07交通工程学 第七讲 交通流理论 - 排队论模型、跟弛模型与交通波模型
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交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
[工学]交通流理论
![[工学]交通流理论](https://img.taocdn.com/s3/m/8ef2b977b9d528ea80c779a9.png)
Fi 为理论上观测数值出现在第i组的频数。
且有：∑fi =N，∑Fi =N
3、确定统计量的临界值χ2a
χ2a值与置信水平α和自由度DF有关，α通常取0.05 。
DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个 数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布 q=2（需确定P、n两个参数）。
N1=λ·P(h≥a1)= λe-λa1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= λe-λa2
…… 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2
主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3N4
……
15
∴到达率为λ的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+… =N1+N2+N3+N4+…=λ[e-λa1 + e-λa2 + e-λa3 +…] =λ[e-λa + e-λ(a+a0) + e-λ(a+2a0) +…]
P(h≥t) =e-λ（t-τ） t≥τ 其概率密度函数为： λe-λ（t-τ） t≥τ
P(t) =
0
t＜τ
1
1
移位负指数分布的均值M= +τ ，方差D= 2
用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求
得λ和τ。
17
2、适用条件 用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车流的车头时距分布。 3、移位负指数分布的局限性
2
第一节 离散型概率统计模型
我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计 数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到 的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即 性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种： 离散型和连续型。
且有：∑fi =N，∑Fi =N
3、确定统计量的临界值χ2a
χ2a值与置信水平α和自由度DF有关，α通常取0.05 。
DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个 数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布 q=2（需确定P、n两个参数）。
N1=λ·P(h≥a1)= λe-λa1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= λe-λa2
…… 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2
主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3N4
……
15
∴到达率为λ的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+… =N1+N2+N3+N4+…=λ[e-λa1 + e-λa2 + e-λa3 +…] =λ[e-λa + e-λ(a+a0) + e-λ(a+2a0) +…]
P(h≥t) =e-λ（t-τ） t≥τ 其概率密度函数为： λe-λ（t-τ） t≥τ
P(t) =
0
t＜τ
1
1
移位负指数分布的均值M= +τ ，方差D= 2
用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求
得λ和τ。
17
2、适用条件 用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车流的车头时距分布。 3、移位负指数分布的局限性
2
第一节 离散型概率统计模型
我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计 数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到 的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即 性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种： 离散型和连续型。
交通工程学-交通流理论07
8
§8-2 交通流的统计分布特性
二、离散型分布
• 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的 路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述
这类随机变数的统计规律用的是离散型分布
泊松分布
离散 分布
二项分布
9
波松定理
k k Pk P ( xn k ) Cn pn (1 pn ) n k ,
大车辆数。
19
§8-2 交通流的统计分布特性
2.二项分布
(3) 递推公式
n
P0 (1 p) nk p Pk 1 Pk k 1 1 p
(4) 特征
Pk C p (1 p)
k n k
n k
M np 方差 D np(1 p)
均值
D<M
20
§8-2 交通流的统计分布特性
3
§8-1 概述
二、发展
20世纪30年代才开始发展，最早采用的是概率论方法。1933年，金 蔡(Kinzer.J.P)论述了泊松分布应用于交通分析的可能性；1936年， 亚当斯(Adams.W.F)发表了数值例题；格林希尔茨（Greenshields） 发表了用概率论和数理统计的方法建立的数学模型，用以描述交通流量 和速度的关系。 40年代，由于二战的影响，交通流理论的发展不多。 50年代，随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、交通事故和 交通阻塞的骤增， 交通流中车辆的独立性越来越小，采用的概率论方法 越来越难以适应，迫使理论研究者寻求新的模型，于是相继出现了跟驰 （Car Following）理论、交通波（Traffic Wave Theory）理论 （流体动力学模拟）和车辆排队理论（Queuing Theory）。这一时 期的代表人物有Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、 Whitham、Newel、Webster、Edie、Foote、Herman、 Chandler等。
§8-2 交通流的统计分布特性
二、离散型分布
• 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的 路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述
这类随机变数的统计规律用的是离散型分布
泊松分布
离散 分布
二项分布
9
波松定理
k k Pk P ( xn k ) Cn pn (1 pn ) n k ,
大车辆数。
19
§8-2 交通流的统计分布特性
2.二项分布
(3) 递推公式
n
P0 (1 p) nk p Pk 1 Pk k 1 1 p
(4) 特征
Pk C p (1 p)
k n k
n k
M np 方差 D np(1 p)
均值
D<M
20
§8-2 交通流的统计分布特性
3
§8-1 概述
二、发展
20世纪30年代才开始发展，最早采用的是概率论方法。1933年，金 蔡(Kinzer.J.P)论述了泊松分布应用于交通分析的可能性；1936年， 亚当斯(Adams.W.F)发表了数值例题；格林希尔茨（Greenshields） 发表了用概率论和数理统计的方法建立的数学模型，用以描述交通流量 和速度的关系。 40年代，由于二战的影响，交通流理论的发展不多。 50年代，随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、交通事故和 交通阻塞的骤增， 交通流中车辆的独立性越来越小，采用的概率论方法 越来越难以适应，迫使理论研究者寻求新的模型，于是相继出现了跟驰 （Car Following）理论、交通波（Traffic Wave Theory）理论 （流体动力学模拟）和车辆排队理论（Queuing Theory）。这一时 期的代表人物有Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、 Whitham、Newel、Webster、Edie、Foote、Herman、 Chandler等。
交通工程学——交通流理论
统中正在接受服务（收费）和排队的统称。
29
二、排队论的基本概念
排队系统的三个组成部分: 输入过程：是指各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到达。 输入方式包括：
泊松输入、定长输入、爱尔朗输入 排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括：
等待制、损失制、混合制 服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多 少时间。服务时间分布包括：
28
二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务
（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排
队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间”则是在指排队系
由λ=360/3600=0.1
P(ht ) e t 同样P，(h车10头) 时e距小0.1于1010s的0.概37率为：
P(ht) 1 et 0.63
19
二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则λ=Q/3600，
于是负指数公式可改写成：
Qt
P(ht) e 3600
负指数M分布的1 均值M和方差D分别为：
基本公式:
P(k )
(t)k
k!
e t
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
5
一、离散型分布
令mP=λ(kt,)则：mk!k e m
递推公式：
P(0) em
P( k 1)
m k 1
P( k )
29
二、排队论的基本概念
排队系统的三个组成部分: 输入过程：是指各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到达。 输入方式包括：
泊松输入、定长输入、爱尔朗输入 排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括：
等待制、损失制、混合制 服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多 少时间。服务时间分布包括：
28
二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务
（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排
队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间”则是在指排队系
由λ=360/3600=0.1
P(ht ) e t 同样P，(h车10头) 时e距小0.1于1010s的0.概37率为：
P(ht) 1 et 0.63
19
二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则λ=Q/3600，
于是负指数公式可改写成：
Qt
P(ht) e 3600
负指数M分布的1 均值M和方差D分别为：
基本公式:
P(k )
(t)k
k!
e t
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
5
一、离散型分布
令mP=λ(kt,)则：mk!k e m
递推公式：
P(0) em
P( k 1)
m k 1
P( k )
7--交通波模型-2012解析
根据宏观交通流模型：
Q kv
S W
V1，k1
V2，k2
x
得波速公式：
图7.6 两种密度的车流运行状况
W Q1 Q2 k1 k2
波速公式推导方法二（P160 自学）
三、停车波和起动波
1.模型的变化
应用著名的格林希尔治线性模型进一步分析交通 波模型。
格林希尔治线性模型的表达式为：
ui u f (1 ki / k j )
试估计：1）1.69h内桥前的车辆平均排队长度；
2）整个过程的阻塞时间。
[解]：1）桥前高峰时车流量为4200辆/h，与通行能 力的比值（V/C）约为0.72，交通流能够保持畅通行 驶。因此桥前来车的交通流密度k1为：
k1
q1 v1
4200 80
53veh / km
在过渡段只能通过1940X2=3880辆/h，过渡段的
Q (K1,Q1)
(K2,Q2)Leabharlann K当Q2>Q1 、K2>K1时，产生一个集结波， w 为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着 与车流相同的方向，以相对路面为w的速度 移动。
Q (K2,Q2)
(K1,Q1)
K
当Q2<Q1 、K2>K1时，产生一个集结波， w为负值，集结波在波动产生的那一点，
沿着与车流相反的方向，以相对路面为 w的速度移动。
因此，该理论又可称为车流波动理论。
一、车流波的一些概念
车流的波动(或车流波)：车流中两种不同密度部分的分 界面经过一辆辆 车向车队后部传播的现象。
波速：车流波动沿道路移动的速度。 集结波 车流波由低密度状态向高密度状态转变的界面
移动，车流在交叉口遇红灯，车流通过瓶颈路段、桥梁 等都会产生集结波。 疏散波 车流波由高密度状态向低密度状态转变的界面 移动，交叉路口进口引道上红灯期间的排队车辆绿灯时 开始驶离，车流从瓶颈路段驶出等都会产生疏散波。
Q kv
S W
V1，k1
V2，k2
x
得波速公式：
图7.6 两种密度的车流运行状况
W Q1 Q2 k1 k2
波速公式推导方法二（P160 自学）
三、停车波和起动波
1.模型的变化
应用著名的格林希尔治线性模型进一步分析交通 波模型。
格林希尔治线性模型的表达式为：
ui u f (1 ki / k j )
试估计：1）1.69h内桥前的车辆平均排队长度；
2）整个过程的阻塞时间。
[解]：1）桥前高峰时车流量为4200辆/h，与通行能 力的比值（V/C）约为0.72，交通流能够保持畅通行 驶。因此桥前来车的交通流密度k1为：
k1
q1 v1
4200 80
53veh / km
在过渡段只能通过1940X2=3880辆/h，过渡段的
Q (K1,Q1)
(K2,Q2)Leabharlann K当Q2>Q1 、K2>K1时，产生一个集结波， w 为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着 与车流相同的方向，以相对路面为w的速度 移动。
Q (K2,Q2)
(K1,Q1)
K
当Q2<Q1 、K2>K1时，产生一个集结波， w为负值，集结波在波动产生的那一点，
沿着与车流相反的方向，以相对路面为 w的速度移动。
因此，该理论又可称为车流波动理论。
一、车流波的一些概念
车流的波动(或车流波)：车流中两种不同密度部分的分 界面经过一辆辆 车向车队后部传播的现象。
波速：车流波动沿道路移动的速度。 集结波 车流波由低密度状态向高密度状态转变的界面
移动，车流在交叉口遇红灯，车流通过瓶颈路段、桥梁 等都会产生集结波。 疏散波 车流波由高密度状态向低密度状态转变的界面 移动，交叉路口进口引道上红灯期间的排队车辆绿灯时 开始驶离，车流从瓶颈路段驶出等都会产生疏散波。
交通流理论
1 交通流的概率统计分布
移位的负指数分布
负指数分布拟合单车道交通流车头时距分布时，理论上会 得到车头时距在0～1.0秒的概率较大，与实际情况不符。为 了克服负指数分布的这种局限性，引入了移位的负指数分布， 即假设最小车头时距不应小于一个给定的值 .
F (t ) 1 e (t )
mi e m P( X x) 1 i! i 0
x
4
时间T内到达车辆数大于等于x的概率：
mi e m P( X x) 1 i! i 0
x 1
5
时间T内到达车辆数大于x但不超过y的概率：
mi e m P( x X y ) i! ix
y
1 交通流的概率统计分布
如果不附加说明，则一般表示先到先服务的等待制系统
2 排队论
排队系统的运行指标 • 服务率：单位时间内被服务的顾客均值。 • 交通强度：单位时间内被服务的顾客数和请求服务 顾客数之比。 • 系统排队长度：分为系统内顾客数和排队等待服务 顾客数。 • 等待时间：从顾客到达时起到他开始接受服务时止 这段时间。如车辆在交叉口入口引道上的排队时间。 • 忙期：即服务台连续繁忙的时间长度。
Cnx
n! x !(n x)!
p, n ——二项分布参数，0<p<1,n为正整数。
E ( X ) np
Var ( X ) np(1 p)
Var ( X ) np(1 p) (1 p) 1 E( X ) np
i P( X x) C n p i (1 p) n i
2 排队论
顾客源 排队 输入 排队规则 服务规则 服务窗 输出
排队模型框图
2 排队论
交通流理论
用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分布
的参数λ。 此外，也可用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数为：
P(t )
d d P(h t ) [1 P(h t )] e t dt dt
P(h t ) p(t )dt et dt et
跟驰条件（车速条件、间距条件）
2. 延迟性 (也称滞后性)
3. 传递性
二. 线性跟驰模型
s(t ) d1 d2 L - d3
假定d2＝d3，要使在时刻t两车的间距能 保证在突然剥车事件中不发生幢碰，则应 有：
对于跟驰车辆的反应，一般指加速、减速，因此，将 上式微分，得到 ：
. . ( t T ) X ( t ) X ( t ) n n 1 X n1 ..
道路上一辆跟踪另一辆车的追随现象是很多的， 前一辆车行驶速度的变化，影响后一辆车行驶，后 一辆车为了与前车保持具有最小安全间隔距离。需 要调整车速，这种前后车辆运动过程可以应用动力 学跟踪理论，建立道路上行驶车辆流动线性微分方 程式来分析车辆行驶情况和变化规律。这种研究方 法称为交通跟驰理论。
(3)应用条件
1 N 1 g 2 2 S ( k m ) ( k m ) fj i j N 1 i 1 N 1 j 1
2
2. 二项分布
(1)基本公式
k P ( k ) Cn (
t
n
) k (1
t
n
) nk ,
k 0,1,2, , n
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
交通流理论
1961，Gazis，跟驰一般模型
4.4 跟驰模型
x n 1 t T x n x n t 1 t x n T 1 t m lx n t x n 1 t
? m=0，l=0时，为线性模型 ? m=0，l=1时，为非线性模型 ? m=…，l=…时，为……模型
4.4 跟驰模型 二阶微分方程，积分一次，成为一阶微分方程
4.3.3 M/M/N系统
1. 简述
4.3 排队论模型
平均到达率λ 平均服务率为1/μ ρ＝ λ/μ，服务强度ρ/N
≥1不稳定 <1稳定
4.3 排队论模型
4.3.3 M/M/N系统
简述——两类多通道服务
1）单路排队多通道服务——排成一条队等待数 条通道服务
4.3 排队论模型
2）多路排队多通道服务——每个通道各排一队，每个通道只为 其相对应的一队顾客服务，顾客不能随意换队。
运用模型时的留意点：关于参数m＝λt可理解为时间间隔 t 内的 平均到达车辆数。
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
2. 二项分布：
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流 基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率
P (k ) C n k n t k 1 n t n k,k 1 ,2 ,.n ..
4.4 跟驰模型
4.4.4 非线性跟驰模型
线性跟驰模型的局限性
后车的反应仅与两车的相对速度有关，而与车辆间距无关。
非线性跟驰模型
1959，Gazis
灵敏度系数λ与车头间距成反比
x n 1 t T x n t x n 1 tx n t x n 1 t
其中
Vm
Vf 2
4.4.5 跟驰模型的一般形式
计算公式由M/M/1系统的计算公式确定
4.4 跟驰模型
x n 1 t T x n x n t 1 t x n T 1 t m lx n t x n 1 t
? m=0，l=0时，为线性模型 ? m=0，l=1时，为非线性模型 ? m=…，l=…时，为……模型
4.4 跟驰模型 二阶微分方程，积分一次，成为一阶微分方程
4.3.3 M/M/N系统
1. 简述
4.3 排队论模型
平均到达率λ 平均服务率为1/μ ρ＝ λ/μ，服务强度ρ/N
≥1不稳定 <1稳定
4.3 排队论模型
4.3.3 M/M/N系统
简述——两类多通道服务
1）单路排队多通道服务——排成一条队等待数 条通道服务
4.3 排队论模型
2）多路排队多通道服务——每个通道各排一队，每个通道只为 其相对应的一队顾客服务，顾客不能随意换队。
运用模型时的留意点：关于参数m＝λt可理解为时间间隔 t 内的 平均到达车辆数。
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
2. 二项分布：
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流 基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率
P (k ) C n k n t k 1 n t n k,k 1 ,2 ,.n ..
4.4 跟驰模型
4.4.4 非线性跟驰模型
线性跟驰模型的局限性
后车的反应仅与两车的相对速度有关，而与车辆间距无关。
非线性跟驰模型
1959，Gazis
灵敏度系数λ与车头间距成反比
x n 1 t T x n t x n 1 tx n t x n 1 t
其中
Vm
Vf 2
4.4.5 跟驰模型的一般形式
计算公式由M/M/1系统的计算公式确定
道路交通流理论
F
(t
)
1 exp (t )_(t
0
_______________(t
) )
爱尔朗(Erlang)分布
• 爱尔朗(Erlang)分布的概率密度函数为
f (t) et (t)k1
(k 1)!
• 积分得 P(h t) l1 (lt)i elt
泊松分布
• 到达数小于x辆车（人）的概率
P( X x) x1 miem
i0 i!
• 到达数大于x的概率：
P(X x) 1 P(X x) 1 x miem
i0 i!
参数m的计算：
n
n
观测的总车辆数
xi fi
xi fi
m 总计间隔数
i1 n
• 然而，总是存在一个合理的比较一致的驾驶员行
为范围，也就存在着一个合理一致的交通流表现 范围。
交通设施种类
• 连续流设施：无内部设施会导致交通流
周期性中断。长路段、高速公路。
• 间断流设施：由外部设备而导致交通流
周期性中断。信号灯等，引起车群。
• 一般认为，3.2Km可以使车群分散成连续流。
三参数之间的关系
离散型分布
• 泊松分布 • 二项分布 • 负二项分布
泊松分布
• 基本公式 P( X x) (t)x et mxem
x!
x!
• 式中P(X=x)——在计数间隔T内到达x辆车或x个
人的概率；
• λ——单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）； • T——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； • m=λT为在计数间隔T内平均到达的车辆（人）数。
• 三参数：交通量Q（辆/h） • 行车速度（空间平均车速）（Km/h） • 车流密度K（辆/Km） • 三个参数之间相互联系，相互制约。
交通工程学课件
如图4.11所示，当C=0.50 时，间距值的摆动衰减很快；当 C=0.80时，其罢动逐渐减小；C=1.57时，摆动停止衰减 ，其间距基本稳定；当C=1.60 时，摆动幅度逐渐增大 。可见，C=1.57为线性跟驰模型中车头间距从稳定到非 稳定的临界值。 渐近稳定：一列处于跟驰状态的车队仅当C<0.5时，才是 渐近稳定的。 与局部稳定相比较，这里C=0.50时，车头间距的摆动衰减 很快。头车运行中的扰动是以 1/λ(s/辆)的速率沿车队向后传播。当C>0.5时，将以增大变 动幅度传播，增大了车辆间的干扰，当干扰的幅度增大 到使车间距小于一个车长时，则发生追尾事故。图4.12 显示了一列有8辆车的车队，可知，前车改变运行状态后，后车也 要改变。但前后车运行状态的改变不是同步的，而是 延迟的。这是由于驾驶员对于前车运行状态的改变要 有一个反应的过程，这过程包括四个阶段： 感觉阶段——前车运行状态的改变被察觉； 认识阶段——对这一改变加以认识； 判断阶段—— 对本车将要采取的措施做出判断； 执行阶段—— 由大脑到手脚的操纵动作。 这四个阶段所需要的时间称为反应时间。假设反应时间 为△t，前车在t时刻的动作，后车要经过△t在(△t+t)时 刻才能作出相应的动作，这就是延迟性。
1.制约性 在一队汽车中，后车跟随前车运行，出于对旅行时间的考 虑，驾驶员总不愿意落后很多，而是紧随前车前进，这 就是“紧随要求”。从安全的角度考虑，跟驶车辆要满 足两个条件：一是后车的车速不能长时间大于前车的车 速只能在前车速度附近摆动，否则会发生碰撞，这是“ 车速条件”；二是前后车之间必须保持一个安全距离， 即前车刹车时，两车之间有足够的距离，从而有足够的 时间供后车驾驶员做出反应，采取制动措施，这是“间 距条件”。显然，车速高时，制动距离长，安全距离也 应加大。紧随要求、车速条件和间距条件构成了一队汽 车跟驰行驶的制约性，即前车的车速制约着后车的车速 和两车间距。
【交通工程概论(第二版)-戴冀峰】第七章 交通流理论
x 0 1 2 3 4 5 P(x) 0.0025 0.0150 0.0450 0.0900 0.1350 0.1620 P(≤x) 0.0025 0.0175 0.0625 0.1525 0.2875 0.4495 x 6 7 8 9 10 P(x) 0.1620 0.1389 0.1041 0.0694 0.0417 P(≤x) 0.6115 0.7504 0.8545 0.9239 0.9656
①公式：车头时距大于等于 t 秒的概率
P(h t ) e
t
式中： P(h t )——车头时距大于等于 t 秒的概率 λ、t ——同前
车头时距小于 t 秒的概率：
P(h t ) 1 e
t
二、连续型分布
1、负指数分布
若Q表示小时交通量，则λ＝Q/3600（辆/s），令 T为车头时距的平均值，则有 T 3600 / Q 1
3
i m
0.8488
一、离散型分布
1、泊松分布
例2. 已知某定时信号灯周期长60s，车流 量（一个进口方向）为360辆/h，车辆 达到符合泊松分布。求： 1）试设计具有95%置信度的每个周期内 的来车数； 2）在1s、2s、3s时间内无车的概率。
一、离散型分布
解：1） m=360/3600*60=6辆 符合泊松分布：
一、离散型分布
1、泊松分布
③检验：检验——拟合优度检验 步骤： 1）建立原假设 H 0 H 0 ：随变量x是服从该完全给定的概率分布 2 2）选择适宜的统计量 ：
( f i Fi ) fi ( ) N Fi i 1 i 1 Fi
2 g 2 g 2
Fi 理论频数 N * Pi
①公式：车头时距大于等于 t 秒的概率
P(h t ) e
t
式中： P(h t )——车头时距大于等于 t 秒的概率 λ、t ——同前
车头时距小于 t 秒的概率：
P(h t ) 1 e
t
二、连续型分布
1、负指数分布
若Q表示小时交通量，则λ＝Q/3600（辆/s），令 T为车头时距的平均值，则有 T 3600 / Q 1
3
i m
0.8488
一、离散型分布
1、泊松分布
例2. 已知某定时信号灯周期长60s，车流 量（一个进口方向）为360辆/h，车辆 达到符合泊松分布。求： 1）试设计具有95%置信度的每个周期内 的来车数； 2）在1s、2s、3s时间内无车的概率。
一、离散型分布
解：1） m=360/3600*60=6辆 符合泊松分布：
一、离散型分布
1、泊松分布
③检验：检验——拟合优度检验 步骤： 1）建立原假设 H 0 H 0 ：随变量x是服从该完全给定的概率分布 2 2）选择适宜的统计量 ：
( f i Fi ) fi ( ) N Fi i 1 i 1 Fi
2 g 2 g 2
Fi 理论频数 N * Pi
交通流理论ppt课件
可编辑课件
1nti 100% T0
17
时间占有率与交通密度
时间占有率可以代替交通密度吗？
Ot
1 T
Q i1
ti
100(%)
ti li /vi
平均车长 l
l Q1
Ot
1 vi 10% 0lQ10(0%)
T
vs
时间占有率与交通密度成正比例
可编辑课件
18
连续流与间断流 Page 80
连续流
道路上行驶的车流不因外界因素干扰而停车 在没有停车或让路一类的交通标志的高速公路上 在没有信号交叉口之间的乡村路段上
计数间隔被分割成n个区间
t/n
λ
计数间隔 t
p
可编辑课件
38
负指数分布 1
基本公式
计数间隔t内没有车辆到达的概率为 P(0) = e－λt
在无车辆到达的时间间隔t内，上次车到达和下次车到达之间，
车头时距至少有t秒，换句话说，P(0)也是车头时距等于或大于t
秒的概率，于是
P( h ≥ t )=e－λt
• 密度－速度关形式的多样性
• 自由流是…
Vm
• 交通量是密度、速度的函数
• 在临界点处…
Qmax
是交通模拟模型的理论基础
可编辑课件
13
xs
1 N
N i1
xi
1 N
N 1
xi
ts
1 M
M
ti
i1
1 M
t M
1
i
可编辑课件
车头间距 space headway
车头时距 time headway
交通量（速度）
VVf aK Ka1Va1Vf
1nti 100% T0
17
时间占有率与交通密度
时间占有率可以代替交通密度吗？
Ot
1 T
Q i1
ti
100(%)
ti li /vi
平均车长 l
l Q1
Ot
1 vi 10% 0lQ10(0%)
T
vs
时间占有率与交通密度成正比例
可编辑课件
18
连续流与间断流 Page 80
连续流
道路上行驶的车流不因外界因素干扰而停车 在没有停车或让路一类的交通标志的高速公路上 在没有信号交叉口之间的乡村路段上
计数间隔被分割成n个区间
t/n
λ
计数间隔 t
p
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38
负指数分布 1
基本公式
计数间隔t内没有车辆到达的概率为 P(0) = e－λt
在无车辆到达的时间间隔t内，上次车到达和下次车到达之间，
车头时距至少有t秒，换句话说，P(0)也是车头时距等于或大于t
秒的概率，于是
P( h ≥ t )=e－λt
• 密度－速度关形式的多样性
• 自由流是…
Vm
• 交通量是密度、速度的函数
• 在临界点处…
Qmax
是交通模拟模型的理论基础
可编辑课件
13
xs
1 N
N i1
xi
1 N
N 1
xi
ts
1 M
M
ti
i1
1 M
t M
1
i
可编辑课件
车头间距 space headway
车头时距 time headway
交通量（速度）
VVf aK Ka1Va1Vf
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交通运输与物流学院
17
线性跟驰模型的解释
驾驶员反应(T+t)＝灵敏度(λ)×驾驶员接受的刺激(t)
& & & & x x ( t T ) ( t ) x ( t ) n 1 n n 1
灵敏度 驾驶员对刺激的反应系数，量纲是 1/s
刺激
反应
引导车加、减速引起的两车速度差或车间距变化
驾驶员根据引导车的状态对后车进行操纵及效果
交通运输与物流学院
18
跟驰模型稳定性
多数个车辆在做跟驰运动时，一辆车状态的改变会导致其后续车 辆运行状态接二连三的改变，称为运行状态的传播 局部稳定 关注跟驰车对引导车运行波动的反应。如车头间距摆 动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定
引导车向后面各车传播速度变化，如果速度振幅扩大，就是不稳 定，如果振幅衰减，就是渐近稳定
密度波描述了两种交通状态的转化过程，C代表转化的方向与进程 C＞0表明波阵面传播方向与交通流方向同向； C＝0表明波阵面维持 在原地不动； C＜0表明波阵面传播方向与交通流方向相反
2 1
q 2 1
c
c
交通流从低流量低密度高速度区进入高流量 高密度低速度区。波阵面向下游传播，高密 度区未向上游扩展
交通运输与物流学院
为两种密度的车流运行情况
26
5.5 交通波理论
3.交通波
交通波模型的建立 根据交通流守恒定律，推导出：
q1 = k1v1
q2 = k 2 v2
q2 q1 vW = k 2 k1
交通运输与物流学院
27
5.5 交通波理论
3.交通波
模型的进一步推导 格林希尔治线性模型的表达式为：
vi v f 1 ki k j
式中：
i ki k j
vW v f 1 1 2
交通运输与物流学院
k j —阻塞密度
—标准化密度
v f —自由流密度
28
5.5 交通波理论
3.交通波
停车波 假定：车流的标准化密度为 1 以区间平均速度 v1 行 驶，在交叉口遇到红灯停，此时 2 1。
vW v f 1 1 1 v f 1
《交通工程学》
第五章 交通流理论
交通运输与物流学院
1
统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容
排 队 论 及 其 运 用 跟 驰 理 论
交 通 波 理 论
可 插 车 间 隙 理 论
交通运输与物流学院
2
5.3 排队论及其应用
1.概 述
排队论也称随机服务系统理论，是 运筹学的重要内容之一。主要研究 “服务”与“需求” 关系的一种 以概 率论为基础的数学理论。
动量 状态方程 交通流
Mv P=cmT
交通运输与物流学院
24
5.5 交通波理论
3.交通波
车流连续方程 根据守恒定律：流入量—流出量＝数量变化，推导出：
dk dq + =0 dt dx
表明：车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而 增大
交通运输与物流学院
25
5.5 交通波理论
3.交通波
交通波模型的建立
交通运输与物流学院
4
5.3 排队论及其应用
3.主要数量指标
等待时间 d ：从顾客到达时起到他开始接受 服务时止这段时间
忙期 ：服务台连续繁忙的时期，这直接关 系到服务台的工作强度 队长 q ：有排队等待服务的顾客数与 流学院
5
5.3 排队论及其应用
4.应用 收 费 站
交叉口
交通运输与物流学院
机动车
通行
9
例
题
例 有一停车场，到达车辆是60辆/h，服从泊松分布，停车 场的服务能力是100辆/h，服从负指数分布，其单一的 出入道可存6辆车，试问该数量是否合适？ 解 这是一个M/M/1排队系统 60辆 / h, 100辆 / h
/ 60 /100 0.6 1, 系统稳定
C T
Herman公式：C值增大，车头间距增大则不稳定， 如延迟反应时间过长，反应太强烈
摆动特性＝反应灵敏度×时间延迟
交通运输与物流学院
19
C值的大小 与车头间距的摆动衰减
交通运输与物流学院
8辆车的车队 在不同C值时的车头时距
20
5.4 跟驰理论
4.应用
概 述
跟车特性 基本原理 应 用
2.车队跟车特性分析
概 述
制约性
跟车特性 基本原理 应 用
前车车速制约着后车 延迟性 车速和两车间距 在前车行驶状态改变 传递性 后，后车要有一定的延 迟才能做出相应的改变 由制约性而使车队第 一辆车的运行状态可以 一直制约到第n辆车
14
交通运输与物流学院
5.4 跟驰理论
4.应用
概 述
跟车特性 基本原理 应 用
交通运输与物流学院
31
2
交通流中的密度波
• 车流遭遇到瓶颈时，会产生一个相反方向的波， 类似于声波碰到障碍物时的反射，或者水受阻时的后涌
• 当容量降低，车辆会减速乃至排队，集结成高密度的队列 当容量增加，排队车辆陆续启动，疏散成适当密度的车队
• 在车辆集结疏散的过程中，车流中两种不同密度的分界面 通过一辆辆车传播的现象，可以用密度波来描述 • 在自由流内，密度波向交通流行进方向传播 在阻塞流内，密度波向交通流行进的反方向传播
6 0
p( n) 0.33
计算结果表明，排队车辆超过6辆车的概率很小，故可认为 该出入道的存车量是合适的。
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11
统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容
排 队 论 及 其 运 用 跟 驰 理 论
交 通 波 理 论
可 插 车 间 隙 理 论
交通运输与物流学院
12
5.4 跟驰理论
交通运输与物流学院
30
交通流中观测的加速度
把速度简单地看成密度的函数v(k)，使得求解连续方程变得简 单。现实中交通流的平均速度v不可能瞬时地随密度发生变化， 驾驶员总是根据前方密度来调整车速
dv dv k k dt dk x
该式表明：观测车随交通流的加速度是密度梯度（）的函数， 它从理论上证明了车流的加速减速与车流前方密度的关系 当前方的（）大于零，即前方密度趋于增大时，车流开始减速 当前方的（）小于零，即前方密度趋于减小时，车流开始加速
因出入道存车辆为6辆，如果超过6辆的概率很小（通常 取小于5%），则认为合适，反之则不合适。
p(0) 1 1 0.6 0.4 p(1) (1 ) 0.6 0.4 0.24
……
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10
例
题
p(6) 0.6 6 0.4 0.03 p(x 6) 1
如图所示，假设一条公路上有 两个相邻的不同交通流密度区 域（ k 1 和 k 2），用垂直线 S 分 割这两种密度，称 S 为波阵面 设 S 的速度为 vW ，并规定交 通流按照图中箭头
vW
k1
v1
S
B
v2
k2
x
正方向运
行。其中 v1 为在A区车辆的区 间平均速度； v2 为B区车辆的 区间平均速度
线性跟驰模型示意图
交通运输与物流学院
15
线性跟驰模型的建立
x n (t ) & x n (t ) & & x n (t )
离开基准点(x = 0)的距离
车辆的速度 车辆的加速度
& & d xn 1 (t )T xn 1 (t T )T
跟驰模型示意图
n+1 n
xn (t ) xn1 (t ) d L
概 述 基本原理 应 用
服务
需求
交通运输与物流学院
3
5.3 排队论及其应用
2.基本原理
输 入 输入过程
排 队 论
排队规则
输 出 服务机构 同一时刻有多少服务 设施可以接纳顾客，为 每一顾客服务了多少时 间，服务时间为定长分 布、负指数分布、厄尔 兰分布
到来的“顾客”按 各种类型的顾客，按 怎样的规定次序接受 怎样的规律到来，主 服务，主要有3种制 要有定长输入、泊松 式损失制、等待制、 输入、厄尔兰输入 混合制
& xn (t ) xn1 (t ) xn1 (t T )T L
xn (t )
xn1 (t )
n车开始减速
n车制动距离
& & & & xn (t ) xn1 (t ) x n 1 (t T )T
b
n+1 n+1 n
& & & & x x ( t T ) ( t ) x ( t ) n 1 n n 1 交通运输与物流学院
4.应用 收 费 站
多路排队多通道服务:每一个通道各排一队每个通
道只为其相对应的一队车辆服务
交通运输与物流学院
8
客 客 客 客
到达
排队
服务 窗口
离去
排队论模型的应用
服务 窗口
客
服务
高速公路收费站 空港的起降跑道 船舶停靠码头 停车场
机动车 飞机 船 机动车
收费 起飞、降落 货物装卸 驻车
提供车头间距、相对速度等 信息，帮助驾驶员跟随车辆， 防止追尾事故的发生 分析公共汽车单车道流量预 测小型汽车对市内交通的影响 通过模拟车队的跟驰状态， 研究车辆跟驰运行中的安全性
21
交通运输与物流学院
统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容
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线性跟驰模型的解释
驾驶员反应(T+t)＝灵敏度(λ)×驾驶员接受的刺激(t)
& & & & x x ( t T ) ( t ) x ( t ) n 1 n n 1
灵敏度 驾驶员对刺激的反应系数，量纲是 1/s
刺激
反应
引导车加、减速引起的两车速度差或车间距变化
驾驶员根据引导车的状态对后车进行操纵及效果
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18
跟驰模型稳定性
多数个车辆在做跟驰运动时，一辆车状态的改变会导致其后续车 辆运行状态接二连三的改变，称为运行状态的传播 局部稳定 关注跟驰车对引导车运行波动的反应。如车头间距摆 动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定
引导车向后面各车传播速度变化，如果速度振幅扩大，就是不稳 定，如果振幅衰减，就是渐近稳定
密度波描述了两种交通状态的转化过程，C代表转化的方向与进程 C＞0表明波阵面传播方向与交通流方向同向； C＝0表明波阵面维持 在原地不动； C＜0表明波阵面传播方向与交通流方向相反
2 1
q 2 1
c
c
交通流从低流量低密度高速度区进入高流量 高密度低速度区。波阵面向下游传播，高密 度区未向上游扩展
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为两种密度的车流运行情况
26
5.5 交通波理论
3.交通波
交通波模型的建立 根据交通流守恒定律，推导出：
q1 = k1v1
q2 = k 2 v2
q2 q1 vW = k 2 k1
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27
5.5 交通波理论
3.交通波
模型的进一步推导 格林希尔治线性模型的表达式为：
vi v f 1 ki k j
式中：
i ki k j
vW v f 1 1 2
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k j —阻塞密度
—标准化密度
v f —自由流密度
28
5.5 交通波理论
3.交通波
停车波 假定：车流的标准化密度为 1 以区间平均速度 v1 行 驶，在交叉口遇到红灯停，此时 2 1。
vW v f 1 1 1 v f 1
《交通工程学》
第五章 交通流理论
交通运输与物流学院
1
统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容
排 队 论 及 其 运 用 跟 驰 理 论
交 通 波 理 论
可 插 车 间 隙 理 论
交通运输与物流学院
2
5.3 排队论及其应用
1.概 述
排队论也称随机服务系统理论，是 运筹学的重要内容之一。主要研究 “服务”与“需求” 关系的一种 以概 率论为基础的数学理论。
动量 状态方程 交通流
Mv P=cmT
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24
5.5 交通波理论
3.交通波
车流连续方程 根据守恒定律：流入量—流出量＝数量变化，推导出：
dk dq + =0 dt dx
表明：车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而 增大
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25
5.5 交通波理论
3.交通波
交通波模型的建立
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4
5.3 排队论及其应用
3.主要数量指标
等待时间 d ：从顾客到达时起到他开始接受 服务时止这段时间
忙期 ：服务台连续繁忙的时期，这直接关 系到服务台的工作强度 队长 q ：有排队等待服务的顾客数与 流学院
5
5.3 排队论及其应用
4.应用 收 费 站
交叉口
交通运输与物流学院
机动车
通行
9
例
题
例 有一停车场，到达车辆是60辆/h，服从泊松分布，停车 场的服务能力是100辆/h，服从负指数分布，其单一的 出入道可存6辆车，试问该数量是否合适？ 解 这是一个M/M/1排队系统 60辆 / h, 100辆 / h
/ 60 /100 0.6 1, 系统稳定
C T
Herman公式：C值增大，车头间距增大则不稳定， 如延迟反应时间过长，反应太强烈
摆动特性＝反应灵敏度×时间延迟
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19
C值的大小 与车头间距的摆动衰减
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8辆车的车队 在不同C值时的车头时距
20
5.4 跟驰理论
4.应用
概 述
跟车特性 基本原理 应 用
2.车队跟车特性分析
概 述
制约性
跟车特性 基本原理 应 用
前车车速制约着后车 延迟性 车速和两车间距 在前车行驶状态改变 传递性 后，后车要有一定的延 迟才能做出相应的改变 由制约性而使车队第 一辆车的运行状态可以 一直制约到第n辆车
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5.4 跟驰理论
4.应用
概 述
跟车特性 基本原理 应 用
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31
2
交通流中的密度波
• 车流遭遇到瓶颈时，会产生一个相反方向的波， 类似于声波碰到障碍物时的反射，或者水受阻时的后涌
• 当容量降低，车辆会减速乃至排队，集结成高密度的队列 当容量增加，排队车辆陆续启动，疏散成适当密度的车队
• 在车辆集结疏散的过程中，车流中两种不同密度的分界面 通过一辆辆车传播的现象，可以用密度波来描述 • 在自由流内，密度波向交通流行进方向传播 在阻塞流内，密度波向交通流行进的反方向传播
6 0
p( n) 0.33
计算结果表明，排队车辆超过6辆车的概率很小，故可认为 该出入道的存车量是合适的。
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统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容
排 队 论 及 其 运 用 跟 驰 理 论
交 通 波 理 论
可 插 车 间 隙 理 论
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5.4 跟驰理论
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交通流中观测的加速度
把速度简单地看成密度的函数v(k)，使得求解连续方程变得简 单。现实中交通流的平均速度v不可能瞬时地随密度发生变化， 驾驶员总是根据前方密度来调整车速
dv dv k k dt dk x
该式表明：观测车随交通流的加速度是密度梯度（）的函数， 它从理论上证明了车流的加速减速与车流前方密度的关系 当前方的（）大于零，即前方密度趋于增大时，车流开始减速 当前方的（）小于零，即前方密度趋于减小时，车流开始加速
因出入道存车辆为6辆，如果超过6辆的概率很小（通常 取小于5%），则认为合适，反之则不合适。
p(0) 1 1 0.6 0.4 p(1) (1 ) 0.6 0.4 0.24
……
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10
例
题
p(6) 0.6 6 0.4 0.03 p(x 6) 1
如图所示，假设一条公路上有 两个相邻的不同交通流密度区 域（ k 1 和 k 2），用垂直线 S 分 割这两种密度，称 S 为波阵面 设 S 的速度为 vW ，并规定交 通流按照图中箭头
vW
k1
v1
S
B
v2
k2
x
正方向运
行。其中 v1 为在A区车辆的区 间平均速度； v2 为B区车辆的 区间平均速度
线性跟驰模型示意图
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15
线性跟驰模型的建立
x n (t ) & x n (t ) & & x n (t )
离开基准点(x = 0)的距离
车辆的速度 车辆的加速度
& & d xn 1 (t )T xn 1 (t T )T
跟驰模型示意图
n+1 n
xn (t ) xn1 (t ) d L
概 述 基本原理 应 用
服务
需求
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3
5.3 排队论及其应用
2.基本原理
输 入 输入过程
排 队 论
排队规则
输 出 服务机构 同一时刻有多少服务 设施可以接纳顾客，为 每一顾客服务了多少时 间，服务时间为定长分 布、负指数分布、厄尔 兰分布
到来的“顾客”按 各种类型的顾客，按 怎样的规定次序接受 怎样的规律到来，主 服务，主要有3种制 要有定长输入、泊松 式损失制、等待制、 输入、厄尔兰输入 混合制
& xn (t ) xn1 (t ) xn1 (t T )T L
xn (t )
xn1 (t )
n车开始减速
n车制动距离
& & & & xn (t ) xn1 (t ) x n 1 (t T )T
b
n+1 n+1 n
& & & & x x ( t T ) ( t ) x ( t ) n 1 n n 1 交通运输与物流学院
4.应用 收 费 站
多路排队多通道服务:每一个通道各排一队每个通
道只为其相对应的一队车辆服务
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客 客 客 客
到达
排队
服务 窗口
离去
排队论模型的应用
服务 窗口
客
服务
高速公路收费站 空港的起降跑道 船舶停靠码头 停车场
机动车 飞机 船 机动车
收费 起飞、降落 货物装卸 驻车
提供车头间距、相对速度等 信息，帮助驾驶员跟随车辆， 防止追尾事故的发生 分析公共汽车单车道流量预 测小型汽车对市内交通的影响 通过模拟车队的跟驰状态， 研究车辆跟驰运行中的安全性
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统 计 分 布 特 征
本 章 主 要 内 容