北师大版数学高二-(试题2)5.2复数的四则运算水平测试
测控设计高二数学北师大选修同步练习： 复数的四则运算 含解析
§2复数的四则运算1.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),z1+z2所对应的点在实轴上,则a为()A.3B.2C.1D.-1解析:∵z1=2+i,z2=3+a i,∴z1+z2=(2+i)+(3+a i)=5+(a+1)i.又∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴a+1=0,即a=-1.答案:D2.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:i,故该复数对应的点在第四象限.答案:D3.已知复数z=1-i,则=()A.2iB.-2iC.2D.-2解析:∵z=1-i,∴z2-2z=(1-i)2-2(1-i)=-2i-2+2i=-2.又∵z-1=-i,∴=-=-2i.答案:B4.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x,y为实数,且(x+i)(1-i)=y,得x+1+(1-x)i=y,∴∴x=1,y=2.答案:D5.设z的共轭复数为,且z+=4,z =8,则等于()A.1B.-iC.±1D.±i解析:设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i,∴z+=2a=4.∴a=2.又∵z =a2+b2=8,∴b2=4.∴b=±2.∴=±i.答案:D6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=.解析:∵z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,∴a2=12,∴a=±2.∴z=±2-2i.答案:±2-2i7.设z 2=z1-i(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为. 解析:设z1=a+b i(a,b∈R),则z 2=z1-i=a+b i-i(a-b i)=(a-b)-(a-b)i.因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:18.若z=,那么z100+z50+1的值是.解析:z=,z100+z50+1=+1=+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.答案:i9.计算:(1)(i)2(4+5i);(2).解:(1)(i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=-20+16i.(2)=1-i.10.设z∈C,为z的共轭复数,若z·+i z=,求z.解:设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i,∴z·=(a+b i)(a-b i)=a2+b2.由z·+i z=,得a2+b2+i(a+b i)=,即(a2+b2-b)+a i=3-i.∴∴∴z=-1+2i或z=-1-i.备选例题1.已知x,y∈R,且,求x,y的值.分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:可写成,则5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴2.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+k i=0有实根,求这个实根以及实数k的值.解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件得解得∴方程的实根为x=或x=-,相应的k值为k=-2或k=2.。
高二数学北师大版选修1-2单元提分卷：(10)复数的四则运算
单元提分卷（10）复数的四则运算1、设i 是虚数单位，复数i 2i a +- 是纯虚数，则实数a ＝( ) A. 2 B. 12 C. 12- D. －22、如果一个复数与它的模的和为5,那么这个复数是( ) A.115C.115D.115+ 3、设i 是虚数单位,复数32i i 1i +=+( ) A.i - B.i C.1- D.14、计算(3i)(2i)+-+的结果为（ ）A ．52i +B ． -iC ．1D ．1i -5、设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共辗复数.若1i z =+,则i iz z +⋅=( ) A.2- B.2i - C.2 D.2i 6、设复数121,1,z i z ai =+=+若复数21z z 为纯虚数,则实数a 等于( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 7、已知21z i i=++,则复数z = ( ) A. 13i -+B. 13i -C. 13i --D. 13i + 8、复数411i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是( ) A.4i - B.4i C.4- D. 49、若()13n x +的二项展开式各项系数和为256?,i 为虚数单位,则复数()1n i +的运算结果为( )A.-16B.16C.-4D.410、复数212i i+-的共轭复数是( )A. 35i - B.35i C. i -D. i 11、若()121ai i bi +=-,其中,a b R ∈,则 a bi += ( ) A.12i +B.C.D. 5412、已知i 是虚数单位,则11i i i i ( )A. 1322i -+ B. 1322i - C. 3122i + D. 3122i - 13、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A.32i - B.32i + C.23i + D. 23i -14、已知复数2(1i z i i =+为虚数单位),则z 的虚部为( ) A. 1B. 1-C. iD. i -15、方程()()2223256? 0?x x x x i --+-+=的实数解x =__________.16、设关于 x 的方程()()2tan i 2i 0x x θ-+-+=,若方程有实数根.则锐角θ和实数根__________.17、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 18、已知23i -是关于x 的方程220x px q ++= (p ,q R ∈)的一个根, 则p =__________,q =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：C解析：设这个复数为i(,R)a b a b +∈,则|i |a b +=.由题意知i 5a b +=+,即i 5a b +=.∴5,a b ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11,5a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴所求复数为115+,故选C.3答案及解析：答案：D解析：∵3i i =-,2i 2i(1i)i(1i)i 11i (1i)(1i)-==-=+++-, ∴32i i i i 111i+=-++=+.4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C 解析：由题意()1i 1i 1i i iz z ++⋅=+-()21i i 1i 1i 1i 2i +=++=-++=,故选 C.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：C 解析：2(2)(12)12(12)(12)i i i i i i i +++==--+, ∴212i i+-的共轭复数是i -.11答案及解析：答案：C解析：因为()121ai i bi +=-,所以21a i bi -+=-,12a =-,1b =-,所以122a bi i +=--=,选C.12答案及解析：答案：D解析：13答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.14答案及解析：答案：B解析：15答案及解析：答案：2解析：16答案及解析： 答案：()π1,πZ 4x k k θ=-=+∈ 解析：原方程可化为()2tan 210x x x i θ---+=,2tan 2010x x x θ⎧--=⎨+=⎩ 解得()π1,πZ 4x k k θ=-=+∈17答案及解析：答案：6 解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.18答案及解析：答案：12; 26解析：由题意知()()2223230i p i q -+-+=,即()1032240p q p i -++-=. ∵p 、q R ∈,∴1030,{2240,p q p -+=-=∴12p =,26q =.由Ruize收集整理。
2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：5.2 复数的四则运算 Word版含解析
2. 导学号88184057若z2+z+1=0，则z2 014+z2 015+z2 017+z2 018的值为（)
A。2B。-2
C。- iD.- i
解析：∵z2+z+1=0,两边同乘(z—1），得z3—1=0，
∴z3=1(z≠1），
则z4=z，z2 014=(z3)671×z=z，
于是原式=z2 014（1+z+z3+z4)
§
课后训练案巩固提升
A组
1。复数 的虚部为()
A.0B。1C。—1D。2
解析：∵ =i，
∴虚部为1.
答案：B
2.设z1=2+bi，z2=a+i，当z1+z2=0时,复数a+bi为(）
A.1+iB。2+iC。3D.—2-i
解析：∵z1+z2=（2+bi）+(a+i）=（2+a）+(b+1）i=0,
∴
∴ ∴a+bi=-2-i.
答案：3
7.已知复数z= 是z的共轭复数,则z· =.
解析:∵z=
= =— i,
∴ =— i.
∴z·
= .
答案：
8。若x，y∈R，且 ，则x=,y=.
解析:∵ ，
∴ 。
∴ 。
∴（x-y)+(y—2x）i= =4—3i.
∴
答案:—1—5
9。计算:(1) （2-i）（3+i）；
(2) .
解（1) (2-i)（3+i)
=
= .
∵-1≤sin ≤1,
∴0≤|z—w｜≤2。
高中数学 第四章 2.1复数的加法与减法检测题 北师大版
§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i 6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.7．3＋i8.115＋3i9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋mm ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。
北师大版数学高二课时作业 5.2.1 复数的加法与减法
§2 复数的四则运算5.2．1 复数的加法与减法一、选择题1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32i 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B. 2 C ．2 D.56．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17二、填空题7．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝________.8．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．三、解答题10．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；(2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i .(3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．13．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．答案精析1．C [z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i.] 2．B [z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.]3．C4．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.] 5．A [设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A.]6．B [如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，所以|BD →|＝13.]7．4＋i解析 两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i.8．1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.9.115＋3i 解析 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝ 3. ∴x ＋y i ＝115＋3i. 10．解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.(2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i.(3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ，z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i.11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 13.解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1得A (2＋22，22)，B (2－22，－22)． ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.∵点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上， ∴22<2－ 2.∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。
北师大版数学高二- 选修2试题 5.2 复数的四则运算基础巩固
【成才之路】 高中数学 5.2 复数的四则运算基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．(2014·天津理，1)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－i B.－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i[答案] A [解析] 原式＝7＋i 3－4i 3＋4i3－4i ＝25－25i25＝1－i ，故选A.2．(2014·福建理，1)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z －等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i[答案] C[解析] ∵z ＝(3－2i)i ＝3i ＋2，∴z ＝2－3i ，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝a －b i ，3．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算及复数的几何意义． ∵z ＝2－i 2＋i ＝2－i 25＝4－4i －15＝35－45i. ∴z 在复平面由对应的点为 (35，－45)，故选D.二、填空题4．(2012·江苏，3)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．[答案] 8[解析] 本题考查复数除法运算及复数相等的条件．∵11－7i 1－2i ＝11－7i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝11－14i 2＋22－7i 12＋22＝25＋15i5＝5＋3i ， 复数除法运算就是将分子、分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化． 5．已知f (z )＝|1＋z |－z 且f (－z )＝10＋3i ，则复数z ＝__________. [答案] 5－3i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则－z ＝－x －y i ，由f (－z )＝10＋3i ， 得|1＋(－z )|－－z＝10＋3i ，|(1－x )－y i|－(－x ＋y i)＝10＋3i ， ∴⎩⎨⎧1－x 2＋y 2＋x ＝10－y ＝3解之得x ＝5，y ＝－3， ∴所以z ＝5－3i. 三、解答题6．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：1－z1＋z是纯虚数．[分析] 将z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)代入z ＋1z ，1－z1＋z 分别化为代数形式．[解析] 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.由已知得z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝(x ＋x x 2＋y 2)＋(y －yx 2＋y 2)i. ∵z ＋1z 是实数，∴y －y x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1，且x ≠±1，∴1－z 1＋z ＝1－x ＋y i1＋x ＋y i＝1－x －y i1＋x －y i 1＋x ＋y i 1＋x －y i ＝1－x 2－y 2－2y i1＋2x ＋x 2＋y2＝－y1＋xi.∵y ≠0，x ≠－1， ∴1－z1＋z是纯虚数． [点评] 充分利用复数的代数形式：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入到已知条件，利用复数的四则运算化简，即可得要证的结果.一、选择题1．(2014·湖南理，1)满足z ＋1z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i[答案] B [解析] 由题可得z ＋i z ＝i ⇒z ＋i ＝z i ⇒z (1－i)＝－i ⇒z ＝－i 1－i ＝12－12i ，故选B. 2．(2014·辽宁理，2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[答案] A[解析] z －2i ＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝2＋3i.3．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：z 1⊗z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2|z 1|>|z 2|，z 1－z 2|z 1|≤|z 2|，当z 1＝3－i ，z 2＝－2－3i 时，z 1⊗z 2＝( )A ．5＋2iB ．1＋2iC ．9＋7iD ．1－4i[答案] A[解析] 由|z 1|＝32＋－12＝10，|z 2|＝－22＋－32＝13，知|z 1|<|z 2|，故由新“运算”法则，得z 1⊗z 2＝z 1－z 2＝(3－i)－(－2－3i)＝5＋2i ，选A.[点评] 读懂运算法则是解此类题的关键． 4．若z 2＋z ＋1＝0，则z 2002＋z2003＋z2005＋z2006的值是( )A ．2 B.－2 C ．－12＋32iD.－12±32i[答案] B[解析] 由z 2＋z ＋1＝0，不难联想到立方差公式，从而将z 得出．将z 2＋z ＋1＝0两边同乘(z －1)，得z 3－1＝0，即z 3＝1(z ≠1)．则z 4＝z ，z 2002＝(z 3)667· z ＝z ，于是，原式＝z2002(1＋z ＋z 3＋z 4)＝z (2＋2z )＝2(z ＋z 2)＝－2.5．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 在复平面内的对应点Z 的轨迹是( ) A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆 B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆 C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆 D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆 [答案] C[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4，设－1＋i 的对应点为C (－1,1)，则|ZC |＝4，因此动点Z 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆，故应选C.二、填空题6．设x 1＋i ＝32－i ＋y1－i(x ，y ∈R)，则x ＝____，y ＝____.[答案] 35；－95[解析] 由已知得x 1－i 1＋i 1－i ＝32＋i 2－i 2＋i ＋y 1＋i1－i 1＋i，整理得x 2－x 2i ＝65＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋y 2i .所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝65＋y 2，－x 2＝35＋y2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝－95.7．若方程x 2＋x ＋m ＝0有两个虚根α，β，且|α－β|＝3，则实数m 的值为________． [答案] 52[解析] 实系数一元二次方程的求解问题不能简单地利用根与系数的关系来解，应由方程的根适应方程及相关知识来解．因为方程x 2＋x ＋m ＝0为实系数一元二次方程，且有两个虚根α，β，所以α，β互为共轭复数．设α＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则β＝a －b i ，由|α－β|＝3，得b ＝±32.当b ＝32时，α＝a ＋32i ，代入方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i ＋m ＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋m －94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋32i ＝0.所以⎝ ⎛ a 2＋a ＋m －94＝03a ＋32＝0得出⎝ ⎛a ＝－12m ＝52.三、解答题8．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素个数是多少？[解析] ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n，设k ∈N. 当n ＝4k 时，f (n )＝2.当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0. 当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k·i 2＋(－i)4k·(－i)2＝－2. 当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k·i 3＋(－i)4k(－i)3＝0. ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．9．已知若z 1，z 2是非零复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，求证：z 1z 2是纯虚数．[解析] 证法(一)：设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R 且a 1与b 1、a 2与b 2不同时为0)，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，得a 1a 2＋b 1b 2＝0，于是z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2＋b 1a 2－a 1b 2ia 22＋b 22＝b 1a 2－a 1b 2a 22＋b 22i. 因为z ≠0，所以b 1a 2－a 1b 2≠0，即z 1z 2是纯虚数．证法(二)：将已知等式变形为|z 2||z 1z 2＋1|＝|z 2||z 1z 2－1|，故|z 1z 2＋1|＝|z 1z 2－1|，设z 1z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，从而解得a ＝0，又z 1z 2≠0，故b ≠0，所以z 1z 2为纯虚数． 证法(三)；将已知等式变形为|z 2||z 1z 2＋1|＝|z 2||z 1z 2－1|，故|z 1z 2＋1|＝|z 1z 2－1|， 令z ＝z 1z 2，则原等式化为|z ＋1|＝|z －1|，而变形后的几何意义是：表示点Z 到两定点A (1,0)、B (－1,0)的距离相等，则动点Z 的图形就是AB 的垂直平分线，即y 轴(原点除外)，于是有z ＝a i(a ∈R ，a ≠0)．所以z 1z 2为纯虚数．[点评] 上述三法风格迥异，证法(一)可谓通性通法，强调复数的代数形式及复数运算；证法(二)突出的是复数模的性质的应用，计算简捷，明了；证法(三)注重了复数几何意义的使用，使问题更直观、形象．后两种证法技巧性强，但运算量小．10．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)， ∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．。
复数的四则运算(含答案解析)
复数的四则运算1.复数 z= 的虚部为（）2 2013（ i 是虚数单位），则的值8.若 a=i+i + +iA.-1B.-3C.1D.2 为（）A.iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.已知 m 为实数， i 为虚数单位，若m+（m 2-4） i＞ 0，的实部与虚部是互9.设 i 是虚数单位，假如复数则=（）为相反数，那么实数 a 的值为（）A.iB.1C.-iD.-1A. B. C.3 D.-33.已知 a∈ R，i 为虚数单位，若（ 1-i ）（ a+i）为纯虚数，则 a 的值为（）10. 复数 z 知足（ z+2i） i=1+i，则 z=（）A.2B.1C.-2D.-1 A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i11.已知复数 z 的实部为a（ a＜ 0），虚部为1，模长为4.已知（a，b∈R），此中i为虚数单位，2，是 z 的共轭复数，则的值为（）则 a+b=（）A.0B.1C.-1D.2 A. B.- -i C.-+i D.-5.计算=（）A.-1B.iC.-iD.16.已知 i 是虚数单位，，则| z|=（）A. B.2 C. D.47.复数 z 知足 z（2-i ） =2+i（ i 为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.设 x， m 均为复数，若 x2=m，则称复数 x 是复数 m 的平方根，那么复数 3-4i（ i 是虚数单位）的平方根为（）A.2-i 或 -2+iB.2+i 或 -2-iC.2-i 或 2+iD.-2-i 或 -2+i13.设 i 为虚数单位，则（）2014等于（）A.21007iB.-21007iC.22014D.-2201414.已知复数 z1=1+i， | z2 |=3 ， z1z2是正实数，则复数 z2= ______ ．15.复数 z=，i是虚数单位，则z2015= ______．复数的四则运算答案和分析1.B 解：∵ z==，∴复数z=的虚部为 -3．2. A 解：∵ m+（m2-4） i＞ 0，∴，解得：m=2．则=．3.D 解：∵（ 1-i）（ a+i） =1+a+（1-a）i 为纯虚数，∴，解得：a=-1．4.B 解：∵=，∴，解得，则 a+b=1．5.B 解：=．6. C解：由，得，即| z|=．7.D 解：∵z（ 2-i）=2+i，∴ z（ 2-i）（2+i）=（2+i ）（ 2+i），∴ z= （ 3+4i），则= - i 在复平面内对应的点（，-）所在象限为第四象限．8. D 解：由于i+i2 +i3+i 4=0，因此2 2013=i．= = =-a=i+i + +i=-=-1-i．9.C 解：==，∵ 复数的实部与虚部是互为相反数，∴，即 a=3．10. B 解：由（ z+2i） i=1+i ，得，∴ z=1-3i．11.D 解：∵复数 z 的实部为 a（ a＜ 0），虚部为 1 ，则复数 z=a+i．又模长为 2，∴，解得a=．∴ z=，．则==．2 2 212. A 解：设 z=x+yi，则（ x+yi） =3-4i，即 x -y +2xyi=3-4i，∴，解得：或．∴复数 3-4i 的平方根为2-i 或 -2+i．13. A 解：∵（）2=-2i，∴ （）2014=（-2i）1007=（-2）1007?i1007=21007i．14.解：设复数 z2=a+bi（ a， b∈ R），z1z2=，∵ | z2|=3，z1z2是正实数，∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．15. 解：∵ z==（1+i），∴ z2=（1+2i+i2）=i，z3=z2?z=i?（1+i）=（-1+i），z4=（z2）2=-1，z5=z4?z=-（1+i），z6=z4?z2=-i，z7=z3?z4=（1-i），z8=z2?z6=1， z9=z?z8=（1+i），∴z t=z8k+t（k、t∈N*），∵ 2015=251× ，8+7∴ z2015=z7=（1-i），故答案为：（1-i）．。
复数的四则运算测试卷-高一数学北师大版(2019)必修第二册
5.2复数的四则运算 测试卷一、单选题1．已知2(1i)52i z +⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则i z ⋅=（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+ 3．在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是(2,1),(0,5)-，则复数21z z 的虚部为（ ） A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i4．设复数z 满足：3π(68i)sin i cos π2z θθθ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，则||z =（ ）A ．110-B ．110C ．1cos 10θ- D ．1sin 210θ-5．14i24i +=-（ ） A ．93i 105+ B ．93i 1010+ C ．73i 105-+ D ．73i 1010-+ 6．复数z i a b =+(),0a b ≠.若112z-=，则（ ）的值与a 、b 的值无关.A ．13z +B ．12z +C ．12z -D ．14z -7．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（ ）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．28．复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则（ ） A ．0ac bd +≠且0ad bc += B ．0ac bd +=或0+≠ad bc C ．0-=ac bd 且0+≠ad bc D ．0-=ac bd 或0ad bc +=二、多选题9．已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数zB ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为13i -+D ．20231i 3z -⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．设复数1iz a b =+（a ，b ∈R 且0b ≠），则下列结论正确的是（ ） A ．z 不可能是实数 B ．z z =恒成立 C ．若2z ∈R ，则0a =D ．若1z z+∈R ，则2z =11．在复数范围内，方程38x =的虚数根是（ ）A ．B ．1-C ．1D ．1-12．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=三、填空题13．设a ∈C ，a ≠0，化简：i1ia a -+=______ . 14．已知复数z 满足i 1i z z +=-（i 是虚数单位），则z =______. 15．若复数z 满足1i 1zz+=-，则复数2023z 的值是______． 16．复数z 满足z i 12i =+，则复数z 的模等于_________． 四、解答题 17．计算． (1)()()14i 1i 24i 34i-++++；(2)()()551i 1i 1i1i+-+-+；202222+⎝⎭.18．已知复数()()21i 31i 2iz -++=-．(1)求z 的共轭复数；(2)若1i az b +=-，求实数a ，b 的值．19．已知复数1i z x =+(i 是虚数单位)，且(1i)z ⋅+为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (1)求实数x 的值及复数z 的模；(2)若复数15i m zω-=在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.20．已知z 是复数，2i z +、2iz-均为实数（i 为虚数单位），且复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．21．求同时满足下列两个条件的所有复数z ． ①1016z z<+≤； ②z 的实部和虚部都是整数．22．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M z n ωω-*==∈N ．(1)设a 是方程1x x+=a M ．若在a M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；(2)设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．参考答案1．B【分析】利用复数的除法可得i 22z +=-，再应用共轭复数定义,即可知其对应点所在的象限. 【详解】由题设，252i 52i (52i)i 5i 251i (1i)2i 222z ---+====-=--+-，51i 2z =-+， ∴z 在复平面内对应的点为5(1,)2-在第二象限.故选：B . 2．A【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则1i z =- 所以()i i 1i i+1z ⋅=⨯-= 故选:A 3．A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即得. 【详解】由题可知122i,5i z z =-=， 则()()()2i 5i 5i 12i 2i 2i 2i z +⋅===-+--+， 所以复数21z z 的虚部为2．故选：A. 4．B【分析】根据复数的运算法则和模的概念可证得1122z z z z =，由此即可求得结果. 【详解】设复数()12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，则12z z ==122222i z ac bd bc adz c d c d +-=+++，（20z ≠）则12z z==，故1122z z z z =．sin icos 68iz θθ+=+，sin i cos |sin i cos |168i |68i |10z θθθθ++∴===++． 故选：B ． 5．C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果.【详解】()()()()14i 24i 14i 24i 24i 24i +++=--+1412i 73i 20105-+==-+. 故选：C. 6．A【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a 、b 关系，再依次判断各选项. 【详解】因为z i a b =+，所以()()()()()2222i 1i i 111i 11i i i i a a b b a b a b a b z a b a b a b a b a b ---------=-===+++-+， 所以222222222222221i 1a a b b a a b b z a b a b a b a b ⎛⎫----⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 又112z -=，所以222222224a a b b a b a b ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()()22222224a ab b a b --+=+，所以()()222222223a a a b b a b -++=+，因为,0a b ≠，所以220a b +≠，所以22213a a b ++=，所以2211039a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以1103z +=，即13z +的值与a 、b 的值无关.故选：A. 7．D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D 8．C【分析】先利用复数乘法化简()i a b +⋅()i c d +，再利用纯虚数定义即可得到选项. 【详解】()i a b +⋅()i ()i c d ac bd ad bc +=-++又复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则00ac bd ad bc -=⎧⎨+≠⎩，故选：C 9．AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】因为2i i 4z z -=+，所以(1i)42i z -=+，()()()()21i 2i 42i 13i 1i 1i 1i z +++===+-+-，有z =A 正确；复数z 在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B 错误； 复数z 的共轭复数为13i z =-，故C 错误；因为202320231i i 3z -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故D 正确，故选:AD. 10．ABC【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可. 【详解】对于A 项，若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数， 则0b =，与已知矛盾，故A 项正确； 对于B 项，由A 项知2222ia b z a b a b =+++，所以zz z ==， 故B 项正确； 对于C 项，若()()()2222222222222i a b abz a babab=--=+++()()222222222i a b ababab--∈++R ，则()22220abab=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 项正确； 对于D 项，11i z a z a b +=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭R ， 则220bb a b-=+，因为0b ≠，所以221a b +=，所以2222221z a b a b a b -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎝，故D 项错误． 故选:ABC ． 11．BD【分析】利用一元二次方程在虚数范围内的根的求法.【详解】方程38x =可化为()2(2)240x x x -++=，解得=2x 或212i13i x -±==-. 故选:BD. 12．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，22max 1i (11)(11)13z --=--+-=，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又1213i z z +=，所以+=1,+3m c n d 所以+=2mc nd -，所以2212=|()+()i|=()+()z z m c n d m c n d -----2222=+++2(+)=4+42?(2)=23m c n d mc nd ---.故选：ACD 13．－i【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】()()()()()22221ii 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a-+------====-++-++， 故答案为：－i. 14．1【分析】根据复数运算求得z ，从而求得z . 【详解】依题意，i 1i z z +=-，所以()()()()21i 1i 2i 1i 1i,i 1i 1i 1i 2z z ---+=-====-++-， 所以1z =. 故答案为：1 15．i -【分析】根据复数的除法运算求出i z =，再根据复数的乘方求解. 【详解】由1i 1zz+=-可得1i i z z +=-，即(1i)1i z +=-+， 所以1ii 1iz -+==+，则202320222023i i i i z ==⋅=-， 故答案为: i -. 16【分析】先通过计算得到复数z ，再求出复数的模得解. 【详解】解：由题得z 12i2i i+==-，则|z|17．(1)1i - (2)0 (3)2i【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式()()()()7i 34i 53i 24i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 34i 25+--+++-=====-+++-.（2）原式()()()()()()()()332266331i 1i 1i 1i 2i 2i 8i 8i 01i 1i 222⎡⎤⎡⎤++-++-+--+⎣⎦⎣⎦=====-+.（3）i 123i 13i i 13123i ---+===+，4211i ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝⎭2248i 48i 0---+=， ∴原式()25051i 10i i i 2i i =+-⨯+=-=+=⎝⎭. 18．(1)1i -； (2)1,2a b =-=.【分析】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【详解】（1）()()()()()()21i 31i 3i 2i 12i 133i 63i 2i 11i 2i 2i 2i 2i 5z -++++--++++-=====+---+，所以z 的共轭复数为1i -；（2）11i (1i)1i i 1i 1,21a b az b a b a b a a b a +=⎧+=-⇒++=-⇒++=-⇒⇒=-=⎨=-⎩. 19．(1)1,||2x z =-= (2)11m -<<【分析】（1）根据复数的乘法运算算出(1i)z ⋅+，然后可得答案； （2）对ω进行运算化简，然后可得答案.【详解】（1）由题意得(1i)(1i)(1i)1(1)i z x x x ⋅+=-+=++-为纯虚数， 所以10,10x x +=-≠，所以1,||2x z =-= （2）15i i (i)(1i)(1)(1)i 221i m m m m m z ω-+++-++-====， 因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以10,10m m -<+>， 所以11m -<<. 20．()2,6【分析】设i z x y =+()x y ∈R 、，化简2i z +、2iz-并根据其均为实数求得参数x ，y ，化简2(i)z a +并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得a 的范围.【详解】设i z x y =+()x y ∈R 、，∵()2i 2i z x y +=++为实数，∴=2y -，∴2i z x .∵()()()()2i 1112i 2i 224i 2i 2i 555z x x x x -==-+=++---为实数，∴4x =．∴42i z =-． ∵()()()()222i 42i 12482i z a a a a a +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦在复平面上对应的点在第一象限，∴()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩，解得26a <<.∴实数a 的取值范围是()2,6． 21．13i z =±或3i z =±．【分析】设i(,R)z x y x y =+∈，利用题给条件列出关于,x y 的方程组，解之即可求得,x y ，进而求得复数z【详解】设i(,R)z x y x y =+∈，则()()2222222210101010i i i x x y y x y z x y z x y x y x y +++-+=++=++++． ∵1016z z <+≤，∴10R z z +∈，故有：()()2222221001016y x y x x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨++⎪<≤+⎪⎩①②由①得0y =或2210x y +=， 将0y =代入②，得1016x x<+≤， 则0x >，则106x x +≥，则1016x x<+≤无解； ∴0y ≠，将2210x y +=代入②得126x <≤，解之得132x <≤又x ，y 为整数，∴1113x y =⎧⎨=±⎩，或2231x y =⎧⎨=±⎩，故13i z =±或3i z =±． 22．(1)M α见解析，13P =；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意求得α，再结合复数的乘方运算，即可求得a M ；根据古典概型的概率计算公式，即可求得概率P ；（2）根据z M 的定义，设出M ω中的任意一个元素x ，根据其满足的条件化简x 的形式，只需证明x 满足z M 定义中的形式即可. 【详解】（1）因为α是方程1x x +=的一个根，故α=，当α时，))))2211i ,4,1i ,41,i 1i ,42,1i ,43n nn n k n k k n k n k αααα-*⎧-=⎪⎪⎪+=-⎪⎪===∈⎨⎪-=-⎪⎪⎪+=-⎪⎩N故))))1i ,1i ,1i 1i M α⎫⎪=-+-+⎬⎪⎪⎩⎭；同理，当α=时，))))1i 1i 1i ,1i M α⎧⎫⎪⎪=++--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；在a M 中任取两个数共有6种取法，满足和为零的有2种，故其概率2163P ==. （2）证明：设x 为集合M ω中的一个元素，则21,n x n ω-*=∈N ，因为z M ω∈，故存在k *∈N ，使得21k z ω-=；因为()()212121,,k n n z k n ω---*=∈N ，且()()()2121421k n kn k n --=-++()()()2111121,k n n k l l n *⎡⎤=-+-+-=-∈⎣⎦N ，其中()()111l k n n k =-+-+， 故()()2121k n --为正奇数，故2121n l z x z M ω--==∈.故z M M ω⊆. 【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，涉及古典概型的概率计算；其中第二问中处理问题的关键是能够根据x 的形式，逐步划归为满足z M 的形式，属综合难题.。
高中数学 5.2复数的四则运算同步练习 北师大版选修2-2
一、选择题1．复数3(1)i -的虚部为（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2- 答案：D 2．i 是虚数单位，1i i =+（ ） A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i -- 答案：A3．已知C z ∈，满足不等式0zz iz iz +-≤的点Z 的集合用阴影表示为（ ）答案：C4．设复数z 满足11z z -+i =，则1z +=（ ） A ． 0B ．1C 2D ．2 答案：C二、填空题 5．复数3123i i ++的值是 ． 答案：1710i + 6．已知复数032z i =+，复数z 满足003z z z z =+g ，则复数z = ． 答案：312i - 三、解答题7．已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围．解：由题意，得115231i z i i-+==++， 于是21242(4)4z z a i a -=-+=-+ 113z =，<，即2870a a -+<，解得17a <<．8．已知复数12z z ，满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由题意可设122z z ki +=（k 为实数，且0k ≠），则122z ki z =-，代入2212121052z z z z +=，得22222210(2)52(2)ki z z ki z z -+=-，化简，得222224942100z kiz k i -+=， 解得221749ki k z +=，127ki k z -=，123z z k -=-， 或221749ki k z -=，127ki k z +=，123z z k -=． 即证123z z -为实数．备选题1． 已知()z i z ω=+∈C ，且22z z -+为纯虚数，求2211M ωω=++-的最大值及当M 取最大值时的ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则(1)a b i ω=++． 22222(2)(4)42(2)(2)z a bi a b bi z a bi a b--++-+==+++++， 因为22z z -+为纯虚数，所以224(0)a b b +=≠． 2211M ωω=++-2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++124b =+，因为224(0)a b b +=≠，所以2240a b =-≥，所以22b -≤≤且0b ≠．故当2b =时，M 取最大值20，这时0a =，3i ω=．2．求同时满足下列两个条件的所有复数．（1）10z z +是实数，且1016z z<+≤； （2）z 的实部和虚部都是整数． 解：10z z +Q 为实数，且1016z z <+≤， 令10z u z+=，则u ∈R ，且16u <≤， 于是2100z uz -+=． ①方程①是关于z 的实系数一元二次方程，且有2400u ∆=-<，（因为16u <≤）故解得2u z =． ② z Q 的实部和虚部都是整数，所以u 只能取2或6两个值．可求得满足条件的所有复数：13z i =±或3z i =±．3．复平面内点A 对应的复数为1，过点A 作虚轴的平行线l ，设l 上的点对应的复数为z ，试求复数1z对应的点集是什么图形？ 解：因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以可设直线l 上的点对应的复数为1()z bi b =+∈R ， 于是211111bi z bi b -==++． 设1x yi z =+，得22111b x yi i b b +=-++． 根据复数相等的充要条件，得22111x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 消去b ，得2222222211(1)(1)1b x y x b b b +=+==+++． 所以22(0)x y x x +=≠， 即2211(0)24x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭． 故1z 所对应的点的集合是以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，但不包括原点(00)，．。
2020-2021学年北师大版数学选修2-2学案：5.2 复数的四则运算 Word版含解析
2 复数的四则运算授课提示：对应学生用书第48页[自主梳理]一、复数的加法与减法设a ＋b i 和c ＋d i 是任意两个复数，我们定义复数加法、减法如下：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝________________.也就是说，两个复数的和(或差)仍然是一个________．它的实部是原来两个复数的实部的________，它的虚部是原来两个复数的虚部的________．二、复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，我们定义复数的乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝______________.也就是说，两个复数的积仍然是一个复数．复数的乘法与________的乘法是类似的，但在运算过程中，用i 2＝－1进行化简，然后把实部与虚部分别合并．三、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作________．复数z 的共轭复数用________来表示，也就是当z ＝a ＋b i 时，z －＝________.于是z z －＝a 2＋b 2＝________.四、复数乘法运算律 对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有 1．z 1·z 2＝________； 2．(z 1·z 2)·z 3＝________； 3．z 1(z 2＋z 3)＝________； 4．z m z n ＝________； 5．(z m )n ＝________；6．(z 1z 2)n ＝________，其中m ，n 为正整数． 五、复数的除法给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i(c ＋d i ≠0)，我们把满足等式(a ＋d i)·(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋y i 叫作复数a ＋b i 除以c ＋d i 所得的________，记作________或者________，a ＋b ic ＋d i＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝______________.[双基自测]1．设a ，b ∈R ，(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0，那么复数a ＋b i 的模为( ) A ．0 B ．6 C ．3 5D ．2 32．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[自主梳理]一、(a ±c )＋(b ±d )i 复数 和(或差) 和(或差) 二、(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 多项式 三、互为共轭复数 z － a －b i |z |2 四、1.z 2·z 1 2.z 1(z 2·z 3) 3.z 1z 2＋z 1z 3 4.z m ＋n 5.z mn 6.z n 1·z n 2 五、商 (a ＋b i)÷(c ＋d i) a ＋b i c ＋d i (ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2[双基自测]1．C ∵a ，b ∈R ，且(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝(5＋b －2)＋(b －3－a )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋b －2＝0，b －3－a ＝0.∴a ＝－6，b ＝－3.∴|a ＋b i|＝ (－6)2＋(－3)2＝3 5.2．B z ＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i.授课提示：对应学生用书第49页探究一 复数的加减法运算[例1] 设m ∈R ，复数z 1＝(3m ＋2)＋(m －2)i ，z 2＝－2m ＋3m ＋2＋(m 2－4m －2)i ，若z 1＋z 2为虚数，求m 的取值范围．[解析] z 1＋z 2＝(3m ＋2)＋(m －2)i ＋－2m ＋3m ＋2＋(m 2－4m －2)i＝(3m ＋2＋－2m ＋3m ＋2)＋(m 2－3m －4)i＝3m 2＋6m ＋7m ＋2＋(m 2－3m －4)i.因为z 1＋z 2为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4≠0，m ＋2≠0，解得m ≠4，且m ≠－1，且m ≠－2.所以m 的取值范围是{m |m ∈R ，且m ≠4，且m ≠－2，且m ≠－1}．复数的加、减法运算，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部．同时，还要弄清复数的有关概念．1．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )． 解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i.探究二 复数的乘、除法运算[例2] 计算下列各式：(1)(1＋2i)(1＋3i)；(2)(1＋i)(1－2i)(3i ＋2)； (3)－1＋3i 1＋2i ；(4)2－i (3－4i )(1＋i ).[解析] (1)(1＋2i)(1＋3i)＝1＋3i ＋2i ＋6i 2＝－5＋5i. (2)(1＋i)(1－2i)(3i ＋2) ＝(1－2i ＋i －2i 2)(3i ＋2) ＝(3－i)(2＋3i) ＝6＋9i －2i －3i 2 ＝9＋7i.(3)－1＋3i 1＋2i ＝(－1＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5＋5i 5＝1＋i.(4)2－i (3－4i )(1＋i )＝2－i 7－i ＝(2－i )(7＋i )(7－i )(7＋i )＝15－5i 50＝310－110i.1．复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方差公式、完全平方公式等．2．复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.2．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，求x ＋y 的值．解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i， x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )，即12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)， 所以⎩⎨⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5所以x ＋y ＝4.探究三 共轭复数[例3] 已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i) ＝10(1＋3i )10， 所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1或z ＝－1－3i.共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．(2016·高考全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：利用共轭复数的概率及复数的运算法则求解． 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5， 则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.答案：C探究四 复数的乘方及综合运算[例4] 计算：(1)i 2 016＋(2＋2i)8－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 50；(2)i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 015. [解析] (1)原式＝i 4×504＋[2(1＋i)2]4－⎝⎛⎭⎫2－2i 25＝1＋(4i)4－i 25＝257－i.(2)因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0， 所以i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝i ＋i 2＋i 3＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋(i 8＋i 9＋i 10＋i 11)＋…＋＝i －1－i ＋0＋…＋0＝－1.(1)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)，如有i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算． (2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋4＝1(n ∈N )； ②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)．4．若z ＝21－i，试求z 100＋z 50＋1的值．解析：因为z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝(1＋i )2，所以z 2＝(1＋i )22＝i.所以z 4＝－1.又i 4＝1，所以z 100＋z 50＋1＝(z 4)25＋(z 2)25＋1＝(－1)25＋i 25＋1＝i.数形结合思想在复数中的应用[例5] 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，求|BD →|.[解析] 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13. [感悟提高] (1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后借助复数相等即可求解．(2)复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版数学高二-选修2试题 5-2复数的四则运算
一、选择题1．(2013·济宁高二检测)设a ，b ∈R ，(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0，那么复数a ＋b i 的模为( )A ．0B ．6C ．3 5D ．2 3【解析】 ∵a ，b ∈R ，且(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝(5＋b －2)＋(b －3－a )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋b －2＝0，b －3－a ＝0.∴a ＝－6，b ＝－3. ∴|a ＋b i|＝(－6)2＋(－3)2＝3 5. 【答案】 C2．复数z 1＝a 2－2－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．1或－2【解析】 z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2＋2－3a )i ，由z 1＋z 2是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0a 2＋2－3a ≠0，解得a ＝－2. 【答案】 C3．(2012·辽宁高考)复数2－i 2＋i＝( ) A.35－45 i B.35＋45iC ．1－45iD ．1＋35i【解析】 2－i2＋i ＝(2－i )25＝35－45i. 【答案】 A4．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】i 1＋i ＋(1＋3i)2＝i ＋12＋(－2＋23i)＝－32＋1＋432i 对应的点位于第二象限．【答案】 B5．若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( )A ．±2 2B ．－2 2C ．－22iD ．±22i【解析】 由题意z 2＝－2，故z ＝±2i ，∴z 3＝±22i 3＝±22i.【答案】 D6．i 为虚数单位，则(1＋i 1－i)2 011＝( ) A ．－i B ．－1C ．iD ．1【解析】 (1＋i 1－i)2 011＝i 2 011＝i 502×4＋3＝i 3＝－i. 【答案】 A二、填空题6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于第________象限．【解析】 z 2－z 1＝1－2i －(2＋i)＝(1－2)＋(－2－1)i ＝－1－3i ，对应的点为(－1，－3)在第三象限．【答案】 三7．(2012·湖南高考)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.【解析】 法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.【答案】 108．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝____________.【解析】 z ·z ＝|z |2＝1＋(－2)2＝5.∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i.【答案】 6－2i三、解答题9．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．【解】 (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.10．已知z 1，z 2是两个虚数，且z 1＋z 2与z 1z 2均为实数，求证：z 1，z 2是共轭复数．【证明】 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.由于z 1，z 2都是虚数，则b ≠0，d ≠0.则z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i ，z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ，由于z 1＋z 2与z 1z 2均为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋d ＝0，bc ＋ad ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1，z 2是共轭复数．11．计算7－24i 的平方根．【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是7－24i 的平方根． 则(a ＋b i)2＝7－24i ，而(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝7－24i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝7，2ab ＝－24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝3.∴7－24i 的平方根是4－3i ，－4＋3i.。
2024-2025年北师大版数学必修第二册5.2.1复数的加法与减法(带答案)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法必备知识基础练知识点一 复数的加法与减法运算 1．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)；(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)].知识点二 复数加减法的几何意义2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量OZ 1→ 对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→ 对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．4.如图，平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO → 所对应的复数，BC →所对应的复数； (2)对角线CA →所对应的复数；(3)B 点对应的复数．知识点三 复数加减法的应用5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形6．已知z ∈C ，指出下列等式所表示的几何图形． (1)|z ＋1＋i|＝1； (2)|z －1|＝|z ＋2i|.关键能力综合练一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数z 1＝－3＋2i ，z 2＝1－4i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m ＝( ) A ．4 B ．－1 C ．6 D ．03．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA → ，OB →，则复数z 1－z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA → ，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i5．(易错题)设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题6．已知复数z 1，z 2满足z 1－2z 2＝5＋i ，2z 1＋z 2＝3i ，则z 1＝________．7．已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．8．(探究题)复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为2＋3i ，向量BC →对应的复数为3－i ，则点C 对应的复数为________．三、解答题9．已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应复数－5－2i ，－4＋5i ，2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．学科素养升级练1.(多选题)已知复数z 0＝1＋2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z －1|＝|z －i|，下列结论正确的是( )A ．P 0点的坐标为(1，2)B ．复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为222．(学科素养——数学运算)已知复平面内的平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．2．1 复数的加法与减法必备知识基础练1．解析：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i. 2．答案：B解析：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故其对应的点位于第二象限．故选B.3．答案：1－i解析：∵Z 1Z 2＝OZ 2－OZ 1，∴向量Z 1Z 2对应的复数为(3－4i)－(2－3i)＝1－i.4．解析：(1)AO → ＝－OA →， ∴AO →所对应的复数为－3－2i. ∵BC → ＝AO →， ∴BC →所对应的复数为－3－2i. (2)CA → ＝OA → －OC → ， ∴CA →所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ， ∴OB →所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i. 5．答案：B解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA → ，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．故选B.6．解析：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点(1，0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线．关键能力综合练1．答案：C解析：由复数加法运算可知，z ＝z 1＋z 2＝－3＋2i ＋1－4i ＝－2－2i ，在复平面内对应的点坐标为(－2，－2)，在第三象限．故选C.2．答案：B解析：由题意可得z 1＝z 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1.故选B.3．答案：C解析：由图可知OA → ＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，因此z 1－z 2＝－2－i －i ＝－2－2i ，所以z 1－z 2在复平面内所对应的点为(－2，－2)，在第三象限．故选C.4．答案：D解析：在▱ABCD 中，CD → ＝BA → ＝OA → －OB →＝3＋i －(－1＋3i)＝4－2i.故选D. 5．答案：B解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1－z 2一定不是虚数，因此当z 1－z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，所以必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数时，z 1－z 2不一定是虚数，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立．故选B.6．答案：1＋75i解析：由题意得z 1－2z 2＋2()2z 1＋z 2 ＝5z 1＝5＋i ＋6i ＝5＋7i ，所以z 1＝1＋75i.7．答案：(2，＋∞)解析：由题意得z 1－z 2＝(2－a )＋(a －1)i ，因为复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a <0，a －1>0， 解得a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 8．答案：3－3i解析：设O 为坐标原点，由BA → ＝OA → －OB → 得OB → ＝OA → －BA →＝(2，1)－(2，3)＝(0，－2)，所以OC → ＝OB → ＋BC →＝(0，－2)＋(3，－1)＝(3，－3)，所以点C 对应的复数是3－3i. 9．解析：设AC 与BD 的交点为M ，则z M ＝z A ＋z C 2 ＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝(－5－2i)＋2－(－4＋5i)＝1－7i. 即点D 对应的复数为1－7i.因为z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC |＝|7＋2i|＝72＋22＝53 ，因为z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD |＝|5－12i|＝52＋（－12）2＝13.学科素养升级练1．答案：ACD解析：复数z 0＝1＋2i 在复平面内对应的点为P 0(1，2)，故A 正确；复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称，故B 错误；设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入|z －1|＝|z －i|，得|(x －1)＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，即（x －1）2＋y 2 ＝x 2＋（y －1）2，整理得y ＝x ，即点Z 在直线y ＝x 上，故C 正确；易知点P 0到直线y ＝x 的垂线段的长度即为P 0，Z 两点之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为|1－2|2 ＝22 ，故D 正确．故选ACD.2．解析：(1)∵向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i.∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵OC → ＝OA → ＋AC → ，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD → ＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1). 设D (x ，y )， 则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA → ·BC → ＝|BA → ||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10 ＝152 ＝210 .∵0<B <π，∴sin B ＝7210 ，∴S ▱ABCD ＝|BA → ||BC →|sin B ＝5 ×10 ×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.。
新教材高中数学第5章复数2复数的四则运算2-1复数的加法与减法素养作业北师大版必修第二册
第五章 2.1A 组·素养自测一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ．2．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( A ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A ．3．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1－z 2＝( B )A ．－1＋2iB ．－2－2iC ．1＋2iD ．1－2i[解析] OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)， ∴z 1＝－2－i ，z 2＝i ， ∴z 1－z 2＝－2－2i.4．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1,2i,5＋2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是( A ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] |AB |＝|2i －1|＝5，|AC |＝|4＋2i|＝20，|BC |＝5， ∴|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.故选A ．5．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋x i ＝(2－y )－3i ，则|x ＋y i|＝( A ) A ．10 B ．3 C ． 5D ． 2[解析] 1＋x i ＝(2－y )－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋y i|＝10.6．(多选)设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么( BD ) A ．z 的虚部为i B ．z 的虚部为1 C ．z ＝－34－iD ．z ＝34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1，∴z ＝34＋i.∴z 的虚部为1． 二、填空题7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝ 5 .[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝ －1＋10i . [解析] ∵z 1＋z 2＝5－6i ， ∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.9．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝ 2±i . [解析] 设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z ＝2±i.三、解答题10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.B 组·素养提升一、选择题1．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( D ) A ．－3 B ．3 C ．－3iD ．3i[解析] 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i.因为z ＋3i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0.又因为|z |＝x 2＋y 2＝3，解得x ＝0，y ＝3，即z ＝3i.2．□ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( C ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8iD ．1＋4i[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ， 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C ．3．(2021·福州高二检测)已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( C )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1[解析] 由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2.4．设复数z 满足|z －3－4i|＝1，则|z |的最大值是( D ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z |的最大值是32＋42＋1＝6.二、填空题5．(2020·大连高二检测)在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z 0＝0，z A＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为 －4 .[解析] 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a2＋a ＝3，得a －b ＝－4.6．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z 1，z 2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.三、解答题7．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i) ＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.所以sin B ＝7210.所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD 的面积为7.8．已知|z |＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值． [解析] 设z ＝x ＋y i ，则由|z |＝2知x 2＋y 2＝4， 故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上， ∴|z ＋1＋3i|表示圆上的点到点(－1，－3)的距离． 又∵点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4， 即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.。
新教材北师大版必修第二册5.2.1 复数的加法与减法 作业
2020-2021学年新教材北师大版必修第二册 5.2.1 复数的加法与减法 作业1、设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-22、已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ） A ．102 B ．5 C ．14 D ．523、若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．24、设i 是虚数单位，若复数1z i i=+，则z 的共轭复数为（ ）A ．1122i +B ．1i -C ．112i -D ．1122i -5、已知复数202032i iz i -=+，则复数z 的虚部为（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i6、已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．57、若复数z 满足1zii =-+，则z 在复平面内的对应点（ ）A ．在直线y x =-上B ．在直线y x =上C ．在直线2y x =-上D ．在直线2y x =上8、若34iz i =+，则复数z 的模是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59、对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数15z i =，223z i =-，35z i =-，42z i =-，那么这些复数的对应点共圆； ③cos sin i θθ+的最大值是2，最小值为0；④x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10、已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1)1i z i +=-，则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（） A ．(0,1) B ．(0,1)- C ．(1,0) D ．(1,0)-11、设i 是虚数单位，则复数21ii +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、i 是虚数单位，复数()i z a a =+∈R 满足，则z =AB ．2或5 CD ．513、若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z =___________，z =___________．14、若()()13ai i +⋅+为纯虚数（其中a R ∈，i 为虚数单位），则a =_______________．15、已知复数()()12z i a i =-+，其中i 是虚数单位.若z 的实部为0，则实数a 的值为________. 16、已知234z i =+，则3322--+iz z z 的值为________. 17、已知复数()00z b i b R =∈，21z i -+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 18、已知12z a i =+，234z i =-（其中i 为虚数单位）.（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若121z z z -<（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.19、已知,x y R ∈，虚数(2)x yi -+的模为1时，求yx 的取值范围．参考答案1、答案A根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.详解因为()()122+213+i i i i i+-=-+=，所以复数的实部为3，故选：A名师点评本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.2、答案A由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z . 详解由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+ 即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||z == 故选：A名师点评本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3、答案D由()13z i i -=+可得z 的表达式，根据复数的乘除运算即可化简z,得出z 的实部.详解：由()13z i i -=+可得()3z 131123i i i i +=+=--+=-所以z 的实部为2，故选D. 名师点评本题考查了复数的乘除运算，属于基础题.4、答案D利用复数的四则运算化简z ，再得出z 的共轭复数. 详解：(1)111(1)(1)222i i i z i i i -+===++- 1122z i ∴=-故选：D 名师点评本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.5、答案A利用复数的乘方和除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的虚部.详解：()()()()()5054202033233551222225i i i i ii i i z i i i i i i ------======-++++-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：A.名师点评本题考查复数虚部的求解，考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.6、答案D 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 详解：21(1)21(1)(1)2i i i ii i i ++===--+，1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D名师点评本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.7、答案B 去分母化简运算求得z ，进而得到1z i =+，根据复数的几何意义得到所对应点的坐标，进而作出判定.详解：因为1z i i =-+,所以()11z i i i =-+=-，所以1z i =+，故z 在复平面内的对应点的坐标为(1,1),在直线y x =上.故选：B.名师点评本题考查复数的运算，复数的几何意义，涉及共轭复数，属基础题. 8、答案D 根据复数除法运算化简34iz i =+，根据复数模的定义，即可求得答案.详解： 34iz i =+∴ ()343443431i i i i z i i i i ++-+====-⋅-根据复数(,)za bi ab R =+∈的模为：z =43z i =-∴ 5z ==故选：D.名师点评 本题考查了求复数的模，解题关键是掌握复数除法运算和复数模的定义，考查了计算能力，属于基础题.9、答案D①由复数模的计算判断；②分别计算出1z 、2z 、3z 和4z 的模判断；③计算cos sin i θθ+的模判断；④由复平面的定义判断.详解：①正确.因为若z R ∈，则z ≥，若()0,,z a bi b a b R =+≠∈，0z =>；②正确.因为1z =2z ==，3z =4z =.③错.因为cos sin 1i θθ+==为定值，最大、最小值相等都是1.④正确.由复平面的定义，是成立的.故选：D名师点评本题主要考查复数模的计算和复平面的定义，属于基础题.10、答案A根据复数除法运算法则求出z ，结合共轭复数的概念，即可求出结论.详解 由()11z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，∴复数z 的共轭复数为i ，在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.名师点评本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.11、答案A 化简21ii +后可得其对应的点，从而可得正确的选项.详解()212=112i i i i i -=++，该复数对应的点为()1,1，它在第一象限， 故选：A.名师点评本题考查复数的乘法、除法及复数的几何意义，本题属于基础题.12、答案C因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以211{213a a a -+=+=-，解得2a =-，所以|||2|z i =-+== C.考查目的：1、复数的运算；2、复数的模.13、答案12i -+利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．详解由题意得：()()2212z -=+i i ， ()()()()()21234234105222225i i i i z i i i i +-++-+-+=====-+---+i i∴z =故答案为：12i -+名师点评本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14、答案3先化简()()13ai i +⋅+，再利用纯虚数的概念解答得解. 详解由题得()()3(3113)ai i a a i ⋅=-++++，由纯虚数的概念得30,3130a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩.故答案为：3名师点评本题主要考查复数的运算和纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、答案2-利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0得a 的值.详解：∵()()()()12212z i a i a a i =-+=++-，且z 的实部为0，∴20a +=，即2a =-，故答案为：2-.名师点评本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.16、答案6385-±i 设z a bi =+，易得22324a abi b i +-=+，由复数相等可得出a 和b 的值，进而求出复数z ，然后代入题中式子进行计算即可.详解：设z a bi =+，因为234z i =+，所以有：()234a bi i +=+，即22324a abi b i +-=+，由复数相等可得：22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以2z i =+或2z i =--，当2z i =+时，3332326382(2)2(252)i i i i i z z i z ----+=-++=+-+， 当2z i =--时，3332326382(2)2(2)52i i i i i z z i z ----+=----+=---， 故答案为：6385-±i . 名师点评本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数相等的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.17、答案(1)2i -;(2)4b =,8c =试题分析：（1）将0z b i =代入21z i-+中，将分子分母同时乘以1i +的共轭复数1i -可得00222122b b z i i -+-=-+，由21z i -+是实数，得02=02b +，求得0b 即可得复数z . （2）将00z b z =+代入方程20x bxc ++=中，化简得()8220b i b c --+=，通过虚部为零，实部为零即可求得实数b 和c 的值. 详解：（1）()00z b i b R =∈，()()()()0000212222=+111122b i i b i b b z i i i i i ----+-∴==+++- 又21z i -+是实数，02=02b +∴，得0=2b -， 2z i ∴=-（2）00+22z b z i ==--是方程20x bx c ++=的根，()()222220i b i c --+--+=，()8220b i b c --+=，82020b b c -=⎧∴⎨-+=⎩，解得48b c =⎧⎨=⎩. 名师点评本题考查了复数的运算法则、复数相等.复数z a bi =+（,a b 均为实数），其中a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位.当0b =时，z a =，则z 为实数；当00b a ≠=，时，z bi =，则z 为纯虚数.18、答案（1）83a =（2）32a > 试题分析：（1）由12z a i =+，234z i =-，可得12234z a i z i +=-，由12z z 为纯虚数，即可求得a ； （2）因为12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--，121z z z -<，故22121z z z -<，即可求得a 的取值范围.详解：（1）由12z a i =+，234z i =-， 得122(2)(34)384634252525z a i a i i a a i z i +++-+===+-，12z z 为纯虚数， ∴38025a -=，且46025a +≠， ∴83a =.（2）12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--，121z z z -<， ∴22121z z z -<，即()22344a a -+<+， 解得32a >. 名师点评本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.19、答案0,33⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦y x 试题分析：由条件可得22(2)10x y y ⎧-+=⎨≠⎩，即动点(,)x y 表示以(2,0)为圆心，1为半径的圆(除去点(1,0)，(3,0))，又y x表示圆22(2)1x y -+=(除去点(1,0)，(3,0))上的点(,)x y 与原点连线的斜率k ，数形结合即可得出答案.详解：由虚数(2)x yi -+的模为1，得22(2)10x y y ⎧-+=⎨≠⎩，所以动点(,)x y 表示以(2,0)为圆心，1为半径的圆(除去点(1,0)，(3,0)) 又y x表示圆22(2)1x y -+=(除去点(1,0)，(3,0))上的点(,)x y 与原点连线的斜率k ， 作出圆22(2)1x y -+=的图形如图，过原点作圆的切线OA ,A 为切点.由2,1OC CA ==，所以30AOC ∠=︒,则tan AOC ∠=，即OA k = 又∵0y ≠，∴0k ≠．由图形结合对称性，得0,33⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦y x ．名师点评本题考查虚数的定义，复数的模长的应用，考查直线与圆的位置关系，在解决某些复数问题时，要善于利用复数模的几何意义和数形结合的思想来解决问题，往往这类解法较为简洁．属于中档题.。
数学北师版选修22第五章2复数的四则运算
数学北师版选修22第五章2复数的四则运算1．双数的加法与减法设a＋b i和c＋d i是恣意两个双数，那么________________________，也就是说两个双数的和(或差)依然是一个______．它的______是原来两个双数的实部的__________，它的______是原来两个双数的虚部的________．预习交流1想一想：双数的加法法那么是如何规则的，你怎样了解其规则的合理性？2．双数的乘法与除法设a＋b i与c＋d i区分是恣意两个双数，那么________．也就是说，两个双数的积依然是一个________．双数的乘法与多项式的乘法是相似的，但在运算进程中，需求用________停止化简，然后把________与________区分兼并．当两个双数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个双数叫作____________．即当z＝a＋b i时，________，于是________．双数的除法与分母有理化方法相相似，可以用__________同乘分子与分母，再停止运算．预习交流2议一议：双数的一个重要性质：两共轭双数z，z的积，其结论是什么？能否给出证明？3．关于i，有i4n＝______，i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______(n∈N＋)．4．双数乘法的运算律(1)交流律：______________________________________________________________；(2)结合律：______________________________________________________________；(3)分配律：______________________________________________________________；(4)z·z＝|z|2＝|z|2∈R.答案：预习导引1．(a＋b i)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i双数实部和(或差)虚部和(或差)预习交流1：提示：(1)当b＝0，d＝0时，与实数的加法法那么分歧；(2)实数加法运算的交流律、结合律在双数集C中依然成立；(3)契合向量加法的平行四边形法那么．2．(a＋b i)·(c＋di)＝(ac－b d)＋(a d＋bc)i双数i2＝－1实部虚部互为共轭双数z＝a－b i z·z＝|z|2分母的共轭双数预习交流2：提示：z·z＝|z|2＝|z|2.证明：设z＝a＋b i(a，b∈R)，那么z＝a－b i，∴|z|2＝a2＋b2＝|z|2，(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2，∴z·z＝|z|2＝|z|2.3．1i－1－i计算：(1)[(3－2)＋(3＋2)i]＋(2－3i)；(2)(2＋i)－(1＋2i)；(3)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．思绪剖析：先去括号，再依据双数的加法或减法运算法那么停止运算．z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i，且z1－z2＝13－2i，求z1＋z2.类比实数运算，假定有括号，先计算括号内的，假定没有括号，可从左向右依次停止．双数的加法和减法满足交流律和结合律，应把实部和虚部区分相加减．二、双数的乘法与除法计算：(1)(2＋2i)·(1－3i)；(2)(2－i3)÷(1－2i)．思绪剖析：相似多项式的乘法，但i2＝－1，分母中含有双数的要分母实数化．(1－i)(1＋2i)＝()．1＋iA．－2－i B．－2＋I C．2－i D．2＋i双数的乘法与多项式的乘法相似，留意i2＝－1.双数的除法主要是分子和分母同乘以分母的共轭双数，使分母实数化，再停止运算．答案：活动与探求1：解：(1)[(3－2)＋(3＋2)i]＋(2－3i)＝3－2＋3i ＋2i ＋2－3i ＝3＋2i ；(2)(2＋i)－(1＋2i)＝2＋i －1－2i＝(2－1)＋(1－2)i ＝1－i ；(3)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝5－6i －2－i －3－4i＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.迁移与运用：解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝3x ＋y ＋(y －4x )i －(4y －2x )＋(5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(4y ＋x )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，4y ＋x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i ，∴z 1＋z 2＝5－9i ＋(－8－7i)＝－3－16i.活动与探求2：解：(1)(2＋2i)·(1－3i)＝2－23i ＋2i －23i 2＝2＋23＋(2－23)i. (2)(2－i 3)÷(1－2i)＝2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3i 3＝i. 迁移与运用：B 解析：(1－i )(1＋2i )1＋i ＝(1－i )2(1＋2i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. 1.⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32i －12＋32i ＝( )． A ．－12－32i B ．－12＋32I C ．－12 D ．－12．假定双数z ＝1＋2i ，那么1＋z 1－z＝( )． A ．1－i B ．－1＋I C ．1＋i D ．－1－i3．假定双数z 满足z ·i ＝i －1(i 是虚数单位)，那么z ＝__________.4．假定双数z 满足z 2＝－5＋12i ，求z .5．双数a ＋3i 1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，求a 的值． 答案：1．B 解析：⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32i －12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＋32i ＝14－32i －34＋32i ＝－12. 2．B 解析：∵z ＝1＋2i ，∴1＋z 1－z ＝1＋1＋2i 1－1－2i ＝2＋2i －2i ＝1＋i －i ＝(1＋i )i －i·i＝－1＋i. 3．1－i 解析：z ＝i －1i ＝(i －1)(－i )i·(－i )＝1＋i ， ∴z ＝1－i.4．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，那么(x ＋y i)2＝－5＋12i ，即(x 2－y 2)＋2xy i ＝－5＋12i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－5，2xy ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－3，故z ＝2＋3i 或z ＝－2－3i ，∴z ＝2－3i 或－2＋3i.5．解：a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a －2a i ＋3i ＋61＋4＝a ＋65＋3－2a 5i.∵a ＋3i 1＋2i为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋65＝0，3－2a 5≠0，∴a ＝－6.。
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5.2复数的四则运算水平测试
复数的加法与减法
2．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数l ，2i ，5+2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 答案：A 点拨：因为;521||2=+=AB ();52215||22=+-=
AC 5||=BC 且222|||||{BC AC AB =+，所以A ，B ，C 构成的三角形为直角三角形．
3．复数)(212R m i
i m z ∈+-=在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A 点拨：5)21)(2(212i i m i i m z --=+-=
,5)22()4(i m m --+-= 若Z 对应的点位于第一象限，则⎩⎨
⎧>-->-,022,04m m 得⎩⎨⎧-<>.
1,4m m 这样的m 不存在，因此不可能位于第一象限． 3．已知复数,31,2321i z i z -=+=则复数21z z z -=，在复平面内对应的点位于复平面内的( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：A 点拨：i i i z 523123+=+-+=，对应的点位于第一象限．
4、如图在复平面上复数i ，1，4+2i 所应对的点分别是A 、B 、C ，求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．
解：由已知OC OB OA ,,分别对应复数i ，1，4+2i ，且-=-=OC BC OB OA BA ,，所以
向量BC BA 、所对应的复数分别为i i 231++-、，因为BC BA BD +=，所以向量BD 对应的复数为.32)23()1(i i i +=+++-
又因为BD OB OD +=，所以OD ，所对应的复数为.33)32(1i i +=++
即点D 对应的复数为.33i +
5．设R m ∈，复数-+++=m m m m z (2
21i m m z i )3(2,)152-+-=，若21z z +是虚数，求m 的取值
范围．
解：因为,)15(2
21i m m m m z -+++=,)3(22i m m z -+-=所以 i m m m m m m z z )]3()15[()22(221-+-+-++=+i m m m m m )152(2
422--++--= 因为21z z +是虚数，所以,01522
=/--m m 且.2-=/m 所以5=/m 3,-=/m 且).(2R m m ∈-=/
复数的乘法
1．已知,11ni i
m -=+其中m ，n 实数，i 是虚数单位，则m+ni=( ) A ．1+2i B ．1-2i C ．2+i D ．2-i
答案：C 点拨：,11ni i
m -=+ 所以i n n m )1()1(-++=，因为R n m ∈,，所以 ⎩⎨⎧=+=-,1,01m n n 所以⎩
⎨⎧==.2,1m n 即.2i ni m +=+ 2．如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m=( )
A ．-l
B ．1
C ．2-
D ．2 答案：A 点拨：由于i m m m mi i m )1()()1)((322++-=++是实数，所以,013=+m 又因为m 是实数，所以.1-=m
3．复数3
)1(i -的虚部为( )
A ．3
B ．-3
C ．2
D ．-2
答案：D 点拨：,22331)1(323i i i i i --=-+-=-虚部为-2．
4．已知复数z 与i z 8)2(2-+均是纯虚数，则z=__________________。
答案：i 2-点拨：设),0(=/=b bi z 则b b i bi 4()4(8)2(22+-=-+i )8-为纯虚数，所以 ⎩⎨⎧=
/-=-.084,042b b 所以⎩⎨⎧=/±=.2,2b b 所以.2-=b 5．已知i z 682+=，求z
z z 100163--的值．
解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i abi b a 6822
2+=+-，所以⎩⎨⎧==-,62,822ab b a 解得⎩⎨⎧==1,3b a
或⎩⎨⎧-=-=.
1,3b a 所以).3(i z +±==--z x z 100163=--z z 164)8(22=--z 16436⋅-z 200 当i z +=3时，原式=;2060i +-
当i z --=3时，原式.2060i -=
复数的除法
1．复数)(212R m i
i m z ∈+-=在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：A 点拨：5)21)(2(212i i m i i m z --=+-=,5
)22()4(i m m --+-= 2．复数i
i -+1)1(2
等于( ) A ．i +1 B ．i --1 C ．i -1 D ．i +-1
4．D 点拨：i i i i -=-+121)1(2==+-+)1)(1().1(2i i i i =+2
)1(2i i i i i +-=+1)1(，故选D ． 3、复数3321i
i ++的值是__________. 解：i 107101+点拨：i i i i -+=++3213213=+-++=)3)(3()3)(21(i i i i 10263-++i i =.10
71011071i i +=+ 4．已知复数i z 230+=，复数z 满足+=z z z 3.0Z 0，则复数z =___________。
i 231-点拨：由已知得i i z z z 223300+=-=.2
31231i i -=+= 5、已知复数),(R b a bi a z ∈+=且,2522=+b a z i )43(+是纯虚数，求z 共轭复数． 解法一：i b a b a bi a i )34()43())(43(++-=++是纯虚数，所以⎩⎨⎧=
/+=-,034,043b a b a 所以.4
3a b =
把a b 4
3=代入,2522=+b a 得.4±=a 所以4=a 时，4;3-==a b 时，.3-=b 故所求z 的共轭复数为i 34-或.34i +- 解法二：设R k ki bi a i ∈=++())(43(且)0=/k ，所以
,253443)43(432
2ki k i ki i ki bi a +=+-=+=
+ 所以253,254k b k a ==代入,2522=+b a 得,2522=k 所以25=k 时，;34,34i z i z -=+=
25-=k 时，.34,34i z i z +-=--=。