简单线性回归的假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，扮演着重要的角色。
其中，线性回归模型和假设检验是统计学中常用的方法。
本文将介绍线性回归模型的基本概念和应用，以及假设检验的原理和实际意义。
一、线性回归模型线性回归模型是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小化因变量与预测值之间的差异来估计回归系数。
在线性回归模型中，自变量通常表示为X，因变量表示为Y。
模型的基本形式可以表示为Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的随机变动。
线性回归模型的应用非常广泛。
例如，在经济学中，可以使用线性回归模型来研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，可以使用线性回归模型来分析药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过对数据进行拟合和分析，线性回归模型可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和决策。
二、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于判断样本数据与某个假设之间是否存在显著差异。
在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据进行统计推断，判断是否拒绝原假设。
在假设检验中，我们通常使用一个统计量来衡量样本数据与原假设之间的差异。
常见的统计量包括t值、F值和卡方值等。
通过计算统计量的概率值（p值），我们可以判断样本数据是否支持原假设。
假设检验在科学研究和实际应用中具有重要意义。
例如，在药物研发中，可以使用假设检验来判断新药物是否比现有药物更有效；在市场营销中，可以使用假设检验来评估不同广告策略的效果。
通过假设检验，我们可以基于数据进行科学决策，提高研究和实践的可靠性。
三、线性回归模型与假设检验的关系线性回归模型和假设检验是统计学中紧密相关的方法。
在线性回归分析中，我们可以使用假设检验来评估回归系数的显著性。
在线性回归模型中，我们通常对回归系数进行假设检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。
简单线性回归分析
简单线性回归分析
简单线性回归分析是一种统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
其中，一个变量被称为因变量或响应变量，另一个变量被称为自变量或解释变量。
简单线性回归通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并可以用这条直线来进行预测和推断。
分析简单线性回归模型首先需要进行模型的拟合。
通过拟合可以得到最优的回归系数。
一般使用最小二乘法来拟合模型，最小二乘法的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异的平方和。
拟合模型后，可以进行模型的评估。
评估模型的好坏可以使用各种统计指标，例如残差和决定系数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，用于评估模型对实际数据的拟合效果。
决定系数是评估模型解释观测变异能力的指标，其取值范围为[0,1]，值越接近1，说明模型解释变异能力越好。
在模型评估的基础上，可以进行模型的推断。
模型推断包括对回归系数的置信区间估计和假设检验。
通过置信区间估计可以给出回归系数的估计范围，以及回归系数是否显著不等于0。
假设检验可以用于检验回归系数是否显著不等于0，即自变量是否对因变量有显著影响。
简单线性回归分析可以在实际情况中有很多应用。
例如，在市场营销中，可以使用简单线性回归模型来研究广告投入与销售额之间的关系，从而确定广告投入对销售额的影响。
在经济学中，可以使用简单线性回归模型来研究收入与消费之间的关系，从而了解收入对消费的影响。
总结起来，简单线性回归分析是一种重要的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
通过拟合模型、评估模型和进行推断，可以得到有关两个变量之间关系的重要信息，为实际问题的解决提供有力支持。
回归检验假设
回归检验假设
回归检验假设是统计学中非常重要的概念，它用于检验回归分析中的变量之间是否存在显著的关系。
在进行回归分析时，我们通常会得到一个回归方程，通过回归检验假设可以帮助我们判断这个回归方程是否具有统计学意义。
在回归检验假设中，我们常常会使用t检验或者F检验来对回归系数进行检验。
t检验用于检验单个回归系数是否显著，而F检验则用于检验整体回归方程的显著性。
通过这些检验，我们可以得出结论，判断自变量对因变量的影响是否显著。
对于t检验来说，我们首先要对每个回归系数进行检验，计算t 值并进行显著性检验。
如果t值大于显著性水平对应的临界值，那么我们就可以拒绝原假设，得出结论该回归系数是显著的。
而对于F检验来说，我们计算F值并进行显著性检验，如果F值大于显著性水平对应的临界值，我们就可以拒绝原假设，得出结论整体回归方程是显著的。
在进行回归检验假设时，我们还需要注意一些问题。
首先，我们需要确保样本的大小足够大，否则t检验和F检验的结果可能不可靠。
其次，我们还需要保证回归模型满足一些假设，比如误差项的独立性、常数方差和正态性等。
只有在这些假设成立的情况下，我们才能够对回归系数进行可靠的显著性检验。
总的来说，回归检验假设在回归分析中扮演着非常重要的角色，它可以帮助我们判断回归方程的显著性，从而更加准确地分析自变量对因变量的影响。
在进行回归分析时，我们应该充分理解回归检验假设的原理和方法，以便能够进行准确的统计推断。
简单线性回归
6.98020
15
a 224 (6.98020) 14.7 21.77393
15
15
Yˆ 21.77393 6.9802 X
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应 Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（12-2）中的 Yˆ 实际 上是 X 所对应 Y 的总体均数 Y |X 的一个样本 估计值，称为回归方程 的预测值（predicted value）,而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
均数YY 是固定的，所以这部分变异由 Yˆi 的大小不同引起。
当 X 被引入回归以后，正是由于Xi 的不同导致了 Yˆi a bXi 不同，所以SS回 反映了在 Y 的总变异中可以用 X 与 Y 的直线关系解释的那部分变异。
b 离 0 越远，X 对 Y 的影响越大，SS回 就越大，说明 回归效果越好。
lXX
(X X )2
a Y bX
式 中 lXY 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lXY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
本例：n=15 ΣX=14.7 ΣX2=14.81
ΣY=224 ΣXY=216.7 ΣY2=3368
216.7 (14.7)(224)
b
15 14.81 (14.7)2
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关
系：Yˆ 33.73 0.516 X 。
也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”
线性回归期末总结
线性回归期末总结一、引言线性回归是一种基本的统计模型，可以用于探索主要变量之间的关系，并预测未知变量的值。
本文将对线性回归的基本概念、假设、模型评估和改进方法进行总结和归纳，以加深对该模型的理解。
二、线性回归模型线性回归模型基于以下假设：1. 线性关系：自变量与因变量之间存在线性关系；2. 无多重共线性：自变量之间不存在高度相关性；3. 误差项的独立同分布假设：误差项满足正态分布，均值为零；4. 误差项的方差同质性：误差项的方差在各个自变量取值上都相同。
在线性回归模型中，自变量与因变量的关系可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，Xi是自变量，βi是各个自变量的回归系数，β0是截距项，ε是误差项。
三、模型评估1. 回归系数的估计回归系数可以通过最小二乘法进行估计。
最小二乘法的目标是使得模型预测值与观测值之间的残差平方和最小。
通过最小化残差平方和，可以得到回归系数的估计值。
2. 模型拟合程度模型的拟合程度可以通过判断残差的大小来衡量。
常用的评估指标包括平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）。
R-squared是一个非常常用的指标，其值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
3. 模型假设检验在线性回归中，我们常常需要对模型的假设进行检验。
常用的假设检验方法包括F检验和t检验。
F检验用于检验整个模型的显著性，而t检验用于检验各个回归系数的显著性。
四、模型改进方法若线性回归模型不满足最小二乘法的假设，则需要对模型进行改进。
以下介绍几种常用的模型改进方法：1. 多项式回归：多项式回归可以通过引入非线性项来改进线性回归模型。
当自变量与因变量之间存在非线性关系时，多项式回归可以更好地拟合数据。
2. 特征选择：特征选择可以通过选择对模型预测能力更强的自变量来提高模型的拟合程度。
常用的特征选择方法包括前向选择、后向选择和逐步回归。
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的关系。
它可以
用来预测一个变量（被解释变量）的值，另一个变量（解释变量）的值已知。
回归系数是一元线性回归方程的重要参数，它可以用来衡量解释变量对被解释变量的影响程度。
回归系数的假设检验是一种统计学方法，用于检验回归系数是否具有统计学意义。
它的基本思想是，如果回归系数的值不是0，则表明解释变量对被解释变量有
显著的影响，反之则表明解释变量对被解释变量没有显著的影响。
回归系数的假设检验一般采用t检验或F检验。
t检验是检验单个回归系数是
否具有统计学意义的方法，而F检验是检验多个回归系数是否具有统计学意义的方法。
在进行回归系数的假设检验时，首先要确定检验的显著性水平，一般为0.05
或0.01。
然后，根据检验的类型，计算t值或F值，并与检验的显著性水平比较，如果t值或F值大于显著性水平，则拒绝原假设，即认为回归系数具有统计学意义；反之，则接受原假设，即认为回归系数没有统计学意义。
回归系数的假设检验是一种重要的统计学方法，它可以用来检验回归系数是否
具有统计学意义，从而更好地理解解释变量对被解释变量的影响程度。
假设检验的八种情况的公式
假设检验的八种情况的公式假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断样本数据与总体参数的关系是否具有显著性差异。
在进行假设检验时，我们需要根据实际问题和已知条件确定相应的假设检验公式。
以下是八种常见的假设检验情况及相应的公式。
1.单样本均值检验：在这种情况下，研究者想要判断一个样本的均值是否与一个已知的总体均值有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，x̄为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量，t为t分布的临界值。
2.双样本均值检验（方差已知）：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的均值是否有显著性差异，且已知两个样本的方差相等。
假设检验的公式为：其中，x̄1和x̄2分别为样本1和样本2的均值，μ1和μ2分别为总体1和总体2的均值，s为样本标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，z为标准正态分布的临界值。
3.双样本均值检验（方差未知）：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的均值是否有显著性差异，且两个样本的方差未知且不相等。
假设检验的公式为：其中，x̄1和x̄2分别为样本1和样本2的均值，μ1和μ2分别为总体1和总体2的均值，s1和s2分别为样本1和样本2的标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，t为t分布的临界值。
4.单样本比例检验：在这种情况下，研究者想要判断一个样本的比例是否与一个已知的总体比例有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，p̄为样本比例，p为总体比例，n为样本容量，z为标准正态分布的临界值。
5.双样本比例检验：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的比例是否有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，p̄1和p̄2分别为样本1和样本2的比例，p1和p2分别为总体1和总体2的比例，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，z为标准正态分布的临界值。
6.简单线性回归检验：在这种情况下，研究者想要判断自变量与因变量之间的线性关系是否显著。
假设检验的公式为：其中，β1为回归系数，se(β1)为标准误差，t为t分布的临界值。
简单回归分析(4)
30
y1 y2 y3
y变异程度为S y
Xp
31
总体回归线的95%置信带*
yp hat的变异不仅决定于y的均数( )，同y 时也取决于回归系数的作用
(
yˆp yb(xp)x)
根据方差的特性:
Var[y b(xp x)]Var(y)Var[b(xp x)]
Var(
y)
Var(
y)
/
n
S2 y.x
如果两个变量间的回归关系的确存在，则变异度减少将十 分之“显著”，即SS回归大于SS残，大到何种程度才认为 具有统计学意义？
计算以下统计量：
对于简单线F 性= 回S S 归S S残 回 ，//有ν ν回 残 tb2~ =FF(ν回 =1,ν残 =n-2)
27
决定系数(Coefficient of determination)
y—— 因变量，响应变量：尿肌酐含量(mmol/24h)
(dependent variable, response variable)
x ——自变量，解释变量：体重(kg)
(independent variable, explanatory variable)
b —— 回归系数，斜率(mmol/24h*kg)
R2=SS回/SS总 取值介于0~1，表示回归解释了因变量变异的比
例；其值越大表示回归预测效果越好 在实际应用中，通常需要用决定系数反映回归的
实际效果 对于简单线性回归，有r2=决定系数
28
五、总体回归线的95%置信带*
通过样本资料得到的回归直线为： yˆ abx
其中y hat为相应的总体条件均数my|x的估计值，
上述例题中，回归系数的95%的可信区间为： 0 . 1 3 9 2 2 . 4 4 7 0 . 0 3 0 4 ( 0 . 0 6 4 8 ,0 . 2 1 3 6 )
stata 假设检验估计系数
假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断所得到的样本数据是否能够支持某个假设的成立。
在回归分析中，我们常常使用Stata软件来进行假设检验，以判断估计系数是否显著。
本文将介绍在Stata中进行假设检验估计系数的方法和步骤。
一、背景介绍在回归分析中，我们通常使用OLS（普通最小二乘法）来估计回归系数。
然而，仅仅得到估计系数并不能说明这些系数的估计值是真实的，我们还需要进行假设检验来验证这些系数的显著性。
在Stata中，我们可以使用t检验或者F检验来进行假设检验。
二、使用t检验进行假设检验在Stata中，使用t检验进行假设检验的命令是test。
假设我们有一个简单的线性回归模型，模型中有一个自变量X和一个因变量Y，我们可以使用以下命令来进行t检验。
```stataregress Y Xtest X```在上面的命令中，regress用来估计回归系数，test用来进行t检验。
如果我们想要对系数进行联合假设检验，比如检验X和常数项的系数之和是否等于1，我们可以使用以下命令。
```statatest X=1```三、使用F检验进行假设检验除了使用t检验，我们还可以使用F检验来进行假设检验。
在Stata中，使用F检验的命令是testparm。
假设我们有一个多元线性回归模型，模型中有两个自变量X1和X2，我们可以使用以下命令来进行F检验。
```stataregress Y X1 X2testparm X1 X2```在上面的命令中，regress用来估计回归系数，testparm用来进行F检验。
四、结论在本文中，我们介绍了在Stata中使用t检验和F检验来进行假设检验估计系数的方法和步骤。
通过对回归系数进行假设检验，我们可以判断这些系数是否显著，从而对回归模型的拟合情况有一个更加客观的评价。
希望本文能对你有所帮助。
假设检验是统计学中一种重要的方法，用于验证我们对样本数据所假设的情况是否成立。
在回归分析中，我们常常需要对估计系数进行假设检验，以确定它们是否显著地影响因变量。
简单回归分析
Simple linear regression analysis
本章内容
第一节 简单线性回归 第二节 线性回归的应用
第一节 简单线性回归
双变量计量资料：每个个体有两个变量值
总体：无限或有限对变量值
样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关
XY
46.02 33.11 27.81 14.88 33.60
232.61 76 23.87 / 8 764 762 / 8 5.8450 0.1392 42
X SX / n 76 / 8 9.5
20.48 Y SY / n 23.87 / 8 2.9838
线性回归的概念及其统计描述
直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数关系
回归
回归描述的是通过自变量的数值反应因变量的平均水 平。因此可以通过可测或易测的变量估计难测或不 可测变量的状态。
例如：通过体重估计体表面积； 通过身高、体重、肺活量估计心室血输出 量、体循环总血量； 本章只涉及一个自变量的回归问题
b
SXY SX SY / n l XY 2 l XX SX 2 SX / n
编号 1 2 3 4 5 6
年龄X 肌酐Y
13 11 9 6 8 10 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36
X2
169 121 81 36 64 100
Y2
12.53 9.06 9.55 6.15 6.55 11.29
线性回归分析
r 2 SSR / SST 1 SSE / SST L2xy Lxx Lyy
❖
两个变量之间线性相关的强弱可以用相关系数r(Correlation
coefficient)度量。
❖ 相关系数（样本中 x与y的线性关系强度）计算公式如下：
❖ 统计学检验，它是利用统计学中的抽样理论来检验样本 回归方程的可靠性，具体又可分为拟合程度评价和显著 性检验。
1、拟合程度的评价
❖ 拟合程度，是指样本观察值聚集在估计回归线周围的紧密 程度。
❖ 评价拟合程度最常用的方法是测定系数或判定系数。 ❖ 对于任何观察值y总有：( y y) ( yˆ y) ( y yˆ)
当根据样本研究二个自变量x1，x2与y的关系时，则有
估计二元回归方程： yˆ b0 b1x1 b2 x2
求估计回归方程中的参数，可运用标准方程如下：
L11b1+L12b2=L1y
L12b1+L22b2=L2y b0 y b1 x1 b2 x2
例6：根据表中数据拟合因变量的二元线性回归方程。
21040
x2
4 36 64 64 144 256 400 400 484 676
2528
练习3：以下是采集到的有关女子游泳运动员的身高（英寸）和体
重（磅）的数据: a、用身高作自变量，画出散点图 b、根据散点图表明两变量之间存在什么关系？ c、试着画一条穿过这些数据的直线，来近似身高和体重之间的关 系
测定系数与相关系数之间的区别
第一，二者的应用场合不同。当我们只对测量两个变量之间线性关系的 强度感兴趣时，采用相关系数；当我们想要确定最小二乘直线模型同数据符 合的程度时，应用测定系数。
【统计分析】简单线性回归
年龄与运动后最大心率的回归方程
X ＝41.8
Y 166.8
lXX 381.2 lYY 4477.2 lXY
1226.8
b lXY lXX
1226.8 381.2
3.218
a 166.8-(-3.218) 41.8 301.3124
Yˆ 301.3124 3.218X
2.研究目的不同：回归用来说明两变量数量上的依存 变化关系，相关说明变量间的相关关系。
小结
简单线性回归是研究两个变量间线性关系的数量表 达式。根据最小二乘法原则，计算回归方程。
进行简单线性回归分析需要满足线性、独立 、正 态 与等方差4个条件。
在简单线性回归分析中，对回归方程的检验等价于 对回归系数的假设检验，可通过方差分析或t检验 完成。
区别
1.资料要求不同：回归要求y服从正态分布，x是可以 精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归； 相关要求两个变量服从双变量正态分布。这种资料 若进行回归分析称为Ⅱ回归，可计算两个方程。
I型回归：X是精确控制的； II型回归：X是随机的。 由X推算Y： Yˆ aY .X bY .X X 由Y推算X： Xˆ aX .Y bX .YY
n
(X X )2
Y 的容许区间估计 个体Y值的容许区间
给定 X 时 Y 的估计值是 Y 的均数 Y的一个估计。
给定X 时 Y 值的容许区间是 Y 值的可能范围。
Y 的100(1- )%容许限:
1 (X X )2
Y t ,n2 sY Y t ,n2 sY .X
1 n
(X X )2
小的。(最小二乘)
三、总体回归系数的假设检验
计量经济学实验简单线性回归模型
计量经济学实验简单线性回归模型引言计量经济学是经济学中的一个分支，致力于通过经验分析和实证方法来研究经济问题。
实验是计量经济学中的重要方法之一，能够帮助我们理解和解释经济现象。
简单线性回归模型是实验中常用的工具之一，它能够通过建立两个变量之间的数学关系，预测一个变量对另一个变量的影响。
本文将介绍计量经济学实验中的简单线性回归模型及其应用。
简单线性回归模型模型定义简单线性回归模型是一种用于描述自变量（X）与因变量（Y）之间关系的线性模型。
其数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1为未知参数，ε表示误差项。
参数估计在实际应用中，我们需要通过数据来估计模型中的参数。
最常用的估计方法是最小二乘法（OLS）。
最小二乘法的目标是通过最小化观测值与拟合值之间的平方差来估计参数。
具体而言，我们需要求解以下两个方程来得到参数的估计值：∂(Y - β0 - β1X)^2 / ∂β0 = 0∂(Y - β0 - β1X)^2 / ∂β1 = 0解释变量与被解释变量在简单线性回归模型中，解释变量（X）用来解释或预测被解释变量（Y）。
例如，我们可以使用房屋的面积（X）来预测房屋的价格（Y）。
在实验中，我们可以根据收集到的数据来建立回归模型，并利用该模型进行预测和分析。
应用实例数据收集为了说明简单线性回归模型的应用，我们假设收集了一些关于学生学习时间与考试成绩的数据。
下面是收集到的数据：学习时间（小时）考试成绩（百分制）2 723 784 805 856 88模型建立根据收集到的数据，我们可以建立简单线性回归模型来分析学生学习时间与考试成绩之间的关系。
首先，我们需要确定自变量和因变量的符号。
在这个例子中，我们可以将学习时间作为自变量（X），考试成绩作为因变量（Y）。
然后，我们使用最小二乘法来估计模型中的参数。
通过计算，可以得到如下参数估计值：β0 = 69.85β1 = 2.95最终的回归方程为：Y = 69.85 + 2.95X预测与分析通过建立的回归模型，我们可以进行预测和分析。
简单线性回归分析
注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验 与回归系数的 t 检验等价，且 t r = t b 。
3. 总体回归系数的区间估计：
b ± tα / 2,υ S b
0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
（三）线性回归分析的前提条件： LINE
1.回归模型的方差分析:
总变异的分解：
Y P
ˆ Y −Y
Y −Y
ˆ Y −Y
Y
Y
X
图10-3
Y的总变异分解示意图
ˆ − Y )2 + ∑ (Y − Y )2 ˆ ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y
2
SS 总 = SS 回归 + SS 残差
ν总 = n −1
ν 回归 = 1
ν 残差 = n − 2
X1 )
X2)
22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
X3)
69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68
X4)
2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线
性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值
相互独立，一个个体的取值不受其他个体的 影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定
值X时，Y的取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不
回归系数的区间估计和假设检验
t
ˆ
ˆ2
~ t(10 2)
1
( Xi X )2
t
0.4845
14.96
3.811
1
13848
t0.025(8) 2.306 t 14.96
或 p( t 14.96) 3.3107 ， 故拒绝原假设。
H0 : 1 0 H1 : 1 0
t
ˆ
ˆ1
X
2 i
~ t(10 2)
n ( X i X )2
2)
3）对给定的 ，查 t 分布表确定临界值 t
2
4）根据样本数据计算 t
5）若 t t 2
接受，H认为X 对Y没有显著影响； 0
反之，拒绝 H ，认为X对Y有显著影响。 0
在做结论时，也可以用P值检验法：
当p(| t | t0 ) ， 拒绝原假设，否则接受原假设。
（二）关于1的假设检验
1、总体服从正态分布（SE（ˆ
）已知）
2
P（
Z
2
ˆ2 2 SE(ˆ2 )
Z
2） 1
Z
ˆ2 2 SE(ˆ2 )
~
N (0,1)
P[ˆ2 Z 2 SE(ˆ2 ) 2 ˆ2 Z 2 SE（ˆ2）] 1
参数2的置信度为1的置信区间为
ˆ z SE(ˆ )
2
2
2
2、 2未知（即SE（ˆ2）未知），且为大样本时，2的置信度为1的置信区间为
SE ( ˆ
2
)
2 2 ~ N (0,1)
2
2
x2 i
2未知时，可用 2的无偏估计量ˆ 2代替。即
用SEˆ（ˆ1）代替SE（ˆ1）；用SEˆ（ˆ
2）代替SE（ˆ
简单线性回归模型的统计检验
t分布
P(t)
P(t
2
t
ˆ1 1 seˆ(ˆ1)
t ) 1
2
95%
拒绝域
2
t (n 2)
接受域 0
2
拒绝域
t (n 2)
t
假如 0.05,t 2.1009 P(2.1009 t* 2.1009) 95%
2
16
举例：一元线性模型中，i (i=1，2）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道：
在实际计算可决系数时，在 ˆ1 已经估计出后：
R 2
ˆ12
xi2
y
2 i
在例2.2收入-消费支出例中，
R2 1
ei2 yi2
1 76650 5870212.5
0.9869
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随
着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计 可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
3
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。
可以认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。 4
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和,可以证明：
偏估计ˆ 2 ei2 直接代替 2 来计算参数估计量的标准误差： n2
seˆ(ˆ1) ˆ
n
X
2 i
xi2
seˆ(ˆ2 )
ˆ
xi2
12
（2）在小样本情况下，若用无偏估计 ^2代替 去2
估计标准误差，则进行标准变化的统计量不再服从正
态分布，而是服从自由度为n-2的t分布
50简单线性回归回归系数的假设检验
t 检验
• 统计量t的计算公式
−
=
=
=
=−
∙
ഥ )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
σ( −
样本回归系数的标准误
∙ =
)
σ( −
=
−
Y的剩余标准差
n为对子数
剩
−
1.建立检验假设，确定检验水准
H0：β = 0，肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油间无线性回归关系
回 ൗ回 回
=
=
= 37.716 回 = 1 剩 = 19
剩 ൗ剩 剩
3.确定P值，作出统计推断
➢查F界值表，得F0.05,(1,19)=4.38，本例F=37.716>4.38，故P<0.05
➢按α=0.05的检验水准，拒绝H0，该总体回归系数β与0的差异有
统计学意义，可以认为肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油有线性
)
( −
ഥ ) = (
−
ഥ ) + ( −
)
( −
总 = 回 + 剩
总 = 回 + 剩
总 = −
回 =
剩 = −
回 ൗ回 回
=
=
剩 ൗ剩 剩
1.建立检验假设，确定检验水准
−
ഥ ) ，SS回，回归平方和，反映在Y的总变异中由
➢σ(
于X与Y的直线回归关系而使Y变异减小的部分，也就是
总变异中可以用X解释的部分。SS回越大，回归效果越
好。
) ，SS剩，剩余平方和，反映X对Y的线性影响
➢σ( −
之外的一切因素对Y的变异的影响，也就是总变异中不
线性回归系数假设检验可用
线性回归系数假设检验可用
线性回归系数假设检验在建筑行业中被广泛应用，它可以用来分析某种因素对建筑物性能、结构动力学稳定性或作为建筑物运行效果预测的指标有何影响。
在建筑行业中，研究人员通常采用线性回归系数假设检验，来检验某种解释变量对建筑物性能或结构动力学稳定性的影响。
线性回归系数假设检验可以根据拟合的数据进行分析，以估计出因素及其影响的程度。
它涉及到假设检验的两个部分，即检验统计量的度量及假设检验的显著性水平。
一般来说，假设检验会集中在求解解释变量是否有影响力及其影响程度上，也就是检验解释变量回归系数是否存在显著差异，如果有的话，就需要检验显著性水平，也就是被检验的变量的自由度。
另外，在线性回归模型内，研究人员还要分析残差的类型及其大小，以及确定建筑物的抗震性能。
考虑到建筑工程的复杂性，线性回归系数假设检验在建筑行业中最为重要，它可以帮助我们更准确地评估部分建筑物的结构安全性。
总而言之，线性回归系数假设检验很重要，能够有效评估多种因素对建筑物性能、结构动力学稳定性或造成的影响，为建筑行业提供准确的预测数据。
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第十一章 简单线性回归分析
二、线性回归的假设检验
回归方程有统计学意义吗？ • 假设检验包括两个方面：
1. 回归模型是否成立（model test ）：方差分析
2. 总体回归系数是否为零（parameter test ）： t 检验。
X Y 1584 . 0 1353 . 0 ˆ + - =
总变异的分解： Y
Y - Y
Y - ˆ Y
Y ˆ - Y
P
X
Y Y 图103 Y 的总变异分解示意图
总变异的分解：
å å å - + - = - 2 2 2
) ˆ ( ) ˆ ( ) ( Y Y Y Y Y Y 残差
回归 总 SS SS SS + = 1 - = n 总 n 1 = 回归 n 2
- = n 残差 n 残差
回归 总 n n n + =
残差
SS 总
SS 回归
SS 图114 回归效果示意图
回归模型的假设检验:
H ：总体回归方程不成立或总体中自变量 X 对
因变量Y 没有贡献
H ：总体回归方程成立或总体中自变量 X 对因
1
变量Y 有贡献
a =0.05
残差
回归 残差 残差 回归
回归 MS MS SS SS F = = n n / /
对例 101 的回归方程 X Y
1584 . 0 1353 . 0 ˆ + - = 进行方差分 析，结果如表 102 所示（假设检验步骤略）。
表102 简单线性回归模型方差分析表
变异来源
SS df MS F P 回
归 0.0530 1 0.0530 41.376 <0.0001 残 差 0.0282 22 0.0013
总 变 异 0.0812 23
由表 102 首行末列可见，P<0.0001，按a =0.05 水准， 可认为 NO 浓度与车流量之间的回归方程具有统计学 意义。
回归系数的假设检验: H ：b ＝0
H ：b ≠0
1
a =0.05
b S b t 0 - = 2
n u =- ( ) å - = 2 . X X S S X Y b 2 . - = n SS S X Y 残差
残差的标准差
接上例，经计算得（假设检验步骤略）：
X Y S . =0.0358， b S =0.0246，
|t |＝ F =6.432， 2 n u =- ＝22
由统计量t 得P <0.0001，按a =0.05水准，拒绝
0 H ，故可认为该回归系数具有统计学意义。
注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的t 检验 与回归系数的t 检验等价，且 b r t t = 。
总体回归系数的区间估计：
/2, b
b t S a u ± 0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
车流量对NO 浓度的影响有多大？ 总 回归 SS SS R = 2 决定系数 % 27 . 65 6527 . 0 0812
. 0 0530 . 0 2 = = = = 总 回归
SS SS R
线性回归分析的前提条件：LINE
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值相互独立，
一个个体的取值不受其他个体的影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定值X时，Y的
取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不同的X 值，Y
值的总体变异相同 。
1
m 2
m 3
m X=3时
Y 的分布
X=1时
Y 的分布 X=2时 Y 的分布
回归线 Y
X 2 3 1 图11-2 回归模型前提假设立体示意图
THE END
谢谢！。