高中数学《一元二次不等式及其解法》公开课PPT课件
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《一元二次不等式及其解法》 教学PPT课件【高中数学人教A版必修1(新课标)】共25页文档
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
Байду номын сангаас
《一元二次不等式及其解法》 教学 PPT课件【高中数学人教A版必修1(新
课标)】
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
一元二次不等式及其解法优质课幻灯片课件
一元二次不等式及其解法优质课
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
7-2一元二次不等式及其解法 课件【共102张PPT】
则原不等式的解集是x2<x<1a
；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a>12时，1a<2，则原不等式的解集是x1a<x<2
.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)x－1a>0， 由于1a<2，故原不等式的解集是
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. (1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2) x－1a <0，根据不等式的性质，这个不等 式等价于(x－2)·x－1a<0. 因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a， 所以当0<a<12时，2<1a，
k1－k2或x>1－
1－k2 k
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨 论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需 要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总 之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根 的大小！
(1)解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜12. (2)解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为 x－1a (x－2)>0，解得x>2或 x<1a；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
一元二次不等式及其解法 课件
题型四. 恒成立问题
例4.不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 4 0
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
变式1.不等式(a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
题型5. 分式不等式 x a 0与 x a 0
xb
xb
例5、解不等式 x 3 0
2
解:由题意可得,
3
1
,1
是方程
ax2
bx
2
0
23
的两个根,且a<0.
1 1 b 23 a 1 1 2 23 a
解得: a 12,b 2.
题型三.含参数的一元二次不等式的解(分类讨论)
例3. 解关于x的不等式 x2 ax 6a2 0
小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨 论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类 讨论。
x7
总结归纳：
x a 0 (x a)(x b) 0 xb
x a 0 (x a)(x b
x
|
x
b 2a
0
y
0
x
没有实根
R
题型一.不含参数的一元二次不等式的解
例1.解下列不等式
(1)2x2 5x 3 0
(2) 3x2 15x 12
题型二. 一元二次不等式的解与系数的关系(韦达定理)
例2.不等式ax2 bx 2 0 的解集为
{x | 1 x 1}, 求 a, b.
思考
如何来求不等式 x2 5x 0
的解集.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
一元二次不等式及其解法ppt课件
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时 ，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则 实数m 的取值范围是 解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的 最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论， 一般优先考虑a=0 的 情形.
三、典型例题分析 考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解 得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因 为a>0, 所 以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮 时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集 当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
人教A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
(a > 0)的图象
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
湘教版高中数学《一元二次不等式及其解法》课件
由于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象可根据零点个数分为Δ>0，Δ=0，Δ<0三 种情况，因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解集.
一 一元二次不等式及其解法
计算判别式Δ＝b2－4ac. 1. 当Δ＞0时，先求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1和x2(不妨设x1＜x2)，二次函 数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2.3-2(1)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 (－∞，x1)∪(x2 ，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c ＜0的解集为(x1 ， x2)．
32 3a b 0， 12 a b 0，
a 4，
b 3.
一 一元二次不等式及其解法
练习
1.
解不等式：(1)
x3 3x 6
0；
(2) 3xx12≥2.
2. 当k为何值时，关于x的方程x2 ＋2(k－3)x＋4k＝0分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
3. 设关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为(－∞，＋∞)，求实
｛x|4≤x≤5｝. 所以，当杂志的定价在4~5元/本的范围内时，总利润不会减少.
一 一元二次不等式及其解法
其实，上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系，先求 出对应一元二次方程的根，再根据二次函数的图象与x轴的位置关系确定一元二次 不等式的解集.
3. 当Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部位于x轴的上方，如图2.3-2(3)
一 一元二次不等式及其解法
计算判别式Δ＝b2－4ac. 1. 当Δ＞0时，先求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1和x2(不妨设x1＜x2)，二次函 数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2.3-2(1)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 (－∞，x1)∪(x2 ，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c ＜0的解集为(x1 ， x2)．
32 3a b 0， 12 a b 0，
a 4，
b 3.
一 一元二次不等式及其解法
练习
1.
解不等式：(1)
x3 3x 6
0；
(2) 3xx12≥2.
2. 当k为何值时，关于x的方程x2 ＋2(k－3)x＋4k＝0分别满足：
(1)无实数根？
(2)有两正实根？
3. 设关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为(－∞，＋∞)，求实
｛x|4≤x≤5｝. 所以，当杂志的定价在4~5元/本的范围内时，总利润不会减少.
一 一元二次不等式及其解法
其实，上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系，先求 出对应一元二次方程的根，再根据二次函数的图象与x轴的位置关系确定一元二次 不等式的解集.
3. 当Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部位于x轴的上方，如图2.3-2(3)
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(a 0)的解集
x x1 x x2
x
x
b
2a
无实根
R
思考3:不等式 (x＋2)(x－3)＜0 和 (x－2)(x＋3)＞0的解集分别是什么？
思考4:一般地，若a＜b，则不等式 (x－a)(x－b)＜0和(x－a)(x－b)＞0的 解集分别是什么？
理论迁移
例1 求下列不等式的解集.
相应提高的比例为0.75x，同时预计销售 量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出 厂价－投入成本)×年销售量.
思考1：你能用含x的表达式分别表示 投入的成本、出厂价和年销售量吗?
成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)； 年销售量: 1000(1+0.6x) .
3.简单分式不等式
xx-
a b
>
0 (或 <
0)
可转化为一元二次不等式求解.
3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时
问题提出
1.什么是一元二次不等式？其一般形 式如何？ 概念：只含有一个未知数，且未知数 的最高次数是2的不等式；
一般式: ax2 bx c 0 或 ax2 bx c<0(a>0)
(a 0)
的图象
0
0
0
一元二次方程
ax2 bx c 0
(a 0) 的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
有两相等实根
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
ax2 bx c 0
{x | 1 < x ? 4}
小结作业
1.一元二次不等式一般可化为 ax2 bx c 0 或
ax2 bx c 0(a＞0)的形式，不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c<0 的解集有一定的差异.
2.解一元二次不等式的基本思路：将原不等式 化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.
探究（二）：a＜0时 ax 2 + bx + c > 0
(或＜0)的解法
思考1：二次函数 y = ax 2 + bx + c(a < 0) 的图象有什么特点?与x轴的相对位 置关系有哪几种可能？
思考2：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？
一次上网时间在5小时以内，去甲公司上 网；超过5小时，去乙公司上网； 恰好5 小时，去两家公司均可.
探究（二）：成本与收益问题
【背景材料】
某摩托车生产企业，上年度投入的成 本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆， 年销售量为1000辆.本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次.若每辆车投入成
本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价
一元二次不等式及其解法 第一课时
问题提出
1.对于x2-x-6＝0，y＝x2-x-6，x2-x-6>0，它们各 自的含义分别是什么？
方程、函数、不等式.
2.不等式:x2-x-6>0，x2+2x<0， -x2+9>0等都叫做 一元二次不等式，一般地，一元二次不等式是一 个什么概念？
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的 不等式，称为一元二次不等式.
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
有两相等实根
பைடு நூலகம்
x1
x2
b 2a
x
x
b
2a
无实根
R
思考5：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？
二次函数
y ax2 bx c
一元二次不等式的解法
思考3： 一般地，当a＞0时，通过什么手段可 以确定一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0
与ax 2 + bx + c < 0 的解集？
数形结合
思考4：二次函数 y = ax 2 + bx + c(a > 0) 的图
象与x轴的相对位置关系有哪几种可能？其判定原理是 什么？
思考1：假设一次上网时间为x小时(不 足17小时)，则在甲、乙两家公司上网 所收取的费用分别为多少元？
甲:1.5x元； 乙: x(35 x)元.(AP的Sn公式) 20
思考2：如何用不等式表示“选择甲公 司较合算”？
x(35 x) 1.5x 20
思考3：如何根据上网时间选择到甲、 乙两家公司上网？
二次函数
y ax2 bx c
(a 0)
的图象
0
y
x1
x2
o
x
0
y x1=x2
o
x
0
y
o
x
一元二次方程
ax2 bx c 0
(a 0) 的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x1 x x2
(1) 4x2 4x 1 0 {x | x ¹ 1}
2
(2) - x 2 + 2x - 3 > 0 Æ
例2 解不等式 3x 2 2x 2
{x | x < - 1 , 或 x > 2} 2
例3 解下列不等式：
(1) 2 - 3 < 0 x
(2) 3 ³ 1 x- 1
{x | x < 0或x > 2} 3
探究（一）：a＞0时 ax 2 + bx + c > 0(或a＜
0)的解法
思考1：方程x2-x-6＝0的根是什么？对于 函数y＝x2-x-6，x取何值时，函数值大于0？ x取何值时，函数值小于0？
思考2：一元二次不等式x2-x-6>0的解集是什么? 一元二次不等式x2-x-6<0的解集是什么?
{x|x＜－2或x＞3}；{x|－2＜x＜3}
2.解一元二次不等式的基本思路如何？
将原不等式化为一般式→分解因式→ 结合图象写出解集.
3.一元二次不等式是一类基本不等式， 解一元二次不等式在许多实际问题中 有着广泛的应用，对此，我们将进行 一些实例分析.
探究（一）：上网费用问题
【背景材料】
某同学要把自己的计算机接入因 特网，现有甲、乙两家公司可供选择. 甲公司每小时收费1.5元(不足1小时按 1小时计算)；乙公司的收费原则为:上 网的第一小时内(含1小时，下同)收费 1.7元，第二小时内收费1.6元，以后 每小时减少0.1元(若用户一次上网超 过17小时，按17小时计算).
x x1 x x2
x
x
b
2a
无实根
R
思考3:不等式 (x＋2)(x－3)＜0 和 (x－2)(x＋3)＞0的解集分别是什么？
思考4:一般地，若a＜b，则不等式 (x－a)(x－b)＜0和(x－a)(x－b)＞0的 解集分别是什么？
理论迁移
例1 求下列不等式的解集.
相应提高的比例为0.75x，同时预计销售 量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出 厂价－投入成本)×年销售量.
思考1：你能用含x的表达式分别表示 投入的成本、出厂价和年销售量吗?
成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)； 年销售量: 1000(1+0.6x) .
3.简单分式不等式
xx-
a b
>
0 (或 <
0)
可转化为一元二次不等式求解.
3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时
问题提出
1.什么是一元二次不等式？其一般形 式如何？ 概念：只含有一个未知数，且未知数 的最高次数是2的不等式；
一般式: ax2 bx c 0 或 ax2 bx c<0(a>0)
(a 0)
的图象
0
0
0
一元二次方程
ax2 bx c 0
(a 0) 的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
有两相等实根
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
ax2 bx c 0
{x | 1 < x ? 4}
小结作业
1.一元二次不等式一般可化为 ax2 bx c 0 或
ax2 bx c 0(a＞0)的形式，不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c<0 的解集有一定的差异.
2.解一元二次不等式的基本思路：将原不等式 化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.
探究（二）：a＜0时 ax 2 + bx + c > 0
(或＜0)的解法
思考1：二次函数 y = ax 2 + bx + c(a < 0) 的图象有什么特点?与x轴的相对位 置关系有哪几种可能？
思考2：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？
一次上网时间在5小时以内，去甲公司上 网；超过5小时，去乙公司上网； 恰好5 小时，去两家公司均可.
探究（二）：成本与收益问题
【背景材料】
某摩托车生产企业，上年度投入的成 本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆， 年销售量为1000辆.本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次.若每辆车投入成
本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价
一元二次不等式及其解法 第一课时
问题提出
1.对于x2-x-6＝0，y＝x2-x-6，x2-x-6>0，它们各 自的含义分别是什么？
方程、函数、不等式.
2.不等式:x2-x-6>0，x2+2x<0， -x2+9>0等都叫做 一元二次不等式，一般地，一元二次不等式是一 个什么概念？
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的 不等式，称为一元二次不等式.
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
有两相等实根
பைடு நூலகம்
x1
x2
b 2a
x
x
b
2a
无实根
R
思考5：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？
二次函数
y ax2 bx c
一元二次不等式的解法
思考3： 一般地，当a＞0时，通过什么手段可 以确定一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0
与ax 2 + bx + c < 0 的解集？
数形结合
思考4：二次函数 y = ax 2 + bx + c(a > 0) 的图
象与x轴的相对位置关系有哪几种可能？其判定原理是 什么？
思考1：假设一次上网时间为x小时(不 足17小时)，则在甲、乙两家公司上网 所收取的费用分别为多少元？
甲:1.5x元； 乙: x(35 x)元.(AP的Sn公式) 20
思考2：如何用不等式表示“选择甲公 司较合算”？
x(35 x) 1.5x 20
思考3：如何根据上网时间选择到甲、 乙两家公司上网？
二次函数
y ax2 bx c
(a 0)
的图象
0
y
x1
x2
o
x
0
y x1=x2
o
x
0
y
o
x
一元二次方程
ax2 bx c 0
(a 0) 的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x1 x x2
(1) 4x2 4x 1 0 {x | x ¹ 1}
2
(2) - x 2 + 2x - 3 > 0 Æ
例2 解不等式 3x 2 2x 2
{x | x < - 1 , 或 x > 2} 2
例3 解下列不等式：
(1) 2 - 3 < 0 x
(2) 3 ³ 1 x- 1
{x | x < 0或x > 2} 3
探究（一）：a＞0时 ax 2 + bx + c > 0(或a＜
0)的解法
思考1：方程x2-x-6＝0的根是什么？对于 函数y＝x2-x-6，x取何值时，函数值大于0？ x取何值时，函数值小于0？
思考2：一元二次不等式x2-x-6>0的解集是什么? 一元二次不等式x2-x-6<0的解集是什么?
{x|x＜－2或x＞3}；{x|－2＜x＜3}
2.解一元二次不等式的基本思路如何？
将原不等式化为一般式→分解因式→ 结合图象写出解集.
3.一元二次不等式是一类基本不等式， 解一元二次不等式在许多实际问题中 有着广泛的应用，对此，我们将进行 一些实例分析.
探究（一）：上网费用问题
【背景材料】
某同学要把自己的计算机接入因 特网，现有甲、乙两家公司可供选择. 甲公司每小时收费1.5元(不足1小时按 1小时计算)；乙公司的收费原则为:上 网的第一小时内(含1小时，下同)收费 1.7元，第二小时内收费1.6元，以后 每小时减少0.1元(若用户一次上网超 过17小时，按17小时计算).