传热学第三章new分析
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传热学-第三章
截断误差
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
传热学-第三章
2021/5/9
cV d hA d
求通解ln hA c General Solution cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
Initial condition
0
t t t0 t
exp
hA
cV
7
※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
time constant
2021/5/9
2021/5/9
※ t x 4 a
热边界层 t
※
t
x 2 22
•
1 a
x2 16a
惰性时间 t x2
31
2021/5/9
（冰冻三尺 非一日之寒）
设大地温度为10ºC，后受到冷空气侵袭地表温度降 为-15ºC并维持不变。确定这种条件下地下1m 处温度
降为0ºC时所需时间？设土壤的物性为 a 1.38107 m2 / s
t
t0
2
end
26
2021/5/9
（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model ) （3）求通解( General Solution ) （4）建立定解条件( initial and boundary condition) （5）求特解( Special Solution ) （6）求解换热量( Flowrate of heat）
1.瞬间换热量 transient heat transfer rate
hA(t
t )
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学-第三章 new
第三章 非稳态导热
25
2 半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波
微分方程式
周期性边界条件
t 2t a 2 x
2 AW cos T
(0, ) w
利用分离变量法求解 温度分布的表达式
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
第三章 非稳态导热 14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0 方程式改写为：
dy] w erfc (u )
常热流边界条件下：
解为：
热流渗透厚度：它是随时间而变化的，它反映在所考虑的时间范围内，界 面上热作用的影响所波及的厚度。
第三章 非稳态导热 21
§3-4 其它形状物体的瞬态导热
无限长圆柱体(查表3-13，3-14，3-15)
m f ( Bi, Fo) 0
第三章 非稳态导热 27
地面参数： 最高温度：30.5 最低温度：-3.5 平均温度：13.5 振幅：17 10m处振幅：0.3 15m处振幅：0.04
28
第三章 非稳态导热
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
⑵温度波的延迟
2 T aT 1 T x 2 a
第三章 非稳态导热 3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学第三章
θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
《传热学》第3章_非稳态热传导分析非稳态热传导分析是传热学中一个重要的研究内容。
在真实的物理系统中，尤其是工程实际中，非稳态热传导过程往往更为常见。
非稳态热传导分析主要研究物体内部温度分布随时间的变化规律，以及热传导过程中的能量交换。
本文将重点介绍非稳态热传导分析的基本原理和方法。
非稳态热传导分析需要考虑时间因素以及物质的热传导性质。
在非稳态热传导过程中，物体内部的温度分布随时间的变化满足热传导方程。
传热方程的一般形式为：∂(ρcT)/∂t=k∇²T+Q其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，k是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子，Q是热源项，即热传导过程中的能量增减。
解决非稳态热传导分析的一般步骤如下：1.建立热传导方程。
根据实际情况，确定适当的坐标系，并根据系统的几何形状和边界条件，建立热传导方程。
2.确定边界条件。
边界条件包括物体表面的温度、热通量以及对流边界等。
根据具体情况，选择适当的边界条件。
3.选择合适的数值方法。
非稳态热传导问题通常需要借助数值方法进行求解。
有限差分法、有限元法、迭代法等都可以应用于非稳态热传导分析，具体选择哪种方法需要根据具体问题的特点进行判断。
4.数值求解。
根据使用的数值方法，将热传导方程离散化，并进行数值求解。
通常需要在计算过程中进行迭代，直到得到满足要求的结果。
5.结果分析和验证。
得到物体内部温度随时间的变化规律后，可以通过实验进行验证。
比较模拟结果与实验结果，判断模拟的准确性。
非稳态热传导分析的典型应用包括热处理过程中的温度变化分析、电子元器件的散热分析、建筑物内部温度分布分析等。
通过对非稳态热传导问题的分析，可以更好地理解和控制物体内部温度分布的变化规律，为实际工程提供指导。
然而，非稳态热传导分析也存在一些挑战和限制。
首先，非稳态热传导分析通常需要考虑物质性质的非线性以及边界条件的复杂性，这增加了问题的难度。
其次，非稳态热传导问题的求解往往需要较长的计算时间和大量的计算资源。
传热学-第三章分析
由（a），（b）式得：
V Ah(t t )
(b)
dt cV Ah (t t ) d
这就是瞬时时刻导热微分方程式。
方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即
物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量
dt cV Ah (t t ) d
Q
w
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
0Φ( )d Vc 0 (1 e
hA Vc
)
cV (t 0 t )(1 e
)
J
当物体被加热时(t<t)，将上两式中的0=t0－t∞
改为0=t∞－t0，其余计算式相同。
h(V ) A Biv
2 2 h d l / dl 2 d 4 4
dl / 4 ld /2
h
140 0.5 0.3 / 4 0.049 0.1M 0.05 33 0.3 0.5 / 2
=10.36w/(mK)。 解：首先检验是否可以采用集总参数法。考虑到水银泡柱体 的上端面不直接受热，故
V R 2l Rl 0.002 0.02 3 0 . 953 10 A 2Rl R 2 2(l 0.5R) 2 (0.02 0.001 ) m
h(V ) 11.63 0.953103 A Biv 1.07103 0.1M 0.05 10.36
Biv
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
h(V A)
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A
V Ah(t t )
(b)
dt cV Ah (t t ) d
这就是瞬时时刻导热微分方程式。
方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即
物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量
dt cV Ah (t t ) d
Q
w
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
0Φ( )d Vc 0 (1 e
hA Vc
)
cV (t 0 t )(1 e
)
J
当物体被加热时(t<t)，将上两式中的0=t0－t∞
改为0=t∞－t0，其余计算式相同。
h(V ) A Biv
2 2 h d l / dl 2 d 4 4
dl / 4 ld /2
h
140 0.5 0.3 / 4 0.049 0.1M 0.05 33 0.3 0.5 / 2
=10.36w/(mK)。 解：首先检验是否可以采用集总参数法。考虑到水银泡柱体 的上端面不直接受热，故
V R 2l Rl 0.002 0.02 3 0 . 953 10 A 2Rl R 2 2(l 0.5R) 2 (0.02 0.001 ) m
h(V ) 11.63 0.953103 A Biv 1.07103 0.1M 0.05 10.36
Biv
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
h(V A)
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A
传热学-第三章
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f (x, y, z,τ ) ;
Φ= f(τ )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式： 非稳态导热的导热微分方程式：
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρc = (λ ) + (λ ) + (λ ) + Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
Fov 是傅立叶数
θ =e θ0
hA − τ ρVc
=e
−Biv⋅Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲： 方程中指数的量纲：
W 2 2 ⋅ m hA w 1 m K = = = ρVc kg Jkg 3 J s 3 ⋅ K [m ] m
15
第三章 非稳态导热
1 的量纲相同，当 τ = ρVc 时，则 即与 的量纲相同， hA τ
hA τ⋅ =1 ρVc
此时， 此时，
θ = e−1 = 36.8% θ0
ρVc
时，物体的过
上式表明： 上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 余温度已经达到了初始过余温度的 ％。 ρVc 为时间常数， 表示。 称 为时间常数，用 τ c 表示。 hA
(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义： 毕渥数的定义：
tf h
δ
δ
tf h
0
x
⇓
t δ
t∞
tf h
rλ δ λ δh Bi = = = rh 1 h λ
第三章 非稳态导热
7
t = f (x, y, z,τ ) ;
Φ= f(τ )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式： 非稳态导热的导热微分方程式：
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρc = (λ ) + (λ ) + (λ ) + Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
Fov 是傅立叶数
θ =e θ0
hA − τ ρVc
=e
−Biv⋅Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲： 方程中指数的量纲：
W 2 2 ⋅ m hA w 1 m K = = = ρVc kg Jkg 3 J s 3 ⋅ K [m ] m
15
第三章 非稳态导热
1 的量纲相同，当 τ = ρVc 时，则 即与 的量纲相同， hA τ
hA τ⋅ =1 ρVc
此时， 此时，
θ = e−1 = 36.8% θ0
ρVc
时，物体的过
上式表明： 上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 余温度已经达到了初始过余温度的 ％。 ρVc 为时间常数， 表示。 称 为时间常数，用 τ c 表示。 hA
(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义： 毕渥数的定义：
tf h
δ
δ
tf h
0
x
⇓
t δ
t∞
tf h
rλ δ λ δh Bi = = = rh 1 h λ
第三章 非稳态导热
7
工程传热学第三章
的差别)。
我们可以采用线算图来计算无限长圆柱体温度分
布和传导的热量。这里同样让
t
t∞
t∞பைடு நூலகம்
λ,ρ,cp
α
α
t0
Θ＝ θ θ0
＝⎜⎜⎝⎛
θ θ
散热损失。
解：
40
传热学：第三章 非稳态导热
计算傅立叶数为
aτ δ2
＝40.32，毕殴数的倒数为αλδ
＝24.57,查图3－4得
θc θ0
= 0.2,有中心温度tc
= 0.2θo
+ t∞
= 74[℃]
离表面1.5cm处，x
= (2.5 −1.5)×10−2
= 0.01[m], x
l
= 0.4,查图3－5得 θ θc
曲线（b）表示平板外环境的换热热阻1 α 相
当于平板内的导热热阻δ λ ， 即1 α ≈δ λ 。这也是正常的第三类边界条件。
曲线（c）表示平板外环境的换热热阻1 α 远
t
t∞
(b) (c)
小于平板内的导热热阻δ λ ，即1 α <<δ λ 。从
(a
曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与
)
物体边界几乎无温差，此时可用认为 t∞ = tw .那
如图 3-7 所示。通过分析求解亦可得到相应的温度分布，同样也是无穷级数形式的解，其
一般表达式为 Θ＝ t − t∞ t0 − t∞
=
f
⎜⎜⎝⎛
Bi,
Fo,
r r0
⎟⎟⎠⎞ ,
3-5
式 中 r0 为 无 限 长 圆 柱 体 的 半 径 ， 而
Bi = αr0 λ , Fo = aτ r02 (注意特征尺寸 r0与大平板δ
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热第三章非稳态导热第一节非稳态导热的基本概念图3-1 瞬态导热的基本概念图3-2 周期性导热的基本概念第二节无限大平壁的瞬态导热一、加热或冷却过程的分析解法图3－3 第三类边界条件下的瞬态导热图3-4 特征方程的根22xta t ∂∂=∂∂τ τ＞0， 0＜x ＜δ （1） 相应地初始条件为τ=0， t t =0 0≤≤x δ （2） 边界条件为xt∂∂｜x =0 = 0 (对称性) τ＞0 （3） xt∂∂-λ｜x =δ = h t (｜x =δ-t f ) τ＞0 （4） 引用新的变量()()θττx t x t f ,,=-，称为过余温度22x∂∂=∂∂θτθ τ＞0， 0＜x ＜0 （3-1） τ=0， θθ=0 0≤≤x δ （3-2）x∂∂θ｜x =0 = 0 τ＞0 （3-3） x∂∂-θλ｜x =δ= h θ｜x =δ τ＞0 （3-4 ) ()()()θτφτx X x ,= （5）τφφd d a 1=221dx Xd X （6）μτφφ=d d a 1 （7）μ=dxdXX 1 （8） ()φμτ=c a 1exp （9）()φετ=-c a 12exp （10）2221ε-=dxXd X （11） ()()X c x c x =+23cos sin εε （12） ()()()[]()θτεεετx A x x a ,cos sin exp =+-2 （3-5）x∂∂θ｜x =0 =()()A B a εεετsin cos exp 002+- ()()()θτεετx A x a ,cos exp =-2 （13） ()[]()()()---=-λεεδετεδετA a hA a sin exp cos exp 22 ()λεεδ=h cot （14）()εδδλεδh ⎛⎝ ⎫⎭⎪=cot （15）ββBi=cot （3-6）式（3-6）称为特征方程。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
传热学第三章28.21.56剖析
因而界面上的交换热量折算成整个物体的体积热源。由于物体被冷却，
t>
t 为 负值。
根据能量守恒
Eout
Est
-Vc dt d
hA(t t )
引入过于温度 t t
d d dt d
hA
ห้องสมุดไป่ตู้
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
d hA d Vc
d hA d Vc
Vc ln hA 0
hA
0
导热体已达到热平衡状态
3 瞬态热流量： Φ( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0 ~ 总的换热量：
hA
Q
0Φ( )d
Vc0 (1 e Vc )
J
当物体被加热时(t < t)，计算式相同（为什么？）
4 Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
Bi数对非稳态传热过程的影响
0 Bi
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法 （lumped parameter method）
1 定义：忽略物体的导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法
积分
0
d
hA
Vc
0
d
计算物体达到温度T时所需的时间
t t
hA
e Vc
0 t0 t
可以计算任意时间 后的物体内 温度
Bi h(V A)
Fo
a
(V A)2
是傅立叶数
hA hV A2 cV A V 2c
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第三章 非稳态导热
11
正常情况阶段的温度分布特点： * 0.2 2 a
ln
12
a 2
ln[0
2sin 1 sin cos
cos(
x )]
ln m K(Bi, x )
1
m
12
a
2
①该式说明当Fo＞0.2时，物体
在给定的边界条件下，物体中
任何给定地点过余温度的对数
值将随时间按线性规律变化。
a 2
x 2
0
0
x
0 x , 0 0
x0
h x
x
第三章 非稳态导热
7
用分离变量法并整理得到
ctg( ) h
h 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示，并令
ctg( )
Bi
第三章 非稳态导热
8
用分离变量法可得其分析解为：
e (x, )
2
s in( n
第三章 非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念 3-2 无限大平壁的瞬态导热 3-3 无限大物体的瞬态导热 3-4 其他形状物体的瞬态导热 3-5 周期性非稳态导热
第三章 非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 : t f (x, y, z, )
2 非稳态导热的分类 : 周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热 本课程重点讨论瞬态非稳态导热
Vc
0
d
ln hA
t t
hA
e Vc
Vc 0
0 t0 t
其中的指数：
过余温度比
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A) a
(V A)2
Bi
Fo
第三章 非稳态导热
16
Bi h(V A)
Fo a
(V A)2
hA
e Vc
eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
方程中指数的量纲：
第三章 非稳态导热
13
5 集总参数法的简化分析
(1) 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t f (，) 与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
(2)温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t的流
)
c
os(
n
x
)
0
n1 n sin(n ) cos(n )
2 n
a 2
傅立叶准则：
a
F0 2
因此 ( x, ) 是以平板厚度一半为特征尺度的Fo, Bi
0
和x 函数，即
(x, ) f (Fo, Bi, x )
0
第三章 非稳态导热
9
考察热量的传递
0 2c (t0 tf )
0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章 非稳态导热
3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) qv x x y y z z
(3) 求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法
②如图所示，图中
范围
即为瞬态非稳态温度变化的正常
情况阶段，其特征是各时刻lnθ—τ斜率相等。
第三章 非稳态导热
12
3 Bi数对温度分布的影响
Bi r h rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA 1 此时， Vc
e1 36.8%
体中。
第三章 非稳态导热
14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
h
A(t
t
)
-
Vc
dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：
d hA d Vc
第三章 非稳态导热
15
d hA d Vc
积分
0
d
hA
10
2. 正常情况阶段-F0对温度分布的影响
F0 a 2
对无限大平板 当
误差小于1%
F0 0.2
取级数的首项，板中心温度
e (x, )
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos(1
x)
12 F0
e (0, ) m ( )
2 sin 1
12 F0
0
0
1 sin 1 cos 1
热流规律
无论对哪一类非稳态导热过程，由于在热量传递的路径中，物体各 处本身温度的变化要积聚或消耗热量，所以即使对穿过平壁的导 热来说，非稳态导热过程中在与热流方向相垂直的不同截面上热 流量也是处处不等的，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特 点。
三个阶段的特征：不规则情况阶段中q1急剧减小，q2保持不变； 正常情况阶段中q1逐渐减小，q2逐渐增大；建立新的稳态阶段后 q1与q2保持不变并相等。
3 温度分布的特点： 4 热流量分布特点：
第三章 非稳态导热
2
温度场的特征
依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为三个阶段： ⑴不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入到物体内，温度 分布受初始温度分布的影响很大。 ⑵正常情况阶段：初始温度分布影响消失，物体内各处温度随时间 的变化率具有一定的规律。 ⑶建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
h=const
5
此半块平板的数学描写（一维瞬态导热问题）：
导热微分方程
t a 2 t (0 x , 0)
x2
初始条件 边界条件
t t0 0
t 0 x 0 x
t x
h(tຫໍສະໝຸດ ttf)(对称性)
x
第三章 非稳态导热
6
引入变量－－过余温度
令
(x, ) t(x, ) t f
上式化为：
若令 为 [ 0, ]内所传递热量
c [0 (x, )]dx
e
2 c 0 [1
n1
n2
12
2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
e
0 [1
n1
n2
12
2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
第三章 非稳态导热
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟
第三章 非稳态导热
4
§3-2 无限大平壁的瞬态导热
1.加热或冷却过程的分析解法
tf
tf
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热