重点高中数学--空间向量之法向量求法及应用办法
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精心整理
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或
(1,,
n y z =，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关
于,x y 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y ,的一次方程。Ax ),C B ;若平面与31=c
z
,称此方法三(
为空间中两个不平行的非零向量，其外积θsin |||→
b ，（θ为皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→
→⨯-a b 。
(1设x a =→
（注：1例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→
→
b a ， 试求（1）：;→
→
⨯b a （2）：.→
→⨯a b Key:(1))5,2,1(-=⨯→
→
b a ;)5,2,1()2(-=⨯→
→
a b
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -求平面AEF 的一个法向量n 。 )
2,2,1(:=⨯=→
→
→
AE AF n key 法向量
二、
1、 (1)、AB 图图(2),→= n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→ m 的方向对平面α而言向内， → n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”） 使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离: 方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→ a 、→ b ， 求a 、b 的法向量→ n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→ AB ； ③求向量→ AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为 = d （2（3AB n d ⋅= ，其中（4）、平面与平面间的距离方法指导：如图= d 。n 是平面α3、（1（2线（3面 （4）、证明面面平行：在图2-11中,→m 向是平面α的法向量，→ n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→ →=n m λ）。 三、高考真题新解 1、（ 已知如图=∠DAB 中点 （Ⅱ）求解:以A . ).(→ AP I → DC 又=∙∴→→n m ).(II → ).(III 又=→CB ,∴<→ →n m ∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)3arccos(-.]3 arccos [-π或 2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C a ，M 是AD 的中点。 (Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。 解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示. 图 3-2 ).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→ ,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→ → → 又)0,0,2(a AD -=→ ,0=∙∴→→AD n ,→ →⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC. ).(II ),0,22(a a MC =→ ,)0,,2 2 (1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为:)2 2,22, (2 221a a a MA MC m -=⨯=→ →→, 又),,2(1a a a BD --=→ ,),,0(1a a BA -=→ ,设平面A 1BD 1的法向量为:)2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→ → → , =∙∴→→n m ).(III m =→ → 又MA =→ 四、 (1)（2）、（进（3