2-1复变函数的导数

2
z 0
z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
lim
( z z )( z z ) z z z z z )
z 0
lim ( z z z
z 0
当z0时, 该极限值为零. 故在点z=0处函数可导
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且 f ( 0 ) 0；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
v u x 1 y 2 y 1 由 C R方 程 y 2 u v 0 y x 1 2 因 此 , f ( z ) x iy 仅 在 直 线 Im ( z )= 上 2
的各点可导
例3
复 变 函 数 与 积 分 变 换
4. [
f (z) g(z)
]
f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z ) g (z)
2
( g(z) 0)
5 . { f [ g ( z )]} f ( w ) g ( z ) 其 中 w g ( z )
6.
f ( z )
z z0 z z0
f ( z ) f ( z0 )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
lim ( z z 0 ) lim
z z0
z z0 f ( z ) f ( z0 ) z z0
z z0
0 f ( z 0 ) 0 故 f ( z ) 在 z 0处 连 续 .
1
( w )
w f ( z ), z ( w )是 两 个
互 为 反 函 数 的单 值函 数 .
二、 Cauchy-Riemann方程
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复变函数的可导性不等价于它的实部和虚 部的可微性。 那么什么条件下复变函数才能可导呢？
若 w f ( z ) 在 z 0处 可 导 ， 故 由 导 数 定 义 ， f ( z 0 ) lim f ( z0 z ) f ( z0 ) z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2 在该点满足柯西—黎曼方程： u x v y , u y v x

证明：充分性
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设 u ( x , y ), v ( x , y ) 在 点 ( x , y )处 可 微 ， 且 C R 方程成立
则 在 点 ( x , y )处 有 u
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第二章
解析函数
第三讲 复变函数的导数与解析函数 学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握复变函数的导数与微分 掌握C-R方程与函数可导的充要条件
一、复变函数的导数与微分
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1. 定义 设 w f ( z ) 在 区 域 D 上 有 定 义 ， z 0为 D中
例1 讨论下列函数的可导性.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1)
f ( z ) x 2 yi
2) f ( z ) | z |
2
2.
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f (z) | z |
2
解 由导数的定义,有
f (z z) f
z 0
lim
z
z
lim
z z
2
z
'
dw dz
z z0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
注 意 ： 定 义 中 z 0 即 z z 0 z z 0的 方 式
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是 任 意 的.
问题：复变函数的导数与实变元函数的导
数有什么不同？
区 域 D内 可 导 ： 如 果 f ( z ) 在 区 域 D内 处 处 可 导 ， 则 说 f ( z ) 在 D内 可 导 .
这里，
1 i 2
x i y
于是，有
lim f (z) z a ib u x i v x v y i u y
z 0
必要性
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设 f ( z ) 在 D内 解 析 ， 则 在 D内 任 意 一 点 z x iy 处可导，且
一 点 ， 点 z0 z z D .
如 果 极 限 lim
f ( z0 z ) f ( z ) z
z 0
存在，
复 变 函 数 与 积 分 变 换
则 说 f ( z ) 在 z 0可 导 ， 此 极 限 值 称 为 f ( z ) 在 z 0的 导 数 .
记 作 ： f ( z0 )
于 是 可 得 u ( x , y ), v ( x , y ) 在 z点 可 微 ,且
u
复 变 函 数 与 积 分 变 换
x
a
v y
,
u y
b
v x
2
C-R方程
例2
例3
讨 论 函 数 f ( z ) x iy 的 可 导 性 .
讨 论 函 数 f (z)
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
lim
u i v x i y
x 0 y 0
.
当 z沿 平 行 于 实 轴 的 直 线 趋 于 0时 ，
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f ( z 0 ) lim
u i v x
x 0

u x
i
v x
有 f ( z ) u i v ( a ib ) z z ( a ib )( x i y ) o (| z |)
u a x b y o (| z |)；
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v b x a y o (| z |)；
Байду номын сангаас
4. 求导法则
1.
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( c ) 0 ( c为 复 数 )
2 . [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z )
3 . [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z )
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a x b y 1 i(b x a y 2 ) ( a ib )( x i y ) ( 1 i 2 )
所以
f (z) z
a ib
( lim 0 )
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
x y 在 z 0的 可 微 性 ．
例2 解 因 为 u ( x , y ) x , v ( x , y ) y , 所 以
2
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u x
1,
u y
0,
v x
0,
v y
2y
u ( x , y )和 v ( x , y ) 在 复 平 面 上 处 处 可 微 ,
z 0
) z z
所 以 f ( z ) z 在 z 0的 点 处 处 不 可 导 .
2. 复变函数的微分
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若 w f ( z z0 ) f ( z0 ) A z o (| z |) ( z 0 )
称 d f ( z 0 ) A z为 函 数 f ( z ) 在 z 0处 的 微 分 ， 或 说 函 数 在 z 0处 可 微 。 若 函 数 在 点 z 0可 微 ， 则 A f ( z 0 )， 即 d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z
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并讨论其可导性，其中 xy 2 2 u( x , y ) v ( x , y ) x y 0 x y 0
2 2
x y 0
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
解 ： f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 在 点 z 0满 足 C R方 程 ： u x v y 0， u y v x 0
当 z 0时 , z沿 着 平 行 于 实 轴 的 方 向 趋 于 0时 , 有
lim ( z z z z z ) z z
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z沿 着 平 行 于 虚 轴 的 方 向 趋 于 0时 , 有
lim ( z z z
2
z z
u x v x
x x
2
u v v v
y 1, y 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
v
其 中 1 , 2是 关 于
2
x y 的 高 阶 无 穷 小
设a
u x

v y
, b
u y

v x
则 f u i v
当 z沿 平 行 于 虚 轴 的 直 线 趋 于 0时 ， f ( z 0 ) lim u i v i y v x i u y .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
y 0
比较以上两式即得
v v u , x y x y u
CauchyRiemann方程
x 0

k 1 ki
随 着 k值 不 同 ， 极 限 值 也 不 同 ， 故 极 限 不 存 在 所 以 f ( z ) 在 z 0处 不 可 微 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件
常 用 u ( x , y ), v ( x , y )是 否 有 连 续 的 偏 导 数 来代替是否可微
复 变 函 数 与 积 分 变 换
u y ( 0 , 0 ) lim
u(0, y ) u(0, 0) y
y 0
0 v x (0, 0)
满足C-R方程； 但是由于
f ( z ) f (0) z xy x iy
例4 验 证 w u ( x , y ) iv ( x , y )是 否 满 足 C - R方 程 ，
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讨 论 函 数 f (z)
x y 在 z 0的 可 微 性 ． x y , v ( x , y ) 0所 以
0 v y (0, 0)
解 由 于 u( x , y )
u x ( 0 , 0 ) lim
x 0
u( x , 0) u(0, 0) x
但 u ( x , y )、 v ( x , y ) 在 点 ( 0 , 0 )不 连 续 ， 所 以 复 变 函 数 f ( z ) 在 z 0不 连 续 , 从 而 不 可 导 .
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而 lim
xy x iy
x 0 y kx
lim
kxx x (1 k i )
三、解析函数
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定理：复变函数在一点可导的充要条件
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设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y )定 义 在 区 域 D内 ， 则 f ( z ) 在 D内 一 点 可 导 的 充 要 条 件 是 ：
1

u ( x , y ), v ( x , y ) 在 点 ( x , y )处 可 微 ；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是 等价的。
3. 可导与连续的关系
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若 f ( z ) 在 z 0处 可 导 ， 则 f ( z ) 在 z 0处 必 定 连 续 ； 反之不成立。
证：因为
lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 )
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
f (z) z
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z ) f ( z ) z z
( lim 0 )
z 0
令 f ( z ) u i v , f ( z ) a b i ,