立体几何大题的法向量解法

立体几何大题的法向量解法

例1（福建卷理）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

例2.如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.

(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

例3.如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线

AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．

（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．

A B

C

D

Q

B

C

P

A

D

O

M

例4.（2007年全国卷Ⅰ理）

四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，

2AB =

，BC =

SA SB =

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

例5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ， A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角；

② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.

例6.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又PA ⊥AB ，PA ＝4，∠PAD ＝60° ① 求四棱锥的体积；

② 求二面角P －BC －D 的大小.

例7．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为a,D 为BC 为中点，M 在BB 1上，且BM=

1

3

B 1M ，又CM ⊥A

C 1; （1） 求证：CM ⊥C 1D; （2） 求AA 1的长.

D

B

C

A

S

A 1

B 1

C 1

A

B

C

D

O

P

A

H E

D

B

C

例8.如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= 3．

（1）求证BC⊥SC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的

大小．

例9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与

BC所成的角是60︒．

例10

例11

例13

例14

例16

例18 例19

例21

例22

例23

例25例26

例27

例28