物理光学 第二章

λ∫
2
2
λ
0
f (z) cos nkzdz
Bn =
λ∫
λ
0
f (z)sin nkzdz
2.5 光波的分析：非周期性波的分析 光波的分析：
非周期函数可以用积分表示
1 ∞ f (z) = ∫−∞ A(k)exp(ikz)dk 2π
A(k) = ∫ f (z)ex −ikz)dz p(
−∞
∞
Fourier decomposing functions plays a big role in optics.
∆ = ±(2m+1)
λ
2
把叠加区内出现光强稳定的强弱分布现象称为光的干涉。 把叠加区内出现光强稳定的强弱分布现象称为光的干涉。
2.1 同频率同方向单色光波叠加：复数方法 同频率同方向单色光波叠加：
将光振动用复数表示，结论是一样的。 将光振动用复数表示，结论是一样的。
2.1 同频率同方向单色光波叠加：矢量加法 同频率同方向单色光波叠加：
图2.12是几种不同相位差对应的偏振椭圆的形状，椭圆形状由位相 2.12是几种不同相位差对应的偏振椭圆的形状 是几种不同相位差对应的偏振椭圆的形状， 差和振幅比决定。 差和振幅比决定。 相位差为0或者2π的整数倍，轨迹为直线（ 相位差为0或者2π的整数倍，轨迹为直线（一、三象限） 的整数倍 三象限）
相位差为2π的半整数倍，轨迹为直线（ 相位差为2π的半整数倍，轨迹为直线（二、四象限） 的半整数倍 四象限）
a2 Ey = Ex a1
a2 Ey = − Ex a1
相位差为π/2的奇数倍时 相位差为π/2的奇数倍时，轨迹为长短半轴和坐标轴重合的椭圆 的奇数倍时，
2 2 Ex Ey + 2 =1 2 a1 a2
2.1 同频率同方向单色光波叠加：代数加法 同频率同方向单色光波叠加：
两个频率相同、振动方向相同的单色光波各自在空间P 两个频率相同、振动方向相同的单色光波各自在空间P点产生的光 振动可以写为： 振动可以写为：
E = a1 cos(kr −ωt) 1 1
E2 = a2 cos(kr −ωt) 2
合振动可以表示为： 合振动可以表示为：
sin δ > 0
2.3 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：偏振光强度 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：
椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直的单色光 波的强度之和，与两个叠加波的位相差无关。 波的强度之和，与两个叠加波的位相差无关。这一结论也适用于园 偏振光和自然光。 偏振光和自然光。
合成波的强度随着时间和位置变化，这种现象称为拍， 合成波的强度随着时间和位置变化，这种现象称为拍，拍频等于振 幅调制频率的2 或者两叠加光波频率之差。 幅调制频率的2倍，或者两叠加光波频率之差。
2.4 不同频率的两个单色光波的叠加：群速度和相速度 不同频率的两个单色光波的叠加：
相速度：等相面的传播速度。 相速度：等相面的传播速度。 群速度：等幅面的传播速度。 群速度：等幅面的传播速度。 对于合成光波
合振动矢量末端运动轨迹为椭圆方程
ExEy E + 2 −2 cos(α2 −α1) = sin 2(α2−α1) a a2 a1a2
椭圆长轴与x 椭圆长轴与x轴夹角为
2 x 2 1
2 Ey
2a1a2 tan 2β = 2 2 cosδ a1 −a2
2.3 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：特殊情况 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：
振幅为0的点称为波节，振幅最大的点称为波腹。 振幅为0的点称为波节，振幅最大的点称为波腹。
2.2 驻波
维纳1890年首先做了光驻波的实验 维纳1890年首先做了光驻波的实验。平面反射镜与透明玻璃片成 年首先做了光驻波的实验。 很小的角度，一束单色的平行光垂直照射， 很小的角度，一束单色的平行光垂直照射，玻璃片上涂有一层很薄 的感光乳胶膜。 的感光乳胶膜。 平行光在平面镜上反射形成的驻波，在波腹处使乳胶感光， 平行光在平面镜上反射形成的驻波，在波腹处使乳胶感光，显影后 这些地方变黑。 这些地方变黑。
E = 2acos(kmz −ωmt) cos(kz −ωt)
相速度可以由位相不变条件求出
v=
ωm
ω
k
群速度可以由振幅不变条件求出
相速度和群速度之间的关系
∆ω dω = = = vg = km k1 −k2 ∆k dk
ω1 −ω2
dω d(kv) dv dv vg = = = v + k = v −λ dk dk dt dλ
物理光学
南京师范大学物理科学与技术学院
第二章 光波的叠加与分析
本章只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加。 本章只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加。 光波的叠加原理：两个（或者多个） 光波的叠加原理：两个（或者多个）波在相遇点产生的合振动是各 个波单独产生的振动矢量和。 个波单独产生的振动矢量和。 光波的分析工具：傅立叶级数定理和傅立叶积分定理。 光波的分析工具：傅立叶级数定理和傅立叶积分定理。
对于右旋椭圆偏振光，螺旋线的旋向与光传播方向成左手螺旋系统。 对于右旋椭圆偏振光，螺旋线的旋向与光传播方向成左手螺旋系统。
左旋情况： 左旋情况： 对着光的传播方向（－ 方向）看去，合矢量是逆时针方向旋转。 （－z 对着光的传播方向（－z方向）看去，合矢量是逆时针方向旋转。
对于左旋椭圆偏振光，螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统。 对于左旋椭圆偏振光，螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统。
2.4 不同频率的两个单色光波的叠加：光拍 不同频率的两个单色光波的叠加：
不同频率的两个单色光波沿z方向传播， 不同频率的两个单色光波沿z方向传播，它们的波函数为
E = acos(k1z −ωt) 1 1
合成光波
E2 = acos(k2z −ω2t)
引入平均角频率、平均波数、调制频率、 引入平均角频率、平均波数、调制频率、调制波数 1 1 1 ω = (ω1 +ω2 ) k = (k1 + k2 ) ωm = (ω −ω2 ) km = 1 (k1 − k2 ) 1 2 2 2 2 合成光波可以简化为
合成光波可以看作为一个频率为平均角频率而振幅受到调制的波。 合成光波可以看作为一个频率为平均角频率而振幅受到调制的波。 2.16（ 是合成波振幅的变化曲线。 图2.16（c）是合成波振幅的变化曲线。 合成波的强度为
= 2a2[1+cos 2(kmz −ωmt)]
I = A2 = 4a2 cos2(kmz −ωmt)
2.3 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：椭圆偏振光 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：
两列光波的振动可以写为
百度文库
Ex = a1 cos(kz1 −ωt)
合振动表示为
Ey = a2 cos(kz2 −ωt)
E = x0Ex + y0Ey = x0a1 cos(kz1 −ωt) + y0a2 cos(kz2 −ωt)
1 1 E = 2acos [(k1 + k2 )z −(ω +ω2 )t]cos [(k1 −k2 )z −(ω −ω2 )t] 1 1 2 2
= Acos(kz −ωt)
E = 2acos(kmz −ωmt) cos(kz −ωt)
A = 2acos(kmz −ωmt)
2.4 不同频率的两个单色光波的叠加：光拍 不同频率的两个单色光波的叠加：
2
δ
2
δ是位相差
δ = ±2mπ
光强最小值位置为： 光强最小值位置为：
δ = ±(2m+1)π
2.1 同频率同方向单色光波叠加：代数加法 同频率同方向单色光波叠加：
两束光之间的光程差表示为
∆ = n(r2 −r ) 1
光程差与位相差之间关系为
δ=
2π
于是， 于是，最大值和最小值条件可以表示为
λ
∆
∆ = ±mλ
2.1 同频率同方向单色光波叠加：代数加法 同频率同方向单色光波叠加：
如果两个单色光波振幅相同， 如果两个单色光波振幅相同，则合振动振幅为
A = a + a + 2aacos(α1 −α2 ) = 4a cos
2 2 2 2
2
δ
2
以光强表示为
I = 4I0 cos
光强最大值位置为： 光强最大值位置为：
2
δ是相邻之间的位相差
2.2 驻波
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波， 两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波，例如垂 直入射到两种介质分界面上的单色光波与反射光波的叠加， 直入射到两种介质分界面上的单色光波与反射光波的叠加，产生驻 波。 入射波和反射波表示为
E = acos(kz +ωt) 1
相幅矢量加法是一种图解法，相幅矢量A 相幅矢量加法是一种图解法，相幅矢量A的长度表示某一振动的大 它与X轴的夹角等于该振动的位相角。 小，它与X轴的夹角等于该振动的位相角。 N个同频率同振动方向的波的合振动为
Nδ sin 2 I = I0 2 δ sin 2
E = a1 cos(α1 −ωt) + a1 cos(α2 −ωt) = Acos(α −ωt)
2 2 A2 = a1 + a2 + 2a1a2 cos(α1 −α2 )
a1 sin α1 + a2 sin α2 tanα = a1 cosα1 + a2 cosα2
P点振动是一 个间谐振动， 个间谐振动， 振动频率和方 向与单色波相 同
其余情况下为非标准椭圆。 其余情况下为非标准椭圆。
2.3 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：左旋和右旋 频率相同振动方向垂直的光波的叠加：
右旋情况： 右旋情况： 对着光的传播方向（－ 方向）看去，合矢量是顺时针方向旋转。 （－z 对着光的传播方向（－z方向）看去，合矢量是顺时针方向旋转。
sin δ < 0
Here, we write a square wave as a sum of sine waves of different frequency.
合成光波为
E = acos(kz−ωt +δ) 1
δ δ E = 2acoskz + cosωt − 2 2
δ A = 2acoskz + 2
上式为z方向上每一点的振动仍然是频率为ω的简谐振动， 上式为z方向上每一点的振动仍然是频率为ω的简谐振动，振幅为
2.5 光波的分析：周期性波的分析 光波的分析：
傅立叶级数定理：具有空间周期的函数， 傅立叶级数定理：具有空间周期的函数，可以表示为一系列简谐波 函数之和。 函数之和。
A ∞ f (z) = 0 + ∑( A cos nkz + Bn sin nkz) n 2 n=1
A= 0
A = n
λ∫
2
λ
0
f (z)dz