结构力学 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
《结构力学》第8章：影响线
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
第九节简支梁的内力包络图
令a被C点等分，P2距C点为a/2=0.36m。P2作用点弯矩为
M max 1120 12 0.72 2 ( ) 280 4.8 1624.9kN m 12 2 2
设P2位于截面C之右（图d），且P4已移至梁外。
则
R=280×3=840kN
a=(280×4.8-280×1.44)/840=1.12m 令a被C点等分，P2距C点为a/2=0.56m。P2作用点弯 矩为（此时a取负值）为
RA R (l x a) l
PK作用点弯矩为
M RA x M K R (l x a ) x M K l
图10-24
式中， MK为PK以左梁上荷载对PK作用点的力矩之 和，为常数。由M取极值的条件
dM 0 dx
得
x
l a 2 2
即：当PK与R位于梁中点两侧对称位置时，PK所在截面的 弯矩达最大，为
M max
R l a 2 ( ) MK l 2 2
x
l a 2 2
M max
R l a 2 ( ) MK l 2 2
按式即可确定各个荷载作用点截面 的最大弯矩，比较后取最大者即为 绝对最大弯矩。
2.求绝对最大弯矩的步骤 经验表明：使梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载 就是产生绝对最大弯矩的荷载。 (1)求跨中截面的最大弯矩，确定此时作用在梁中 点的荷载PK。 (2)移动荷载组，使PK与梁上荷载合力R的间距被 梁中点平分。PK作用点的弯矩即为绝对最大弯矩。
M max 840 12 1.12 2 ( ) 280 4.8 1668.4kN m 12 2 2
由此可知，P2位于截面C之右0.56m时，其 所在截面的弯矩达最大，为1668.4kN· m。 (3)同理可求得，当P3位于C之左0.56m时，其所在截面 的弯矩达最大，为1668.4kN· m。 因此，梁的绝对最大弯矩为1668.4kN· m，它比Mcmax （ 1646.4kN· m ）仅大约1%（一般不超过5%）。设计 时完全可用MCmax代替之。
结构力学 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩 学习进程
子项目三 绘制内ห้องสมุดไป่ตู้包络图和确定绝对最大弯矩
知识链接
1．内力包络图的概念 在结构设计中，必须求出恒载和移动活载共同作用下全梁各截面弯
矩、剪力的最大（小）值，作为结构设计的依据。按前述方法求出各截 面的最大（小）内力后，取横坐标表示梁的截面位置，用纵坐标表示相 应截面上同类内力的最大（小）值，依次联结各截面同类内力最大（小） 值的曲线称为内力包络图。梁的内力包络图包括弯矩包络图和剪力包络 图。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
能力拓展
在结构设计或验算中，经常需求出结构在恒载和活载共同作用下，各截面 的最大、最小内力值。在实际工作中，对于活载尚需考虑其冲击力的影响， 这通常是将静载或活载所产生的内力值乘以冲击系数1+ μ 来实现的。冲击 系数的确定详见《公路桥涵设计通用规范》。关于荷载沿桥横向分布系数 mc 及其沿桥纵向的变化需进一步学习。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
项目实施
案例 4 – 8 试求如图 4 – 42a 所示简支梁在单个移动集中荷载作用下的弯 矩包络图。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
项目实施
案例 4 – 9 试求如图 4 – 43a 所示吊车梁的绝对最大弯矩。 解答：不难看出，绝对最大弯矩将发生在荷载 P2 或 P3 下面的截面。 ① 求荷载 P2 下面的最大弯矩。合力 4 82 kN R= × = 328 kN 。确定 R 与 P2 的间距。 ② 求荷载 P3 下面的最大弯矩。③ 相应地绘制弯矩包络图和剪力包络图， 如图 4 – 44 所示。
小结
4．在间接荷载作用下，结构主梁上某量值的影响线的做法是先作直接荷载作用 下该量值的影响线，然后将相邻的结点竖标用直线连接即可。 5．影响线的应用有两种：一是计算各种固定荷载产生的量值。固定集中荷载产 生的量值为 S=ΣPiyi ，固定均布荷载产生的量值为S= Σqωi 。二是用来确定移 动荷载的最不利荷载位置，从而计算出量值的最大值。 6．我国现行的公路荷载分为公路 – Ⅰ级和公路 – Ⅱ两个等级。汽车荷载分为 车道荷载和车辆荷载两种。
任务三十一多跨连续梁的内力包络图
R左/a=280/6＜(Pk+R右)/b=560/6 (Pk+R左)/a= 560/6＞R右/b=280/6
三、影响线的应用
2.
确定荷载最不利位置
由计算结果可见，P2是临界荷载。
(3) 计算MCmax P1、P2、P3作用点处所对应的MC影响线上的竖标见图31.9(c)。
MCmax=P1y1+P2y2+P3y3 =280×(0.6+3+2.28)kN· m =1646.4 kN· m
二、单跨静定梁的影响线
RA影响线：
仍取A点为原点，P=1至A的距离为变量x。根据力矩平衡条件 ∑MB=0，有
RAl-(l-x)=0
RA=(l-x)/l 由 x=0时，RA=1 x=l时，RA=0 可以绘出RA的影响线如图31.1(c)所示。
二、单跨静定梁的影响线
二、单跨静定梁的影响线
当x=0时，RB=0
当x=l时，RB=1 RB的影响线如图31.1(b)所示。
由RB影响线的绘制过程可知，作影响线的一般步骤是：
① 选择坐标系，定坐标原点，并用变量x标记单位移动荷载P=1 的作用位置； ② 利用静力平衡条件确定所求量值影响线的方程，并注明变量x
取值范围； ③ 根据影响线方程绘出影响线。
四、简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
2.
简支梁的绝对最大弯矩
P1、P2、P3、P4作用点处所对应的MC影响线上的竖标见图
31.13(b)。
MCmax=P1y1+P2y2+P3y3+P4y4=574kN· m
绝对最大弯矩
600 1800
600
60
P=12kN/m 90 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
60
30
1600
p 1500 KN / m
M活2
200
400
4080 880
880
M活3
10
20
30
80
P=12kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 110
360
0 Mmax 0 0
2 210 60
4 －100 －260
6 120 －30
320
q=12kN/m
M
max
M恒 M
活
600 400
M恒
90 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2200
P=12kN/m M活1 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 110 30
80
1200
p 1500 KN / m
30
20
10
分别表示各种活 载作用下对应点 的正弯矩、负弯 矩之和。 5 ． 将 各 点 的 Mmax 、 Mmin 分别连成曲线， 即得连续梁的M包络 图。
可以看出，它很接近于直线。故实用上只需求出两 端和跨中的最大、最小剪力值而连以直线即可作为 近似的剪力包络图。
FQ1影响线 FQ2影响线 FQ3影响线 FQ4影响线
计算各等分点截面的 最大、最小剪力值。 先绘出各截面的剪力 影响线。 由于对称，可只计算 半跨的截面。
3
弯矩包络图 将梁分成8等分
1
简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图
在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一截面 内力的最大值（最大正值和最大负值）。连接各截 面内力的最大值的曲线为内力包络图。 包络图表示各截面内力的变化极值，在设计中十分 重要。 弯矩包络图中最大的竖距称为绝对最大弯矩。
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩1)简支梁的内力包络图在设计承受移动荷载的结构时,通常需要求出结构中所有截面的最大、最小内力,连接各截面的最大、最小内力的图形称为内力包络图。
内力包络图反映了结构承受移动荷载作用时,所有截面内力的极值,是结构设计的重要依据,在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中都要用到。
下面以一实例来说明简支梁的弯矩包络图和剪力包络图的绘制方法。
如图17.20(a)所示为一跨度为12m的吊车梁,承受图中所示的吊车荷载作用。
首先将梁沿其轴线分为若干等分,本例分为十等分。
然后利用影响线逐一求出各等分截面上的最大弯矩和最小弯矩。
其中最小弯矩是梁在恒载作用下各个截面的弯矩。
对于吊车梁来讲,恒载所引起的弯矩比活载所引起的弯矩要小得多,设计中通常将它略去。
因此,本例只考虑活载即移动荷载所引起的弯矩,那么各截面的最小弯矩均为零。
最后根据计算结果,将各截面的最大弯矩以相同的比例画出,并用光滑曲线相连,即得到弯矩包络图,如图17.20(b)所示。
图17.20同理,可求出梁上所有截面的最大和最小剪力,画出剪力包络图,如图17.20(c)所示。
由于每个截面都会产生最大剪力和最小剪力,因此剪力包络图有两条曲线。
由上可以看出,内力包络图是针对某种移动荷载而言的,同一结构在不同的移动荷载作用下,其内力包络图也不相同。
2)简支梁的绝对最大弯矩由前面的讲述我们知道,简支梁的弯矩包络图反映了所有截面弯矩的最大值,其中的最大竖标值是所有截面最大弯矩中的最大值,称为绝对最大弯矩,用Mmax表示。
绝对最大弯矩无疑是考虑移动荷载作用时结构分析、设计的重要依据。
可以通过作出弯矩包络图来得到绝对最大弯矩,但这种方法计算量大,而且精度也不高,因此一般不采用此方法来计算绝对最大弯矩。
下面介绍一种较为简便的方法。
由于简支梁在移动荷载作用下,其上任一截面都有最大弯矩,其值可以通过确定该截面弯矩的最不利荷载位置,并计算该荷载位置时的弯矩而得到。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
《结构力学》教学大纲
《结构力学》教学大纲大纲说明课程代码：5125015总学时：80学时(讲课76学时，上机4学时)总学分：5学分课程类别：必修适用专业：土木工程专业（本科）预修要求：高等数学、理论力学、材料力学课程的性质、目的、任务：结构力学是土木工程专业的一门主要的技术基础课。
它的任务是在学习理论力学和材料力学的基础上，了解和掌握杆件结构的计算原理和方法，熟悉各类结构的受力特点和性能，培养结构分析和计算的能力，为学习有关专业课程和解决生产实践中的结构力学问题打好基础。
通过学习，使学生掌握平面杆件结构的组成分析、静定结构和超静定结构的内力和位移的计算分析方法。
课程教学的基本要求：本课程的学习中，要密切联系实际，培养学生正确的分析问题的方法，注意正确理解掌握基本概念和基本方法。
考虑到课程性质，建议采用多媒体教学手段。
计算机应用是本课程的重要组成部分，在教学中应予以充分重视。
大纲的使用说明：本大纲适用于土木工程本科专业80课时的结构力学课程使用，可根据具体的课时情况作适当的增删。
大纲正文第一章绪论学时：2学时（讲课2学时）本章讲授要点：结构力学的研究对象和任务；平面杆件结构和荷载的分类；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
重点：结构力学的研究对象和任务；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。
难点：确定计算简图第一节结构力学的研究对象和任务第二节结构的计算简图第三节平面杆件结构和荷载的分类第四节结构力学的学习方法习题：3题第二章平面体系的几何组成分析学时：4学时（讲课3学时，习题1学时）本章讲授要点：几何不变体系的基本组成规律；对体系几何组成的分析和判定；静定结构和超静定结构的几何组成特征。
重点：运用无多余约束的几何不变体系的三个简单组成规则分析一般体系的几何组成。
难点：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况。
第一节概述第二节几何不变体系组成规则及体系分析举例习题：6题第三章静定结构的内力计算学时：10学时（讲课8学时，习题2学时）本章讲授要点：梁、刚架的内力计算及内力图的绘制；多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、受弯杆件与桁架杆件组合结构的内力计算；结点法和截面法计算静定平面架内力；三铰拱的受力特点，内力图特征，合理拱轴概念及静定结构的基本特征。
(完整)结构力学(知识点)
章节平面杆件结构按计算简图分类体系的几何组成与静力性的关系概述几何组成分析举例平面体系的几何组成分析几何组成分析中的几个概念平面体系的计算自由度静定梁和静定刚架静定平面刚架单跨静定梁多跨静定梁绪论几何不变体系和几何可变体系结构力学结构力学的研究对象和任务杆件结构的计算简图几何不变体系的简单组成规则静定结构的一般特性虚功原理和结构位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算变形体系的虚功原理平面杆件结构位移计算的一般公式概述各种型式的结构受力特征 静定桁架和组合结构静定平面桁架三种简支桁架的比较概述三铰拱的内力计算三铰拱三铰拱的压力线和合理拱轴空间桁架静定组合结构静定结构在支座位移时的位移计算力法对称性的利用用弹性中心法计算无铰拱用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力用力法计算超静定结构在支座位移和温度变化时的内力力法基本概念力法的典型方程超静定结构概述静定结构在温度变化时的位移计算算图乘法线性弹性结构的互等定理超静定结构的位移计算超静定结构内力图的校核超静定结构的一般特性概述截面直杆的转角位移方程位移法的基本概念位移法位移法的典型方程用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力用位移法计算超静定结构在支座位移和温度变化时的内力直接利用平衡条件建立位移法方程矩分配法的基本概念力矩分配法用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架无剪力分配法影响线的概念静力法作静定粱的影响线结点荷载作用下粱的影响线静力法作静定桁架的影响线机动法作静定梁的影响线利用影响线求量值影响线移动荷载最不利位置的确定公路、铁路的标准荷载制及换算荷载简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩机动法作连续梁的影响线连续梁的内力包络图知识点章编号节编号知识点编号结构及其分类31374结构力学研究对象31375结构力学的任务31376计算简图的定义31477选取计算简图的一般原则31478实际结构的简化31479平面杆件结构按计算简图分类31580几何不变体系和几何可变体系41681平面体系的几何组成分析41682自由度41783约束41784必要约束与多余约束41785实铰与虚铰41786几何组成分析41787体系的实际自由度S与体系的计算自由度W 41888平面体系的计算自由度算法一——刚片系的W 41889平面体系的计算自由度算法二——铰接链杆体系的W 41890体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系41891几何不变体系的简单组成规则41992几何可变体系41993体系的几何组成分析及其步骤42094几何组成分析的方法及举例42095体系的几何组成与静力性的关系42196用截面法求指定截面的内力52297内力图的特征52298用区段叠加法作直杆段的弯矩图52299简支斜梁522100多跨静定梁的组成方式和特点523101多跨静定梁内力计算523102静定平面刚架的类型和特点524103求作静定平面刚架的内力图524104求作静定平面刚架的内力图的要点524105速绘静定平面刚架的弯矩图524106静定梁和静定刚架524107拱的分类625108三铰拱各部分名称625109带拉杆的拱625110三铰拱内力符号规定626111学三铰拱支反力的计算626112三铰拱的内力计算公式626113三铰拱的内力图绘制626114三铰拱的受力特点626115合力多边形627116三铰拱的压力线627117三铰拱的合理拱轴627118桁架的计算简图728119平面桁架的分类728120结点法729121结点平衡的特殊情况729122截面法729123结点法与截面法的联合应用729124对称桁架的受力计算729125静定平面桁架729126简支桁架的受力特点730127三种简支桁架的比较730128空间桁架的支座731129空间桁架的几何组成731130空间桁架的计算方法731131组合结构及其受力特点732132静定组合结构内力的计算方法732133静定组合结构732134各种型式的结构受力特征733135静定梁、刚架内力733136静定结构的一般特性734137位移835138计算位移的目的835139实功836140虚功836141刚体（系）的虚功原理836142变形体系的虚功原理836143虚功原理的两种形式836144实际状态837145虚拟状态837146结构位移计算的一般公式837147单位力设置法837148荷载引起的结构位移计算公式838149梁和刚架的位移计算838150桁架的位移计算838151组合结构的位移计算838152图乘法的适用条件839153图乘法原理839154图乘法的几点说明839155静定结构在支座位移时的位移计算840156温变引起的位移计算841157制造误差引起的位移计算841158功的互等定理842159位移互等定理842160反力互等定理842161反力与位移互等定理842162超静定结构和静定杆件结构分类943163超静定次数的确定943164超静定结构概述943165力法计算超静定结构的思路944166力法的基本未知量、基本结构及基本体944167系、典型方程力法的基本概念944168用力法计算一次超静定结构944169两次超静定结构的力法典型方程945170 n次超静定结构的力法典型方程945171力法典型方程中系数和自由项的计算945172结构的最后内力图945173力法解题步骤946174力法计算超静定梁946175力法计算超静定刚架946176力法计算超静定桁架946177力法计算超静定组合结构946178力法计算铰接排架946179力法计算两铰拱946180支座位移时超静定结构的计算947181温度变化时超静定结构的计算947182对称结构948183对称结构的受力特点948184利用对称性——选择对称的基本体系948185利用对称性——采用半结构948186弹性中心949187荷载作用时的计算949188温度变化时的计算949189支座位移时的计算949190超静定结构位移计算的思路950191荷载作用下超静定结构的位移计算950192支座位移时超静定结构的位移计算950193温度变化时超静定结构的位移计算950194平衡条件的校核951195位移条件的校核951196超静定结构的一般特性952197位移法的基本思路1053198杆端弯矩及杆端位移的正负号规定1054199单跨超静定梁的形常数和载常数1054200转角位移方程1054201位移法的基本未知量1055202位移法的基本结构1055203位移法方程1055204位移法典型方程的建立1056205位移法典型方程中系数及自由项的计算1056206方法位移法计算步骤1057207位移法算例1057208支座位移时位移法的计算1058209温度变化时位移法的计算1058210利用结点和截面平衡条件建立位移法方1059211程转动刚度1160212分配系数和传递系数1160213任意荷载作用时单结点结构的力矩分配1160214法力矩分配法1160215用力矩分配法计算连续梁1161216用力矩分配法计算无结点线位移的刚架1161217无剪力分配法的适用范围1162218无剪力分配法计算步骤和举例1162219移动荷载1263220影响线的定义1263221影响线1263222静力法作影响线的步骤1264223简支梁的影响线1264224影响线与内力图的区别1264225伸臂梁的影响线1264226结点荷载1265227结点荷载作用下影响线的作法1265228静力法作静定桁架的影响线1266229机动法及其原理1267230用机动法作影响线1267231集中荷载作用下的量值1268232分布荷载作用下的量值1268233最不利荷载位置1269234单个移动集中荷载的最不利位置1269235可任意布置的均布荷载的最不利位置1269236行列荷载的最不利位置1269237临界荷载位置的判定1269238铁路标准荷载1270239公路标准荷载1270240换算荷载12702411271242127124312722441272245连续梁的最不利荷载分布1273246连续梁的弯矩包络图1273247连续梁的剪力包络图1273248简支梁的内力包络图机动法作连续梁影响线的原理。
简支梁的内力包络图及绝对最大弯矩
现以简支梁受一组数值不变的集中荷载作用为例，介绍如何求得梁 内可能发生的绝对最大弯矩。
如图12-17 所示，在这一组集中荷载中，选出一个 PK ，研究它的作 用点移动到什么位置时可能使所在的截面弯矩为最大 。
图 12-17
以 x 表示 PK 到支座 A 的距离，a 表示梁上全部荷载的合力 FR 与
PK 作用线之间的距离，对 B 点取矩。
由 M B 0 ，求得
FA
FR l
l
x
a
用 PK 作用截面以左所有外力对 PK 作用点取矩，得 PK 作用点所在
图 12-16
1.2 简支梁的绝对最大弯矩
在移动荷载作用下，弯矩图中的最大纵坐标值是简支梁各截面的所 有最大弯矩中的最大值，称为绝对最大弯矩。产生绝对最大弯矩的某一 截面一定有某个临界荷载 PK 作用的截面。为此可用逐个荷载试算的办 法，先假定其中的某个荷载为临界荷载，求出其产生最大弯矩时的位置 和最大弯矩值，然后将计算出的最大弯矩加以比较，即可找出梁的绝对 最大弯矩。
M max
FR l
l 2
a 2
2
M
K
式中，当 PK 在 FR 左边时取负号； PK 在 FR 右边时取正号。
（12-10）
按上述方法，依次将每个荷载作为临界荷载计算出最大弯矩并加以比 较，确定梁的最大弯矩。
经验表明，简支梁的最大弯矩，通常发生在梁的跨中附近，因此可确
定一个靠近梁的中点截面处的较大荷载作为临界荷载 PK，并移动系列荷载， 使 PK 与梁上荷载的合力对称于梁的中点，再计算此时 PK 作用点的弯矩， 即得绝对最大弯矩。
考研 828-结构力学 考试大纲
结构力学知识点：1．平面体系的几何组成分析几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与瞬铰的概念，瞬变体系的概念；平面几何不变体系的基本组成规律及其应用。
2．静定结构的受力分析用隔离体平衡法求杆件未知内力；分段叠加法作直杆的弯矩图；静定梁和静定刚架的内力计算及内力图的绘制方法；三铰拱的支座反力、内力计算及其合理拱轴线的确定；静定平面桁架的特点及组成，结点法、截面法及两者的联合应用；组合结构的受力特点和内力计算；静定结构的力学特性以及各类结构的受力特点。
3．影响线及其应用影响线的概念；静力法和机动法作静定梁的影响线，静力法作桁架内力的影响线，结点荷载下静定梁的影响线；用影响线求移动荷载作用下结构的最大内力；简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图；连续梁的内力影响线轮廓，连续梁的最不利荷载位置和内力包络图。
4．虚功原理与结构的位移计算广义力与广义位移的概念；变形体虚功原理及其在结构位移计算中的应用；结构位移计算的一般公式；静定结构由于荷载、支座移动、温度改变和制造误差而产生的位移的计算方法；图乘法在位移计算中的应用；线弹性体系的互等定理。
5．力法超静定次数；力法的基本原理；用力法计算超静定结构在荷载、支座移动、温度改变下的内力；超静定结构在各种因素影响下的位移计算；力法对称性的利用；超静定结构的力学特性。
6．位移法位移法的基本原理；等截面直杆的刚度方程；用位移法计算超静定结构在荷载、支座移动、温度改变下的内力；位移法对称性的利用。
7．力矩分配法力矩分配法的概念；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的内力；对称性的利用。
8．矩阵位移法杆系结构的离散化；局部及整体坐标系中的单元刚度矩阵；结构整体刚度矩阵的集成方法和物理意义；等效结点荷载和综合结点荷载；结构刚度方程的形成及其求解；忽略轴向变形时矩形刚架的矩阵分析。
9．结构的动力计算结构动力分析的基本方法及动力体系自由度的判别方法；运动方程的建立；单自由度体系的自由振动分析，单自由度体系在简谐荷载下的受迫振动的计算，单自由度体系在一般动荷载下的受迫振动；阻尼对振动的影响；多自由度体系的自由振动分析（刚度法、柔度法），主振型的正交性，多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动的计算；振型分解法；频率的近似计算方法。
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
解决绝对最大弯矩问题要比解决最不利荷载位 置问题复杂。因为它有两个未知位置，即产生绝对 最大弯矩的截面位置，以及相应于此截面的最不利 荷载位置。下面介绍工程上常用的一种计算绝对最 大弯矩的方法。因为简支梁任一截面弯矩影响线为 三角形，所以其顶点就在该截面的竖线上，而最不 利荷载位置总是发生在某一临界荷载Pcr之下。这一 结论同样适合于绝对最大弯矩。
图弯矩
同理，可作吊车梁的 剪力包络图，如图16-13 中的(b)~(h)所示。因各等 分点截面的剪力影响线都 将产生最大剪力和最小剪 力，故剪力包络图有两根 曲线，如图16-13(h)所示。
图16-13
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1.2
绝对最大弯矩
弯矩包络图中的最大竖标称为绝对 最大弯矩，它是该简支梁各截面的所有 最大弯矩中的最大值，是设计等截面简 支梁时的依据。
图16-14
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
由式(16-9)可知，临界荷载Pcr应 该与荷载的合力R对称地放在简支梁中 点的两边，如图16-14所示，计算时， 须注意R应是梁上的实有荷载的合力。 在安排Pcr与R的位置时，有些荷载可能 在梁上或离开梁上，这时应重新计算 合力R的数值和位置。
工程力学
简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1.1
简支梁的内力包络图
将结构杆件各截面的最大、最小(或最大负值)内力值 按同一比例标在图上，连成曲线，则这种曲线图形就是内 力包络图。内力包络图实际上表达了各截面内力变化的上、 下限，是结构实际设计计算的重要依据。这个图上能清楚 地看出各截面某一内力的最大、最小值的变化规律，还可 以找出该内力的绝对最大值以及它所在的截面位置。 梁的 内力包络图有两种：弯矩包络图和剪力包络图。
结构力学46简支梁的包络图和绝对最大弯矩
M1 max
FP
ab l
FP
0.2l 0.8l l
0.16FP l
截面3：a 0.3l, b 0.7l
M1 max
FP
ab l
FP
0.3l
0.7l l
0.21FP l
1
§4-6 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
A
x
FP
C
把梁分成十等分，求其最大弯矩：
B 截面4：a 0.4l, b 0.6l
300kN
M0 300 5.625 1 50 5.6252 896.5kN m 2
所以弯矩包络图（图5-25c） 上 x＝5.625m 处的竖距为：
M 896.5 1.05578
1503.4kN m
Mmax 578kN m
8
5.625 6.375 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12
215
366 465 559 4 578 578
弯矩包络图(单位：kN m)
3
82kN 82kN 82kN 82kN 3.5m 1.5m 3.5m
A
12m
B
同样，还可作出剪力包络图：
212 179 153 12794.365.0 41.725.316.4 8.2 0
2
1
(82 3.5)
2 2 12
578kN m
Mmax FR
l 2
a 2
2
1 l
Mcr 6
例: 求图示吊车梁的绝对最大弯矩。 FP1 FP 2 FP 3 FP4 82kN 解：
Mmax 578kN m
a FR
⑴ 求FP2下面的最大弯矩：
简 支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
注意 : FR为梁上实有荷载的合力。在安排FR与Fcr的位 置时，可能会有来到或离开梁上的荷载，需要
a
b
F左 Fcr F右
a
b
30 30 20 10 10
10
10
Байду номын сангаас
30 30 20 10 10
10
10
验算其他荷载均不满足判别式，故轮2作用力是使 梁跨中截面C产生最大弯矩的临界荷载Fcr。 2)求梁的绝对最大弯矩。
FR =30 kN+30 kN+20 kN+10 kN+10 kN=100 kN FR ·x＝10kN×2 m＋20kN×４m＋
当简支梁受一组移动集中荷载作用时，例如图
9.18(a)、（b)所示
A
B
5.625 6.375 9.6 0 1.2 2.4 3.6 4.86.0 7.28.4 10.8 12
12m
(a)
215
F2=82kN F3=82kN
366
F1=82kN 3.5m 1.5m 3.5m F4=82kN
465
559 574 578
1 2 34 5
(a) A
2m 2m 2m 2m
C
x'=5.2m B
10 (b)
10m
10m
5
图9.20
MC的影响线 （单位：m）
将轮2作用力置于影响线的顶点［图9.20（c）］，
结构力学 8影响线及其应用
P1 P2 Pk
C a b
PN
y2 yk h yN R L Pk RR a b MC影响线 dy1 Pk R R RL dx ---临界荷载判别式 a b 此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。
h h ( PK 1 PN ) 0 a b h h ( P1 P2 Pk 1 ) ( PK PN ) 0 a b 临界力位于影响线顶点时的荷载位置称为临界位置。 ( P1 P2 Pk )
A
B
C
2 Ⅱ
3. I.L N2
D E F G
取截面Ⅱ－Ⅱ
l = 6d
P=1 A
c
4d 3h
P=1
B
Mc 0
M c N2 h
RA
RG
I .LN 2
a
b
Y 3
c
Y N3
d
e
f
g
Y 4、斜杆N3－ I .L N 3
N 3
A B C D E F G
h
Ｐ＝１在Ｂ以左：
Y N 3 RG
RA
结构力学
Structural mechanics
8 影响线及其应用
华夏学院土木与建筑工程系
8 影响线及其应用
目的：解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容： 1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围； 2）确定内力的最大值及相应的荷载位置 ——最不利荷载位置； 3）简支梁的绝对最大弯矩； 4）内力包络图。
yD yc yE
纵梁 横梁
P 1作用：
P=1
主梁
C
E X D C d E B
A
D
简支梁的内力包络图及绝对最大
在实际计算中，常常可以估计出哪个荷 载或哪几个荷载需要考察。因为简支梁绝对最 大弯矩总是发生在中点附近的截面上，所以使 梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载，通常就 是产生绝对最大弯矩的荷载。因此，计算简支 梁的绝对最大弯矩可按以下述步骤进行：
（1）确定使梁跨中截面上发生最大弯矩的临界 荷载Fcr 。
同理，可求得F3作用在截面C时产生的最大弯矩， 由对称性可知，其值与上相同。
(a)
2) 求吊车梁的绝对最大弯矩。 由于F2和F3都是产生绝对最大弯矩的临界荷载， 并且对称于梁的中点。所以只需考虑F2作为临界荷 载的情况。为此，使F2与梁上荷载的合力FR对称于 梁的中点布置。
(a)
当F2在合力的左边时[图(c)]，梁上有四个荷载，
1.1 简支梁的内力包络图
用上节介绍的在移动荷载作用下，计算静 定梁任一指定截面上最大内力的方法，可以求 出简支梁所有截面上内力的最大值（或最小 值）。如果把求得的各截面上内力的最大（或 最小）值按同一比例标在图上，然后连成曲线， 则这一曲线图形就称为内力包络图。
内力包络图表示静定梁所有截面上内力变 化的极限值，是吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁 结构设计的重要依据。
下面先以简支梁在单个移动集中荷载作用 下的弯矩包络图为例，说明内力包络图的绘制 方法。
如图(a)所示的简支梁受单个移动集中荷载作用， 某个截面C上弯矩的影响线如图(b)所示。
(a) (b) MC影响线
由影响线可以判定，当荷载正好作用于C点时，MC
值为最大：M C
ab l
F
。由此可见，荷载由A向B移动时，只
而梁上荷载组的合力FR至Fi的距离为a，如图所示。
由 M,得B 支0 座A处的约束反力为
FA y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图 4 – 41 所示，试取某一集中荷载 PK，设以 x 表示 PK 到左支座 A 的距离，以 a 表示梁上荷载的合力 R 与 PK 作用线之间的距离，则左 支座反力由 ΣMB=0 求得
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩 知识链接
式中 Mx 表示 PK 以左梁上荷载对PK 作用点的力矩总和，由于荷载的间距 不变，因而它是一个与 x 无关的常数。当Mx 为极大值时，根据极值条件
项目四 移动荷载作用下结构的内力计算
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
学习能力目标
1. 能判别绝对最大弯矩发生在哪个截面。 2. 能判别荷载位于什么位置产生绝对最大弯矩。
项目表述
对如图 4 – 40 所示简支梁进行分析，能够绘制简支梁的内力包络图，并确定 简支梁的绝对最大弯矩。通过完成学习项目，可以判别荷载位于什么位置产 生绝对最大弯矩。
得 这表明，当PK 与合力 R 对称作用于梁的中点时，PK 之下截面的弯矩达到 最大值，其值为
当合力 R 位于PK 左侧时
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
知识链接
利用上述结论，我们可以将各个荷载作用点截面的最大弯矩找出，将它们加以 比较而得出绝对最大弯矩。不过，当荷载数目较多时，这仍是比较麻烦。在实 际计算中，宜事先估计发生绝对最大弯矩的临界荷载。因为简支梁的绝对最大 弯矩总是发生在梁的中点附近，因此可设想，使梁中点截面产生最大弯矩的临 界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。经验表明，这种设想在通常情 况下都是正确的。 综上所述，计算简支梁绝对最大弯矩的步骤如下： ① 用前述临界荷载的判定方法求出使梁跨中截面发生最大弯矩的临界荷载 PK 。 ② 移动荷载组，使 PK 与梁上全部荷载的合力 R 对称于梁的中点（x = l / 2 – a / 2）。 ③ 计算该荷载位置时 PK 所在截面的弯矩，即为绝对最大弯矩。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
项目实施
案例 4 – 8 试求如图 4 – 42a 所示简支梁在单个移动集中荷载作用下的弯 矩包络图。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
项目实施
案例 4 – 9 试求如图 4 – 43a 所示吊车梁的绝对最大弯矩。 解答：不难看出，绝对最大弯矩将发生在荷载 P2 或 P3 下面的截面。 ① 求荷载 P2 下面的最大弯矩。合力 4 82 kN R= × = 328 kN 。确定 R 与 P2 的间距。 ② 求荷载 P3 下面的最大弯矩。③ 相应地绘制弯矩包络图和剪力定绝对最大弯矩
能力拓展
在结构设计或验算中，经常需求出结构在恒载和活载共同作用下，各截面 的最大、最小内力值。在实际工作中，对于活载尚需考虑其冲击力的影响， 这通常是将静载或活载所产生的内力值乘以冲击系数1+ μ 来实现的。冲击 系数的确定详见《公路桥涵设计通用规范》。关于荷载沿桥横向分布系数 mc 及其沿桥纵向的变化需进一步学习。
小结
1．影响线是单位竖向移动荷载 P = 1 作用下某量值变化规律的图形。它反映结 构的某一量值（指某个支座反力，某一截面的内力等）随单位荷载 P = 1 位置 改变而改变。 2．内力影响线与内力图的区别：内力影响线表示某一指定截面的某一内力值（ 弯矩、剪力或轴力）随单位荷载 P = 1 位置改变而变化的规律；内力图表示结 构在某种固定荷载作用下各个截面的某一内力的分布规律。 3．静力法是绘制影响线的最基本方法。它是根据隔离体的平衡条件列出影响线 方程，再用图形表示出。要注意影响线方程分段方法，正确地画出各种单跨梁 的影响线。
下面讨论如何确定简支梁的绝对最大弯矩。由前所述，在行列荷载 移动过程中，梁的弯矩图的顶点总是发生在集中荷载的下面。因此，绝 对最大弯矩一定发生在某一集中荷载的作用点处。于是，我们可以在这 一组集中荷载中选出一个 PK，研究它移动到什么位置时，使其作用点 处的弯矩达到最大。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
内力包络图是结构设计中重要的资料，在吊车梁、楼盖的连续梁和 桥梁的设计中都要用到。例如在钢筋混凝土结构设计时，需要根据内力 包络图来确定纵向和横向受力钢筋的布置。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
知识链接
2．简支梁的绝对最大弯矩 在移动荷载作用下，每个截面上都有其最大弯矩，简支梁所有截面
的最大弯矩中的最大者称为绝对最大弯矩。简支梁弯矩包络图上的最大 弯矩叫作简支梁的绝对最大弯矩。对于等截面梁来讲，绝对最大弯矩发 生的截面是最危险的截面。
设梁所承受的恒载为均布荷载 q，某一内力 S 影响线的正、负面积及总面 积分别为 ω+、ω– 及Σω ，活载为车道荷载，均布荷载为 qK，集中力为 PK， 则在恒载和活载共同作用下该内力的最大、最小值的计算公式为：
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩 能力拓展
如图 4 – 45 所示，一跨径为 19.5 m 的公路钢筋混凝土 T 梁桥，共由五片梁 组成，双车道。 中主梁受均布荷载 q = 16.7 kN/m，冲击系数为1+μ =1.261 ， 其跨中横向分布系数 mc = 0.5， 假设沿桥纵向不变化。承受公路—Ⅱ级活载 作用。分组讨论并绘制中主梁的弯矩和剪力包络图。
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩 学习进程
子项目三 绘制内力包络图和确定绝对最大弯矩
知识链接
1．内力包络图的概念 在结构设计中，必须求出恒载和移动活载共同作用下全梁各截面弯
矩、剪力的最大（小）值，作为结构设计的依据。按前述方法求出各截 面的最大（小）内力后，取横坐标表示梁的截面位置，用纵坐标表示相 应截面上同类内力的最大（小）值，依次联结各截面同类内力最大（小） 值的曲线称为内力包络图。梁的内力包络图包括弯矩包络图和剪力包络 图。
小结
4．在间接荷载作用下，结构主梁上某量值的影响线的做法是先作直接荷载作用 下该量值的影响线，然后将相邻的结点竖标用直线连接即可。 5．影响线的应用有两种：一是计算各种固定荷载产生的量值。固定集中荷载产 生的量值为 S=ΣPiyi ，固定均布荷载产生的量值为S= Σqωi 。二是用来确定移 动荷载的最不利荷载位置，从而计算出量值的最大值。 6．我国现行的公路荷载分为公路 – Ⅰ级和公路 – Ⅱ两个等级。汽车荷载分为 车道荷载和车辆荷载两种。