苏教版高中数学必修一学案：3.3幂函数(1)

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高中数学幂函数教案苏教版必修1

幂函数教学目标：使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.教学重点：幂函数的定义和图象.教学难点：幂函数的图象.教学过程：Ⅰ.复习引入幂函数的定义Ⅱ.讲授新课问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1）y ＝21x ；（2）y ＝31x ；（3）y ＝32x ；（4）y ＝34x ．思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋∞），（2）（3）（4）定义域都是R ；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1）y ＝x －1；（2）y ＝x －2；（3）y ＝21－x ；（4）y ＝31－x ．思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x |x ≠0}，（3）的定义域是（0，＋∞）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．［例1］讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y ＝52x 是幂函数．（1）要使y ＝52x ＝5x 2 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴ y ≥0．（3）f （－x ）＝5（－x ）2 ＝5x 2 ＝f （x ）， ∴函数y ＝52x 是偶函数；（4）∵n ＝25＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增．由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减．（5）其图象如右图所示．［例2］比较下列各组中两个数的大小：（1）1.553，1.753；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）32-，（－1.25）32-．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7 ∴1.553＜1.753（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵（－1.2）32-＝1.232-，（－1.25）32-＝1.2532-，又1.232-＞1.2532- ∴（－1.2）32-＞（－1.25）32-点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．［例3］求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．Ⅲ.课堂练习课本P 73 1，2Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力. Ⅴ.课后作业课本P 73 习题1，2，3，4。

高中数学苏教版必修1第3章《3.3 幂函数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学苏教版必修1第3章《3.3 幂函数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
⑴知识与技能
1.通过实例,了解幂函数的概念,知道幂函数也是一类函数模型,了解幂函数与指数函数的区别;
2.通过几个常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象,观察、总结出幂函数的变化情况和性质,培养学生的抽象概括能力;
3.会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小。

⑵过程与方法
通过生活实例引出幂函数的概念,感受函数模型的拓广过程,同时要求学生利用多媒体加深对幂函数图像规律的理解并加以运用,从而感知传统教学与现代技术相结合的方法。

⑶情感态度与价值观
加强学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生的协作精神、创新能力和信息技术能力,激发学生的学习兴趣,感受逻辑思维的丰富内涵。

2学情分析
高一学生在理解函数知识的环节上相对比较薄弱,认知水平普遍不高。

前面学生已经掌握了指数函数和对数函数,初步完成了初高中函数知识的衔接,幂函数模型的提出,既是对前面知识的巩固,也是建构思想的新一轮挑战。

所以,结合本课的实际需要,要使学生在创设的问题情景中通过观察类比、思考探究、概括归纳和动手尝试相结合,理解幂函数的概念, 测重对图象的绘制及归纳,从而突显学生的主体地位,培养学生由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度,增强锲而不舍的求学精神。

3重点难点
教学重点:常见幂函数的图像和性质。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》1

《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。

2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。

3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。

B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。

（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。

（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。

二．教学设计。

苏教版高中数学必修一学案幂函数(1)

第30课时幂函数（2）【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征； 2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．【课前导学】【复习回顾】1．幂函数的定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大；当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.【课堂活动】一．应用数学：例1 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <Q ，120x x ∴-<， 0>， 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <． ∴此函数在[0,)+∞上是增函数．例2已知,,,abcdy x y x y x y x ====的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是．【思路分析】重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c ＞a ＞b ＞d ．【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．【思路分析】我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)+∞上是减函数．由幂函数定义：形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．x α的系数只能是１，从而得到211m m --=；又由于该幂函数在(0,)+∞上是减函数，由幂函数的性质可知，0α<，即2230m m --<．由以上两条可求出满足所求的m 的范围．解：据题意得 211m m --= 且 2230m m --<．解得 m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用．例4 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１根据函数13y x-=在其定义域内单调减，得312x x ->+．4343x x ⇒<-⇒<-为所求．错解２根据函数13y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数得：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵解得：4x <-为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况．解：因为13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，0x >时，0y >；0x <时，0y <．原不等式可以化为：312120x xx ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵， 12030x x +>⎧⎨-<⎩…⑶． ⑴无解； ⑵的解为4x <-； ⑶的解是132x -<<．所以所求的x 的取值范围为1{|43}2x x x <--<<或．【解后反思】本题实质上是解不等式1133(3)(12)x x ---<+，由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解．要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面．例5 已知幂函数y ＝x23212++-p p (p ∈Z )，在(0，＋∞)内，y 随x 增大而增大，且在定义域内图象关于y 轴对称．⑴ 求p 值及相应的f (x )；⑵ 对于⑴中所求函数f (x )，设函数()(())(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在)0(<q q ，使得g(x)在区间(]4,-∞-上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f (x )在(0，＋∞)内，y 随x 的增大而增大．则－21p 2＋p ＋23＞0，解之－1＜p ＜3，又p ∈Z ，∴p ＝0，1，2；又f (x )图象关于y 轴对称．∴－21p 2＋p ＋23是偶数，∴p ＝1，f (x )＝x 2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助．二．理解数学：1． ⑴求函数y ＝(x ＋2)－2的定义域．值域．讨论当x 增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y ＝x －2的图象有何关系？解⑴{}2x |－且≠∈R x x ；R ＋．当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．⑵将2y x -=的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋)∞ 【课后提升】１．函数122(2)y x x -=-的定义域是 (,0)(2,)-∞+∞U ．2．函数122(1)y x =-的值域是［0，1］． 3．函数25y x =的单调递减区间为 (,0)-∞ ． 4．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 01a << ．5．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 [3,5]- ． 6．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______． 8．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域．值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．解：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。

苏教版数学高一苏教版必修1学案第3章3.3幂函数

3．3 幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x =的图象．2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质． 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．1．幂函数一般地，我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数．幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y ＝x 2的定义域为R ，而函数y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x α的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1】下列函数是幂函数的有________．①y ＝x 2②y ＝1x③y ＝x 3＋x④y ＝2x⑤y ＝x －3答案：①②⑤2．幂函数的图象与性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做2－1】1412a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1613b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1815c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是__________．答案：a ＜b ＜c【做一做2－2】函数35y x =的奇偶性是__________，单调性是__________．答案：奇函数在R 上单调递增【做一做2－3】函数y ＝x －2的值域为__________．答案：(0，＋∞)当n 取不同的有理数时，幂函数y ＝x n的图象及性质．剖析：我们只研究n 是有理数的情况，规定n ＝p q是既约分数： y ＝x n 奇函数(p 奇q 奇) 偶函数(p 偶q 奇) 非奇非偶函数(q 偶)n ＞10＜n ＜1n ＜0(2)当n ∈N *时，定义域为R ；当n ＝0时，定义域为{x |x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x |x ≠0}；当n ＝pq(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为R ，当n ＝－p q(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为{x |x ≠0}．(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n ＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n ＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y ＝1；当n ＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x 轴无限靠近，是减函数．③在直线x ＝1的右侧，指数n 越大图象位置越高．题型一幂函数的性质【例1】当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，求实数m 的值．分析：幂函数的一般形式为y ＝x α，说明其系数为1，由此确定m 值．解：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.反思：对于幂函数y ＝x α来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．解：因为函数y ＝1.2x在R 上单调递增，所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.因为函数y ＝x 1.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用．题型二幂函数的图象及其应用【例3】画函数y ＝1＋3－x 的草图，并求出其单调区间．分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．解：y ＝1＋3－x ＝－x －3＋1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y ＝x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y ＝－x 的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y ＝1＋3－x 的图象(如下图所示)．从图象知y ＝1＋3－x 的单调递减区间为(－∞，3]．反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x 为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．【例4】已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )?解：设f (x )＝x a，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，将点(2，2)代入f (x )＝x a 中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f (x )＝x 2；设g (x )＝x b ，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，将点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14代入g (x )＝x b中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g (x )＝x －2. 在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象如图所示．由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f (x )＞g (x )；(2)当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．反思：幂函数的一般形式是y ＝x α(α为常数)，要求幂函数的解析式只要解出α即可．1函数23y x =图象的大致形状是__________．答案：④2已知函数f (x )＝(a －1)·xa 2＋a －1，当a ＝________时，f (x )为正比例函数；当a ＝________时，f (x )为反比例函数；当a ＝________时，f (x )为二次函数；当a ＝________时，f (x )为幂函数．解析：当f (x )为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，即a ＝0或a ＝－1；当f (x )为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，即a ＝－1±132；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2.答案：－2 0或－1 －1±13223设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为__________．答案：1,34比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5和351.6；(2)0.18－0.3和0.15－0.3.解：(1)因为函数35y x =在R 上单调递增，又1.5＜1.6，所以351.5＜351.6.(2)因为函数y ＝x －0.3在(0，＋∞)上单调递减，又0.18＞0.15，所以0.18－0.3＜0.15－0.3.5求出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小．解：f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，它是由g (x )＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．∵g (x )的单调增区间是(－∞，0)，单调减区间是(0，＋∞)，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调增区间是(－∞，－2)，单调减区间是(－2，＋∞)，f (x )的图象关于直线x ＝－2对称．∵－π∈(－∞，－2)，－22∈(－2，＋∞)，且－2－(－π)＜－22－(－2)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＜f (－π)．。

2020-2021学年苏教版必修1 3.3 幂函数学案

3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________．答案：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________．答案：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【答案】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数，则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】因为图象与x ，y 轴都无交点，所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.答案：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432，又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别函数名称解析式解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [答案] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1答案：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3答案：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. 答案：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限．答案：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0，则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2＋3)<f (3)，即(a 2＋3)－1<3－1，故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ，故n ＜m ＜0. 答案：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2；当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去．当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性．解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数，所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，又因为m ∈Z ，所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为－3＜0，所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )，所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0，所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)．解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。

苏教版高中数学必修一学案幂函数

第29课时幂函数（1）【学习目标】1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．【课前导学】【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数；（3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 上述五个函数都可以写成 y x α=()a R ∈ 的形式．【课堂活动】一．建构数学：【定义】一般地，形如y x α=()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数．【试试】判断下列函数哪些是幂函数：①1y x=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =．注意：幂函数与指数函数的区别．例1 写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？⑴ y ＝21x ；⑵ y ＝31x ；⑶ y ＝32x ；⑷ y ＝53x ．【思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．解：⑴y =y =y ．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为[0,)+∞，⑵⑶⑷的定义域都是R ；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在[0,)x ∈+∞单调递增．例2 仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？ ⑴ y ＝x －1；⑵ y ＝x －2；⑶ y ＝21－x；⑷ y ＝31－x．【思路分析】先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．解： ⑴ 1yx =；⑵ 21y x =；⑶ y =；⑷ y =．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；⑴⑵⑷的定义域都是{|0}x x ≠，⑶的定义域是(0,)+∞；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在(0,)x ∈+∞上单调递减．【解后反思】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．【探究】幂函数的图象与性质【问题】作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．从图象分析出幂函数所具有的性质. 解：图像略．【拓展】通过以上例子试总结幂函数y x α=()R α∈的一般性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 二．应用数学：例3 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：⑴ 5x y = ；（2） 34-=xy ．【思路分析】根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性．解： ⑴ y ＝x 5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数，∵5＞1，∴y ＝x 5在(－∞，＋∞)上是增函数．⑵∵y ＝x34-＝341x，∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，∵－34＜0，∴y ＝x 34-在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．【解后反思】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．例4 比较下列各题中两个值的大小． ⑴(－1.5)52与(－1.7) 52 ⑵ 3.1432-与π32-⑶(－5)31-与(－6)31- ⑷ 314与221【思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．【解法】 ⑴考察函数y ＝x 52，∵52＞0 ， ∴y ＝x 52在(－∞，0)上是减函数．又∵－1.5＞－1.7， ∴(－1.5)52＜(－1.7) 52． ⑵考察函数y ＝x32-，∵－32＜0 ∴y ＝x 32-在(0，＋∞)上是减函数．又∵3.14＜π， ∴3.1432-＞π32-．⑶(－5)31-＝－531-，(－6)31-＝－631-，又531-＞631- ∴－531-＜－631-，∴(－5)31- ＜(－6)31-．⑷∵314＝97，221＝87，又97＞87∴314＞221．【解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例4是做一个基本的铺垫．三．理解数学：1．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．答案：[1,3)2．已知221(22)23my m m x n -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.解：由题意可得：m 2+ 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0，解得3m =或1-，32n =．【解后反思】表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.3．比例下列各组数的大小：（1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.解:（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在 (0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3. （3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1；53)9.1(-＜0，∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【解后反思】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法（即插值法）进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.【课后提升】1. 下列命题中正确的是（4）．（1）当n ＝0时，函数y ＝x n的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；（3）若幂函数y ＝x n 的图象关于原点对称，则y ＝x n在定义域内y 随x 的增大而增大；（4）幂函数的图象不可能在第四象限．2. 下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为（2）．（1）y ＝x 32-；（2）y ＝x 23-；（3） y ＝x 23；（4） y ＝x 3． 3. 下列函数中是幂函数的是（1）（2）（4）．（1）y ＝x ；（2）y ＝x3；（3）y ＝2x ；（4）y ＝x －1．4. 已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式．答案：12y x =5. 已知函数f (x )＝(a －1)·x 12-+a a当a ＝－2 时，f (x )为正比例函数；当a ＝ 0或－1 时，f (x )为反比例函数；当a ＝2131±- 时，f (x )为二次函数；当a ＝ 2 时，f (x )为幂函数．(提示：当f (x )为正比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01112a a a ，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01112a a a －，即a ＝0或a ＝－1；当f (x )为二次函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01212a a a ，即a ＝2131±-；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2)6. 函数y ＝x a(a ∈Q )的图象，当0＜x ＜1时，在直线y ＝x 的上方；当x ＞1时，在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 [－2，3) ． (提示：⎩⎨⎧≥0302＞－＋x x 即2≤x ＜3)7．若(a ＋1)31-＜(3－2a )31-，试求a 的取值范围．解：由幂函数的性质，有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧a a a a 23102301－＞＋＞－＞＋或⎩⎨⎧02a 301a ＞－＜＋或⎪⎩⎪⎨⎧<<a a a a 23102301－＞＋－＋解得：a ∈(－∞，－1)∪(32，23)．8．m 为怎样的值时，函数f (x )＝(mx 2＋4x ＋m ＋2)43-＋(x 2－mx ＋1)0的定义域是R ？解： ⎪⎩⎪⎨⎧≠++++ ②－　①＞0102422mx x m x mx由①⎩⎨⎧001＞△＞m ⇒⎩⎨⎧02(4160）＜＋－＞m m m ⇒ m ＞5－1，由②△2＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2，综上：5－1＜m ＜2．。

苏教版高中数学必修一幂函数教案(3)(1)

幂函数一．三维目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。

高中数学苏教版高一必修1教案 3.3幂函数

2.4 幂函数整体设计教材分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，幂函数模型在生活中是比较常见的，和许多生活实例都有密切的联系，幂函数的解析式虽然简单，但是幂函数的性质却是非常复杂的.因此,在研究幂函数的概念和性质时,可以组织学生通过生活实例了解幂函数的概念，并通过计算机画出它们的图象，观察总结幂函数图象的变化情况和性质，尤其是幂指数a的不同取值对幂函数单调性的影响.通过几个常见的幂函数图象加深学生对幂函数概念的理解.对于幂函数和指数函数这两类函数的解析式学生容易混淆，因此在引出幂函数的概念后要组织学生结合具体的例子比较分析它们的异同，并组织学生讨论：在我们学过的函数里面，哪些函数是幂函数？通过对幂函数的学习，能让学生熟练利用幂函数的性质比较两个或是多个不同指数式的大小问题和求变量范围的问题，同时，借助于几个例子加深对幂函数概念的理解也是本节研究的一个重要方面.三维目标1.通过具体实例引入幂函数的概念，会画几个常见的幂函数图象，并结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质.2.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象能力和识图能力.通过利用幂函数图象解决有关问题，使学生加深对函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力.3.在教学过程中，通过学生相互交流，来加深对幂函数概念和性质的理解，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.重点难点教学重点：幂函数概念以及常见幂函数的图象和性质.教学难点：①幂指数的变化对函数图象的影响.②数形结合解决大小比较以及求含参数的问题.课时安排2课时教学过程第一课时幂函数(一)导入新课问题1：小明买一元钱一支的笔ω支，那么他需要付的钱数p(元)和他买的笔的数量之间的关系如何？问题2：小车从静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，试写出其位移s和时间t的关系.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V与边长a的关系如何？问题4：如果正方形的面积为S，则正方形的边长a和面积S的关系如何？问题5：如果小华t s内骑自行车行进了1 km，那么他骑车的平均速度是多少？分析：对于问题1，它们的关系为p=ω，根据函数的定义可知，这里的p是ω的函数；对于问题2，因为初速度为零，根据位移和时间的关系以及加速度的关系，可以得到以下关系：s=t 2，这里s 是时间t 的函数；对于问题3中的正方体的体积V 与边长a 的关系很简单，即V=a 3，这里V 是a 的函数；对于问题4，由正方形的面积S 和边长a 的关系可以得到S=a 2，所以正方形的边长a 和面积S 的关系为a=S 21，这里边长a 是面积S 的函数；问题5中的平均速度为v=t -1 km/s ，这里的平均速度v 是时间t 的函数. 合作探究：以上是我们生活中经常遇到的几个函数模型，你能发现上述几个函数解析式的共同点吗？分析：由上述的p=ω；s=t 2；V=a 3；a=S 21；v=t -1这几个函数模型，我们可以发现，解析式的右边都是指数式，而且底数都是自变量.如果设自变量为x ，因变量为y ，则以上的解析式就有以下具体的函数式：y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1.这几个函数式满足y=x α这种形式，我们把此类函数叫幂函数，这就是今天我们将要所学的又一类重要的基本初等函数模型.推进新课新知探究1.一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考：幂函数与指数函数有什么区别？(组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出如下结论) 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.2.请同学们在同一个坐标系内画出y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的函数图象(提示学生画图要列表、描点、连线)，条件好的学校可以利用计算机几何画板画出上述的几个函数图象.注：y=x ，y=x 2这两个函数图象以前学过，学生很容易就可以画出，可以不用列表描点了，关键是y=x 3；y=x 21；y=x -1这三个函数图象该如何绘制呢？老师可以边巡视边提示. 教师用多媒体显示如下图表，请学生完成下列表格的内容：y=x y=x 2y=x 3y=x 21y=x -1定义域值域奇偶性单调性定点图象范围合作探究：根据上表的内容并结合图象，试总结y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的共同性质(学生交流，老师结合学生的回答组织学生总结出如下性质).1.图象均过(1，1)点，特别的，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21的图象过原点和(1，1)点，而y=x -1的图象过定点(1，1)点.2.在第一象限，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21是单调递增的，其中y=x 2，y=x 3在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，y=x 21在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，而y=x -1是单调递减的.3.y=x ；y=x 3；y=x -1是奇函数，y=x 2是偶函数，y=x 21为非奇非偶函数.注：y=x -1在区间(-∞，0)和(0，+∞)是减函数，能否说y=x -1在定义域内是减函数呢？答案是否定的，原因如下：如果说y=x -1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域(-∞，0)∩(0，+∞)内任意的值，当x 1，x 2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x 1＜x 2有y 1＞y 2，但是在-2＜1时，却有(-2)-1＜(1)-1不能满足减函数的定义.注意：当函数f(x)的定义域不连续时，如果它在两个区间上都单调递增或单调递减，不能说函数在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f(x)在各个区间上的单调性.应用示例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x 23；(2)y=x 32；(3)y=x23 ；(4)y=x -2.问题1：观察以上函数的解析式，你能发现解析式中对于自变量x 都有哪些限制条件吗？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数的解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域.问题2：如何来判断函数的奇偶性呢？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：首先要看函数的定义域是否关于数0对称，然后根据定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断.下面请同学们根据我们的分析给出完整的解答过程，老师进行课堂评价.解：(1)函数y=x 23即y=3x ，其定义域为［0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递增.(2)函数y=x 32即y=32x ，其定义域为R ，是偶函数，它在区间(0，+∞)上单调递增，在区间(-∞，0)上单调递减. (3)函数y=x23-即y=31x ，由x 3＞0得其定义域为(0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递减. (4)函数y=x -2即y=21x，由x 2≠0得其定义域为(-∞,0)∪(0，+∞)，因此函数y=x -2在定义域上是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.探究：请同学们根据我们以上的分析，把上述函数图象的大概形状画出来.并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响.(学生讨论交流，老师结合学生的交流内容，总结并简单板书如下) (1)α∈N +时，x ∈R ；(2)α∈Z 且α≤0时，x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)； (3)α=mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{非负实数}，若m 是奇数，则x ∈R . (4)α=-mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{正实数}，若m 是奇数，则x ∈(-∞，0)∪(0，+∞). 点评：这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用，尤其是幂指数的值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响，这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上才能解决的问题. 合作探究：我们研究的几个常见幂函数的性质，这些性质是否也适用于其他的幂函数？ (师生共同探究，师使用几何画板软件，画出函数y=x α的图象，改变指数α的值，组织学生观察、分析所得到的函数图象，在动态变化过程中让学生了解幂函数的性质，得出如下结论)知识拓展：幂函数y=x α图象的基本特征是：当α＞0时，图象过原点和(1，1)点，且在第一象限随x 的增大而上升，当α＞1时，在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，即图象越靠近y 轴；当0＜α＜1时，在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，即图象越靠近x 轴；当α＜0时，图象不过原点而过(1,1)点，且在第一象限随x 的增大而下降.可以用一句话来概括：幂函数在第一象限的图象，当幂指数越大时，函数图象也越高.例2 根据下列条件对于幂函数y=x α的有关性质的叙述，分别指出幂函数y=x α的图象具有下列特点时的α的值，其中α∈{-2,-1,21-,31,21,1,2,3}. (1)图象过原点，且在第一象限随x 的增大而上升；(2)图象不过原点，不与坐标轴相交，且在第一象限随x 的增大而下降； (3)图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； (4)图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交；(5)图象关于原点对称，且过原点； (6)图象关于原点对称，但不过原点.解：(1)因为幂函数y=x α的图象过原点，可知幂指数为正数.又函数图象随x 的增大而上升，所以α=31，21，1，2，3. (2)因为幂函数y=x α的图象不过原点，可知幂指数不大于0.又函数图象不与坐标轴相交且在第一象限随x 的增大而下降，所以α=-2，-1，21-. (3)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，又与坐标轴相交，可知幂指数α=2.(4)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，但不与坐标轴相交，所以幂指数α=-2.(5)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象过原点，所以α=31，1，3. (6)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象不过原点，所以α=-1.点评：通过本例的训练，加深学生对幂函数的学习和认识，对于我们生活中常见的幂函数有了更深刻的了解，我们可以根据幂函数的幂指数的具体值，来判定幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，在定义域上的奇偶性；也可根据幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，以及在定义域上的奇偶性来判定幂指数的具体取值，达到了这样的学习要求，就掌握了幂函数的概念和图象，从而达到我们的教学目标. 例3 已知函数y=42215x x --，(1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求函数的单调区间.分析：这是个幂函数的复合函数形式，本例中的函数的基本形式是开偶次方根，故定义域只要根式下大于或等于0即可，值域要先求根式下面二次函数的值域，然后再开方；对于复合函数奇偶性的判断，要先求定义域，定义域首先要关于原点对称，然后根据对定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断，满足前者为偶函数，满足后者为奇函数；对于复合函数单调区间的求解，则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来综合判断.解：令t=15-2x-x 2，则y=4t .(1)由15-2x-x 2≥0⇒-5≤x≤3，得函数的定义域为［-5，3］；而t=15-2x-x 2=16-(x+1)2∈［0，16］，所以函数的值域为［0，2］.(2)因为函数的定义域为［-5，3］不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为函数的定义域为［-5，3］，对称轴为x=-1，所以当x ∈［-5，-1］时，t 随x 的增大而增大；当x ∈［-1，3］时，t 随x 的增大而减小.又因为y=4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，所以函数y=42215x x --的单调增区间为［-5，-1］，单调减区间为［-1，3］. 知能训练一、课本第73页练习1、2.解答：1.(1)幂函数y=x 4的定义域为R ，为偶函数；(2)幂函数y=x 41的定义域为［0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数；(3)幂函数y=x -3定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数. 2.该函数的单调增区间为(-∞，+∞).二、补充练习1.下列函数中，是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x 2 C.y=x1D.y=2x 分析：由幂函数的定义知，形如y=x α的形式. 答案：C2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点B.当α＜0时，幂函数y=x α是减函数C.当α＞1时，幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数，也是幂函数分析：对于A ，只有幂指数α＞0时，幂函数的图象过原点；对于B ，当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限是减函数；对于C ，当α＞1时，幂函数y=x α在第一象限是增函数，而不能说整个函数是增函数；对于D ，显然是对的. 答案：D3.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( )A.y=2x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=-2x 23分析：由幂函数的图象特征可得. 答案：A 4.函数y=(x 2-2x)21-的定义域是( )A .{x|x≠0或x≠2} B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-∞，0］∪［2，+∞) D.(0，2) 分析：由函数y=(x 2-2x)21-=xx 212-可得，x 2-2x ＞0.答案：B5.对于函数y=x 2和y=x 21有下列说法：a.两个函数都是幂函数；b.两个函数在第一象限都是单调递增的；c.它们的图象关于直线y=x 对称；d.两个函数都是偶函数；e.两个函数都经过(0，0)、(1，1)点；f.两个函数的图象都是抛物线形；g.两个函数互为反函数. 其中正确的是______________(把你认为正确的都写上).分析：由y=x 2和y=x 21这两个幂函数的图象特征可以观察出a 、b 、e 、f 是正确的. 答案：a 、b 、e 、f 课堂小结1.幂函数的概念及其和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象特征.3.幂指数取值不同时对函数图象的影响.4.给出幂函数能求出其幂函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性，求函数的单调区间等问题. 作业1.课本第73页习题2.4的1、3.2.借助有关数学软件，通过研究，写一篇“幂指数对幂函数性质的影响”的小论文.要求要详细，如定点，单调性，奇偶性等.设计感想这节课是幂函数的第一课时，主要教学目标就是幂函数的概念和图象以及常见幂函数的性质.本来学生对幂函数的概念比较陌生，但是本课时采用了从生活实例导入，让学生感受幂函数就在我们身边，从而增近学生和幂函数的距离，这是本节的一大亮点.由实例得到的函数模型引出课题，即幂函数的概念，它的形式和指数函数在形式上有些相似，但是又不同，试让学生比较两个函数的区别，从而让学生把两者区分开.并采用通过几个常见幂函数的图象来研究幂函数的图象特征，尤其是幂指数的变化对幂函数性质的影响，这要靠教师在课堂上利用计算机演示给学生看，让学生深刻地理解和掌握幂函数的概念和图象. 本节采用三个例题来加强幂函数概念的理解，例1是求幂函数的定义域，并指出幂函数的单调性，奇偶性；例2是在学生充分了解幂函数的图象和性质的基础上设计的，根据幂函数图象的过定点、关于坐标轴或原点对称来确定题目中所给出的幂指数的具体值.例3是对例2的补充和加深，难度比较大，老师可根据学生的情况选择性地讲解.在作业中设计了让学生通过自己利用数学软件画出幂函数的图象来自己研究幂函数的性质，并通过写小论文“幂指数对幂函数性质的影响”来加深学生自主学习的能力，并加深对幂函数的理解和掌握.(设计者：王银娣)第二课时幂函数(二)导入新课复习导入上节课我们学习了幂函数的概念以及常见幂函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.1.定义：形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.2.幂函数y=x α的性质：当α＞0时：①图象都过点(0，0)和(1,1)；②函数在区间(0,+∞)上是增函数，即图象在第一象限是单调递增的；③当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.当α＜0时：①图象不过原点而过(1,1)点；②函数在区间(0,+∞)上是减函数，即图象在第一象限是单调递减的；③在第一象限内，图象向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴；④当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.无论指数正负如何，他们都有共同的性质：①图象都过点(1,1)；②当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方. 应用示例思路1 例1 幂函数y=x 43，y=x 31，y=x34-的定义域分别M 、N 、P ，则( )A.M ⊆N ⊆PB.N ⊆M ⊆PC.M ⊆P ⊆ND.以上都不对分析：把上述三个幂函数的定义域分别求出来，看定义域之间的包含关系即可. 解：因为y=x 43=43x ，所以x≥0，即得M=［0，+∞)；函数y=x 31的定义域为R ，即N=R ；函数y=x34-=341x，可得x≠0，于是P=(-∞，0)∪(0，+∞).所以选D.点评：求幂函数的定义域时，需先把分数指数幂化为根式，然后令根式有意义，列出相应的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到函数的定义域.以下总结当α为有理数时函数y=x α的定义域的情况：(1)当α=0时，y=x α的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)； (2)当α是正整数时，y=x α的定义域是R ； (3)当α是正分数时，设α=qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，此时定义域为［0，+∞)；(4)当α是负整数时，设y=x α定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)； (5)当α是负分数时，设α=-qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，则定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)；如果q 是偶数，定义域是(0,+∞).例2 已知函数满足f(x)=ax 5+bx 3+cx-10，且f(3)=10，求f(-3)的值. 解：令g(x)=ax 5+bx 3+cx ，则f(x)=g(x)-10对于任意实数x ，都有 g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-(ax 5+bx 3+cx)=-g(x)，故g(x)为奇函数.因为f(3)=10，即f(3)=g(3)-10=10，得g(3)=20，于是有g(-3)=-20，所以f(-3)=g(-3)-10=-20-10=-30.点评：学会用整体思想考虑，考查整体的奇偶性进而求值.出现的误区：不能准确采用整体思想考虑，导致不知如何着手.例3 求下列各式中参数a 的取值范围： (1)a 43＞0.543；(2)(-2)32＞(2a+4)32.解：(1)因为a≥0，又幂函数y=x 43为区间(0，+∞)上的增函数，由a 43＞0.543可得a ＞0.5，所以a 的取值范围是(0.5，+∞).(2)方法一：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减. 故有⎩⎨⎧<+≥+242042a a 或⎩⎨⎧->+<+242042a a ，解得-2≤a ＜-1或-3＜a ＜-2，综上可得参数a 的范围是-3＜a ＜-1.方法二：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减.所以自变量离y 轴越远则函数值就越大，由(-2)32＞(2a+4)32，可得|2a+4|＜2，解得-3＜a ＜-1，所以参数a 的范围是(-3，-1).点评：当幂指数相同时，根据幂函数的单调性，只要比较自变量的大小即可.求参数的问题时，要找准相应的幂函数，先看定义域，根据幂函数的奇偶性和单调性建立不等式或不等式组，遇到幂函数是偶函数时，要注意分区间进行讨论. 例4 证明：y=x 在区间(0,+∞)上是增函数. 证明：任取x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1＜x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=212121212121))((x x x x x x x x x x x x +-=++-=-，因为0＜x 1＜x 2，所以x 1-x 2＜0，21x x +＞0，则有2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以y=x 在区间(0,+∞)上是增函数.点评：在对两个函数值进行作差比较时，要化简到最简.本题中对根式作差采用的是分子有理化，因为这样就可以利用题意中x 1＜x 2这个条件，直接进行判断.思路2 例1 图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α可取±2，±21四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为( )A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21 D.2,21,-2,21- 分析：因为曲线C 3,C 4的图象是递减的，所以α3＜0，α4＜0.又因为在(1,+∞)上，C 3的图象高于C 4的图象，故α4＜α3＜0，于是有α3=21-，α4=-2；C 1，C 2的图象是递增的，所以C 1＞0，C 2＞0.又因为在(1，+∞)上，C 1的图象高于C 2的图象，故α1＞α2＞0，所以α1=2，α2=21.综上可得. 答案：B例2 点(3，3)在幂函数y=f(x)的图象上，点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，试解下列不等式：(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＜g(x).解：设f(x)=x α，g(x)=x β.因为点(3,3)在幂函数y=f(x)的图象上，所以(3)α=3，解得α=2；同样由点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，得(-22)β=81，解得β=-2.所以f(x)=x 2，g(x)=x -2.(1)由f(x)＞g(x)，可得x 2＞x -2，即x 4＞1，所以|x|＞1，得x ＜-1或x ＞1. 所以不等式f(x)＞g(x)的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)由f(x)＜g(x)，可得x 2＜x -2，即可得0＜x 4＜1，所以-1＜x ＜0或0＜x ＜1. 所以不等式f(x)＜g(x)的解集为(-1，0)∪(0，1).点评：在求不等式f(x)＜g(x)的解集时，应特别注意g(x)的定义域，要注意x≠0. 例3 求下列各式中参数a 的范围： (1)(a+1)31-＜(3-2a)31-；(2)(a-1)32-＞(2+a)32-.分析：已知同指数的两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性进行比较自变量即可，但是要注意幂函数的定义域、单调性和奇偶性. 解：(1)因为幂函数y=x31-的单调减区间为(-∞，0)和(0,+∞)，故要分下列情况讨论：⎩⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<->->+.023,01123,023,01123,023,01a a a a a a a a a a 或或解上面的不等式组：得32＜a ＜23或a ＜-1.综上可得a 的范围是(-∞，-1)∪(32，23). (2)函数y=x32-为偶函数，在(0,+∞)上为单调递减，在(-∞，0)上单调递增.由(a-1) 32-＞(2+a)32-可得0＜|a-1|＜|2+a|，解得a ＞21-，且a≠1.所以a 的范围是(21-，1)∪(1,+∞). 点评：利用幂函数的单调性求参数的问题时，需注意：找准相应的幂函数，准确判断幂函数的奇偶性和单调性；定义域不要遗漏；注意分类讨论的思想. 例4 判断函数y=x -+1的单调性并给出证明.解：因为-x≥0，得x≤0，即函数的定义域为(-∞，0］，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=)1(121+--+-x x =211221x x x x x x -+--=---，因为x 1＜x 2≤0，故有-x 1＞-x 2≥0，所以x 2-x 1＞0，21x x -+-＞0，所以2112x x x x -+--＞0，即f(x 1)-f(x 2)＞0，所以f(x 1)＞f(x 2).所以函数y=x -+1为在定义域(-x ，0］上的减函数. 例5 已知幂函数y=322--n n x(n ∈N )为偶函数，它的图象与坐标轴都无交点，求自然数n 的值.解：因为函数y=322--n n x(n ∈N )的图象与坐标轴都无交点，于是有n 2-2n-3≤0，即得-1≤n≤3，n ∈N ，所以n 可取-1，0，1，2，3，又此函数为偶函数，故指数为非负偶数.当n=-1或n=3时，y=x 0满足题意；当n=0或n=2时，y=x -3，不满足题意，故舍去；当n=1时，y=x -4满足题意.综上可得：n 可取-1，1，3.点评：不要漏掉n=-1或n=3的情况，即函数解析式为y=x 0的情况，教师在教学时要结合图象讲解. 知能训练1.在下列四个函数(1)y=x 31,(2)y=x 21,(3)y=x -2,(4)y=x 0中为偶函数的是( )A.(1)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4) 2.当x ∈(0,1)时，幂函数y=x n (n ∈Q)的图象在直线y=x 的上方，则n 的取值范围为( ) A.n ＜1 B.n ＞1 C.0＜n ＜1 D.0≤n ＜1 3.若0＜m ＜n ＜1，则( )A.m -m ＞m -nB.m -m ＞n -nC.m n ＞n nD.n m ＞m m 4.函数y=1+1-x 的图象可以看成由幂函数y=x 21的图象( ) A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 B.向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的 C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的5.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x 23+1的图象关于直线y=x 对称，则g(9)的值等于( )A.2B.4C.28D.2 6.若(x-1)-2＞(2+x)-2，则x 的取值范围是____________. 答案：1—5:C 、A 、D 、C 、B ；6. 答案：(21-，1)∪(1,+∞). 点评：此练习是在掌握幂函数性质的基础上的加深练习，对知识起巩固作用. 课堂小结1.利用幂函数的单调性比较几个数值的大小；2.幂函数的单调性；3.幂函数的奇偶性；4.运用幂函数的单调性以及奇偶性求解一些含参数的问题. 作业课本第73页习题2.4第2、4、5题.设计感想本节课是幂函数的第二节课时，主要研究根据幂函数的性质，比较两个或多个同指数的指数式的大小问题、利用幂函数的单调性求参数的问题、用定义证明单调性问题、复合函数的定义域、值域以及单调区间等问题. 设计思路一选取的例题比较基础，但考查的知识点很全面，有利于学生对幂函数的基本性质的掌握，适合普通班的教学.设计思路二也解决了利用幂函数的单调性进行大小比较、求解参数、单调性证明等问题，但是在例题的选取上作了精心的挑选.对学生的审题、解题能力要求比较高，适合中等以上的学生学习.在教学过程中老师可利用学校的教学资源进行多媒体教学，数形结合授课学生比较容易接受.通过利用幂函数的图象和性质解决有关问题，使学生加深对幂函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，同时增强学生数学交流能力.习题详解课本第73页习题2.41.(1)因为函数y=x 21在定义域［0，+∞)上单调递增，且0＜5.23＜5.24，所以5.2321＜5.2421；(2)因为函数y=x -1在定义域(0，+∞)上单调递减，且0＜0.26＜0.27，所以0.26-1＞0.27-1；(3)因为函数y=x 3在定义域R 上单调递增，且-0.72＞-0.75，所以(-0.72)3＞(-0.75)3. 2.(1)因为y=x 32=32x ，所以函数的定义域为R ； (2)因为y=x 65=65x ，所以函数的定义域为［0，+∞)； (3)因为y=x54-=541x ，所以函数的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)；(4)因为y=x23-=231x，所以函数的定义域为(0，+∞).3.如图，根据已知可得函数y=x 32的定义域为R ，由函数奇偶性的定义可得函数y=x 32是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，且在区间(-∞，0］上单调递减，在区间［0，+∞)上单调递增.4.如图，函数y=x 21的图象和函数y=x 31的图象的共同点是：都过点(0，0)，(1，1)；且在定义域内是增函数.不同点是：y=x 21是非奇非偶函数，y=x 31是奇函数.函数y=x -1的图象和函数y=x -2的图象的共同点是：都过点(1,1)，且在区间(0，+∞)上是减函数.不同点是：y=x -1是奇函数，y=x -2是偶函数.5.设正比例常数为k ，车身长为l ，则d=klv 2.依题意得1.44×4=k·602×4，解得k=0.000 4，所以d=0.000 4v 2·4=0.001 6v 2=0.5×4，则v=252km/h.所以d=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<.225,0016.0,2250,22v v v。

高中数学第34课时幂函数教案1苏教版必修1

江苏省新沂市第二中学高中数学第34课时幂函数教案1 苏教版必修1课题第二十七课时幂函数（1）课型新授课教学目标1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x-=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．重点单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；难点单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；教法讲授法、讨论法、探究法学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动自学评价1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y xα=的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上单调递减；（3）当2,2α=-时，幂函数是偶函数；当11,1,3,3α=-时，幂函数是奇函数．【精典范例】例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x=（2）12y x=（3）2y x-=（4）22y x x-=+（5）1122y x x-=+（6）1124()3()f x x x=+-分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；【解】（1）此函数的定义域为R，∴此函数为奇函数．（2）12y x x==∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数．追踪训练一1．在函数（1）21,yx=（2）22,y x=（3）2y x x=+，（4）1y=中，是幂函数序号为（1）．2.已知幂函数()y f x=的图象过(2,2)，试求出这个函数的解析式；答案：12y x=3．求函数1322(1)(3)y x x-=-+-的定义域．答案：[1,3)（3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2211()()()f x f x x x -===-∴此函数为偶函数（4）22221y x x x x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x-=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）11221y x xx x-=+=+∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数（6）11424()3()3f x x x x x =+-=+-∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数例2：比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5【解】（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.265.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<板书设计。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》01

?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。

现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。

学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。

因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。

该内容安排一课时。

二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。

⑷培养学生观察、分析、归纳能力。

了解类比法在研究问题中的作用。

三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。

本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。

教具：多媒体。

制作多媒体课件以提高教学效率。

四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质。

五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。

苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 3.3 幂函数(1)

第13课时幂函数(1)教学过程一、问题情境经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9需求量/t 139.6135.4131.6128.2125.1122.2119.5根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=114.82x-0.38.这个关系式与函数y=x-0.38是相关联的.那么,函数y=x-0.38是指数函数吗?二、数学建构(一)生成概念一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (二)理解概念问题1幂函数有什么性质?解一般地,幂函数y=xα有下列性质:(1)幂函数的图象都过点(1, 1);(2)当α>0时,幂函数在[0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减;(3)当α=-2, 2时,幂函数是偶函数;当α=-1, 1, 3,时,幂函数是奇函数;(4)任何幂函数的图象都不过第四象限;(5)当α>0时,幂函数的图象过点(0, 0),(1, 1).问题2幂函数的图象在第一象限内有何分布规律?[1]解(1)当α>0时,在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限延伸,α越大,图象上升得越快;(2)当α<0时,在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;过点(1, 1)后,|α|越大,图象下落的速度越快;(3)幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限内;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、二象限内且关于y轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、三象限内且关于原点对称.三、数学运用【例1】(教材P88例1)写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性:(1)y=x3;(2)y=;(3)y=x-2.(见学生用书课堂本P57)[处理建议]引导学生将负指数幂转化为分式形式,将分数指数幂转化为根式的形式.[规范板书]解(1)函数y=x3的定义域是R,它是奇函数.(2)函数y=可化为y=,其定义域是[0,+∞),它既不是奇函数也不是偶函数.(3)函数y=x-2可化为y=,其定义域是(-∞, 0)∪(0,+∞),它是偶函数.[题后反思]①研究y=(p,q为互质的整数)的定义域,一般将它改写为根式后,再求出它的定义域.②如何确定幂函数的奇偶性?若指数为整数,可直接判断;若为分数,先把它改写为根式,一看定义域,二看f(-x)与f(x)的关系.变式写出函数y=的定义域,并指出它的奇偶性.[规范板书]解y=可化为y=,其定义域为R.由于f(-x)===f(x),所以函数y=是偶函数.【例2】比较下列各组数的大小:(1),;(2),,;(3),,;(4) 0.80.5, 0.90.4.(见学生用书课堂本P58)[处理建议]利用幂函数的单调性比较两数的大小.[规范板书]解(1)∵y=是偶函数,=.∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上为单调减函数,而1.2<1.3,∴ 1.<1.,即<.(2)=.∵>0,∴函数y=在[0,+∞)上为单调增函数.∵2.1<4,∴>>0.而<0,∴<<.(3)∵>=1,<=1,<0,∴>>.(4)选择中间数0.90.5.∵幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,且0.8<0.9,∴0.80.5<0.90.5.又∵指数函数y=0.9x在(-∞,+∞)上单调递减,且0.5>0.4,∴0.90.5<0.90.4.∴0.80.5<0.90.4.[题后反思]熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系.当比较的数多于两个时,一般采用从整体到局部的思维方法:先与0比较,分出正数与负数(如果都是正数,再与1比较;如果都是负数,再与-1比较),最后转化为只有两个数的大小比较问题.重要的是寻求它们与中间数的大小比较,如第(4)题.一般比较大小有四种方法:①作差比较法;②作商比较法;③中间值法;④利用函数的单调性比较大小.变式求下列各式中实数a的取值范围:(1)>;(2)>.[处理建议]已知指数相同的两个幂的大小,可以利用幂函数的单调性来确定底数的大小.[规范板书]解(1)∵>,∴a≥0.又函数y=在[0,+∞)上为单调增函数,∴a>0.5.(2)=.①当2a+4≥0时,由函数y=在[0,+∞)上为单调增函数知2>2a+4≥0,即-2≤a<-1;②当2a+4<0时,由函数y=在(-∞,0]上为单调减函数知-2<2a+4<0,即-3<a<-2.综上所述,a的取值范围是(-3,-1).*【例3】已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值.[处理建议]通过常见的幂函数的图象和性质进行分析,体会数形结合的思想.[规范板书]解由题意可得m2-2m-2≤0,∴ 1-≤m≤1+.又∵m∈Z,∴m=0, 1, 2.又∵该幂函数的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,∴该幂函数为偶函数,∴m=0或2.[题后反思]对于常见幂函数的图象,要记清其大致形状,对其性质要清晰.变式已知幂函数y=x m-6(m∈Z)和y=x2-m(m∈Z)的图象都与x轴、y轴无交点,且函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,求实数m的值.[规范板书]解因为已知两个幂函数的图象都与x轴、y轴无交点,所以解得2<m<6.又因为函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以2-m为偶数,即得m=4.四、课堂练习1.写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性和单调性:(1)y=x4;(2)y=;(3)y=x-3;(4)y=;(5)y=.解(1)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.(2)定义域为[0,+∞),该函数为非奇非偶函数,在[0,+∞)上单调递增.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),该函数为奇函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递减.(4)定义域为R,该函数为奇函数,在R上单调递增.(5)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.2.比较下列各组数的大小:(1),;(2) 0.26-1, 0.27-1;(3)(-0.72)3,(-0.75)3.解(1)<;(2) 0.26-1>0.27-1;(3)(-0.72)3>(-0.75)3.五、课堂小结1.α≠0, 1时,幂函数y=xα的图象在第一象限内的特征:(1)当α>1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且下凸递增;(2)当0<α<1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且上凸递增;(3)当α<0时,图象过点(1, 1),且单调递减,以两坐标轴为渐近线.2.由定义域与奇偶性可知幂函数在第四象限内无图象.。

苏教版高中数学必修1幂函数教案1

幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：重点从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

=的图象的规律。

教学关键：揭示出幂函数y xα教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：幂函数1、幂函数的定义例2 例42、幂函数的图象与性质教案说明：（1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。

课本通过几个特殊幂函数的图象类比归纳，得到图象都通过点(1,1)。

（2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。

（3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。

（4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的内部规律。

这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象与性质有较深刻的了解。

3.3幂函数教学案

3.3 幂函数教学案 2012.10.29备课教师：一、教学目标通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。

二、教学重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

三、教学难点画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

四、上课时间：五、教学过程（一）、教材·知识·研读一、新课引入x y =，2x y =，1-=x y ，3x y =，21x y =观察上述五个函数，有什么共同特征？二、合作学习，共同探究 1、定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中α为常数.练习1：判断在函数xy 1=，22x y =，x x y -=3中，哪几个函数是幂函数？2、幂函数的图象作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）2x y =；（3）1-=x y ；（4）3x y =；（5）12y x =．3、幂函数的性质引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．三知识应用题型一幂函数定义的理解【例1】已知函数m x m m x f m m ,)2()(122-++=为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数【变式训练】若将函数换为122)22()(-+-+=m m x m m x f ，试解决（3）（4）两问.题型二幂函数的图像【例2 】已知幂函数1αx y =，2αx y =，3αx y =对应曲线C ，C ，C ，如图所示。

指出1α，2α，3α的大小关系。

【变式训练】下面6个幂函数的图像如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系；（1）23x y = (2) 31xy =(3) 32xy =(4)2-=x y (5) 3-=x y (6) 21-=xy(A) (B) (C)(D) (E) (F)【题型三】利用单调性比较幂函数值的大小【例3】比较下列各组数的大小：（1）212.3与215.2；（2）231.0-与218.0-；（3）52)5(-与52)7(-【变式训练】（1）325.4与323.4；（2）253-与251.3-；（3）31)2(-与31)3(-【题型四】求幂函数的定义域【例4】写出下列函数的定义域：（1）3)(x x f =；（2）21)(x x f =；（3）2)(-=x x f【变式训练】（1）53)(x x f =；（2）5)(-=x x f ；（3）43)(-=x x f ；（4）32)(-=xx f题型五综合应用【例6】已知)1()1(33232->+>a a ，求a 的取值范围。

苏教版高中数学必修一：3.3幂函数1学案

3.3 幂函数（1）主备人吕世金审核人王卫东一、教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质； 2．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．二、学习过程：（一）、问题情境我们以前学过这样的函数：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x -1，y=3x ,y=21x 试作出它们的图象，并观察其性质．总结性质：函数定义域值域奇偶性单调性 y ＝x y ＝x 2y ＝x -1y=3x y=21x(二)、建构数学：1、幂函数的定义：形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

巩固定义：（1）已知函数21()(1)a a f x a x+-=-，当a ＝时， f (x )为幂函数．（2）下列函数：①y ＝2x； ②34x y =； ③y ＝x-3； ④y＝3·x2．其中是幂函数的有（3）已知幂函数y ＝x α的图像过点(2,2),求出这个函数的解析式 2、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过和两个定点； α≤0时，图象过只过定点．（2）单调性：α＞0时，在区间上是单调； α＜0时，在区间上是单调．（三）、典型例题：例1、写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：（1）2-=x y （2）4x y = （3）41x y = （4）3-=x y （5）32x y =思考：你能画出例1中各函数的图像吗？例2：已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．四、归纳总结：幂函数的概念、图象和性质；五、课外练习：书90页第1，2题。

苏教版高中数学必修1《幂函数》教学教案1

3.3 幂函数【教材分析】本节课选自新课标苏教版必修1第三章第3节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本初等函数.通过本节课的学习，使学生掌握简单幂函数模型的建立，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触过的函数，进一步加强利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，进而提升学生研究函数的综合能力. 【学情分析】学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了研究一类函数的基本方法，为本节课的学习打下了很好的基础. 【设计思路】幂函数的性质会随幂指数的轻微改变而发生较大的变化，相比指数函数和对数函数的学习，幂函数的学习会比较困难，因此本节课我采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排学习.先重点研究几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板动态演示幂函数图象是如何随幂指数的变化而变化的（在第一象限），让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂指数（用参数的方法），让学生预测幂函数图象的变化，让学生检测自己探索成果的有效性，享受学习的乐趣. 【学习目标】1、了解幂函数的概念；2、会画简单的幂函数图象，并能根据图象得出这些函数的性质；3、了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况. 【学习重难点】重点：常见幂函数的图象和性质难点：幂函数图象和性质的学习总结【学习用具】多媒体平台，几何画板软件【授课类型】新授课【学习过程】一、问题情境（多媒体投影）1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的质量（千克）w 之间有何关系？2.正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？3.正方体的边长V 和它的边长a 之间有何关系？4.问题2中，边长a 是S 的函数吗？5.问题3中，边长a 是V 的函数吗？6.某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？容易得出以上六个关系式分别是：1123132,,,,,p w S a V a a S a Vv t -======二、提出问题启发建构问题：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？教师引导：用x 表示自变量，y 表示函数值，上述函数式变成：1123132,,,,,y x y x y x y x y xy x -======，此时容易看出它们都是形如y x α=的函数.（投影幂函数的定义）揭示今天所学课题：幂函数三、幂函数图象与性质的学习 1、问题引导①有了幂函数的概念后,我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质 ② 通过什么方式来研究？―――――——画函数的图象③为使作图高效，我们可先做点什么――——分析函数的定义域、奇偶性例1.写出下列函数的定义域，并指出奇偶性（投影）：12133243252(1)(2)(3)(4)(5)(6)y xy xy x y x y xy x---======2、问题探究①怎样便于看出幂函数的定义域？（写成根式的形式） ②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？结论1：只要幂函数的定义域是关于原点对称的，则其一定具有奇偶性. 3、动手实践请同学们画出下列常见的幂函数的图象，根据图象将观察到的性质填入表格11231232,,,,,,y x y x y x y x y xy x y x --=======（投影显示表格）教师在这期间进行巡视指导，稍后，对3y x =、12y x =、13y x =和2y x -=四个函数图象利用几何画板里的追踪动点轨迹的方式现场作图，近似于描点作图.这样可以让学生从中感受到幂函数的值是如何随x 值的变化而变化的，然后再作出完整的图象.师生共同完成上表.观察上表，组织学生讨论总结出这几个函数共同的性质：y x =，2y x =，3y x =，12y x =，13y x = ① 图象都过点（0,0）和（1,1）； ② 在［0,＋∞）上是增函数1y x -=，2y x -=① 图象都过点（1,1）； ② 在（0,＋∞）上是减函数. 4、类比联想拓展探究① 我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数？ ② 一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？③ 幂函数图像一定过哪个象限？一定不过哪个象限？可以通过什么途径来判断？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质，并得出以下结论结论2：幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，第二、第三象限可能有，也可能没有幂函数图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断（结合结论1）.老师用几何画板画出函数y x α=在第一象限内的图象，改变α的值，组织学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数本质的、共性的东西.师生共同得出以下结论：结论3：幂函数的基本特征可以概括为：① α>0时，图象过（0,0），（1,1），在第一象限内图象是上升的；提醒学生注意α>1和0<α<1时图象的区别（可以概括为“快增”和“慢增”） ② α<0时，图象过（1,1），在第一象限内图象是下降的，与坐标轴无交点； ③ 其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出. 5、个例检验老师通过几何画板利用参数法作出完整的幂函数的图象，检验刚才总结得到幂函数的性质的正确性.然后，在画出图象之前，让学生预测函数图象的图象的形状、区域，来检测同学对幂函数性质的了解程度，体验学习带来的成就感，成功带来的愉悦. 6、目标检测例2.作出函数35y x =，45y x -=的草图，并指出单调区间，（请学生进行板书，组织同学评议）.例3.比较下列各组数的大小：（1）0.10.11.1,1.2 （2）0.20.20.24,0.25--小结：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性. 7、总结反思深化认识先请同学说说本节课所学到的知识和思想，然后师生共同总结得出共识：要想系统认识幂函数的性质，必须从它的图象着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征，然后根据奇偶性作出其它象限内的图象，因而对幂函数的定义域和奇偶性的分析很重要.。