九年级圆与相似三角形专题复习教学内容

九年级圆中三角形相似复习专题

1、 黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC

BC

AB AC =

，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2

1

5-=

≈0.618AB 。 2、 黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法：

（1）过点B 作BD ⊥AB ，使BD=0.5AB ； （2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；

（3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。 （4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

5、 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。

6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。(此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 7、 直角三角形相似判定定理:

（1） 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（2） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角

形也相似。

题型：圆与三角形相似问题。

1、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO

，则QA

QC 的值为( )

A. 132-

B. 32

C. 23+

D. 23+

2、如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，»

»AB BD =，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM 。

3、如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长。

4、如图，在Rt ABC △中，斜边1230BC C =∠=，°，D 为BC 的中点，ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点，过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点； （1）求证：AE DE ⊥； （2）计算：AC AF ·的值。

5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=o ，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ． （1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；

（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由。 Q O D

C

B

A

A E F O

D

B C

6、如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为弧BAC的中点，DE⊥AB于E；求证：BD2－AD2=AB×AC。

7、如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD ＝8，求△ABD的面积？

8、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．

(1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FA·FD；

(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。

9、如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E；

(1)求证：PA·PB=PO·PE；

(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。

10、如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理

由：（1）∠CAD＝2∠DBE；（2）AD2－AB2＝BD·DC。

11、如图所示，ABCD 为☉O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，且有∠BAE=∠DAC ； (1)求证：△ABC ∽△AED ； (2)求证：AB•DC + AD•BC = AC•BD 。

题型：动点问题。 1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ；

（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？

2、如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO ；

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；

（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

3、如图，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G ； (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度； (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)； (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长。

E O

D C B A H M N G P O A

B x

y