误差理论误差合成与分配

cos2
f
x1
x1
L
f xn
xn
对cot f x1, x2,L , xn ,
sin2
f
x1
x1
L
f xn
xn
例3.1 用弓高弦长法间接测量大直径。见书P56
例3.2 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P57
二、函数随机误差计算
函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值 xi的标准 差之间的关系。
2
因此，函数的系统误差为：y
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
其中，f i 1, 2,L , n为各个直接测量值的误差传递系数。
xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1x1 a2 x2 L an xn
函数的系统误差为：y a1x1 a2x2 L anxn
2）当函数为三角函数时：sin f x1, x2,L , xn ,则三角函数
设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：
对 x1: x11, x12 , L , x1N 对 x2: x21, x22 , L , x1N
MM M
M
对 xn: xn1, xn2 , L , xnN
4
则函数y的随机误差为：
y1
f x1
x11
f x2
x21
L
f xn
n f 2
1i j xi
f x j
xim x jm
m1
N
N
令
kij
xim x jm
m1 N
, ij
kij
xi xj
kij ij xi xj
为第i个测量值 与第j个测量值 之间的误差相
关系数
2 y
2
2
f x1
2 x1
f x2
2 x2
L
2
f xn
2 xn
n
2
f
1i j xi
8
三、误差间的相关关系和相关系数
误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关 性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进 行误差合成计算。 （一）误差间的线性相关关系 误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强 时，其相关系数为1。
f x2
x22
2
L
f xn
xn 2
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xi 2
xj2
MM
M
yN2
f x1
x1N
2
f x2
x2 N
2
L
f xn
xnN
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xiN
x jN
5
2
则 y12 y22 L
yN2
f x1
x121 x122 L x12N
,
1
cos
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
an2
2 xn
2)对cos f
x1, x2 ,L , xn
,
1
sin
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
an2
2 xn
7
3)对 tan f
x1, x2 ,L , xn ,
cos2
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y=f x1, x2,L , xn ,
其中，x1，x2，L ，xn为直接测量值；y为间接测量值。 由高数知，其增量可由微分来表示，即：
dy
f x1
dx1
f x2
dx2 L
f xn
dxn
由于直接测得值的系统误差x1，x2，L ，xn皆较小，可用来
代替上式中的dxi。
2 x2
L
an2
2 xn
当各个测量值的随机误差为正态分布时，则函数的极限误差为：
lim y
a a L a 2 2 1 lim x1
22 2 lim x2
22 n lim xn
三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基
本相同，其角度标准差为：
1)对sin f
x1, x2 ,L , xn
的系统误差为： sin
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
而角度系统误差为：
sin cos
1
cos
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
同理其它三角函数的角度系统误差为：
对cos f x1, x2,L , xn ,
1
sin
f
x1
x1
L
f xn
xn
3
对 tan f x1, x2,L , xn ,
xn1
y2
f x1
x12
f x2
x22
L
f xn
xn2
MM
M
M
yN
f x1
x1N
f x2
x2 N
L
f xn
xnN
将上式每个方程两边平方得:
y12
2
2
f x1
x11
f x2
x21
L
f xn
xn1
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xi1
x j1
y22
f x1
x12
2
f x j
ij xi xj
此式即为函数随机误差公式。
6
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，
N
xim x jm
kij m1 N
0，即ij 0
2
2
2
则
2 y
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f
xn
2 xn
令 f xi
ai ,则
y
a2 2 1 x1
a22
2
f
x2
x221 x222 L x22N
L
f 2
xn
xn21 xn22 L
xn2N
n
2
N f
x 1i j m1 i
f x j
xim x jm
将上式两边同时除以N，则有：
N
2 y
2
2
f
Hale Waihona Puke Baidu
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
2
f
xn
2 xn
an2
2 xn
2)对cot f
x1, x2 ,L , xn ,
sin2
a2 2 1 x1
a22
2 x2
L
an2
2 xn
同理可用极限误差来代替上式中的各和 xi ,即得到以极限误差来
表示的角度误差。
例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61
例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P61
测量结果的影响；误差分配是给定测量结果的允许误差，要求确定
各个环节的误差。
1
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
第三章 误差的合成与分配
• §3-1 函数误差 • §3-2 随机误差的合成 • §3-3 系统误差的合成 • §3-4 系统误差与随机误差的合成 • §3-5 误差分配 • §3-6 微小误差取舍准则 • §3-7 最佳测量方案的确定
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同
作用的结果。误差合成研究测量过程中各个环节的误差因素对最终