最新03第三讲积分及其应用

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积分及其应用

【目标】　理解不定积分、定积分的概念及相互关系，理解微积分基本公式，掌握积分的换元法和分部积分法，掌握不定积分与定积分在生产实际中的应用．在人类探求未知世界的过程中，产生了许多新的思想和方法，经前人不断地归纳和总结，形成了许多新知识和新技术，从而推动了人类社会的发展．“无限细分，无限求和”的积分思想先于微分的产生，它早在古代就已经萌芽．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，公元前２８７—公元前２１２）等人提出的计算面积和体积的方法．后来逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不成体系的．直到１７世纪，牛顿和莱布尼茨才确立微分和积分是互逆的两种运算，建立了微积分学．本章介绍定积分、不定积分的基本概念和性质，以及如何运用定积分的微元法建立各种实际问题的定积分模型，并介绍求解积分的几个重要方法：直接积分法、换元积分法和分部积分法．作为定积分的推广，还介绍反常积分及其应用．第一节　定积分———求总量的模型微分和积分分别由两个几何问题引出．求曲线的切线斜率引出了导数，求平面图形的面积将引出积分．下面我们从分析曲边梯形的面积入手．一、引例引例1［曲边梯形的面积］曲边梯形是指由连续曲线y ＝f （x ）（f （x ）≥０）、两条直线x ＝a 、x ＝b 及x 轴所围成的图形，如图３－１所示．如何计算曲边梯形的面积呢？对于曲边梯形，其曲边y ＝f （x ）≠C 是变化的，显然不能用矩形、三角形或梯形等图形的面积公式直接进行计算．但若将其分割成若干小曲边梯形，如图３－２所示，此时，小曲边梯形的曲边的变化不大，可将每个小曲边梯形近似地视为矩形，用矩形的面积计算公式得到每个小曲边梯形面积的近似值．具体步骤如下：图３－１图３－２（１）分割　在区间［a ，b ］内任意地插入n －１个分点a ＝x ０＜x １＜x ２＜…x n －１＜x n ＝b ，把区间［a ，b ］分成n 个小区间［x ０，x １］，［x １，x ２］，…，［x n －１，x n ］，各个小区间的长度依次为Δx １＝x １－x ０，Δx ２＝x ２－x １，…，Δx n ＝x n －x n －１．相应的曲边梯形被分割成n 个小曲边梯形A i （i ＝１，２，…，n ）．（２）取近似　当每个小区间［x i －１，x i ］的长度很小时，每个小区间上的小曲边梯形的面积可以用矩形面积近似代替（小区间的长度越小，近似程度越高）．小矩形的宽为Δx i ．在小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ∈［x i －１，x i ］，以ξi 对应的函数值f （ξi ）作为小矩形的长（图３－２），小矩形的面积为A i ＝f （ξi ）Δx i ．（３）求和　将所有小矩形面积加起来钞ni ＝１fξi Δx i ，得到曲边梯形面积的近似值，即A ≈钞n i ＝１Ai＝钞n i ＝１f （ξi ）Δx i ．（４）取极限　由图３－３可以看出，区间分割得越细，钞ni ＝１f （ξi ）Δx i 的值与曲边梯形的面积越接近．为保证每个小区间长度都趋于零，只需要小区间长度中的最大值趋于零（即λ＝ｍａｘ０≤i ≤nΔx i →０），取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积图３－３A ＝ｌｉｍλ→０钞n i ＝１A i ＝ｌｉｍλ→０钞ni ＝１f （ξi ）Δx i ．以上计算过程可概括为：分割（将曲边梯形分成若干小曲边梯形）、取近似（“以直代曲”，用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积）、求和（求所有小矩形面积之和）、取极限（得曲边梯形的面积）．引例2［汽车行驶的路程］我们知道，匀速直线运动的路程公式为：路程＝速度×时间．如果一辆汽车沿直线以３０ｍ／ｓ的速度匀速行驶了４ｓ，那么汽车行驶的路程为３０×４＝１２０ｍ．如果汽车以递增的速度行驶，设v （t ）＝２t ２（ｍ／ｓ），此时汽车行驶的速度是变化的，如何计算汽车行驶了４ｓ的路程？下面做一个实验．１）每秒记录一次速度假设每隔一秒记录一次汽车行驶的速度，见表３－１．表3－1时间（单位：ｓ）０１２３４速度（单位：ｍ／ｓ）０２８１８３２如果把距离形象地表示在速度图上，用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，汽车行驶４ｓ的路程的估计值如图３－４（ａ）所示的阴影部分．第一个阴影所示的矩形面积表示汽车在第一秒内行驶的路程的近似计值．而曲线v ＝v （t ）与直线t ＝４及t 轴所围成的图形的面积表示汽车行驶４ｓ的路程，从图３－４（ａ）可以直观地看出汽车行驶的路程与估计值之间的误差．２）每半秒记录一次速度假设每隔半秒记录一次汽车行驶的速度，见表３－２．表3－2时间（单位：ｓ）００．５１１．５２２．５３３．５４速度（单位：ｍ／ｓ）００．５２４．５８１２．５１８２４．５３２用与上面同样的计算方法，可以估算出汽车行驶４ｓ的路程为０×０．５＋０．５×０．５＋２×０．５＋４．５×０．５＋８×０．５＋１２．５×０．５＋１８×０．５＋２４．５×０．５＝３５（ｍ）．同样，从图３－４（ｂ）可以直观地看出汽车行驶的路程与估计值之间的误差．显然，此时误差减小了．图３－４从上面的分析可以看出，如果想得到更准确的估算值，可以更频繁地记录汽车行驶的速度．要较精确地确定汽车行驶的路程，需要将汽车行驶的时间分割得非常细，让时间间隔非常小．时间间隔越小，精确度越高．利用极限的思想，要确定汽车行驶路程的精确值，我们将时间段进行无穷细分，让每个时间间隔都趋于零，汽车行驶的路程等于当时间间隔趋于零时每个小段上的路程之和的极限．一般地，设某物体作变速直线运动，已知速度v ＝v （t ）≥０是时间间隔［T １，T ２］上的连续函数，计算物体在这段时间内所经过的路程s ．解决这个问题的思路和方法与引例１完全一致．具体计算步骤如下：（１）分割　在时间间隔［T １，T ２］内任意插入n －１个分点T １＝t ０＜t １＜…＜t n －１＜t n ＝T ２，将时间段［T １，T ２］分成n 个小时间段［t０，t１］，［t１，t２］，…，［t n－１，t n］，它们的长度分别为Δt i＝t i－t i－１　（i＝１，２，…，n），相应的路程被分为n个小路程Δs i．（２）取近似　在任一小时间段［t i－１，t i］（i＝１，２，…，n）上，由于物体的运动可近似地视为匀速运动，因此在［t i－１，t i］上任取一时刻τi，用时刻τi的速度v（τi）近似代替这个小时间段上的速度，得路程Δs i的近似值，即Δs i≈v（τi）Δt i　（i＝１，２，…，n）．（３）求和　将所有路程Δs i的近似值加起来，得到整个路程s的近似值，即s≈钞n i＝１vτiΔt i．（４）取极限　当分点个数n无限增大，且小区间长度的最大值λ＝ｍａｘ１≤i≤nΔt i趋近于０时，上述和式的极限即为物体在时间间隔［T１，T２］内所经过的路程s的精确值s＝ｌｉｍλ→０钞n i＝１v（τi）Δt i．从上述两个例子可以看到，它们的实际意义虽然不同，但撇开这些问题所代表的几何、物理意义，从处理这些问题所遇到的情况，解决问题的思想方法和步骤以及最后所得出的数学表达式来看都是相同的．在科学技术和实际生活中，还有许多问题都可以归结为这种特定和式的极限，为此，抽象出定积分的概念．二、定积分的概念及性质定义3畅1畅1　设函数f（x）在区间［a，b］上有界．在区间［a，b］内任意插入n－１个分点，a＝x０＜x１＜…＜x n－１＜x n＝b，把区间［a，b］分成n个小区间［x０，x１］，［x１，x２］，…，［x n－１，x n］，各个小区间的长度依次为Δx１＝x１－x０，Δx２＝x２－x１，…，Δx n＝x n－x n－１，在每个小区间［x i－１，x i］上任取一点ξi（x i－１≤ξi≤x i），作和式S＝钞n i＝１fξiΔx i，记λ＝ｍａｘ１≤i≤nΔx i．如果不论对区间［a，b］怎样分法，也不论在小区间［x i－１，x i］上点ξi怎样取法，只要当λ→０时，和S总趋于同一个确定的常数I，则称函数f（x）在区间［a，b］上可积，极限I称为函数f（x）在区间［a，b］上的定积分，记作∫b a f（x）ｄx，即∫b a f（x）ｄx＝I＝ｌｉｍλ→０钞n i＝１f（ξi）Δx i，其中为积分（符）号，函数f （x ）称为被积函数，f （x ）ｄx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，区间［a ，b ］称为积分区间．∫是英文中ｓｕｍ（和）的第一个字母ｓ的拉长形式．定积分定义中叙述的步骤可概括为：“分割取近似，求和取极限”．由定积分的定义可知，前面两个引例中的实际量可以用定积分表示如下：（１）由连续曲线y ＝f （x ）（f （x ）≥０）、两条直线x ＝a 、x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积A 可表示为函数y ＝f （x ）≥０在区间［a ，b ］上的定积分，即A ＝∫baf （x ）ｄx ．（２）变速直线运动的物体在时间间隔［T １，T ２］内所经过的路程s 可表示为速度函数v ＝v （t ）≥０在时间间隔［T １，T ２］上的定积分，即s ＝∫T ２T １v （t ）ｄt ．由此可见，定积分起源于求解某些具体问题，同时它也是解决许多实际问题的重要工具和方法．这里要指出的是，定积分是一个数，它只与被积函数和积分限有关，而与积分变量的记号无关，即∫baf （x ）ｄx ＝∫baf （t ）ｄt ＝∫baf （u ）ｄu ．三、定积分的几何意义从曲边梯形面积的计算可以看到：１）当f （x ）≥０时，定积分∫b af （x ）ｄx 表示由曲线y ＝f （x ）、直线x ＝a 、x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积A ，即∫b af （x ）ｄx ＝A ；２）当f （x ）＜０时，∫b af （x ）ｄx ＝－A＜０．图３－５如图３－５所示的函数f （x ）在［a ，b ］上的定积分为∫ba f （x ）ｄx ＝A １－A ２＋A ３．由定积分的定义和几何意义，显然有当a ＝b 时，∫a af （x ）ｄx ＝０．如果在区间［a ，b ］上，f （x ）≡１，则∫b aｄx ＝b －a（图３－６）．当a ＞b 时，b af （x ）ｄx ＝－abf （x ）ｄx ．由定积分的几何意义，还不难得到奇偶函数在对称区间［－a ，a ］上的积分性质，若函数f （x ）在对称区间［－a ，a ］上连续，则∫a －af （x ）ｄx ＝２∫a０f （x ）ｄx ，当f（x ）为偶函数时，０，当f （x ）为奇函数时如图３－７所示．图３－６图３－７图３－８案例1　利用定积分的几何意义求定积分∫R －RR ２－x ２ｄx ．解　结合定积分的几何意义，该定积分为由曲线y ＝R ２－x ２及x 轴所围图形的面积，即以R 为半径的二分之一圆的面积（图３－８），故∫R －RR ２－x ２ｄx ＝１２πR ２．实训3－1１．ｄｄx∫b af （x ）ｄx ＝，∫b a１ｄx ＝．２．用定积分表示下列量：（１）由曲线y ＝x 与直线y ＝x 所围图形的面积；（２）设一汽车作直线运动，其速度为v ＝３t ２＋２t （t 的单位：ｓ，v 的单位：ｍ／ｓ），试用定积分表示汽车在［０，６０］ｓ内所行驶的路程．第二节　微元法定积分的思想和方法常应用于求总量的实际问题．例如，各种几何或物理对象在整体范围内为弯曲的或变化的，但经过分割后的局部范围内可以近似地认为是直的或不变的，从而可以用定积分（求和）的思想建立实际问题的模型———定积分式．这一步是求解实际问题的关键，也是较为困难的．为了今后讨论方便，需要寻找建立这一类模型的通用方法，这样在建立积分模型时，不必重复定积分概念引入时的分析和推导过程．引例［曲边梯形的面积］　在利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时，“分割—取近似—求和—取极限”可概括为以下两步．第一步　分割与取近似．其主要过程是将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上，“以直代曲”，用矩形面积f（ξi）Δx i近似代替，即ΔAi≈f（ξi）Δx i．为简便起见，省略下标i，用ΔA表示任意小区间［x，x＋Δx］上的面积，用x代替ξi，这样ΔA≈f（x）Δx＝f（x）ｄx．称f（x）ｄx为面积A的微元（元素），记作ｄA＝f（x）ｄx．第二步　求和与取极限．其主要过程是将所有小面积全部加起来，即A＝钞ΔA，取极限，当最大的小区间长度趋于零时，得到曲边梯形面积：函数y＝f（x）在区间［a，b］上的定积分，即A＝∫b a f（x）ｄx．一般地，如果某一个实际问题中所求量U符合下列条件：（１）U与变量x的变化区间［a，b］有关；（２）U对于区间［a，b］具有可加性．也就是说，如果把区间［a，b］分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（３）部分量ΔU i的近似值可以表示为f（ξi）Δx i．对于实际问题，在确定了积分变量及其取值范围后，可以用以下三步来求解：第一步　［确定积分变量及积分区间］根据问题的具体情况，选取一个变量（如x）为积分变量，并确定它的变化区间［a，b］；第二步　［用近似方法确定微元］写出U在任一小区间［x，x＋ｄx］上的微元ｄU＝f（x）ｄx；第三步　［写出定积分］以所求量U的微元f（x）ｄx为被积表达式，写出在区间［a，b］上的定积分，得U ＝baf （x ）ｄx ．上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法．微元法中，第二步写出变量的“微元”是关键，常运用“以常代变，以直代曲，以匀代不匀”等方法．定积分的微元法是一种实用性很强的数学方法和变量分析方法，在工程实践和科学技术中有着广泛的应用．下面举例说明如何运用此方法．案例1［由变化率求总改变量］一般地，若F ′（x ）是某一量F （x ）相对于自变量x 的变化率，则在［x ，x ＋ｄx ］上，由微分与导数的关系，得微元ｄF （x ）＝F ′（x ）ｄx ，用微元法，以F ′（x ）ｄx 为被积表达式，得到F （x ）从x ＝a 到x ＝b 的总变化量为F （b ）－F （a ）＝∫baF ′（x ）ｄx ．案例2［水箱积水量］　设水流入水箱的速度为r （t ）（单位：Ｌ／ｍｉｎ），问从t ＝０到t ＝２ｍｉｎ这段时间内流入水箱的总水量W 是多少？解　第一步　在［t ，t ＋Δt ］时间段内，“以常代变”，将水的流速视为匀速的，得水量微元ｄW ＝r （t ）ｄt ．第二步　以r （t ）ｄt 为被积表达式，在时间段［０，２］内积分，得到从t ＝０到t ＝２ｍｉｎ这段时间内流入水箱的总水量W ＝∫２０r （t ）ｄt ．图３－９案例3［电容器充电时电量的计算］　如图３－９所示的电路，当开关K 闭合时，电源E 就对电容器C 充电．计算经过时间T 后，电容器极板上积累的电量Q 是多少？解　由电量与电流强度之间的关系，得电量微元为ｄQ ＝i （t ）ｄt ，由微元法，得在［０，T ］时间内极板上积累的电量为Q ＝∫T ０i （t ）ｄt ．实训3－2１．用定积分表示下列量：（１）设导线在时刻t 的电流强度为i （t ）＝２ｓｉｎωt ，试用定积分表示在时间间隔［T １，T ２］内流过导线横截面的电量Q（t）；（２）设有一质量非均匀的细棒，长度为l，取棒的一端为原点．假设细棒上任一点x处的线密度为ρ（x）．试用定积分表示细棒的质量M．２．设C（t）（单位：元／天）为某一房间每天取暖的花费，t＝０对应于１９９３年１月１日．请解释∫３００C（t）ｄt所表示的实际意义．第三节　微积分基本公式定积分是一种特殊和式的极限，用定义计算定积分十分繁琐．本节通过对定积分与原函数的讨论，引入微分运算的逆运算———不定积分，并通过微积分基本公式，揭示导数与不定积分、不定积分与定积分等之间的联系，从而建立定积分运算的基本方法．一、原函数和不定积分的概念引例1［路程函数］　数学中有许多运算都是互逆的，如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数运算与对数运算等．我们已经知道，若物体的运动方程为s（t）＝t２，则其速度为v（t）＝s′（t）＝（t２）′＝２t，这里速度２t是路程t２的导数．反过来，我们要问：路程t２又称为速度２t的什么函数呢？另外，若已知物体的运动速度v（t），又如何求物体的运动方程s（t）呢？定义3畅3畅1　如果在开区间I内，可导函数F（x）的导函数为f（x），即当x∈I时，F′（x）＝f（x）　或　ｄF（x）＝f（x）ｄx，则称函数F（x）是函数f（x）在区间I内的一个原函数．如在（－∞，＋∞）内，（ｓｉｎx）′＝ｃｏｓx，故ｓｉｎx是ｃｏｓx的一个原函数；在（０，T）内，s′（t）＝v（t），故路程函数s（t）是速度函数v（t）的一个原函数．一个函数的原函数不是唯一的，由（x２）′＝２x，（x２＋１）′＝２x知x２、x２＋１都是２x的一个原函数．事实上：一个函数的任意两个原函数之间至多相差一个常数．因此，函数f（x）的所有原函数可以写成F（x）＋C的形式．下面给出函数不定积分的概念．定义3畅3畅2　若F（x）是函数f（x）在开区间I内的一个原函数，则f（x）的所有原函数的表达式F（x）＋C（C为任意常数）称为f（x）在该区间I内的不定积分，记作∫f（x）ｄx，即∫f（x）ｄx＝F（x）＋C，其中，C称为积分常数，其他符号的名称与定积分中的名称一致．由不定积分的定义，函数的不定积分与导数（或微分）之间有如下的运算关系：［∫f（x）ｄx］′＝f（x）　或　ｄ［∫f（x）ｄx］＝f（x）ｄx∫f′（x）ｄx＝f（x）＋C　或　∫ｄf（x）＝f（x）＋C此关系可概括为“先积后微，形不变；先微后积，多一常数”．由此关系可知，积分与微分是一对互逆的运算．二、基本积分表与不定积分的性质引例2［幂函数的不定积分］　由不定积分的定义，可以看出：求函数f（x）的不定积分，只需要找出函数f（x）的一个原函数，再加上任意常数C即可．因为xμ＋１μ＋１′＝xμ（μ＋１≠０），所以xμ＋１μ＋１是xμ的一个原函数，于是∫xμｄx＝xμ＋１μ＋１＋C　（μ≠－１）．类似地，由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．1．基本积分表（１）∫kｄx＝kx＋C　（k为常数）；（２）∫xμｄx＝xμ＋１μ＋１＋C　（μ≠－１）；（３）∫１xｄx＝ｌｎx＋C；（４）∫a xｄx＝a xｌｎa＋C；（５）∫ｅxｄx＝ｅx＋C；（６）∫ｓｉｎxｄx＝－ｃｏｓx＋C；（７）∫ｃｏｓxｄx＝ｓｉｎx＋C；（８）∫ｓｅｃ２xｄx＝ｔａｎx＋C；（９）∫ｃｓｃ２xｄx＝－ｃｏｔx＋C；（１０）∫ｓｅｃx·ｔａｎxｄx＝ｓｅｃx＋C；（１１）ｃｓｃx·ｃｏｔxｄx＝－ｃｓｃx＋C；（１２）∫１１－x２ｄx＝ａｒｃｓｉｎx＋C；（１３）∫１１＋x２ｄx＝ａｒｃｔａｎx＋C．2．不定积分的性质由不定积分的定义，不难得到不定积分的如下性质：性质1∫［f（x）±g（x）］ｄx＝∫f（x）ｄx±∫g（x）ｄx即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）．性质１可推广到有限个函数的情形．性质2∫kf（x）ｄx＝k∫f（x）ｄx　（k≠０，k为常数）即被积函数中不为０的常数因子可以提到积分号外．有些函数的不定积分，被积函数经过适当的恒等变换（包括代数的与三角的变换）后，可利用基本积分表和积分的性质计算．这种方法称为直接积分法．案例1　求不定积分∫ｅx－２１＋x２＋２x３ｄx．　解　∫ｅx－２１＋x２＋２x３ｄx＝∫ｅxｄx－２∫１１＋x２ｄx＋２∫x３ｄx ＝ｅx－２ａｒｃｔａｎx＋２·１４x４＋C＝ｅx－２ａｒｃｔａｎx＋２４x４＋C．案例2［结冰厚度］　若池塘结冰的速度由ｄyｄt＝k t给出，其中y（单位：ｃｍ）是自结冰起到时刻t（单位：ｈ）冰的厚度，k是正常数．求结冰厚度y关于时间t的函数．解　由ｄyｄt＝k t，求不定积分，得y（t）＝∫k tｄt＝k∫tｄt＝k２３t３２＋C，由于t＝０时池塘开始结冰，此时冰的厚度为０，即有y（０）＝０，代入上式，得C＝０，所以y（t）＝２３kt３２．案例3［磁场能量］　在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为p＝ui＝Liｄiｄt，在ｄt时间内，电感元件在磁场中的能量微元为ｄW＝pｄt＝Liｄi，上式两端同时积分，得W＝∫Liｄi＝１２Li２＋C．因电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量，所以i＝０时，W＝０．将它代入上式，得C＝０，所以电感元件储存的磁场能量为W＝１２Li２．由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关．案例4［电流函数］　一电路中电流关于时间的变化率为ｄiｄt＝４t－０．６t２，若t＝０时，i＝２Ａ，求电流i关于时间t的函数．解　由ｄiｄt＝４t－０．６t２，求不定积分，得i（t）＝∫（４t－０．６t２）ｄt＝２t２－０．２t３＋C．将i（０）＝２代入上式，得C＝２，所以i（t）＝２t２－０．２t３＋２．三、微积分基本公式下面，我们将讨论不定积分与定积分之间的联系．引例3［列车何时制动］　列车快进站时必须减速．若列车减速后的速度为v（t）＝１－１３t（单位：ｋｍ／ｍｉｎ），问列车应在离站台多远的地方开始减速？解　当列车速度为v（t）＝１－１３t＝０时停下，解出t＝３（ｍｉｎ）．另一方面，由速度与路程的关系v（t）＝s′（t）知路程s（t）满足s′（t）＝v（t）＝１－１３t，（３．３．２）且s （０）＝０．式（３．３．２）两端同时积分，得综合式（３．３．１）和式（３．３．４）得∫３０v （t ）ｄt ＝s （３）＝t －１６t２t ＝３＝３－１６·３２＝１．５（ｋｍ），即列车在距站台１．５ｋｍ处开始减速．从这一案例的求解可以看出，求函数的定积分∫３０v （t ）ｄt 可转化为求函数的不定积分∫v （t ）ｄt ．微积分基本公式　若函数F （x ）是连续函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数（即F ′（x ）＝f （x ）），则∫b b 此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼茨公式．案例5　计算定积分∫２１x ＋１x２ｄx ．解　∫２１x ＋１x２ｄx ＝∫２１x ２＋２＋１x２ｄx ＝１３x ３＋２x －１x ２１＝２９６．四、定积分的性质由定积分的定义、结合定积分的几何意义以及微积分基本公式，可以得到定积分的如下性质：性质1［和、差的运算性质］∫b a［f （x ）±g （x ）］ｄx ＝∫baf （x ）ｄx ±∫bag （x ）ｄx ，即两个函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）．性质2［数乘的运算性质］∫b akf （x ）ｄx ＝k ∫baf （x ）ｄx （k 为常数），即被积函数的常数因子可以提到积分号外．性质１、２为定积分的基本运算性质．性质１可推广到有限个函数的情形．性质3［区间可加性］　若把区间［a，b］分为［a，c］和［c，b］两部分，则∫b a f（x）ｄx＝∫c a f（x）ｄx＋∫b c f（x）ｄx　（a＜c＜b）．无论a、b、c的大小顺序如何，上式均成立．如计算∫１－１xｄx，由于y＝x＝x，x≥０，－x，x＜０是分段函数，所以计算∫１－１xｄx时要利用性质３，将积分区间［－１，１］分成［－１，０］和［０，１］两部分．具体运算过程如下：∫１－１xｄx＝∫１０xｄx＋∫０－１（－x）ｄx＝１２x２１０＋－１２x２０－１＝１２＋１２＝１．案例6［汽车刹车路程］　一辆汽车在直线上正以１０ｍ／ｓ的速度匀速行驶，突然发现一障碍物，于是以－１ｍ／ｓ２的加速度匀减速停下，求汽车的刹车路程．解　因为v′（t）＝a＝－１，两边同时积分，有∫v′（t）ｄt＝∫－１ｄt，得v（t）＝－t＋C，将v（０）＝１０代入上式，得C＝１０，所以v（t）＝１０－t．当汽车速度为零时汽车停下，解v（t）＝１０－t＝０，得汽车的刹车时间为t＝１０ｓ，再由速度与路程之间的关系，得汽车的刹车路程为s＝∫１００v（t）ｄt＝∫１００（１０－t）ｄt＝５０（ｍ），＝１０t－１２t２１００即汽车的刹车路程为５０ｍ．由此方法可知，若物体作匀加速直线运动，初速度为v０，加速度为a，则其速度方程为v（t）＝v０＋at，运动方程为s＝v０t＋１２at２．案例7［收入预测］　中国人的收入正在逐年提高．据统计，深圳２００２年的人均年收入为２１９１４元（人民币），假设这一人均收入以速度v（t）＝６００（１．０５）t（单位：元／年）增长，这里t是从２００２年年底开始算起的年数，估算２００９年深圳的人均年收入是多少？解　设第t年深圳的人均年收入为R（t）．因为ｄRｄt＝v（t），由变化率求总改变量，得从２００３年到２００９年这７年间深圳人均年收入的总增长为所以，２００９年深圳的人均年收入约为２１９１４＋５００６．３＝２６９２０．３（元）．实训3－3１．已知函数f （x ）＝x －１，x ≤０，x ＋１，x ＞０，求∫２－１f （x ）ｄx 的值．２．［汽车行驶速度］一汽车正以１００ｋｍ／ｈ的速度行驶，突然司机看到前方８０ｍ处发生了事故，便立即刹车．问汽车应至少以多大的加速度行驶才能避免和前方事故发生点相撞．３．［火车运动方程］设火车从甲站出发，以０．５ｋｍ／ｍｉｎ２的加速度匀加速前进，经过２ｍｉｎ后开始匀速行驶，再经过７ｍｉｎ后以－０．５ｋｍ／ｍｉｎ２的加速度匀减速到达乙站．试将火车在这段时间内所行驶的路程s 表示为时间t 的函数，并作出其图形．４．［产品销售总量］一个新销售代理商发现，他在第t 个月销售的商品数量为２t ＋５，求该销售商第一年的销售总量．５．［城市人口总数］一圆形城市中，离市中心越近，人口密度越大，而离中心越远，人口密度越小．设该城市半径为５０ｋｍ，距中心r （单位：ｋｍ）处的人口密度为１０００００（５０－r ）．求这一城市的人口总数．６．［伤口面积］经研究发现，某一个小伤口表面修复的速度为ｄAｄt＝－５t －２（t 的单位：天；１≤t ≤５），其中A 表示伤口的面积，假设A （１）＝５．问病人受伤５天后伤口的表面积有多大？７．［功率与功］在物理学中，功W 与功率p 之间的关系为p ＝ｄWｄt，或ｄW ＝p ｄt ．如果功率p ＝１２t －４t ２，求３ｓ内的功．积分及其应用第四节　换元积分法利用直接积分法计算函数的积分常常受到很大的局限，有些不定积分如∫ｓｉｎ２tｄt，∫ｔａｎxｄt 等还要用到一些常用的积分方法———换元积分法．换元积分法是最常用、最有效的一种积分方法．一、不定积分的换元积分法1．第一换元法下面先看一个简单的引例．引例［石油消耗总量］　近年来，全球每年对石油的消耗率呈指数增长，增长指数大约为０．０７．若用R（t）表示从１９７０年底起第t年的石油消耗率，已知１９７０年石油消耗量大约为１６１亿桶，R（t）＝１６１ｅ０．０７t（亿桶／年）．试计算从１９７０年底到１９９０年全球消耗的石油总量．解　设T（t）表示从１９７０年底（t＝０）起到第t年全球消耗石油的总量．T′（t）就是石油消耗率R（t），即T′（t）＝R（t），于是由变化率求总改变量得T（２０）－T（０）＝∫２００T′（t）ｄt＝∫２００R（t）ｄt＝∫２００１６１ｅ０．０７tｄt＝１６１∫２００ｅ０．０７tｄt，如何计算∫２００ｅ０．０７tｄt或∫ｅ０．０７tｄt呢？在基本积分公式中只有公式∫ｅtｄt＝ｅt＋C，而这里被积函数ｅ０．０７t是由y＝ｅu与u＝０．０７t构成的复合函数．如果将∫ｅ０．０７tｄt的积分微元凑成ｄ０．０７t，则有∫ｅ０．０７tｄt＝１０．０７∫ｅ０．０７tｄ０．０７t，令０．０７t＝u，积分变为１６１∫ｅ０．０７tｄt＝１６１０．０７∫ｅ０．０７tｄ０．０７t令０．０７t＝u１６１０．０７∫ｅuｄu＝１６１０．０７ｅu＋C＝１６１０．０７ｅ０．０７t＋C．利用微积分基本公式，可以得到T（２０）－T（０）＝∫２００ｅ０．０７tｄt＝１６１０．０７ｅ０．０７t２００＝２３００（ｅ１．４－１）≈７０２７（桶）．在求积分２００ｅ０．０７tｄt 时，用到了变量代换，我们称这种方法为积分的换元法．下面分别介绍不定积分与定积分的换元法．由引例，我们可以得到不定积分的第一换元法．不定积分的第一换元法　设∫f （u ）ｄu ＝F （u ）＋C ，且函数u ＝φ（x ）可导，则∫f ［φ（x ）］·φ′（x ）ｄx ＝F ［φ（x ）］＋C对上式积分结果求导，有F ［φ（x ）］＋C ′＝F ′［φ（x ）］·φ′（x ）＝f ［φ（x ）］·φ′（x ）．故上式成立．第一换元法求不定积分的一般步骤如下：∫g （x ）ｄx恒等变形∫f ［φ（x ）］·φ′（x ）ｄx ＝∫f ［φ（x ）］ｄφ（x ）换元u ＝φ（x ）∫f （u ）ｄu积分F （u ）＋C回代u ＝φ（x ）F ［φ（x ）］＋C ．案例1　求不定积分∫１３＋２xｄx ．分析　在积分公式中，被积函数为分式的公式有∫１u ｄu ＝ｌｎu ＋C ，要利用这个公式，需要将微分凑成ｄ（３＋２x ），具体作法如下．解　∫１３＋２xｄx ＝１２∫１３＋２x·（３＋２x ）′ｄx ＝１２∫１３＋２xｄ（３＋２x ）u ＝３＋２x１２∫１u ｄu ＝１２ｌｎu ＋C ＝１２ｌｎ３＋２x ＋C ．利用换元法时，要把被积表达式分解出φ′（x ）ｄx ，并凑成微分ｄφ（x ），因此这种方法也称为凑微分法．换元法的关键是“凑微分”．因此要求熟悉微分和不定积分基本公式．下面列举一些常用的凑微分形式．以下a 、b 均为常数，a ≠０．ｄx ＝１aｄ（ax ＋b ）；x ｄx ＝１２ｄx ２＝１２aｄ（ax ２＋b ）；１xｄx ＝２ｄx ＝２a ｄ（a x ＋b ）；a x ｄx ＝１ｌｎa ｄa x ；１x ２ｄx ＝－ｄ１x ；ｃｏｓx ｄx ＝ｄ（ｓｉｎx ）；ｓｉｎx ｄx ＝－ｄ（ｃｏｓx ）．凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接写出结果．案例3［质子的速度］　一电场中质子运动的加速度为a ＝－２０（１＋２t ）－２（单位：ｍ／ｓ２）．如果t ＝０时，v ＝０．３ｍ／ｓ．求质子运动的速度．解　由加速度和速度的关系v ′（t ）＝a （t ），有将t ＝０时，v ＝０．３代入上式，得C ＝－９．７．所以v （t ）＝１０（１＋２t ）－１－９．７．2．第二换元法第一换元法是把积分∫f ［φ（x ）］·φ′（x ）ｄx 通过变换u ＝φ（x ）化为容易积分的∫f （u ）ｄu ．但有时恰恰相反，积分∫f （x ）ｄx 不易求得，而令x ＝ψ（t ），积分∫f ［ψ（t ）］·ψ′（t ）ｄx 却容易求得．下面介绍第二换元法．不定积分的第二换元法　设（１）x ＝ψ（t ）是单调可导函数，且ψ′（t ）≠０；（２）∫f ［ψ（t ）］·ψ′（t ）ｄt ＝F （t ）＋C ，则第二换元法的一般步骤为∫f （x ）ｄx 换元x ＝ψ（t ）∫f ［ψ（t ）］·ψ′（t ）ｄt 积分F （t ）＋C回代t ＝ψ－１（x ）F ［ψ－１（x ）］＋C ，其中t ＝ψ－１（x ）是x ＝ψ（t ）的反函数．案例2的解法二∫ｓｉｎxxｄxx ＝t x ＝t２∫ｓｉｎttｄt ２＝∫ｓｉｎtt２t ｄt ＝２∫ｓｉｎt ｄt ＝－２ｃｏｓt ＋C ＝－２ｃｏｓx ＋C ．案例4　求不定积分∫x－１xｄx．解　令x－１＝t，则x＝１＋t２，ｄx＝２tｄt，因而有∫x－１xｄx＝∫t１＋t２·２tｄt＝２∫１－１１＋t２ｄt＝２（t－ａｒｃｔａｎt）＋C＝２（x－１－ａｒｃｔａｎx－１）＋C．案例5　求不定积分∫a２－x２ｄx（a＞０）．解　设x＝aｓｉｎt－π２＜t＜π２，则a２－x２＝a１－ｓｉｎ２t＝aｃｏｓt，ｄx＝aｃｏｓtｄt，于是∫a２－x２ｄx＝∫aｃｏｓt·aｃｏｓtｄt＝a２∫ｃｏｓ２tｄt＝a２∫１＋ｃｏｓ２t２ｄt＝a２２t＋１２ｓｉｎ２t＋C．案例6［太阳能能量］　某一太阳能的能量f相对于太阳能接触的表面面积x的变化率为ｄf ｄx＝０．００５０．０１x＋１，如果当x＝０时，f＝０．求f的函数表达式．解　对ｄfｄx＝０．００５０．０１x＋１积分，得f＝∫０．００５０．０１x＋１ｄx．解法一　用第一换元积分法得解法二　用第二换元积分法得f０．０１x ＋１＝tx ＝１００（t ２－１）０．００５∫１tｄ１００（t ２－１）＝０．５∫２ttｄt ＝∫ｄt ＝t ＋C ，将x ＝０时，即t ＝１时f ＝０代入上式，得C ＝－１．所以f ＝０．０１x ＋１－１．相应于不定积分的换元法，有定积分的换元法．二、定积分的换元积分法在引例中，我们还可以采用直接计算定积分的方法，具体过程如下．（１）函数x ＝φ（t ）在区间［α，β］上单调且有连续导数；（２）当t 在区间［α，β］上变化时，对应的函数x ＝φ（t ）在区间［a ，b ］上变化，且φ（α）＝a ，φ（β）＝b ，则有定积分的换元公式∫b af （x ）ｄx ＝∫βαf ［φ（t ）］·φ′（t ）ｄt ．注　在应用定积分的换元法时，积分上下限要进行相应地变换．案例7　求定积分∫４０ｄx１＋x．解　用定积分换元法．令x ＝t ，则x ＝t ２，ｄx ＝２t ｄt ．换限　x ＝４t ＝２．于是∫４０ｄx １＋x＝∫２０１１＋t·２t ｄt ＝２∫２０１－１１＋tｄt ＝２（t －ｌｎ１＋t ）２０＝４－２ｌｎ３．案例8［商品销售量］　某种商品在某年中的销售速度为v（t）＝１００＋１００ｓｉｎ２πt－π２（t的单位：月；０≤t≤１２），求此商品在前３个月的销售总量．解　由变化率求总改变量得该商品在前３个月的销售总量N＝∫３０１００＋１００ｓｉｎ２πt－π２ｄt＝∫３０１００ｄt＋∫３０１００ｓｉｎ２πt－π２·１２πｄ２πt－π２＋１００２π∫３０ｓｉｎ２πt－π２·ｄ２πt－π２＝１００t３０＝３００－１００２πｃｏｓ２πt－π２３０＝３００．在案例８中，因为未进行变量代换，所以定积分的上、下限不变．案例9［电路中的电量］　设导线在时刻t（单位：ｓ）的电流为i（t）＝０．００６t t２＋１，求在时间间隔［１，４］内流过导线横截面的电量Q（t）（单位：Ａ）．解　由电流与电量的关系i＝ｄQｄt得在［１，４］ｓ内流过导线横截面的电量Q＝∫４１０．００６t t２＋１ｄt＝∫４１０．００３t２＋１ｄ（t２＋１）＝［０．００２（t２＋１）３２］４≈０．１３４５（Ａ）．１案例10［放射物的泄漏］　环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，出事当日，大气辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区，已知碘物质放射源的辐射水平按下式衰减：R（t）＝R０ｅ－０．００４t，其中R（t）是时刻t的辐射水平（单位：ｍＲ／ｈ），R０是初始（t＝０）辐射水平，t按小时计算，问：（１）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？（２）假设可接受的辐射水平的最大限度为０．６ｍＲ／ｈ，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？解　（１）设需要t１小时该地降低到可接受辐射水平，即R（t１）＝R０ｅ－０．００４t１＝１４R０，解之得t１＝５００ｌｎ２≈３４６．６（ｈ），即需要约３４６．６ｈ．（２）若可接受辐射水平的最大限度为０．６ｍＲ／ｈ，则１４R０＝０．６，解之得R０＝２．４．放射源从t＝０到t＝５００ｌｎ２（ｈ）泄露的放射物总量W为。

最新03第三讲积分及其应用

03第三讲积分及其应用第三讲积分及其应用考纲要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法.3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿«Skip Record If...»莱布尼茨公式.5.了解广义积分的概念，会计算广义积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值.一、不定积分问题1 不定积分的概念与性质答考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质.1.概念定义1 如果在区间«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»或者«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的原函数.定义2 «Skip Record If...»的全体原函数称为«Skip Record If...»的不定积分，记作«Skip Record If...».▲它们的关系是：如果«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的一个原函数，则«Skip Record If...».上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数.2.性质：性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即«Skip Record If...»（先积后导还原了）«Skip Record If...»（先导后积还原«Skip Record If...»）性质2 （线性性）«Skip Record If...»«Skip Record If...».例题1.若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】2.已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】3.已知«Skip Record If...»的一个原函数为«Skip Record If...»,则«Skip RecordIf...» .【«Skip Record If...»】4.下列命题中不正确的是（）.【B】(A)若«Skip Record If...»为连续的奇函数，则其原函数为偶函数(B)若«Skip Record If...»为连续的偶函数，则其原函数为奇函数(C)若«Skip Record If...»为可导的奇函数，则其导函数为偶函数(D)若«Skip Record If...»为可导的偶函数，则其导函数为奇函数解由«Skip Record If...»知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.▲求导改变函数的奇偶性. 证明如下：若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».▲积分«Skip Record If...»改变函数的奇偶性. 证明如下：记«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».问题2 常用的积分公式答常用的积分公式有22个，它们是：（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»；（5）«Skip Record If...»；（6）«Skip Record If...»；（7）«Skip Record If...»；（8）«Skip Record If...»；（9）«Skip Record If...»；（10）«Skip Record If...»；（11）«Skip RecordIf...»；（12）«Skip Record If...»；（13）«Skip Record If...»；（14）«Skip Record If...»；（15）«Skip Record If...»；（16）«Skip Record If...»；（17）«Skip Record If...»；（18）«Skip Record If...»；（19）«Skip Record If...»；（20）«Skip Record If...»；（21）«Skip Record If...»（22）«Skip Record If...»▲其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个.问题3 如何用凑微分法求不定积分？答凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如«Skip Record If...»的积分 .定理设有积分公式«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».▲凑微分型积分特点：«Skip Record If...»，关键是凑微分，即将«Skip Record If...»凑成微分«Skip Record If...»，从而积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是22个函数之一；▲在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：例题1.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】2.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】3.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】4.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】5.【«Skip Record If...»】«Skip Record If...»6.【«Skip Record If...»】«Skip Record If...»问题4 如何用第二类换元法求不定积分？答逆用凑微分公式，就得到第二类换元法.定理设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»单调、可导且«Skip Record If...»连续，则«Skip Record If...».▲当被积函数含«Skip Record If...»时，用三角代换；▲当被积函数含«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；▲当被积函数分母次数较高时，令«Skip Record If...».例题1.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】2.«Skip Record If...»解（方法一）令«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...».（方法二）令«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...».（方法三）当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»3.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】4.«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».问题5 如何用分部积分法求不定积分？答分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如«Skip Record If...»的积分.具体步骤如下：«Skip Record If...»（凑微分）«Skip Record If...»（用公式）«Skip Record If...»（算微分，求积分）关键是凑微分.▲分部积分型积分特点：«Skip Record If...»，被积函数为“反对幂指三”五类函数的乘积，下面的积分都是典型的分部积分题：分部化简型：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»«Skip Record If...»；«Skip Record If...».分部还原型：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...».分部递推型：«Skip Record If...»，«Skip Record If...».分部抵消型：«Skip Record If...».可以这样说，凡是“反对幂指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算.▲使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀：例题1.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】2.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】3.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】4.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】5.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】解【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分法】«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»问题6 如何求有理函数的不定积分？答首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念.由于假分式«Skip Record If...»多项式«Skip Record If...»真分式，所以关键是真分式«Skip Record If...»的积分，步骤是：⑴将«Skip Record If...»在实数范围内分解因式；⑵将«Skip Record If...»表为部分分式之和，其方法是：⑶用待定系数法求出«Skip Record If...»；⑷求出积分.▲许多函数（如指数有理式«Skip Record If...»，三角有理式«Skip Record If...»，根式有理式«Skip Record If...»等）的积分可以通过换元：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»化为有理函数的积分.例题求«Skip Record If...».解«Skip Record If...»，去分母得«Skip Record If...»，依次比较上式两边的常数项和一次幂、二次幂、三次幂系数，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»«Skip Record If...».▲确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，如本题令«Skip Record If...»，立即得«Skip Record If...».问题7 如何求不定积分？答求不定积分是最基本的运算之一，它是所有积分计算的基础，读者务必熟练掌握三类典型题（凑微分、换元、分部）和常用变形方法（无理化有理，高次化低次，分母化因式，变量化一致）.求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“22个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分.▲三类典型题1.凑微分（复合）型：«Skip Record If...»（根据复合抓住«Skip Record If...»）2.换元（根号）型：被积函数含«Skip Record If...» «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»等3.分部积分（乘积）型：«Skip Record If...»（反对幂指三，逆序找函数）例题1.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】 2.«Skip Record If...» 【«Skip Record If...»】3.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】4.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】5.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】6.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».8.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】解【将分子分解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为待定系数】«Skip Record If...»«Skip Record If...».9.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】解【三角代换】令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（分部积分）10.«Skip Record If...» 【«Skip Record If...»】11.«Skip Record If...»【09-2-3】解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»⑴«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，代入⑴，得«Skip Record If...».▲计算«Skip Record If...»时，还可以作如下代换：⑴令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；⑵令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的原函数，且当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，已知«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】13..设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...». 【«Skip Record If...»】14.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».二、定积分问题8定积分的概念答函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的定积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 若积分和的极限存在时，则称«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可积读者应结合曲边梯形的面积理解定义式中各记号的含义，理解定积分的思想方法（分割、近似、求和、取极限）.▲可积条件⑴若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»连续或者分段连续，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可积.⑵若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可积，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有界.定积分的值与“分法”、“取法”无关；▲若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可积，则⑴定积分的值与“分法”、“取法”无关.⑵定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关.▲定积分的几何意义:«Skip Record If...»在几何上表示由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所围图形各部分面积的代数和.在利用定积分的几何意义时，要求积分下限小于积分上限.例题1.用定积分的定义求«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】2.用定积分的几何意义求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】3.如图，设连续函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»、«Skip Record If...»上的图象分别是直径为1的上、下半圆，在区间«Skip RecordIf...»、«Skip Record If...»上的图象分别是直径为2的下、上半圆，设«Skip Record If...»，则下列结论正确的是（）.【07-1，C】（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»问题9定积分的性质答定积分具有如下性质：⑴线性性«Skip Record If...».⑵可加性«Skip Record If...».⑶保号性设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».▲设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».▲«Skip Record If...».⑷估值定理设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».▲定积分的不等式性质均要求积分下限小于积分上限，否则，不等式反向.⑸积分中值定理设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».▲设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».▲设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不变号，则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».问题10 如何计算定积分？答计算定积分的方法有：⑴几何意义（要求下限小于上限）⑵牛顿-莱布尼茨公式（基本方法）定理设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»连续.«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的任意一个原函数，则有«Skip Record If...».⑶换元法（换元必换限）定理设函数«Skip Record If...»且函数«Skip Record If...»满足下列条件：⑴«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；⑵«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».⑷分部积分法定理设函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».⑸某些特殊函数的积分①分段函数（分段积分）②奇偶函数：若«Skip Record If...»为奇函数，则«Skip Record If...»；若«Skip Record If...»为偶函数，«Skip Record If...».③周期函数：设«Skip Record If...»的周期为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».④某些三角函数：▲«Skip Record If...»；▲«Skip Record If...»；▲记«Skip Record If...»，则有递推公式«Skip Record If...».⑤含«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（用分部积分）⑥变限积分（用分部积分）例题11.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】2.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】3.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】4.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】5.«Skip Record If...» .【0】6.«Skip Record If...» .【1】7.设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»则«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内（）.（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续例题21.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】2.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】3.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】4.求«Skip Record If...».【90-1-2，«Skip Record If...»】5.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】6.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】7.求«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】8.设«Skip Record If...»求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】9.对于任意的«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»时，«Skip RecordIf...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».10.设«Skip Record If...»有原函数«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】11.曲线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»是它的一个拐点，曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»与«Skip Record If...»处的切线的交点为«Skip Record If...». 若«Skip Record If...»具有三阶连续导数，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】12.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解【定积分«Skip Record If...»是一个常数】记«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».问题10变限积分答变限积分是常考点之一，它是用积分定义的一个函数，读者务必熟练掌握变限积分的导数公式，并利用求导解决变限积分的极限、积分等问题.定理1 若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可积，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续.定理2 若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».▲导出公式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»▲当被积函数含有变量«Skip Record If...»时不能直接求导，必须将变量«Skip Record If...»从被积函数中分离出去，常用的方法是：提出去或者换元.例题1.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【基本练习】«Skip Record If...».2.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【基本练习】«Skip Record If...».3.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【基本练习】«Skip Record If...».4.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【基本练习】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».5.求«Skip Record If...».解【含变限积分的极限】«Skip Record If...»«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【2】解【变限积分的积分，用分部积分法】«Skip Record If...»«Skip Record If...».习题1.设«Skip Record If...»连续，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【变限积分求导基本练习】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».2.若«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...».3.设«Skip Record If...»是连续函数，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【含变限积分的等式，通常两边求导】等式«Skip Record If...»两边对«Skip Record If...»求导，«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...».4.若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【变限积分的积分，通常用分部积分法】«Skip Record If...»«Skip Record If...».5.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】«Skip Record If...»«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【05-2，«Skip Record If...»】解【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».7.设«Skip Record If...»可导，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».8.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»并讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的连续性.解 «Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»又«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续.9.«Skip Record If...»单调减少区间为 .【（0,«Skip Record If...»）】解 «Skip Record If...»，故«Skip Record If...»单调减少区间为«Skip Record If...».10.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内连续，且«Skip Record If...»，证明：⑴若«Skip Record If...»为偶函数，则«Skip Record If...»为偶函数；⑵若«Skip Record If...»单调不增，则«Skip Record If...»单调不减.证⑴«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»为偶函数.⑵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调不减.11.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【1】解【含变限积分的方程，通常两边求导】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，上式两边对«Skip Record If...»求导，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解【含变限积分的方程，通常两边求导】令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，上式两边对«Skip Record If...»求导，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...».13.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»，证明方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内仅有一个实根.证【零点惟一性问题，用零点定理和单调性】«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内有一个实根，又«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内递增，所以方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内仅有一个实根，即方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内仅有一个实根.问题12 反常积分答对于两类反常积分，要在正确理解它们的定义（定积分的极限）的基础上，掌握它们的计算方法.1.概念定义1连续函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的反常积分«Skip Record If...»，如果右端极限存在，则称反常积分«Skip Record If...»收敛.▲连续函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的反常积分«Skip Record If...».▲连续函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的反常积分«Skip Record If...».定义2 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，而在点«Skip Record If...»的右邻域内无界，则定义«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上反常积分«Skip Record If...»，如果右端极限存在，则称反常积分«Skip Record If...»收敛.▲函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，而在点«Skip Record If...»的左邻域内无界，则定义反常积分«Skip Record If...».▲函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而在点«Skip Record If...»的邻域内无界，则定义反常积分«Skip Record If...».2.两类反常积分，都可以用下面的公式计算：若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（类似定积分）.▲此公式要求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内部不能有间断点.例题1.下列广义积分收敛的是（）.【C】（A）«Skip Record If...»；（B）«Skip Record If...»；（C）«Skip Record If...»；（D）«Skip Record If...».2.«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】解令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».3.«Skip Record If...» .【发散】4.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».5.求«Skip Record If...».【99-2，«Skip Record If...»】解【分部积分】«Skip Record If...»«Skip Record If...».6.求«Skip Record If...».【«Skip Record If...»】解 «Skip Record If...».问题13 定积分等式的证明答证明关于定积分的等式，要根据被积函数和积分区间，选择适当的方法，请看下面的例子.例题1.设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，«Skip Record If...»为偶函数，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»为常数，证明«Skip Record If...».【用换元法】2.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有二阶连续导数，«Skip RecordIf...»，证明«Skip Record If...».【用分部积分法】习题1.设«Skip Record If...»⑴证明«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数；⑵求«Skip Record If...»的值域.【04-2，«Skip Record If...»】证⑴【只要证明«Skip Record If...»】要证明«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»故«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数；▲要证明«Skip Record If...»，只要证明«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»为一常数，所以«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».⑵【只要求出«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值和最小值】«Skip Record If...»，«Skip Record If...»令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内的驻点为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»故«Skip Record If...»的值域为«Skip Record If...».2.设«Skip Record If...»连续，常数«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，代入上式，得«Skip Record If...»«Skip Record If...».问题14 关于定积分不等式的证明答利用第二讲中证明不等式的方法和定积分的不等式性质.例题1.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...».证【将常量不等式化为变量不等式】令«Skip Record If...»（要证«Skip Record If...»）«Skip Record If...»令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»知，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»递增，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，«Skip Record If...»递增，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»递增，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».2.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续、递减，证明：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...».【提示：只要证«Skip Record If...»】3.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且严格单调减少，证明：«Skip Record If...».【提示：令«Skip Record If...»，要证«Skip Record If...»】4.设«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».【提示：由拉格朗日定理知，«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，代入不等式左端】5.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明«Skip Record If...»【提示：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其左端是一个关于«Skip Record If...»的二次三项式，判别式«Skip Record If...»】6.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...». （04-3）证设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».7.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...».三、定积分的应用。

3(专升本内容)定积分及其应用

b
b
b
f R[a, b], g R[a, b] f g R[a, b]
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
b
k ( 为常数)
b
性质3
性质4
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
f ( x )dx
a 1 dx a

r 1 ( )
r 2 ( )
d

o

x
o
x
1 2 A [ ( )] d 2
1 2 2 A [ 2 ( ) 1 ( )]d 2
(2) 体积
o
a
A( x )
x x dx
b
y
V
x x x dx
a A( x )dx
（2）分部积分法

b
a
udv [uv ] vdu
7、常用的积分等式：

a
a
2 a f ( x)dx , f ( x) f ( x) 0 f ( x)dx ; 0 , f ( x) f ( x)
a l a
f ( x l ) f ( x) :
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.

b
f ( x )dx alim a f ( x )dx blim 0
0
b
f ( x )dx
(2)无界函数的广义积分
a f ( x )dx lim0 a
a f ( x )dx lim0 a
判断瑕点：考察f(x)的间断疑点处是否f(x)→ ∞.

3 定积分的应用

04/ 旋转曲面的面积
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
03/ 平面曲线的弧a l S o u t h U n i v e r s i t y
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
03/ 平面曲线的弧长和曲率
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
定积分的应用
中南大学数学与统计学院学业辅导室主讲人：郭雨辰
内容 / CONTENTS
知行合一、经世致用
01/ 平面图形的面积 02/ 由平行截面面积求体积 03/ 平面曲线的弧长和曲率 04/ 旋转曲面的面积
Central South University
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
01/ 平面图形的面积
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
01/ 平面图形的面积
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
02/ 由平行截面面积求体积
知行合一、经世致用
1 C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y
02/ 由平行截面面积求体积

积分及其应用

总结词
积分可以用于计算电容和电感。
详细描述
在电路分析和电磁学中，电容和电感是两个重要的元件。通过积分，我们可以得到它们的表达式。例如，对于一个平行板电容器的电容，其大小取决于两板之间的距离、面积和介电常数。通过积分，我们可以得到电容的表达式。同样地，对于一个螺线管的电感，其大小取决于线圈的匝数、面积和长度。通过积分，我们可以得到电感的表达式。这些表达式对于电路设计和电磁场分析非常重要。
05
积分的经济学应用
边际分析与弹性分析
边际分析
积分可以用于研究经济变量的边际变化，例如，研究一个企业如何根据市场情况调整其生产规模，以实现利润最大化。通过积分，我们可以计算出不同生产规模下的利润，并找到最优的生产规模。
弹性分析
积分也常用于研究价格的弹性需求和弹性供应。例如，通过积分，我们可以计算出不同价格水平下，消费者对某种商品的需求量，并进一步分析价格变化对总需求的影响。
06
积分的数学进阶
微分方程的求解
01
02
03
微分方程的表达式
了解微分方程的基本形式和分类，如线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
掌握求解微分方程的常见方法，如分离变量法、代入法、积分变换法等。
应用领域
了解微分方程在物理、化学、生物、经济等领域的应用。
变上限积分与函数的不定积分
变上限积分的定义
要点一
总结词
常见函数的积分包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
要点二
详细描述
对于多项式函数，其原函数可以直接通过求系数和的负一次方得到；对于三角函数和对数函数，可以通过查表或利用一些基本的积分公式得到其原函数；对于指数函数，可以通过换元法或分部积分法得到其原函数。这些常见函数的积分在实际应用中经常出现，因此掌握它们的计算方法对于解决实际问题非常重要。

3.3 定积分的应用

面图形①绕��轴, ②绕��轴旋转一周所得旋转体的体积.
解： ②取��为积分变量，�� ∈ [��, ��]
V
V1
b [ f (x)]2 dx
a
y
r2h
4
[
y ]2 dy
0
22 4
4
ydy
−2 O
解决方法：通过分割和近似代替，将每个小区间上的曲边用直边来代替，每个小区间上的变力用恒力来代替！
思想：以直代曲，以恒代变！
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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3.3.1 微元法
y
1.微元法
以计算曲边梯形面积为例：
分割：区间分割成n个小区间
O
近似：
求和：
取极限：
��
y f2(x)
形面积
A
b
a
f2(x)
f1 ( x) dx
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
y f1( x)
��
��
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3.3.2 定积分在几何上的应用 1.求平面图形的面积
解: 由
得交点(��, ��),(��, ��)
在 [��, �� + ��]上的面积微元： d A ( x x2) dx
y
y2 xx (1,1)

1
AdA (
x x2)dx
0
1 3

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解因 r 2 0,故的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

《数学定积分的应用》课件

线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质量成正比，与物体之间的距离的平方成反比。通过定积分计算在某一空间区域内的引力场强度，即在该区域内所有物体产生的引力对该点的合力。具体地，将引力函数在空间区域上进行积分，得到该区域内的引力场强度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则性质4 定积分的区间可加性若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

《定积分及其应用》课件

在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积，我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问题中起到关键作用，特别是对于旋转体和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS

第三章重积分及其应用第三节三重积分

z
z
z 1
x y
2
2
1
2
z dz
4
31 5
o
y

- 13 -
x
第三节
三重积分
三
重积分在柱坐标系下计算
3
设 M ( x , y , z ) R , 将 x , y用极坐标 , 代替, 则 , , z ) （
第就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 九章 0 x cos z 0 2 重 y sin 积 ( ) z zz 分 M ( x, y, z ) z 及其坐标面分别为应用圆柱面常数 o y 常数半平面 ( x , y ,0) x 平面 z 常数
解: 在柱面坐标系下 : 0 2 cos
2 cos
原式

z

2
d d d z
o
y
0

2
d

2
0
2 cos
d
2
0 zdz
8 9 a
3
a
x
y
z0

4a 3
2
2 cos
x
0
cos d
3
o
- 17 -
第三节
三重积分

y
y z 1
z
1
0 dz 1 1 z dy 0 2 2
f ( x , y , z ) dx
y
1 2

1 2
z
y 1 z
o
- 10 -

定积分的概念定积分应用

THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力和位移的乘积来计算。然而，当作用力是变力时，不能简单地用力和位移的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定积分的概念。通过将变力函数在位移区间上进行积分，可以得到变力做功的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积，即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的面积，即总生产者剩余。

03第三节格林公式及其应用

03第三节格林公式及其应用格林公式是微积分中的一项重要定理，它在多元函数的积分计算以及微分方程的解法中都有广泛的应用。

本文将详细介绍格林公式的概念、表达式以及在实际问题中的应用。

格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年首次提出的，它是高斯定理在平面上的推广形式。

格林公式用于计算一个平面区域内的一些向量场的闭合曲线积分与该场在该区域内的散度的面积积分之间的关系。

根据格林公式，对于一个平面区域D内的向量场F(x, y) =(P(x, y), Q(x, y))，其中P和Q是函数x和y的偏导数连续的函数，闭合曲线C是D的边界，那么有以下的等式成立：∮C(Pdx + Qdy) = ∬D((∂Q/∂x −∂P/∂y)dA)其中，∮表示沿C的积分，∬表示对D的积分，(Pdx + Qdy)表示场F的微分形式，dA表示平面上的面积元。

格林公式可以看作是微积分中的一个重要结论，在实际应用中有着广泛的应用。

以下将介绍两个格林公式的重要应用。

第一个应用是计算平面区域上面积的问题。

根据格林公式，如果一个平面区域D的边界C是一个简单闭合曲线，那么可以通过计算场F = (0, x)（其中x为函数）沿着C的曲线积分来求解该平面区域的面积。

这是因为根据格林公式，等式可以化简为∮C Qdy = ∬D (∂Q/∂x)dA。

由于场F的向量值为(0, x)，所以Q = x，那么上述等式可以进一步化简为∮C xdy = ∬D (∂Q/∂x)dA。

由于场F的x分量为0，所以x的偏导数等于0，那么上述等式可以进一步化简为∮Cxdy = 0。

由于dy在曲线C上的积分等于0，所以有∮Cxdy = ∫Cxdy = ∫(xdy + 0dx) = ∫xdy，即通过计算∫xdy可以得到平面区域D的面积。

第二个应用是计算其中一区域内的散度。

根据格林公式，可以通过计算场F = (P, Q)的闭合曲线积分∮C(Pdx + Qdy)来求解场F在区域D内的散度。

长征第三章_积分学及其应用

图3-２
3.2 定积分的概念与性质
（１）分割．在［a，b］中任意插入n－１个分点把［a，b］分成狀个子区间，每个子区间的长度为（２）近似．（３）求和．
（４）逼近（取极限）
3.2 定积分的概念与性质
3.2.2 定积分的概念
定义设f（x）在［a，b］上有定义，在［a，b］上任取n－１个分点把区间［a，b］分割成狀个小区间各小区间的长度依次为在每个小区间值并作和式记，如果不论对［a，b］怎样的分法，上任取一点作函数
性质３（积分的区间可加性）
有
性质４如果在区间［a，b］上f（x）≡１，则
3.2 定积分的概念与性质
性质５如果在区间［a，b］上f（x）≥０，则
推论如果在区间［a，b］上f（x）≥g（x），则
性质６（估值定理）设M及m分别是函数f（x）在区间［a， b］上的最大值及最小值，则
性质７（定积分中值定理） f（x）在［a，b］上连续，则存在
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积.
解
3.1 不定积分
例3.6 求不定积分
解
例3.7 求不定积分解
3.1 不定积分
应用案例１设某商品的边际收益函数为解因为收益函数是边际收益的的原函数，所以试求收益函数
由于R（０）＝０，得C＝０，所以应用案例２已知某产品产量对时间的变化率是时间t的函数设此产品在时间t的产量为Q（t），且Q（0）＝０，求Q（t）．解因为Q（t）是的原函数，所以

第3章3.3 定积分的应用

x [a , b ] 在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x2 x2 y b 1 2 , y b 1 2 a a
所围成的平面图形，故由面积公式可得椭圆面积为
x2 x2 S b 1 2 b 1 2 dx a a a
a
x2 x2 S b 1 2 b 1 2 dx a a a
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
2 [ ( y )] dy
V
d
c
பைடு நூலகம்
d
x ( y)
c O x
x2 y 2 例4 求椭圆 2 2 1绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积 a b 2 b 解：将椭圆方程化为 y 2 2 (a 2 x 2 ) y a
2
y2 x 2
y2 2 x
( 2,2), (8,4).
选 y 为积分变量
4
y [2, 4]
y2 A y4 dy 18. 2 2
x2 y2 例 3 求椭圆 2 2 1所围成的面积. a b 解椭圆可看作直线x=－a,
x=a 以及连续曲线
面积元素
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，

《微积分》第二篇第三章讲义_积分的应用

（3.1）常微分方程——微分方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程
如：y y2 xy，其中y f (x).
（3.2）偏微分方程
本课程仅讨论常微分方程。
1.微分方程的阶——未知函数的导数的最高阶数称为方程的阶。
如：y y sin x xy2 是二__阶常微分方程
2.线性微分方程——未知函数及其各阶导数都是一次的微分方程。
A 0 cosx dx A1 A2
A1
O
2
A2
x
2 cosxdx
0
( cosx)dx
2
sin
x
0
2
sin
x
2
1 0 0 1 2.
定理3.1的两个重要推论： P14 P15
推论1：设f (x)在[a, a]上连续，则
a
a
f
( x)dx
0， a 2 0
f
当f (x)为奇函数时； (x)dx，当f (x)为偶函数时.
将变量u还原，得到： xy ex c
即有：y ex c xx
代入初始条件y(1)=0，得到： c e
故得初值问题的解为：y ex e xx
对于像例11这类一阶微分方程，我们可以经过变量替换可以化为可分离变量的微分方程。
例12：求微分方程的通解1： y ex.
解：将方程写为：(x y) ex
的平面图形面积为：
b
A f (x)dx
b f (x)dx
a
a
y f (x) 0
a
b
对于一般的f (x), 有
O
x
b
A f (x) dx
a
y f (x)
例2：求由曲线y cos x与x轴，在区间[0, ]

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最新03第三讲积分及其应用

积分及其应用

最新03第三讲积分及其应用

3(专升本内容)定积分及其应用

3 定积分的应用

积分及其应用

3.3 定积分的应用

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

《数学定积分的应用》课件

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

《定积分及其应用》课件

第三章 重积分及其应用 第三节 三重积分

定积分的概念定积分应用

03第三节格林公式及其应用

长征第三章_积分学及其应用

第3章3.3 定积分的应用

《微积分》第二篇第三章讲义_积分的应用

第三章重积分及其应用第三节三重积分