江西理工大学研究生计算方法试卷1101

江西理工大学研究生考试试卷

一、填空题(共20分,每空2分)

(1) 若1)(37++=x x x f , 则]2,2,2[710 f = ,

]2,2,2[7

10 f = 。 (2) 设

)

(ij a A =是n 阶方阵, 则

∞

A = ,

1

A = 。

(3) 如果A 是正交阵, 则)(2A cond = 。

(4) 形如)()(0

k b

a

n

k k x f A dx x f ⎰∑=≈的插值型求积公式,其代数精度至少可达

阶, 至多共能达 阶。

(5) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1221a A ,当a 满足条件时, A 可作LU 分解,当a 满足条件 时, 必有分解式T

L L A ⋅=,其中L 是对角元素为正的下三角阵。

(6) 在用逐次超松弛迭代法(SOR )解线性方程组b AX =时,若松弛因子ω满足条件 时, 则迭代一定发散。

二、给定)(,,],[,010x f x x b a x x <∈在［a,b 上具有三阶连续导数，证明：

专业 学号 姓名

)()()

()

()()())(()()

()2)(()(12

012

00'

101002

01101x R x f x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x f +--+

---+-+---=

. 其中：10120)

3()())((6

1)(x x x x x x f x R <<--=ζζ （10分）

三、用复化梯形公式（取n=2）和高斯—勒让德公式（取三个高斯点210,,t t t 。查表555556.0,774597.0,888889.0,0,555556.0,774597.0221100=====-=A t A t A t ）计算如下积分（15分）

dx x

e x

⎰--1

2

1

)

1(

四、求积公式)0()1()0()('

011

0f B f A f A dx x f ++≈⎰，又知其误差

)1,0(,)('''∈=ξξf k R ，试确定系数010,,B A A ,使该求积公式有尽可

能高的代数精度，指出这个代数精度并确定误差式中的k 值。（10分）

五、用高斯列主元消去法求解方程组

⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡12341098796548532

74

214321x x x x 写出详细的求解过程，并保留到小数点后4位。（15分）

六、 证明解初值问题

00'y )y(x y),f(x,y == 的二步法

)3f f 4f (4

h

)y y (21y 1n n 1n 1n n 1

n -+-++-++= 其中: )y ,x (f f n n n =, 是二阶的,并求其局部截断误差主项。(15分)

七、用改进的欧拉方法求解2阶常微分方程初值问题

106

.0)0(,4.0)0(s i n 22'

2'''≤≤-=-==+-x y y x

e y y y x

取步长h=0.1,计算y(0.1)的近似值(最后结果保留小数点后5位)。（15分）