x 1) C . x 1
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x ) 4 2 1 x 1 5 dx 5 5dx dx 解 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x 2 )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
x 2 x 1 tan 1 tan 2 2, cos x 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x 令u tan x 2 arctanu（万能置换公式） 2
2
2u 1 u2 2 sin x , cos x , dx du 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2 2
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan( e 6 ) C . 2 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A Mx N ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x px q ) Mx N dx , 讨论积分 2 n ( x px q )
有理函数的图像和性质
有理函数的图像和性质有理函数是由多项式函数组成的比值函数。
它既包含整数次幂的多项式分子函数，也包含整数次幂的多项式分母函数。
在这篇文章中，我们将探讨有理函数的图像和性质，并分析其特点和行为。
一、有理函数的图像特点有理函数的图像一般具有以下几个特点：1. 零点和极点有理函数的零点是使得分子函数为零的实数解，也就是函数图像与x轴交点的横坐标。
极点是使得分母函数为零的实数解，也就是导致函数图像存在垂直渐近线的横坐标。
2. 定义域和值域有理函数的定义域是使得分母函数不为零的所有实数。
值域是有理函数在定义域内所有可能的函数值。
3. 奇偶性和对称性若有理函数的分子函数和分母函数均满足关于原点对称的性质，即满足$f(-x)=-f(x)$，则该有理函数称为奇函数。
如果满足$f(-x)=f(x)$，则称为偶函数。
二、有理函数的图像分析有理函数的图像可以通过以下步骤进行分析：1. 确定零点和极点找出有理函数的分子函数和分母函数的零点和极点，并将它们标记在坐标轴上。
这些点对于分析函数的图像和性质非常重要。
2. 确定定义域和值域分析有理函数的定义域和值域，这有助于确定函数图像的范围和可能的形状。
3. 画出图像的大致形状通过分析零点、极点和定义域等信息，可以推测有理函数图像的大致形状。
画出主要的特征，如零点、极点和渐近线。
4. 进一步分析特征根据已知的信息，进一步分析图像的特征，如图像的相对位置、最值点、增减性等。
三、有理函数的性质总结有理函数具有以下几个重要的性质：1. 渐近线有理函数可能存在水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
水平渐近线是函数图像接近某个常数的水平线，垂直渐近线是函数图像接近某个纵坐标为常数的直线，斜渐近线是函数图像接近某个倾斜直线。
2. 极限值当自变量的值趋近于某个点时，有理函数的极限值可能趋近于一个有限值、正无穷大或负无穷大。
3. 零点和极点的影响有理函数的零点和极点对于图像的形状和行为具有决定性的影响。
有理函数的
有理函数的函数是微积分中的一个重要概念，它是反映自变量与因变量之间依赖关系的数学模型，下面是关于有理函数的介绍：有理函数也叫做解析函数。
对任意实数x， y满足函数关系y=f(x)，则称函数为有理函数。
有理函数与无理函数相比较，在运算上要复杂得多。
以下三例说明有理函数与无理函数在运算上的不同点。
1。
有理函数的复合与分解有理函数可进行复合，如y=sin(x+iy)可表示为由一次和二次无理函数组成。
函数y=cos(x-iy)可表示为其中y为有理函数， y=2cos(x-iy)表示两个函数组成的有理函数，由此， y=cos(x-iy)。
又如，将x=f(x)=cos(x-iy)等号左边分子分母同时乘以e^{iy}，再把sin(x+iy)看成y的形式，可得y=cos(x-iy)。
这里e^{iy}是[gPARAGRAPH3]()函数，即分母为e的余弦函数，当x=1时，其值为-1。
上述的这些函数均称作余弦函数。
2。
有理函数的最大值与最小值有理函数可以表示为最大值与最小值。
对任意实数x，设y=f(x)，则y=f(0)-f(x)，它的最大值为f(x)为其最大值。
又如，将y=f(x)看成其形式， f(x)=f(0)+f(1)可表示为一次无理函数， f(0)=1， f(1)=1/2，当x=1时，它的值为1/2。
这样， y=f(x)=f(0)+f(1)可表示为其最小值为1/2，当x=1时， f(1)=1/2。
3。
有理函数的极值与零点有理函数可用求导法或极限法求其极大值、极小值。
这里有理函数的零点定义为如果函数y=f(x)无限逼近于0，则称y是有理函数的零点。
对任意实数x，设y=f(x)，则y=f(0)-f(x)，它的极大值为f(x)，且当x=0时，它的值等于极大值；当x>0时，它的值小于极大值，但不等于零。
这样，y=f(x)=f(0)+f(1)可表示为其极小值为0。
又如，将x=f(x)=cos(x-iy)+f(y)=cos(x-iy)-f(x)，视为最大值与最小值的组合形式，则f(y)=cos(x-iy)-f(x)可表示为其零点为0。
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（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
都是待定 待定的 其中 M i , N i 都是待定的常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N 特殊地： 特殊地：k = 1, 部分分式为 2 ; x + px + q
∴ 真分式
P( x) Q( x )
A 1 ,α 1 A 1 ,1 1 { = +L+ α1 b0 x − λ 1 ( x − λ1 )
Mx + N (C ) ; 2 n ( x + px + q )
Mx + N dx , 前两类易求， 前两类易求，现讨论第三类积分 ∫ 2 n ( x + px + q ) Mx + N (1) n = 1, ∫ x 2 + px + q dx
M (2 x + p) − p + 2 N / M dx = 2 ∫ 2 x + px + q
1 例7 求 ∫ sin x ⋅ cos x dx . 1 1 d cos x dx ＝ 解一 ∫ sin x ⋅ cos x ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ − sin x
u = cos x
du = −∫ (1 − u 2 ) u
1 ＝− 2
∫
d （ u 2） (1 − u 2 ) u 2
1 1 1 1 (1 − u 2 ) + u 2 2 )d ( u 2 ) = − ∫( 2 + d (u ) =− ∫ 2 2 2 u 1 − u2 2 (1 − u ) u
M 1 1 2 2 = ∫ (t 2 + a 2 )n d (t + a ) + b ∫ (t 2 + a 2 )n dt 2
M 1 dt . =− + b∫ 2 2 2 n −1 2 n 2( n − 1)( t + a ) (t + a )
dt 推出。 其中 I n = ∫ 2 2 n 可由 递推公式 及 I 1 推出。 (t + a )
p 令 x+ =t 2
p2 令 q− = a2 4
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 ,
2 2
Mx + N = Mt + b,
p Mp 则 a =q− , b= N − , 4 2 Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
Mt b dt + ∫ 2 =∫ 2 dt 2 n 2 n (t + a ) (t + a )
A ; 特殊地：k = 1, 部分分式为 特殊地： x−a
（3）分母中因式 ( x 2 + px + q )k 对应的部分 ） ， 分式为
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
1 = − (ln u 2 − ln( 1 − u 2 )) + C 2
udu du du 1+ u 1 +∫ du − ∫ du = ∫ =∫ 2 − ∫ 2 2 1+ u 1+ u 1+ u 1+ u 1+ u
还原 1 2 = arctan u + ln(1 + u ) − ln | 1 + u | + C = L。 2
一定能将三角函数有理式的积分 注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分 ）用万能代换一定能 化为有理函数的积分； 化为有理函数的积分； （2）万能代换不一定是最好的； ）万能代换不一定是最好的；
A + B = 1, A = −5 , ⇒ ⇒ − ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6 x+3 6 −5 . ∴ = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3
或
由
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
令 x = 3,
3 + 3 = B( 3 − 2), ⇒ B = 6;
x 万能代换公式： 万能代换公式： 令 u = tan 则 x = 2 arctan u 2
2u 1 − u2 2 sin x = , cos x = , dx = du 2 2 2 1+ u 1+ u 1+ u
∫ R (sin x , cos x ) dx
万能代换
=
2u 1 − u 2 ∫ R 1 + u2 , 1 + u2 1 + u2 du.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = Q( x ) b0 x m + b1 x m −1 + L + bm −1 x + bm
其中 a 0 ≠ 0 ， b0 ≠ 0 .
(1) n < m , ——真分式； 真分式； 真分式 ( 2) n ≥ m ,——假分式； 假分式； 假分式
0 = A + B , ⇒ B = − A = −1.
）
1 1 1 1 . ∴ = − + 2 2 x ( x − 1) x x − 1 ( x − 1)
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A ; （A）多项式； ( B ) ）多项式； n ( x − a)
2 1 1 2 = ln | 1 + 2 x | − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
注 1）有理函数的原函数都是初等函数； 有理函数的原函数都是初等函数； （ 有理函数的积分一定可以“积出来” 有理函数的积分一定可以“积出来”； （2）有理函数的积分总可以“程序化地” 有理函数的积分总可以“程序化地” 求出来； 求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有特 定的简便求法。 定的简便求法。
二、三角函数有理式的积分
1、三角有理式的定义： 三角有理式的定义： ——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数． 的函数．三角函数有理式可记为 R (sin x , cos x ) 2、三角有理式的积分法： 三角有理式的积分法：
x x 2 tan x x 2 tan 2 2 , = Q sin x = 2 sin cos = 2 x 2 2 sec2 x 1 + tan 2 2 x 2 x 1 − tan 1 − tan 2 2 x 2 x 2 = 2, cos x = cos − sin = x x 2 2 sec 2 1 + tan 2 2 2
x+6 x+6 dx 例5 ∫ 2 dx = ∫ ( x − 2)( x + 5) x + 3 x − 10 8/ 7 1/ 7 =∫ − dx ( x − 2) ( x＋5)
8 1 = ln | x − 2 | − ln | x + 5 | +C. 7 7
解法2 解法
1 2 3 ( x + 3 x + 10)′ + (6 − ) x+6 2 dx 例5 ∫ 2 =∫2 dx x 2 + 3 x − 10 x + 3 x − 10
综 合 法
（
）
4 2 1 − x+ 1 dx = ∫ ( 5 + 5 2 5 )dx 例4 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2x 1+ x
4 1 2 x 1 1 dx − ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 5 1 + 2x 5 1+ x 5 1+ x