最新北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法(上)

北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法(上)

学科：数学

教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)

【考点梳理】

一、考试内容

1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求

1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析

1.数列及相关知识关系表

2.作用地位

（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的

能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

（4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。

3.等差数列

（1）定义：a n+1－a n=d(常数d为公差)

（2）通项公式：a n=a1+(n－1)d

（3）前n项和公式：S n=«Skip Record If...»=na1+«Skip Record If...»d

（4）通项公式推广：a n=a m+(n－m)d

4.等差数列{a n}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有a n+1－a n=a2－a1

（2）{a n}的通项公式：a n=（a2－a1）n+(2a1－a2)

（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有a p+a q=a r+a s

（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有a p+a r=2a q

（5）对于任意正整数n>1，有2a n=a n－1+a n+1

（6）对于任意非零实数b，若数列{ba n}是等差数列，则数列{a n}也是等差数列

（7）已知数列{b n}是等差数列，则{a n±b n}也是等差数列

（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列

（9）S3m=3（S2m－S m）

（10）若S n=S m(m≠n)，则S m+n=0

（11）若S p=q,S q=p，则S p+q=－(p+q)(p≠q)

（12）S n=an2+bn，反之亦成立

5.等比数列

（1）定义：«Skip Record If...»=q(常数q为公比)

（2）通项公式：a n=a1q n－1

（3）前n项和公式

S n=«Skip Record If...»

特别注意q=1时，S n=na1这一特殊情况。

（4）通项公式推广：a n=a m·q n－m

6.等比数列{a n}的一些性质

（1）对于任意正整数n，均有«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则a p·a q=a r·a s （3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则a p·a r=a q2

（4）对任意正整数n>1，有a n2=a n－1·a n+1

（5）对于任意非零实数b,{ba n}也是等比数列

（6）已知{a n}、{b n}是等比数列，则{a n b n}也是等比数列

（7）如果a n>0，则{log a a n}是等差数列

（8）数列{log a a n}成等差数列，则a n成等比数列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列

7.数列极限

（1）极限的定义“ε—N”

（2）极限的四则运算

若«Skip Record If...»a n=A，«Skip Record If...» b n=B，则

«Skip Record If...»(a n±b n)= «Skip Record If...»a n±«Skip Record If...»b n=A±B «Skip Record If...»（a n·b n）=«Skip Record If...»a n·«Skip Record If...»b n=A·B «Skip Record If...»（a n/b n）=«Skip Record If...»a n/«Skip Record If...»b n=«Skip Record If...»(B≠0)

（3）两个重要极限

①«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...» «Skip Record If...»

②«Skip Record If...»r n=«Skip Record If...» «Skip Record If...»

中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。由①我们可以得到多项式除多项式的极限。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。

（4）无穷递缩等比数列各项和公式

S=«Skip Record If...»S n=«Skip Record If...»（|q|<1）

应用：化循环小数为分数。

8.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k－1,a n+k－2,…,a n)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由

a n+1=2a n+1，及a1=1，确定的数列«Skip Record If...»即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。