(完整版)数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐),推荐文档

，设 bn
=log2
an
，求数列
{| bn |}的前 n 项和 Sn . 解： an = a1 q n1 = 27n
解： S1 1， S2 10 ， S3 35 ，
S4 84 ， S5 165 ，…
观察得：
Sn
=
1 3
n(4n2
1)
（待定系数法）
∴ bn = log2 an = 7 n
2
22
(2
1 2n1
)
2n
(1
1 2
1 4
1 2n1
)
2n
2
1 2n1
（5）奇偶求和法
（6）裂项相消法
此种方法是针对于奇、偶数项，要考
此方法主要针对
虑符号的数列，要求 Sn，就必须分奇偶来 讨论，最后进行综合．
1 1 1 这样的求和，其中
a1a2 a2a3
an1an
{an}是等差数列．
例：求和
ak ak1 ak (ak d ) d ak (ak d )
2k n 当 n 2k 1(k N )时 ， Sn S2k1 S2k a2k 2k [(4k 1)]
1(1 1 ) 1(1 1 ) d ak ak d d ak ak1
∴
Sn
1 d
1 ( a1
1 a2
)
1 d
1 ( a2
1 a3
)
2k 1 n
1 ( 1 1 ) d an1 an
综合得： Sn (1)n1n
1 [( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )]
d a1 a2 a2 a3
an1 an
11 (
1
)
d a1 an
n 1
a1[a1 (n 1)d ]
(7)分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{ an }的其中几项符号
把项的次序反过来，则：
Sn an (an d ) [an (n 1)d ] ②
①等差数列：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
nan
n(n 1) 2
d
①+②得：
n个
2Sn a1 an (a1 an ) (a1 an )
n(a1 an )
Smn Sm Sn mnd Sn Snm Sm (n 2m, m, n N *) n n 2m
（1）当 n ≤7 时， bn ≥0
此时，
S
n
=－
1 2
n2 + 13 2
n
（2）当 n ＞7 时， bn <0
证明：（1）当
n
=1
时，
1 3
n(4n2
1)
=1=
S1
∴ n =1 时成立.
（2）假设当
n
=k
时，
Sk
=
1 3
k (4k
2
1)
则 n =k+1 时，
此时，
1 Sn = 2
n2 － 13 2
例：{an}为首项为 a1,公差为 d 的等பைடு நூலகம்数列，求
Sn 1 3 5 7 (1)n1(2n 1) 解：当 n = 2k (kN+)时, Sn S2k (1 3) (5 7)
[(4k 3) (4k 1)]
Sn
1 a1a2
1 a2a3
1 a3a4
1 an1an
解：
∵1
1
1 Aak d ak
比数列的求和，但要注意讨论 q=1 和 q≠1 两种情况．
例：试化简下列和式：
Sn 1 2x 3x2 nxn1(x 0)
解：①若 x=1，则 Sn=1+2+3+…+n
例：求数列 1，1 1 ，1 1 1 ，……， 2 24
=
1
1 2
1 4
+……+
1 2n1
的和.
n(n 1) 2
②若 x≠1,则 Sn 1 2x 3x2 nxn1 xSn x 2x2 3x3 nxn
n =k+1 时，成立.
由（1）、（2）知，对一切 n∈N*，
Sn
=
1 3
n(4n2
1)
.
与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问 题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根 据通项求出各项之和的数列，先用不完全
归纳法猜出 Sn 的表达式，然后用数学归纳
法证明之.
例：已知等比数列{ an }中，
例：求和 Sn =12 + 32 + 52 +…+ (2n 1)2
a1
=64，q=
1 2
求数列{an}的前 n 项和的方法
（1）倒序相加法
（2）公式法
此种方法主要针对类似等差数列中
此种方法是针对于有公式可套的数列，如
an a1 an1 a2 ,具有这样特点的
数列．
等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找 出对应的公式．
例：等差数列求和
公式：
Sn a1 a2 an a1 (a1 d ) [a1 (n 1)d ] ①
两式相减得：
(1 x)Sn 1 x x2 +…+ x n1 nx n
1 xn nxn 1 x
∴
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
解：∵
an
1
1 2
1 4
1 2n1
1 (1)n 2
1 1
2
1 2n1
2
∴
Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1
)
(2 1) (2 1) (2 1 )
1 n2 (n 1)2 4
（3）错位相减法
（4）分组化归法
此种方法主要用于数列{anbn }的求和，
此方法主要用于无法整体求和的数列，可
其中{an }为等差数列，{bn }是公比为 q 的
将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分 别进行求和，再综合求出所有项的和．
等比数列，只需用 Sn qSn 便可转化为等
②等比数列：
Sn
n(a1 2
an )
Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
； (q
1)
Smn Sn Smqn
n(n 1)
③1+2+3+……+n =
；
2
12 22 32 n2
1 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 n3
(1 2 3 n)2
n +42（ n ≥8）
1
－
n2 + 13
n （ n ≤7）
22
∴ Sn =
1 n2 － 13 n +42（ n ≥8）
2
2
Sk1 = Sk + (2k 1)2
= 1 k(4k 2 1) + (2k 1)2 3
= k 1(2k 3)(2k 1) 3
= k 1[2(k 1) 1][2(k 1) 1] 3