最新03第三讲积分及其应用
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03第三讲积分及其应
用
第三讲积分及其应用
考纲要求
1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法.
3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿«Skip Record If...»莱布尼茨公式.
5.了解广义积分的概念，会计算广义积分.
6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值.
一、不定积分
问题1 不定积分的概念与性质
答考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质.
1.概念
定义1 如果在区间«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»或者«Skip Record If...»，
则称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的原函数.
定义2 «Skip Record If...»的全体原函数称为«Skip Record If...»的不定积分，记作«Skip Record If...».
▲它们的关系是：如果«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的一个原函数，则
«Skip Record If...».
上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数.
2.性质：
性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即
«Skip Record If...»（先积后导还原了）
«Skip Record If...»（先导后积还原«Skip Record If...»）性质2 （线性性）«Skip Record If...»«Skip Record If...».
例题
1.若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】
2.已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .【«Skip Record If...»】
3.已知«Skip Record If...»的一个原函数为«Skip Record If...»,则«Skip Record
If...» .
【«Skip Record If...»】
4.下列命题中不正确的是（）.【B】
(A)若«Skip Record If...»为连续的奇函数，则其原函数为偶函数
(B)若«Skip Record If...»为连续的偶函数，则其原函数为奇函数
(C)若«Skip Record If...»为可导的奇函数，则其导函数为偶函数
(D)若«Skip Record If...»为可导的偶函数，则其导函数为奇函数
解由«Skip Record If...»知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.
▲求导改变函数的奇偶性. 证明如下：
若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».
▲积分«Skip Record If...»改变函数的奇偶性. 证明如下：记«Skip Record If...»，
若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».
问题2 常用的积分公式
答常用的积分公式有22个，它们是：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；
（4）«Skip Record If...»；（5）«Skip Record If...»；（6）«Skip Record If...»；
（7）«Skip Record If...»；（8）«Skip Record If...»；（9）«Skip Record If...»；（10）«Skip Record If...»；（11）«Skip Record
If...»；
（12）«Skip Record If...»；（13）«Skip Record If...»；
（14）«Skip Record If...»；（15）«Skip Record If...»；
（16）«Skip Record If...»；（17）«Skip Record If...»；
（18）«Skip Record If...»；（19）«Skip Record If...»；
（20）«Skip Record If...»；（21）«Skip Record If...»（22）«Skip Record If...»
▲其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个.
问题3 如何用凑微分法求不定积分？
答凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如
«Skip Record If...»的积分 .
定理设有积分公式«Skip Record If...»，则
«Skip Record If...».
▲凑微分型积分特点：«Skip Record If...»，关键是凑微分，即将«Skip Record If...»凑成微分«Skip Record If...»，从而积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是22个函数之一；
▲在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：
例题
1.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】
2.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】
3.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】
4.«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】
5.
【«Skip Record If...»】
«Skip Record If...»
6.
【«Skip Record If...»】
«Skip Record If...»
问题4 如何用第二类换元法求不定积分？
答逆用凑微分公式，就得到第二类换元法.
定理设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»单调、可导且«Skip Record If...»连续，则