单筋矩形截面设计.
受弯构件正截面承载力计算—单筋矩形截面受弯构件
a1 f c bx f y As
直接求得所需的钢筋面积。
并应满足As ≥ minbh；
若≥出现As<minbh时，则应按minbh配筋。
计算步骤4
选择钢筋直径并进行截面布置，得
到实际配筋面积As、as和h0。
截面设计
控制截面
在等截面受弯构件中，指弯矩组合设
计值最大的截面；在变截面受弯构件中，
构件种类
梁
板
纵向受力钢
筋层数
1层
2层
1层
混凝土强度等级
≤ 25
45mm
70mm
25mm
≥ 30
40mm
65mm
20mm
计算步骤2
根据公式
x
M a1 f c bx( h0 )
2
解一元二次方程求得截面受压区高度x，并满足
x b h0
否则应加大截面，或提高fc ，或改用双筋梁。
计算步骤3
单筋矩形截面受弯构件截面复核
（建筑规范）
截面复核：是指已知截面尺寸、混凝土和钢筋
强度级别以及钢筋在截面上的布置，要求计算截面
的承载力Mu或复核控制截面承受某个弯矩计算值M是
否安全。
截面尺寸
已知条件
材料强度级别
钢筋在截面上的布置
钢筋布置
复核内容
配筋率
截面的承载力Mu
复核步骤1
检查钢筋布置是否符合
M u f cd bh02 b 1 0.5 b
当由上式求得的Mu<M时，可采取提高混凝土
级别、修改截面尺寸，或改为双筋截面等措施；
复核步骤五
当x≤ξbh0时，由公式
x
M u f cd bxM u f sd As h0
单筋矩形截面正截面承载力计算方法
2 0
=91.0㎜< ξ b h0 < 不属超筋梁. 不属超筋梁.
2 × 80 × 10 6 = 415 415 1.0 × 11.9 × 200
2
=0.518×415=215.0mm
3. 计算 s ,并判断是否为少筋梁 计算A
As = α 1 f c bx f y
【 解 】 查 表 得 fc=9.6N/mm2 , ft =1.10N/mm2 , fy =300N/mm2 , ξb=0.550 , α1=1.0 , 结 构 重 要 性 系 数 γ0=1.0,可变荷载组合值系数Ψc=0.7 ,可变荷载组合值系数 计算弯矩设计值M 1. 计算弯矩设计值 钢筋混凝土重度为25kN/m3 ,故作用在梁上的恒荷载 钢筋混凝土重度为 标准值为 gk=10+0.25×0.55×25=13.438kN/m × × 简支梁在恒荷载标准值作用下的跨中弯矩为 Mgk=gk l02/8=13.438×62/8=60.471kN. m ×
对少筋梁,应将其受弯承载力降低使用(已建成工程) 对少筋梁,应将其受弯承载力降低使用(已建成工程) 或修改设计. 或修改设计. ④判断截面是否安全 则截面安全. 若M≤Mu,则截面安全. 【例3.2.1】 某钢筋混凝土矩形截面简支梁,跨中弯矩 】 某钢筋混凝土矩形截面简支梁, 设计值M=80kNm, 梁的截面尺寸 ×h=200×450mm, , 梁的截面尺寸b× 设计值 × , 采用C25级混凝土,HRB400级钢筋.试确定跨中截面纵 采用 级混凝土, 级钢筋. 级混凝土 级钢筋 向受力钢筋的数量. 向受力钢筋的数量.
则不属超筋梁.否则为超筋梁, 若x≤ξbh0,则不属超筋梁.否则为超筋梁,应加大截 面尺寸,或提高混凝土强度等级,或改用双筋截面. 面尺寸,或提高混凝土强度等级,或改用双筋截面. ③计算钢筋截面面积As,并判断是否属少筋梁
单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算单筋矩形截面受弯构件是指具有一个纵向钢筋（单筋）和一个矩形截面的构件。
在受弯时，矩形截面受到压力，而钢筋受到拉力，通过计算正截面承载力可以确定该构件的安全性能。
下面将介绍单筋矩形截面受弯构件正截面承载力的计算方法。
首先，计算正截面的受压区高度h和内力矩M。
假设构件受弯时的截面高度为h，宽度为b，截面厚度为d。
根据等截面原则，构件的正截面宽度和截面高度相等，即b=h。
构件的弯矩M由下式计算得出：M=Rd·Z，其中Rd为设计弯矩，Z为正截面抵抗矩。
然后，计算正截面抵抗矩Z。
在单筋矩形截面中，正截面抵抗矩由钢筋和混凝土组成。
钢筋的抵抗矩可由以下公式计算得出：Zs=As·fy·(h-d/2)，其中As为钢筋截面面积，fy为钢筋的抗拉强度。
混凝土的抵抗矩可由以下公式计算得出：Zc=0.85·fck·(b·h-(As+Asc)·(h/2-d/2))，其中fck为混凝土的抗压强度，Asc为纵向钢筋表面积。
正截面的抵抗矩由钢筋的抵抗矩和混凝土的抵抗矩之和得出：Z=Zs+Zc。
接下来，计算正截面的承载力。
正截面受弯构件的承载力由以下条件中的最不利情况决定：1.混凝土达到极限压应力或者钢筋达到屈服应力；2. 混凝土达到达到破坏应变时，即混凝土压应力达到0.45fck或者钢筋达到屈服应变。
计算混凝土达到极限压应力的情况下的承载力，可以得到下式：Nc=0.85·fcd0·A+(Rd-Zs)/Rd·fctd0·A，其中fcd0为混凝土的设计强度，fctd0为混凝土的设计抗拉强度，A为截面面积。
计算钢筋达到屈服应力的情况下的承载力，可以得到下式：Ns=(Zs/0.9zτs)·fsd，其中z为混凝土的截面中和高度，τs为混凝土的应力分布系数，fsd为钢筋的设计抗拉强度。
综合两种情况，正截面受弯构件的正截面承载力Fc为较小值：Fc=min{Nc,Ns}。
单筋矩形截面受弯构件的正截面设计概要
3.4.2 设计计算方法：
主要内容
1) 截面设计
3.4 单筋矩形截面受弯构件 的正截面承载力计算
(1) 截面设计的概念 ——做什么？ (2) 截面设计的步骤 ——怎么做？ 2) 截面复核 (1) 截面复核的概念——做什么？ (2) 截面复核的步骤——怎么做？
n m 0 Sd 0 Gi SGi k Q1SQ1k c γQj SQjk j 2 i 1
控制截面
1) 截面设计
(2) 截面设计步骤
反之，截面尺寸 b 、 h(h0) 越 小，所需 As 就越大， ρ 增大。
经济配筋率：
梁： ρ=0.5%~1.6%
板： ρ=0.4%~0.8%
1) 截面设计
(2) 截面设计步骤 ③ 内力计算：
3.4 单筋矩形截面受弯构件 的正截面承载力计算
① 材料选择 ② 截面尺寸确定
控制截面 ？
等截面受弯构件: 弯矩组合设计值最大的截面 变截面受弯构件: 还包括截面尺寸相对较小，弯矩 组合设计值相对较大的截面 P q 弯矩组合设计值？
(2) 截面设计步骤 ① 材料选择:
3.4 单筋矩形截面受弯构件 的正截面承载力计算
公路桥梁工程中，钢筋混凝土构件的混凝土强度等级
不应低于C20；当采用400MPa级钢筋配筋时，不应 低于C25。 混凝土建议采用：C25~C40 钢筋建议采用：梁 HRB335、HRB400级钢筋 板 R235、HRB335级钢筋 （建筑工程中已取消了HPB235级钢筋，增加了HRB500级钢筋）
1) 截面设计
(2) 截面设计步骤 ② 截面尺寸确定:
6单筋矩形截面
2某教学楼钢筋混凝土矩形截面简支梁，安全等级为二级，截面尺寸 b×h=250×550mm，承受恒载标准值10kN/m（不包括梁的自重），活荷载标准 值12kN/m，计算跨度=6m，采用C20级混凝土，HRB335级钢筋。试确定纵向 受力钢筋的数量。
3. 计算x，并判断是否属超筋梁
2M 2 148.165106 2 x h0 h 510 510 1 f c b 1.0 9.6 250
2）复核己知截面的承载力 己知：构件截面尺寸b×h，钢筋截面面积As，混凝土强度等级fc，钢筋级别 fy ，弯矩设计值M 。 求：复核截面是否安全 、弯矩承载力Mu= ？
计算步骤如下：
①确定截面有效高度h0 ②判断梁的类型 As f y
x
1 f c b
若As minbh，且x b h0 为适筋梁；
若x b h0 为超筋梁；若As minbh 为少筋梁。
③计算截面受弯承载力Mu
适筋梁 M u As f y h0 x 2
2 超筋梁 M M f bh u u, max 1 c 0 b (1 0.5b )
对少筋梁，应将其受弯承载力降低使用（已建成工程）或修改设计。 ④判断截面是否安全 若M ≤Mu ，则截面安全。
防止少筋的条件：
x xb b h0
min
AS AS ,min minbh
取x =ξbh0 ，即得到单筋矩形截面所能承受的最大弯矩的表达式：
2 M u,max 1 f c bh0 b (1 0.5 b )
混凝土受压区高度计算式： x h0
2M h 1 f c b
③ 少筋梁
配筋率小于最小配筋率的梁为少筋梁。 破坏特征：梁破坏时， 裂缝往往集中出现一条， 不但开展宽度大，而且 沿梁高延伸较高。一旦 出现裂缝，钢筋的应力 就会迅速增大并超过屈 服强度而进入强化阶段， 甚至被拉断。属于“脆 性破坏”
钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算—单筋矩形截面梁计算
受压混凝土的应力－应变关系
计算原则
2）等效矩形应力图
简化原则：受压区混凝土的合力大小不变；受压区混凝土的合力作用点不变。
等效矩形应力图形的混凝土受压区高度 x 1xn ，等效矩形应力图形的应力值 为 1 fc， 1、1 的值见下表。
表 1、1 值
混凝土强 度等级
≤C50
C55
C60
C65
C70
C75
（2）求跨中截面的最大弯矩设计值。
因仅有一个可变荷载，故弯矩设计值应有取下列两者中的较大值：
M 1 1.2g 1.4q l 2
8
1 1.2 5 1.4 10 5.02 62.5
8
M 1 1.35g 1.4 0.7q l 2
8
1 1.35 5 1.4 0.7 10 5.02 51.7
需要加固、补强
计算原则
1）基本假定
01 平截面假定。
02
钢筋的应力 s 等于钢筋应变 s 与其弹性模量 Es 的乘积，但不得大
于其强度设计值 fy，即
s sEs fv
03 不考虑截面受拉区混凝土的抗拉强度。
计算原则
04
受压混凝土采用理想化的应力－应变关系，当混凝土强度等级为
C50及以下时，混凝土极限压应变 cu=0.0033。
（1）受拉钢筋为4 25，As=1964 mm2； （2）受拉钢筋为3 18，As=763 mm²。
单筋矩形截面梁计算
解 查表得：
fc 9.6N/mm2
ft 1.10N/mm2
f y 300N/mm2 c 1.0
b 0.550
c 30mm
单筋矩形截面梁计算
（1）
d
25
h0 h c 2 450 30 2 408
单筋矩形截面梁、板正截面受弯承载力计算教学课件.
0.96
0.76
0.95
0.73
0.94
0.74
水工混凝土结构
1.3 相对受压区计算高度
相对受压区计算高度是等效矩形混凝土受压区计算高度x
与截面有效高度h0的比值，用ξ= x/h0表示。 当梁发生界限破坏时，即受拉钢筋屈服的同时，受压区
混凝土也达到极限压应变εcu。这时混凝土受压区计算高度xb
与截面有效高度h0的比值，称为相对界限受压区计算高度ξb， ξb= xb/h0。这一临界破坏状态，就是适筋梁与超筋梁的界限。
HPB235
≤C50 HRB335 HRB400 RRB400
0.614
0.550 0.518
0.425
0.399 0.384
0.522
0.468 0.440
0.386
0.358 0.343
水工混凝土结构
1.4 受拉钢筋配筋率 受拉钢筋的配筋率ρ是指受拉钢筋截面面积As与截面有效 截面面积bh0比值的百分率，即ρ =As /（bh0 ）×100﹪。 通常用ρmax表示受拉钢筋的最大配筋率； 用ρmin表示受拉钢筋的最小配筋率。 当ρ＞ρmax时，将发生超筋破坏； 当ρ＜ρmin时，将发生少筋破坏； 当ρmin≤ρ≤ρmax时，将发生适筋破坏。 为避免发生超筋破坏与少筋破坏，截面设计时，应控制 受拉纵筋的配筋率ρ在ρmin～ρmax范围内。
水工混凝土结构
2015.03
钢筋混凝土梁板设计
单筋矩形截面梁、板正截面承载力计算
1 正截面承载力计算的一般规定
1.1 计算方法的基本假定
(1) 截面应变保持为平面：
c
x
c
y
c
4.1.1受弯构件基本构造 单筋矩形截面
第Ⅰ阶段(未裂阶段) ——开始加荷时，纯弯段截面的弯矩很 小，混凝土处于弹性工作阶段，截面应力很小，沿截面高度呈三 角形分布。当弯矩增加到第Ⅰ阶段末时，受拉区塑性变形明显发 展，拉应力分布逐渐变化为曲线。此时所能承受的弯矩Mcr称为 开裂弯矩，其应力分布图是计算构件抗裂能力的依据。 第Ⅱ阶段(开裂阶段) ——在裂缝截面处，受拉区混凝土大部 分退出工作，拉应力基本上由钢筋承担，是构件正常使用状态下 所处的阶段。当对构件的变形和裂缝宽度有限制时，以该阶段的 应力图作为计算依据。当到达第Ⅱ阶段末时，钢筋应力达到屈服 强度，即σs=fy。 第Ⅲ阶段(破坏阶段) ——由于钢筋屈服，受拉区垂直裂缝向 上延伸，裂缝宽度迅速发展，受压区高度减小，应力图形为曲线 分布，最后受压区边缘混凝土到达极限应变值时，构件即破坏， 此时弯矩值达到极限弯矩 Mu。我们将Ⅲ阶段末的应力图形作为 构件受弯承载力的依据。
4.1.1工程实例和基本构造
1、 截面形状 梁定义：截面高度一般大于自身的宽度。
梁截面：矩形、T形、I字形、箱型、倒L形等。
板定义：截面高度远小于自身宽度。 板截面：矩形、槽形、空心板
2、 梁、板的截面尺寸
截面尺寸满足：承载能力的要求；正常使用的要求；
施工方便的要求。 影响截面高度h的因素：荷载大小；计算跨度（l0）。
予避免。
3、受弯构件正截面承载力计算的原则
（1）基本假定
以 适筋梁破坏瞬间的受力状态作为承载力计算依 据的。为便于计算，受弯构件的正截面承载力的计算 应引入下列基本假定：
假定1： 平截面假定；
构件正截面在受荷前的平面，在受荷弯曲变形后仍 保持平面。
假定2： 不考虑受拉区未开裂砼的抗拉强度； 混凝土抗拉强度很低，荷载不大时就已开裂，所以 计算中不考虑混凝土的抗拉作用。
矩形截面设计
=
f y As α1 fcbh0
（
x
=
ξ h0 ）
2. 判别：判别ξ 与ξb
a) 如果ξ ≥ ξb ， Mu = α1 fcbh02ξb (1− 0.5ξb ) ；
b) 如果ξ < ξb ， Mu = α1 fcbh02ξ (1− 0.5ξ ) ；。
1. 比较： M > Mu ，不安全； M ≤ Mu ，安全。
⎛
⎜
( ) ( ) ⎜
另法：
x
=
h0
⎜1 ⎜
−
⎡ 2 ⎢M 1− ⎢⎣
− α1 fc
b'f − b h'f α1 fcbh02
⎛ ⎜⎜⎝
h0
−
h'f 2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
,
x
≤
xb
时，
As
= α1 fcbx + α1 fc fy
b'f − b h'f
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
x > xb 时，截面超筋，应加大截面或提高混凝土强度等级。
2.
比较
M1
与
M
：
M1
=
α1
fcbxb
⎛ ⎜⎝
h0
−
xb 2
⎞ ⎟⎠
a) 如果 M1 ≥ M ，只需配单筋；
b) 如果 M1 < M ，应配双筋。
3.
求
As1
=
α1
fcbxb fy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 求 M 2 、 As' 、 As2
M2 = M − M1
( ) As'
=
f
单筋矩形截面的概念
单筋矩形截面的概念
单筋矩形截面是钢筋混凝土中最简单的结构。
它指的是在矩形截面受拉区配置纵向受力钢筋，或者在计算时仅考虑受拉区的钢筋，而忽略受压区的钢筋。
在单筋矩形截面中，截面上缘的压应力由混凝土承担，截面下缘的拉应力则由钢筋承担。
这种配筋方式可以充分发挥钢筋受拉的特性，同时也能节约钢材。
一般情况下，梁横截面上只有在下面布置受压钢筋，这样的梁叫单筋梁。
当梁的高度或材料有特殊要求，而混凝土的抗压强度又不够时，就在混凝土梁横截面上部也配置受压钢筋，与混凝土共同承受压力，这样的梁就是双筋截面梁。
单筋矩形截面常用于钢筋混凝土结构中，如梁、板、柱等。
在实际应用中，需要根据具体的工程需求和承载要求，选择合适的截面形式来满足设计要求。
3单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
3单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算单筋矩形截面受弯构件是一种常见的结构构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
它的正截面承载力是指在构件所受到的弯矩作用下，正截面能够承受的最大力矩值。
单筋矩形截面受弯构件的正截面承载力计算一般按照以下步骤进行：1.假设构件正截面处于弹性阶段，根据材料的弹性力学理论，正截面的受弯应力与弯曲弯矩之间的关系为σ=M/W，其中σ为正截面的受弯应力，M为弯矩，W为截面抗弯矩。
2.计算截面抗弯矩W。
对于单筋矩形截面，一般可将其简化为矩形截面，截面抗弯矩W为b*h^2/6，其中b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。
3.根据构件的几何尺寸和受力情况，计算弯矩M。
弯矩的计算可以采用静力学方法或者有限元分析方法。
静力学方法一般是通过平衡方程来计算弯矩，有限元分析方法则利用计算机模拟构件的力学行为，得到准确的弯矩数值。
4.将步骤1和步骤2得到的结果代入公式σ=M/W，计算出正截面的受弯应力。
5.根据材料的强度理论或者试验结果，确定构件正截面的抗弯强度。
抗弯强度一般是指正截面可以承受的最大受弯应力。
6.比较步骤4计算出的受弯应力与步骤5确定的抗弯强度，如果受弯应力小于抗弯强度，则正截面具有足够的承载力；如果受弯应力大于抗弯强度，则正截面不能承受所施加的弯矩。
7.如果正截面的承载力不足，可以通过增加构件的尺寸或者采用其他形状的截面来增加其抗弯强度。
需要注意的是，以上的计算步骤是在构件正截面处于弹性阶段的假设下进行的。
如果构件正截面处于塑性阶段或者受到其他复杂的荷载作用，需要进行强度计算，采用不同的计算方法和理论，并考虑构件的完全塑性铰的形成等因素。
总而言之，单筋矩形截面受弯构件正截面承载力的计算是一项重要的结构设计工作，需要根据构件的几何尺寸、材料的性能以及受力情况等因素进行详细的计算分析，确保构件的安全可靠。
矩形截面梁配筋
矩形截面单筋梁配筋理解的几个关键点
1.受压区混凝土对受拉区钢筋取距，得到用混凝土受力表示的弯矩： 10()2
c x M f bx h α=- (1.1) 将0x h ξ=
对上式进行变形，
210110()(10.5)(10.5)2c c c x x x M f bx h f b hh f bh h h αααξξ=-=-=- (1.2) 此时，令
(10.5)s ξξα-= (1.3) 给s α一个名字，截面抵抗矩系数，将s α看成一个常数，那么这就是一个关于ξ的
一元二次方程，即
2220s ξξα-+= (1.4) 用求根公式解得（注意01x h ξ=
<），
1ξ=(1.5)
2.当已知弯矩设计值时，首先通过式(1.2)得到s α，然后根据式(1.5)得到相对受压区高度ξ。
3.求出ξ之后，要与b ξ进行比较。
如果b ξξ>，说明混凝土受压范围过大，导致钢筋无法屈服，即混凝土破坏时，钢筋并未失效，为超筋梁，造成了浪费且无延性。
此时需要增大截面尺寸，或提高混凝土的强度等级。
如果b ξξ<，则继续进行。
4.当b ξξ<时（即适筋梁），根据下式即可求出钢筋面积。
00()(10.5)2y S y S x M f A h f A h ξ=-=- (1.6)
5.当计算出S A 后，结合截面尺寸，选取钢筋直径和对应根数。
这里，实际配筋与就算配筋相差在±5%，亦即不一定要比计算钢筋截面积大，稍微小一点点也是可以允许的。
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规范规定： ≤C50时，α1＝1.0，β1＝0.8 C80时，α1＝0.94，β1＝0.74 C50~C80时，α1、β1值线性内插
4.受弯构件正截面承载力计算公式
◆计算应力图形
相对受压区高度
x
h0
◆基本公式
1 fcbx fy As
① 符合平截面假定； ② 不考虑混凝土的抗拉强度； ③ 理想的纵向钢筋的应力—应变关系 ④ 理想的混凝土受压的应力—应变关系
3．等效矩形应力图形
方法：受压区砼以等效矩形应力图形代换曲线形应力图形
原则 : ①压应力的合力大小相等 → 应力图形面积相等； ②压应力合力作用点位置不变 →应力图形的形心 位置相同。
筋
b
1
1
fy
cu Es
钢筋
b
1
1 0.002
fy
cu
cu Es
相对界限受压区高度仅与材料性能有关，与截
面尺寸无关。
◆适用条件
x xb bh0
防止超筋脆性破坏： b
As bh0
max
b
1 fc
fy
防止少筋脆性破坏： min AS AS,min minbh
M Mu 1 fcbxh0 x 2
M M u f y As h0 x 2
界限相对受压区高度
b
xb h0
➢相对界限受压区高度--b
x h0
1 xc
h0
—相对受压区高度
b
xb h0
1 xcb
h0
—— 相对界 限 受压区高度
有屈服点的钢
无屈服点的
单筋矩形截面所能承受的最大弯矩（极限弯矩）：
Mu,max 1 fcbh02b (1 0.5b )
小结
• 通过本节学习熟悉基本计算公式及适用条 件的作用。
作业布置
• 1、写出单筋矩形正截面受弯构件的基本公 式及其适用条件。
The End
课 题 5.3单筋矩形正截面承载力计算
学 时
1
教学目的 教学要求
了解单筋矩形正截面承载力计算的方法和步骤 ①熟悉基本计算公式及适用条件的作用；
教学重点
教学难点 教学方法
熟悉基本计算公式及适用条件的作用；梁承载力计算基本理论
1、计算依据---适筋梁Ⅲa应力图形 2、正截面承载力计算的基本假定