误差理论误差合成与分配
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
误差分析与数据处理
误差理论与数据处理一．绪论当你能对世界进行测量的时候，就可以把世界变成数据来了解。
1.研究误差的意义分析误差产生原因，从而消除误差；正确处理所得数据，从而接近真值；选择合理的方法，设计合理的系统。
2.误差的基本概念误差=测量值—真值约定真值：对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。
绝对误差=|测量值—真值|相对误差=绝对误差/|真值|=绝对误差/|测量值|修正值：与误差大小近似相等，但方向相反。
修正值本身还有误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限3.误差来源测量装置误差：标准量具的误差、一起误差、附件误差环境误差：温度、湿度、气压、振动、照明、加速度、电磁场等。
方法误差人员误差4.误差分类系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。
（均值和真值之差）系统误差分类：已定系统误差、未定系统误差、不变系统误差、变化系统误差（线性、周期性、复杂规律）随机误差：大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。
（抑制、统计分布规律）粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差。
（异常因素或疏忽）5.精度准确度：系统误差的大小（偏移程度）精密度：随机误差的大小（分散程度）精确度：测量结果与被测量真值之间的一致程度精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。
如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。
重复性：指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。
复现性：指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。
稳定性：测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。
示值误差：指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。
由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。
偏移：指系统误差最大允许误差：给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。
实验流体力学-5.误差理论
t2 − 2
dt = 2Φ ( t )
Φ(t ) =
±tσ
1 2π
t
∫e
0
t2 − 2
dt
α = 1 − 2Φ(t )
为置信区间，P为置信概率，t为置信因子，a为显著度
II、测量列单次测量误差的评估 极限误差－－－3σ为极限误差，极端误差。 III、t分布置信因子 Ⅳ、测量列算术平均误差评估 er = t p σ r 误差限 Ⅴ、测量结果表达式
第3章 误差理论（Error theory）
概述 测量误差的基本概念 直接测量误差的处理 间接测量误差的处理 测量不确定度
3.1 概述
实验误差产生的原因
实验方案的合理性 模型制造 实验与飞行情况的差异 实验仪器的准确度 风洞流场性能及洞壁干扰 数据采集和处理等
目的
正确得到被测量值 估算出测量结果的不确定度 合理选用测量器具
n n 2 i
2
∑ ν = ∑ δ − 2n∑ δ i / n∑ δ i / n + n ∑ δ i / n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
n n n 2 i 2 i
2
= ∑ δ − n ∑ δ i / n i =1 i =1
n 2 i
2
= ∑δ − ∑δ i / n i =1 i =1
（1）随机误差呈现的基本特性
单峰性（绝对值小的误差出现的次数大于绝 对值大的误差出现的次数）。 对称性（绝对值相等的正误差和负误差出现 的次数相同）。 有界性（误差有一定的实际限度）。 抵偿性（误差的算术平均值趋于零）。
（2）随机误差的正态分布
f (δ ) = 1 e 2πσ
δ2 − 2 2σ
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章绪论1－5测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于： 180 o 00 02o 1802 相对误差等于： 2 o180180 2 60 60 ＝26480000.000003086410.000031%1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m ，试求 其最大相对误差。
相对误差max绝对误差 测得值 max 100%-6 20 102.31100%8.66 -4 10%1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 最大引用误差某量程最大示值误差 测量范围上限100%2 100100%2%2.5%该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.6mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差50.450L 1:50mmI100%0.008%15080.680L2:80mmI100%0.0075%280I 1I 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
21－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：0.12.320.001%10000射手的相对误差为：1cm0.01m8.6700020.002%50m50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。
m其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差I 11m1mm11080.7%I 9m2mm11050.50082%I 12m3mm15080.708%I3II第三种方法的测量精度最高21第二章误差的基本性质与处理2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，1.，168.40，168.50。
误差理论与数据处理简答题及答案
误差理论与数据处理简答题及答案基本概念题1. 误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？答: 误差＝测得值－真值。
误差的性质有:（1）误差永远不等于零；（2）误差具有随机性；（3）误差具有不确定性；（4）误差是未知的。
由于实验方法和实验设备的不完善, 周围环境的影响, 受人们认识能力所限, 测量或实验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异, 因此误差是不可避免的。
2. 什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？答: 真值: 在观测一个量时, 该量本身所具有的真实大小。
修正值: 为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值, 它等于负的误差值。
修正后一般情况下难以得到真值。
因为修正值本身也有误差, 修正后只能得到较测得值更为准确的结果。
3. 测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？答: 绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差——对于相同的被测量, 用绝对误差评定其测量精度的高低。
相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量, 采用相对误差来评定其测量精度的高低。
引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。
4. 测量误差分哪几类？它们各有什么特点？答: 随机误差、系统误差、粗大误差随机误差: 在同一测量条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。
系统误差: 在同一条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号保持不变, 或在条件改变时, 按一定规律变化的误差。
粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
误差值较大, 明显歪曲测量结果。
5. 准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？答: 准确度: 反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度: 反映测量结果中随机误差的影响程度。
精确度: 反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。
误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
误差与理论分析实验报告
误差与理论分析实验报告实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。
二、实验原理 （1）正态分布设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)正态分布的分布密度: ()()222f δσδ-=正态分布的分布函数: ()()222F ed δδσδδ--∞=,式中σ-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞-∞==⎰它的方差为:()22f d σδδδ+∞-∞=⎰（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11nni i i i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有:1ni i v ==∑01）残余误差代数和应符合：当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1ni i v =∑为零；当1ni i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1ni i l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
《误差理论与数据处理》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为１80ｏ00’0２”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1－8在测量某一长度时，读数值为2．3１m ，其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定２．5级（即引用误差为2。
5％）的全量程为10０V 的电压表，发现5０V 刻度点的示值误差2V 为最大误差,问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1－１2用两种方法分别测量L1＝5０mm ，Ｌ2=８0mm 。
测得值各为50。
０0４m ｍ，８0.006ｍm.试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50ｍｍ 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL ２：80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L ２=８０mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为１0000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm,优秀射手能在距离50ｍ远处准确地射中直径为2c ｍ的靶心，试评述21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
１—14若用两种测量方法测量某零件的长度L1＝110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=１５0mm 。
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差理论与数据处理(第6版)课后习题答案_完整版
《误差理论与数据处理》(第六版)完整版第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
误差的合成.
误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。
仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。
这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。
传递系数可由前面介绍的各种方法求出。
2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。
式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。
在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。
3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。
4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。
5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。
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《误差理论与数据处理》习题3及解答》
3-7
通过电流表的电流 I 与指针偏转角 ϕ 服从下列关系： I = C tan ϕ 。式中 C 为决定于仪表结 构的常数， C = 5.031× 10 −7 A ，两次测得 ϕ1 = 6 17 ± 1 ， ϕ 2 = 43 32 ± 1 。试求两种情况
o ' ' o ' '
下的 I1 , I 2 及其极限误差，并分析最佳测量方案。 【解】因 I = C tan ϕ → tan ϕ = I C ，由三角函数随机误差（极限误差）计算公式（3-21） ，有：
2 已知 x 与 y 的相关系数 ρ xy = −1 ，试求 u = x + ay 的方差 σ u 。
2
【解】属于函数随机误差合成问题。由教材式（3-13）有：
σ u2 = (
∂u 2 2 ∂u ∂u ∂u 2 ) σ x + ( )2σ y +2 ρ xy σ x σ y ∂x ∂y ∂x ∂y
2 2 = (2 x) 2 σ x + a 2σ y + 2 × 2 x × a × (−1)σ x σ y = (2 xσ x − aσ y ) 2
o '
I 1 = C tan ϕ1 = 5.031 × 10 −7 tan 6 o17 ' = 5.54 × 10 −8 (A)
相应的极限误差为：
Cδ limϕ1 5.031 × 10 −7 × [±1 × π (180 × 60)] δ lim I 1 = = = ±1.481 × 10 −10 (A) 2 o ' 2 cos ϕ1 cos 6 17
1
故测量结果为：V±δlimV = 77795.70±3729.1 (mm3) 3-3 长方体的边长分别为 a1 , a2 , a3 ，测量时：①标准差均为 σ ；②标准差各为 σ 1 , σ 2 , σ 3 。试求体 积的标准差。 【解】长方体体积计算式： V = abc = a1 a 2 a 3 ，则体积的标准差为：
误差理论与数据处理第三章
σy = a12σx 2 +a22σx 2 +L+an2σx 2
1 2 n
σy =
1 ∂f ∂f ∂f 2 2 2 ( )2σx1 +( )2σx2 +L+( )2σxn cosϕ ∂x1 ∂x2 ∂xn
四、实例分析
用弓高弦长法间接测量大工件直径，如图。 车间工人用一把卡尺量得弓高 h =50mm ，弦 长 l =500mm ， 经检验部门检定，已知 ∆ = −0.1 m h m δlimh = ±0.05mm ∆ =1 m l m δliml = ±0.1mm 设 l, h测量误差相互独立，均为正态分布，求D测量结果 解：1）建立大直径测量数学模型 l2 D = +h 4h 2）若不考虑测得值误差，计算直径D0
=0.5或 ξ ρ=0.5或ρ＝-0.5
ρ=0
五、误差见的相关关系和相关系数
(三）相关系数的确定
1、直接判断法
ρij = 0
断定
xi 与 xj 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时， 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化， 变化，反之亦然
xi 与 xj 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 属于完全不相干的两类体系分量，
l2 5002 +50 =1300mm D = +h = 0 4h 4×50
四、实例分析
3）计算D的系统误差 计算D
∂f l2 ( 2 −1 = −24 ) h=50 = − ∂h l=500 4h
∂f ∂l
h=50 l=500
=
l =5 2h
∂f ∂f ∆D = ∆h+ ∆l = 7.4mm ∂h ∂l 计算D ４）计算D的随机误差
《误差理论与数据处理》答案..
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
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n f 2
1i j xi
f x j
xim x jm
m1
N
N
令
kij
xim x jm
m1 N
, ij
kij
xi xj
kij ij xi xj
为第i个测量值 与第j个测量值 之间的误差相
关系数
2 y
2
2
f x1
2 x1
f x2
2 x2
L
2
f xn
2 xn
n
2
f
1i j xi
,
1
cos
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
an2
2 xn
2)对cos f
x1, x2 ,L , xn
,
1
sin
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
an2
2 xn
7
3)对 tan f
x1, x2 ,L , xn ,
cos2
a2 2 1 x1
a2 2 2 x2
L
设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：
对 x1: x11, x12 , L , x1N 对 x2: x21, x22 , L , x1N
MM M
M
对 xn: xn1, xn2 , L , xnN
4
则函数y的随机误差为：
y1
f x1
x11
f x2
x21
L
f xn
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y=f x1, x2,L , xn ,
其中，x1，x2，L ，xn为直接测量值；y为间接测量值。 由高数知，其增量可由微分来表示，即：
dy
f x1
dx1
f x2
dx2 L
f xn
dxn
由于直接测得值的系统误差x1，x2，L ，xn皆较小，可用来
代替上式中的dxi。
2 x2
L
an2
2 xn
当各个测量值的随机误差为正态分布时，则函数的极限误差为：
lim y
a a L a 2 2 1 lim x1
22 2 lim x2
22 n lim xn
三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基
本相同，其角度标准差为：
1)对sin f
x1, x2 ,L , xn
f x2
x22
2
L
f xn
xn 2
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xi 2
xj2
MM
M
yN2
f x1
x1N
2
f x2
x2 N
2
L
f xn
xnN
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xiN
x jN
5
2
则 y12 y22 L
yN2
f x1
x121 x122 L x12N
的系统误差为： sin
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
而角度系统误差为：
sin cos
1
cos
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
同理其它三角函数的角度系统误差为：
对cos f x1, x2,L , xn ,
1
sin
f
x1
x1
L
f xn
xn
3
对 tan f x1, x2,L , xn ,
2
f
x2
x221 x222 L x22N
L
f 2
xn
xn21 xn22 L
xn2N
n
2
N f
x 1i j m1 i
f x j
xim x jm
将上式两边同时除以N，则有：
N
2 y
2
2
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
2
f
xn
2 xn
an2
2 xn
2)对cot f
x1, x2 ,L , xn ,
sin2
a2 2 1 x1
a22
2 x2
L
an2
2 xn
同理可用极限误差来代替上式中的各和 xi ,即得到以极限误差来
表示的角度误差。
例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61
例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P61
xn1
y2
f x1
x12
f x2
x22
L
f xn
xn2
MM
M
M
yN
f x1
x1N
f x2
x2 N
L
f xn
xnN
将上式每个方程两边平方得:
y12
2
2
f x1
x11
f x2
x21
L
f xn
xn1
2
n
2
1i
j
f xi
f x j
xi1
x j1
y22
f x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x12
2
2
因此，函数的系统误差为：y
f x1
x1
f x2
x2 L
f xn
xn
其中，f i 1, 2,L , n为各个直接测量值的误差传递系数。
xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1x1 a2 x2 L an xn
函数的系统误差为：y a1x1 a2x2 L anxn
2）当函数为三角函数时：sin f x1, x2,L , xn ,则三角函数
8
三、误差间的相关关系和相关系数
误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关 性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进 行误差合成计算。 （一）误差间的线性相关关系 误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强 时，其相关系数为1。
f x j
ij xi xj
此式即为函数随机误差公式。
6
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，
N
xim x jm
kij m1 N
0，即ij 0
2
2
2
则
2 y
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f
xn
2 xn
令 f xi
ai ,则
y
a2 2 1 x1
a22
测量结果的影响；误差分配是给定测量结果的允许误差，要求确定
各个环节的误差。
1
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
第三章 误差的合成与分配
• §3-1 函数误差 • §3-2 随机误差的合成 • §3-3 系统误差的合成 • §3-4 系统误差与随机误差的合成 • §3-5 误差分配 • §3-6 微小误差取舍准则 • §3-7 最佳测量方案的确定
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同
作用的结果。误差合成研究测量过程中各个环节的误差因素对最终
cos2
f
x1
x1
L
f xn
xn
对cot f x1, x2,L , xn ,
sin2
f
x1
x1
L
f xn
xn
例3.1 用弓高弦长法间接测量大直径。见书P56
例3.2 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P57
二、函数随机误差计算
函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值 xi的标准 差之间的关系。