六下第六章一次方程(组)和一次不等式(组)知识点

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沪教版六年级下学期数学各章知识点梳理

沪教版六年级下学期数学知识点梳理1.相反意义的量收入与支出；增加与减少；上升与下降; 零上与零下；高于海平面与低于海平面;前进与后退；盈利与亏损； ……任意规定一方为正，则另一方为负。

2.正数与负数 4.数轴的概念与画法数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴画法：一直线 + 三要素 5.数轴的性质数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。

　6.相反数只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数；0的相反数是0. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；零的相反数是它本身。

7.相反数的几何意义数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，而且与原点的距离相等。

10.有理数的大小比较两个负数，绝对值大的反而小；对于任意有理数的大小比较应采用：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

比较两个数的大小，还可以用“作差法”，即： 11.有理数加法及加法法则把两个有理数合成一个有理数的运算，叫做有理数的加法。

分五种情况：①两个正数相加；②两个负数相加；③两个异号数相加；④有理数和零相加；⑤零和零相加。

有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得零；④一个数与零相加，仍得这个数。

注意：利用加法法则计算的步骤：先确定和的符号，再进行绝对值相加或相减。

12.有理数加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 运算律有下列规律：①互为相反数的两数可以先相加；②符号相同的数可以相加；③分母相同的数可以先相加；④几个数相加能得到整数的可以先相加。

13.有理数的减法法则及运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

注意：两个“变”字，①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不变，即没有交换律。

一元一次方程及其解法(第2课时)(课件)六年级数学下册(沪教版)

答：李白酒壶中原有0.875斗酒。
课堂小结去括号解方程需要注意的问题是：（1）如果括号外的因数是负数时，去括号后，
原括号内各项的符号要改变；（2）乘数与括号内多项式相乘时，乘数应乘
以括号内的每一项，不要漏乘。
解: (n+8)+（3n-12）=0
去括号，得 n+8+3n-12=0
移项，得
n+3n=12-8
化简，得
4n=4
两边同除以4 ，得 n=1
5.李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见友喝一斗；三遇店和友，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒？
分析
设李白壶中原有(2x-1) 斗第二次；
x=8 所以,x=8是原方程的解.
例题5解方程:2x-3=3x-(x-2) 解去括号,得2x-3=3x-x+2. 移项,化简,得 -3=2. 这个等式是不成立的, 所以原方程无解
课本练习
练习6.3(2)
1.下面的做法对不对?如果不对,请指出错在哪里,
并将其改正
(1)由2(x+4)=9-(x-3)去括号,得 2x+8=9-x-3;
提出问题，自主学习
利用乘法分配律计算下列各式：
(1)2(x+8)= 2x+16
(2)-3(3x+4)= -9x-12
(3)-7(7y-5)= -49y+35 去括号，看符号：是“+”号，不变号;
是“―”号，全变号。
解方程:﹣2(x﹣1)=4.
解法二：方程两边同除以-2，得 x-1=-2
移项，得 x= -2+1
解方程去括号，得
3 2(0.2x 1) 1 x 5
移项，得

6.11 一次方程组的应用(1)&(2)

练习
3. 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都
有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文
小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人
数的
（1）班没有参加天文小组的人数的
1 ，（2）班参加天文小组的人数恰好是 3 1
4
，问六年
级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各多少
人？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 练习
4. 某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个。问要有多少工人生产螺栓，其余的工人生产螺帽，才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套。
能力提高
若玩青蛙跳５元每人，玩极速风车１５元每人。其中玩这两项游乐项目共花了40元。求各有多少人玩青蛙跳和极速风车．
设玩青蛙跳的有a人，玩极速风车的有b人．
可列出方程为？
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）
6.11 一次方程组的应用（2）
例题
甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数．
方案二：6角的邮票 1 张，8角的邮票 4 张。
能力提高
某游乐园的门票规定成人９０元／人，儿童４５元／人．现有大人带着孩子（都为儿童）去游玩，买门票共花了720元．问成人和孩子各去了多少人？
（1）这个问题中，有几个未知数? （2）能列一元一次方程求解吗? （3）如果设成人有x人，儿童有y人，你能列出方程吗？
450x + 150(600-x) ＝210000
等量关系：低价票的张数
+ 草地票的张数 =600
购买低价票的总价 + 购买草地票的总价 =210000

6.4 一元一次方程的应用(3)

一、直线型行程问题中的时间、速度、路程间的关系
1.同向而行
甲：乙：
甲的路程
两人间距同时同向而行，追上时，
乙的路程
快的人所走路程—慢的人所走路程=两人间距
例题
甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求：
（1）若两车同时多长时间两车相距270千米？（3）若两车相向而行，货车先开1小时，再过多长时间可以相遇？
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）
6.4 一元一次方程的应用(3)
行程问题
行程问题:
一、基本数量关系:
路程
= 速度×时间
路程速度 = 时间
时间
=
路程速度
一、直线型行程问题中的时间、速度、路程间的关系
1.相向而行
甲：乙：
甲的路程
同时相向而行，相遇时，
乙的路程
甲走的路程+乙走的路程=甲乙的间距
总结
同时相向而行，相遇时，
型直甲走的路程+乙走的路程=甲乙的间距线
同时同向而行，追上时，
快的人所走路程—慢的人所走路程=两人间距
甲乙同时同地同向而行，第一次相遇时，
环甲走的路程－乙走的路程=环形跑道周长形甲乙同时同地同向而行，第一次相遇时，甲走的路程+乙走的路程=环形跑道周长
二、环形跑道上的时间、速度、路程间的关系
甲、乙两人同时由同一起点同向出发。
甲：乙：
甲乙同时同地同向而行，第一次相遇时，
甲走的路程－乙走的路程=环形跑道周长
二、环形跑道上的时间、速度、路程间的关系
甲、乙两人同时由同一起点反向出发

6.7 一元一次不等式组

-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
-6
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
例题
x 3, (9) x 7.
大小小大中间找
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 2, (10) x 5. x 1, (11) x 4. x 0, (12) x 4.

设需要 x 分钟才能将污水抽完，总抽水量：30 x 吨根据题意，得：
30 x 1200 30 x 1500
① ②
概念
一元一次不等式组:
（1）“一元”指的是什么？指不等式组中只含有一个未知数。（2）“一次”指的是什么？指不等式中未知数的次数为1. （3）概念
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式
练习
x 2 0, 4.试求不等式组 x 3 0, 的解集。 x 6 0
5.关于x的一元一次方程2x+3=6(x+m) 的解是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，求m的取值范围。
练习
1 2x 1 x 1. 4 3 x 3( x 2) 4
4 1 x 1 4 x 2. 3 3 x 1 3( x 1)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
-6
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
例题
x 3, (13) x 7. x 2, (14) x 5.
x 1, (15) x 4.
0
大大小小解不了
1 2 3 4 5 6 7 8 9

6.5 不等式及其性质

2
m n _______ n . >
2
拓展
1、a为有理数, 试比较5a与3a的大小。 2、已知：a 0, b 0, 且a b 0, 把 a,b, a, b, a b用" "号连接起来。
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第六章一次方程（组）和一次不等式（组）
6.5 不等式及其性质（1）
温故
什么是等式？用等号“=”连接的式子叫做等式。
知新
什么是不等式？用不等号连接的式子叫做不等式。
“＞、＜、≥、≤、≠”
例题
用不等式表示
（1）a与b的和小于0 （2）x的一半减去3所得的差大于或等于5 (1) a与b的和小于 0
例题
用不等号填空：
1、若x y, a 0, 则ax _______ ay; < 1 2、若x , 那么5 x 1 ________ 0; < 5 3、若a b, c 0, 那么ac _______ < bc; 4、若m n 0, 那么m _______ > m n,
大家一起回想一下等式的性质1时怎样给出的。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或含有字母的式子，仍是等式，即：如果a=b，那么a+m=b+m
不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或含有字母的式子，不等号方向不变，即如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m;
找规律
不等式两边同时乘（或除以）同一个数同乘5 6>3

三元一次方程组及其解法(课件)六年级数学下册(沪教版)

下列方程组中，哪些是三元一次方程组？
x y 14
2
y
z
7
是
x z 19
x 3
1
x
y
z
5
是
2x y z 16
4x 3y 2z 7
3 5x 6 y z 1 是
2x z 2
例题1：解下列方程组
x 3
①
x y 5 ②
代入消元法
2x z 16 ③
解：把①代入② ，得
2x y 3
①
3x y z 8
②
x 2 y z 13
③
解：由②-③，得
2x 3y 5 ④
所以 2x y 3 ① 2x 3y 5 ④
由①-④，得
4y 8
y2
加减消元法
把y=2代入①，得
2x 2 3
x1
2
把x 1 ，y 2代入③，得
2 1 4 z 13
2
z 17
x z 7
所以有： x z 7 （4）
（3）+（4），得 2x 12
x6
x 6 把
代入（1）得
y 20
把
x
6代入（3）得
z
所以，原方程组的解是
13
x6
y 20
z 13
x : y 3 : 4 例题4：解方程组y : z 5 : 6
x y z 22
4x 3y 0 ① 解法一: 原方程组化为 6y 5z 0 ②
x 5
①
x 5y 2z 4 ②
4x 3y 2z 1 ③
解：由② +③ ,得
5x 2y 3 ④
把①代入④ ，得
55 2y 3

第2讲方程（组）与不等式（组）

第2讲方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m ＝3n ，那么下列等式不一定成立的是（） A ．m ﹣3＝n ﹣3 B ．2m +3＝3n +2C ．5+m ＝5+nD ．m −3=n −3例2解方程：（1）2﹣3（x ﹣1）＝2（x ﹣2）；（2）．例3若方程12﹣3（x +1）＝7﹣x 的解与关于x 的方程6﹣2k ＝2（x +3）的解相同，求k 的值．例4若方程2（2x ﹣1）＝3x +1与关于x 的方程2ax ＝（a +1）x ﹣6的解互为倒数，求a 的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？（1）两车的速度各是多少？（2）两车出发几小时后相距20km ？【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝62．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）；（2）﹣1．3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10．（1）求a 的值；（2）求方程正确的解．4．已知关于x 的方程2（x ﹣1）＝3m ﹣1与3x ﹣2＝﹣4的解相同，求m 的值．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量单价（元）不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分m +1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m 的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值．()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例2解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．例3用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为．2．解方程：（1）＝；（2）﹣3．3．若关于x 的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4例2解方程组：（1）；（2）．例3已知方程组与有相同的解，求m 和n 值．例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型甲乙运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝42．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−53．解方程组：．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答）（1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜；（2）若＞，＞0则＞（或＞）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则＜（或＜）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式中成立的是（） A ．a +c ＞b +c B ．ac ＜bcC ．ac 2＞bc 2D ．ac +1＞bc +1例2解不等式10−x 3≤2x +1，并在数轴上将解集表示出来．例3解不等式组{2x −2≤xx +2＞−12x −1，并把解集在数轴上表示出来．例4已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？例5为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？【随堂练习】1．若a ＞﹣1，则下列各式中错误的是（） A ．6a ＞﹣6 B ．a 2＞−12C ．a +1＞0D ．﹣5a ＜﹣52．解不等式：（1）x +1＞2x ﹣4；（2）−2x−13＞4．3．解不等式组﹣2≤7x−53+2＜5，并在数轴上表示出它的解集．4．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？5．“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？综合运用1．若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．解方程：（1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。

六年级数学下册教材梳理沪教版五四制(最新整理)

教材梳理总括：本册书包括四个章节，其中第五、第六章节为本册书的重难点，而第七、八章节是了解、理解性的知识，是学习后面知识的一个认知基础。

第五章为有理数，因此作为本书的重点。

首先要知道那些是有理数,有理数包括哪些部分并且掌握有理数的四则运算（加、减、乘、除),最后要明白何为科学记数法，怎样将一个数表示成科学记数法。

第六章为一次方程（组）和一次不等式（组）,是本书的重点同时也是一个难点。

因此我们要了解何为一次方程（组），怎么样解一次方程(组），而更重要的是一次方程(组)的应用，将实际的问题转化为一次方程(组）进而求解,这对于学生来说是难点。

作为平行的学习，可将一次不等式（组）与一次方程（组）类似的学习，明白一次不等式（组）是将一次方程（组)中的等号改成不等号，并且解一次不等式(组)常与数轴联系起来，这样更直观。

一次不等式（组)是我们中考中必考的考点因此要适当的强化学习.第七、八章是线段与角的画法及长方体的再认识，此部分知识点是认识、了解、理解性知识，了解角，线段，余角,补角及其画法并且知道长方体及长方体上的棱与棱、棱与平面及平面与平面之间的关系以及长方体的画法。

第五章有理数有理数包括整数和分数,而整数又包括正整数和负整数，分数又包括正分数和负分数。

数轴：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数,也称两个数互为相反数，注意：0的相反数是0。

一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.如4-的绝对值为4（距离,0≥x ）。

数轴上的点从左到右依次增大，正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

有理数加法的运算率：a b b a +=+(交换律）,)()(c b a c b a ++=++（结合律）。

有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数（)(b a b a -+=-），两数相乘的符号法则:正正得正,负正（正负）得负，负负得正有理数乘法法则;两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零。

一元一次方程知识点总结和例题讲解

第六章一元一次方程知识点汇总（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等. 等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =bc（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=ba ).一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．第七章二元一次方程组一、知识点总结 1、二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

沪教版六下数学第8讲：一次方程(组)和一次不等式(组)章节复习-教师版

一次方程（组）和一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第2章的内容．本章学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程组以及一元一次不等式（组）的概念及其解法，学习时应注意方程与不等式及其解法之间的联系与区别，体会消元与化归的数学方法和数学思想，加强用方程解决实际问题的意识．单元练习：一次方程（组）和一次不等式（组）内容分析知识结构一次方程（组）一次不等式（组）三元一次方程组一元一次方程二元一次方程（组）一元一次不等式（组）三元一次方程组一元一次方程二元一次方程组消元消元多元一元化归思想实际问题检验解方程方程获得问题的解构建方程解决问题方程意识【练习1】下列各式中，方程有（）个（1）633-+=-；（2）35x +=；（3）22ππ⨯=；（4）38a =；（5）7y =；（6）32p q -；（7）719nm +=；（8）1a a =+． A ．3B ．4C ．5D ．6【难度】★【答案】C【解析】含有未知数的等式叫做方程；（2）、（4）、（5）、（7）、（8）都是方程．【总结】本题考查了方程的定义．【练习2】下列各式中，一元一次方程有（）个（1）30x =；（2）437x y -=；（3）21303x -=；（4）()397y y --=；（5）23x -；（6）4x ≠． A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★【答案】B【解析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数式一次的方程为一元一次方程；故（1）、（4）都是．【总结】本题考查了一元一次方程的定义．【练习3】下列各式中，二元一次方程有（）个（1）2311x y -=；（2）23xy =-；（3）35m y+=；（4）25p q ->；（5）221x x +=；（6）21953m n -=．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★【答案】B【解析】含有两个未知数，并且未知数的最高次数式一次的方程为二元一次方程；故（1）、（6）都是．【总结】本题考查了二元一次方程的定义．【练习4】下列各式中，二元一次方程组有（）个选择题（1）()()23111x y xy x y +=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩；（2）31230x y x y +=⎧⎨-=⎩；（3）235x x y =⎧⎨+=-⎩；（4）3227x y x y -=+=+．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★【答案】D【解析】含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组；（1）中虽然有二次项，但是左右两边会抵消；故全都是二元一次方程组．【总结】本题考查了二元一次方程组的定义．【练习5】二元一次方程组324526x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是（）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C ．112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩【难度】★【答案】D【解析】解：⎩⎨⎧=-=-，②，①625423y x y x ，由①-②得：22-=-x ，解得：1=x ，代入①:42-13=⨯y ，解得：21-=y ，所以方程组的解为：112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】本题考查了二元一次方程组的解法．【练习6】如果0m n <<，那么下列各式中正确的是（）A ．0.30.3m n <B ．22m n <C ．11m n <D ．m n m n -<+【难度】★【答案】A【解析】由不等式的性质可知A 正确．【总结】本题考查了不等式的性质的运用．【练习7】下列判断中正确的是（）A ．如果0x <，那么15x x <B ．不等式35x ->-的解集是53x <C ．如果113x <-，那么3x >-D ．不等式组11x x >⎧⎨<⎩的解集为1x =【难度】★【答案】B【解析】由不等式的性质（1）、（2）、（3）可以判断；必须熟练掌握．【总结】本题考查了不等式及不等式组的解集的确定．【练习8】若方程()2210a x bx c +++=是表示字母x 的一元一次方程，则（）A ．12a =，0b ≠，c 为任意数 B ．12a ≠，0b ≠，0c = C ．12a =-，0b ≠，0c ≠D ．12a =-，0b ≠，c 为任意数【难度】★★【答案】D【解析】由题意得：此方程为一元一次方程，故012=+a ，解得：21-=a ，0≠b ，c 为任意数即可．【总结】本题考查了一元一次方程的概念．【练习9】下列式子中一定正确的是（）A ．23a a <B ．a b a -<C ．2a a >D ．322x x-< 【难度】★★【答案】D【解析】D 中左右两边同时乘以2，则x x <-3，再同时减掉x ，则03<-成立．【总结】本题考查了不等式的性质应用．【练习10】下列说法中错误的是（）A ．方程ax b =的解是bx a=（0a ≠）B ．如果ax b ->，则bx a<-（0a ≠）C ．若2k =时，方程()22k x k -=无解D ．8-是不等式32x ->一个解【难度】★★【答案】B【解析】B 中a 的正负不确定，当0>a 时，0<-a ，则a b x -<；当0<a 时，0>-a ，则abx ->．【总结】本题考查了不等式的性质及方程的解的应用．【练习11】下列各对数值，是方程342x y +=的解的为（）A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22x y =-⎧⎨=⎩C ． 114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ． 21x y =-⎧⎨=⎩【难度】★★【答案】B【解析】二元一次方程的解有无数组，代入验证即可．【总结】本题考查了二元一次方程的解．【练习12】某运输队运煤，第一天运了总量的27，第二天运煤恰好是第一天的23，还剩14 吨，设一共运煤x 吨，则可列出方程（）A ．22214773x x x +⨯=-B ．221473x x x ++=C ．222114737x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭D ．22214773x x x +÷+=【难度】★★【答案】A【解析】找出等量关系列方程：第一天运煤+第二天运煤=共运煤-剩下的．【总结】本题考查了列方程解应用题的思想．【练习13】学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3 : 2，求两种球各有多少个？若设篮球有x 个，排球有y 个，则根据题意得到的方程组是（） A ．2332x y x y =-⎧⎨=⎩B ．2332x y x y =+⎧⎨=⎩C ．2323x y x y =-⎧⎨=⎩D ．2323x y x y =+⎧⎨=⎩【难度】★★【答案】C【解析】找准题目中的两个等量关系：①32-=y x ，②2:3:=y x ，故y x 32=．【总结】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．【练习14】已知不等式组00x a x b -<⎧⎨-<⎩的解集为x a <，则不等式组00x a x b +>⎧⎨+>⎩的解集为（）A ．x a <-B ．x a >-C ．x b >-D ．x b <-【难度】★★【答案】B【解析】解：Θ不等式组⎩⎨⎧<-<-00b x a x 的解集为a x <， ∴b a <， ∴b a ->-，Θ不等式组⎩⎨⎧>+>+00b x a x 的解为⎩⎨⎧->->b x ax ， ∴不等式组的解集为a x ->．【总结】本题考查了不等式组解得确定：同大取大、同小取小．【练习15】 323x y+=的正整数解的个数为（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】B【解析】方程两边同时乘以6去分母：1823=+y x ，则x y 239-=，其中x 从1开始取整数即可验证．【总结】本题考查了对二元一次方程的整数解的理解．【练习16】观察下列方程组，无解的是（）A ．61x y x y -=⎧⎨+=-⎩B ．52210x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．5229x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．423x y x y +=⎧⎨-=⎩【难度】★★【答案】B【解析】B 中方程组可化为⎩⎨⎧=--=-55y x y x ，此方程组无解．【总结】本题考查了判断二元一次方程组是否有解．【练习17】已知不等式组5x x m >⎧⎨>⎩的解集为5x >，则m 的取值范围是（）A ．5m >B ．5m ≥C ．5m <D ．5m ≤【难度】★★【答案】D【解析】根据不等式组有解可知，必须是同大取大，所以5≤m ．【总结】本题考查了不等式的解集的确定．【练习18】已知方程组35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩，其中x 是y 的2倍，则k 的值是（）A ．72-B ．72C ．0D ．以上都不对【难度】★★【答案】B【解析】由题意得：⎩⎨⎧=++=+，②，①k y x k y x 32253，①-②：22=+y x ，又y x 2=，所以方程组的解集为⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ，则2732=+=y x k ．【总结】本题考查了二元一次方程组的解．【练习19】如果关于x 的不等式32x a ->的所有正整数解之和为6，则a 的取值范围为（） A ．5a ≥-B ．3a <-C ．53a -<<-D ．53a -≤<-【难度】★★★【答案】D【解析】解：由题意得：原不等式的解集为23ax -<，因为所有整数解之和为6，有6321=++，所以4233≤-<a，解得：35-<≤-a ．【总结】本题考查了不等式的整数解及解一元一次不等式的综合运用．【练习20】如果关于x 的不等式组30310x m x m -->⎧⎨-+<⎩无解，那么m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．2m >D ．2m ≥【难度】★★★【答案】B【解析】解：由题意得：⎩⎨⎧<+->--，②，①01303m x m x ，由①得：m x +>3，由②得：13-<m x ，因为不等式组无解，则：133-≥+m m ，解得：2≤m ．【总结】本题考查了利用不等式组的解确定字母的取值范围，综合性较强．【练习21】若3350m x ---=是一元一次方程，则m =______．【难度】★【答案】4．【解析】解：由题意得方程为一元一次方程，所以13=-m ，则4=m ．【总结】本题考查了一元一次方程的概念．【练习22】把方程5239x y -+=化成用含x 的式子表示y 的形式，得______________．【难度】★【答案】256xy --=．【解析】解：由题意得：625=-y x ，则x y 562-=-，所以256xy --=．【总结】本题考查了用字母表示数．【练习23】用不等式表示：2x y+减去()21x --所得的差是非负数________________．填空题【难度】★【答案】()[]0122≥---+x yx ．【解析】读懂题意，抓住关键词，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数字符号表示的不等式．【总结】本题考查了根据已知数量关系列不等式的方法．【练习24】用不等号填空，并说明不等式变形过程．（1）若x y >，则4x -______4y -；（2）若235x +≤-，则3x ______7-；（3）若1233x x -≥-，则x ______2；（4）若x y >，则6x -______6y -；（5）若x y >，则2x -______2y -；（6）若x y >，0m >，则mx ______my ；（7）若m n ≥，20k +<，则mk ______nk ．【难度】★【答案】（1）>；（2）≤；（3）≥；（4）<；（5）<；（6）>；（7）≤．【解析】利用不等式的三个性质可得结论．【总结】本题考查了不等式的性质的运用．【练习25】解集32x -≤<中的整数解为__________________．【难度】★【答案】3-、2-、1-、0、1．【解析】搞清整数定义，寻找整数解．【总结】本题考查了不等式的整数解的确定．【练习26】不等式组340731x x +>⎧⎨-≥-⎩的解集为____________________．【难度】★【答案】3834≤<-x ．【解析】解：⎩⎨⎧-≥->+，②，①137043x x ，由①得：34->x ，由②得：38≤x ，所以原不等式组的解集为：3834≤<-x ．【总结】本题考查了不等式组的解集的确定．【练习27】判断：（1）如果a b >，那么3232a b ->-；（）（2）如果a b <，那么22a b <；（）（3）如果22a b >，那么a b >；（）（4）如果a b >，那么a b >；（）（5）如果1a >，那么a 比1a大；（）（6）如果5a >，那么55a a -=-；（）（7）如果144m <-，那么1m <-；（）（8）如果x y >，那么()()2211m x m y -->--．（）【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）×．【解析】根据不等式的性质解答．【总结】本题考查了不等式的性质的运用．【练习28】若0a b +<，且0ab >，则a ______0，b ______0．【难度】★★【答案】<，<．【解析】解：由题意得：0>ab ，则b a 、同号，又0<+b a ，所以b a 、同负．【总结】本题考查了不等式性质的应用．【练习29】满足不等式()10484x x ++≤的最大整数解是_______．【难度】★★【答案】4【解析】解：由题意得：原不等式可化为：114084x +≤，解得：4≤x ，所以最大整数解为4．【总结】本题考查了一元一次不等式组的整数解的确定及对最大整数解的理解．【练习30】当x ______时，52x -的值是正的，此时最小的整数x =_______．【难度】★★【答案】5>；6．【解析】解：由题意得：025>-x ，解得：5>x ，则最小的整数是6．【总结】本题考查了不等式的解集及满足条件的最小的整数．【练习31】如果43x y =⎧⎨=-⎩是方程436x ay -=的一个解，则a =______．【难度】★★【答案】910-．【解析】解：把34-==y x 、代入方程()63344=-⨯⨯-⨯a ，解得：910-=a ．【总结】本题考查了二元一次方程的解及解一元一次方程．【练习32】如果3235351m n m n x y +--++=-是二元一次方程，那么m =______，n =_______．【难度】★★【答案】58；512．【解析】由题意得：312351m n m n +-=⎧⎨-+=⎩①②，由2⨯①得：228m n +=③；则：②③-得：512=n ，代入①中：58=m ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==51258n m ．【总结】本题考查了二元一次方程的概念及解二元一次方程组．【练习33】若357x -+=，则x =______．【难度】★★【答案】1或5．【解析】解：由题意得：23=-x ，则23=-x 或23-=-x ，解得：5=x 或1=x ．【总结】本题考查了绝对值的意义及方程的解，注意对绝对值的准确理解．【练习34】若:5:3x y =，且x 与y 的和是10，则x =______，y =______．【难度】★★【答案】425；415．【解析】解：由题意得：⎩⎨⎧=+=，②，①1053y x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==415425y x ．【总结】本题考查了二元一次方程组的解．【练习35】已知1y =是方程()1223m y y --=的解，那么关于x 的方程 ()()3225m x m x --=-的解是______．【难度】★★【答案】0=x ．【解析】解：由题意得：把1=y 代入方程中，则：()21312=--m ，解得：1=m ，再将1=m 代入关于x 的方程，则()()521231-=--⨯x x ，解得：0=x ．【总结】本题考查了方程解的应用及解一元一次方程．【练习36】若关于x 、y 方程组352278x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则a =______．【难度】★★【答案】932．【解析】解：由题意得：0=+y x ，则x y -=，代入方程组有⎩⎨⎧-=-=8528a x a x ，解得：932=a ．【总结】本题考查了相反数的应用及解二元一次方程组．【练习37】如果()222303x y x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，那么2016y =______．【难度】★★【答案】1．【解析】解：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+032032x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=123y x ，所以()1120162016=-=y ．【总结】本题考查了非负数的意义及解方程．【练习38】甲、乙两班共有88名学生，若从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x 人，乙班y 人，可列出方程组_______________________，并解得甲班有______人，乙班有______人．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】解：由题意得：()⎩⎨⎧-=+=+2532588y x y x ，解得：⎩⎨⎧==4741y x ，所以甲班有41人，乙班有47人．【总结】本题考查了二元一次方程组在实际生活中的应用，找等量关系列方程解决．【练习39】有一个两位数，个位数字和十位数字之和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数．可设这个两位数的个位数字为x ，根据题意，可列不等式 ________________________，最后这个两位数为_______________________．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】解：由题意得个位数字是x ，则十位数字是()x -9，有()⎩⎨⎧≤-≤≤-69163910x x ，解得：83≤≤x ，当3=x 时，这个两位数为63；当4=x 时，这个两位数为54；当5=x 时，这个两位数为45；当6=x 时，这个两位数为36；当7=x 时，这个两位数为27；当8=x 时，这个两位数为18．【总结】本题考查了利用一元一次不等式组解应用题及分类讨论思想的运用．【练习40】若关于x 的不等式()22a x a +>+的解集是1x <，则a 的取值范围是______．【难度】★★★【答案】2-<a ．【解析】解：原不等式两边同时除以()2+a ，得1<x ，所以根据不等式性质3：02<+a ，解得：2-<a ．【总结】本题考查了不等式的性质及应用．【练习41】解方程：（1）1071253x x x +=--；（2）()()160%2180%22x x +-+=；（3）111257918643x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（4）1.88 1.5350.401.220.3x x x -----=．【难度】★★【答案】见解析．【解析】解：（1）x x x 3512710--=+，（2）()()212%8012%60=+-+x x ， 7531210--=+-x x x ， ()()621825x x +-+=， 12-=x ； 1268165x x +--=， 415x =，154x =；（3）197532416181=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++x ，（4）03.04.05235.12.18-8.1=----x x x ，175324161-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++x ， 03450235.1128018=-----x x x ，153241=⎪⎭⎫⎝⎛++x ， ()()0450435.168018=-----x x x ，132-=+x ， 25262-=-x ， 5-=x ； 26225=x ．【总结】本题考查了一元一次方程的解法，注意解题时的方法选择，以及计算时要细心．解答题【练习42】解不等式：（1）()23213x x +-≤；（2）()30%151%x x +<+；（3）()()11221225x x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥⎣⎦；（4）()()0.20.30.40.50.10.21110.030.066x x --->+．【难度】★★【答案】见解析【解析】解：（1）()13322≤+-x x ，（2）()x x +<+%511%30， ()3326≤+-x x ， ()x x 10051130+<+， 94≤x ， 2170<-x ，解得：49≤x ；解得：103->x ；所以原不等式的解集为49≤x ；所以原不等式的解集为103->x ；（3）()()15222121-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x x x ，（4）()()61106.02.01.05.0103.04.03.02.0+->--x x ，112212255x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭， 6761051386+->--x x ，11224255x x -≤-， ()71056862+->--x x ， 312010x -≤， 66>-x ，解得：23x ≥- 解得：1-<x ．所以原不等式的解集为23x ≥-；所以原不等式的解集为1-<x ．【总结】本题考查了不等式的解法，注意解题时细心计算．【练习43】解不等式组：（1）()()3241353324x x x x ⎧-->-⎪⎨+≤+⎪⎩；（2）()210381274332x x x x x ⎧---≤-⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩；（3）132********522x x x x x x ⎧+>+⎪⎪+>+⎨⎪⎪-<-⎩；（4）()1226323112184x x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪+≥+⎨⎪+-⎪-<-⎪⎩．【难度】★★【答案】见解析．【解析】解：（1）()()⎩⎨⎧+≤+->--，②，①4233513423x x x x ，由①得：32->x ，解得：23->x ，由②得：9-≥x ，所以不等式组的解集为23->x ；（2）()⎪⎩⎪⎨⎧+<---≤--，②，①323417102283xx x x x ，由①得：()()1410483714--≤--x x x ，解得：10≥x ，由②得：712<x ，所以原不等式组无解；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-+>++>+，③，②，①52325546323212x x x x x x ，由①得：1->x ，由②得：1<x ，由③得：5>x ，所以原不等式组无解；（4）()1226323112184xx x x x x ⎧+>⎪⎪⎪+≥+⎨⎪+-⎪-<-⎪⎩，①，②，③，由①得：2->x ，由②得：4≤x ，由③得：3>x ，所以不等式组的解集为43≤<x ．【总结】本题考查了不等式组的解法，解题时注意方法的选择，细心计算．【练习44】解方程组：（1）521347a b a b +=-⎧⎨+=⎩；（2） 5.3 4.7804.7 5.320x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）34135353x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩；（4）2636315764949x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩．【难度】★★【答案】见解析．【解析】解：（1）⎩⎨⎧=+-=+，②，①743125b a b a ，②①-⨯2得：97-=a ，则79-=a ，把79-=a 代入①中：12795-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯b ，解得：719=b ，所以原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=71979b a ．（2）⎩⎨⎧=+=+，②，①203.57.4807.43.5y x y x ，由②①+得：1001010=+y x ，则，③y x -=10，把③代入①中：()807.4103.5=+-y y ，解得：45-=y ，把45-=y 代入③中，解得：55=x ，所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==4555y x ．（3）由②①+：，④188=-z x ；③②+：，⑤43=+z x ；由④、⑤解得：⎩⎨⎧-==22z x ，把22-==z x 、代入③中：322=++y ，解得：1-=y ，所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-==212z y x ．（4）由③①-⨯2得：，④3221=+z y ；由32⨯-⨯①②得：1256y z +=-⑤；由25⨯-⨯⑤④得：31=y ，将31=y 代入④得：2-=z ；将31=y ，2-=z ，代入①得：5=x ；所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-===2315z y x ．【总结】本题考查了方程组的解法，注意方法的选择，解完后注意检验所求的解是否正确．【练习45】关于x 的方程()143321223x xx a x x +----=-的解是最小的质数的倒数，求a 的值．【难度】★★【答案】1625=a ．【解析】解：由题意得：最小质数为2，则原方程的解为21，则 3213422*********211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯---⨯=+--a36441101+--=-a 64410+-=a 解得：1625=a ．【总结】本题考查了方程的解的运用及一元一次方程的解法．【练习46】解方程：2015122320152016x x x +++=⨯⨯⨯L ．【难度】★★★【答案】2016=x ．【解析】解：对原方程进行变形：20152016120151 (3)121211=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-x ，化简得：2015201611=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，即：201520162015=x ，解得：2016=x ．【总结】本题考查了数学简算中的裂项相消思想的运用，综合性较强．【练习47】若关于x 、y 的方程组2323ax by x y -=⎧⎨-=-⎩和3424y x ax by -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求a 、b 的值．【难度】★★★【答案】21-==b a 、．【解析】解：由题意得：⎩⎨⎧=--=-4332x y y x ，解得：⎩⎨⎧=-=11y x ，将y x 、的值代入⎩⎨⎧-=+=-4232by ax by ax 中，则：⎩⎨⎧-=+-=--4232b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==21b a ．【总结】本题考查了二元一次方程组的解的运用．【练习48】甲、乙两人同时求7mx ny -=的整数解，甲求出一组解为34x y =⎧⎨=⎩，而乙把7mx ny -=中的7看成1，求出一组解为12x y =⎧⎨=⎩，求m 、n 的值．【难度】★★★【答案】25==n m 、．【解析】解：把43==y x 、代入7=-ny mx 中，得，①743=-n m把21==y x 、代入1=-ny mx 中，得，②12=-n m ；由①、②，得：⎩⎨⎧==25n m ．【总结】本题考查了二元一次方程解的定义及解二元一次方程组．【练习49】已知关于x 、y 的方程组321431x y p x y p +=+⎧⎨+=-⎩满足x > y ，求p 的取值范围．【难度】★★★【答案】6->p ．【解析】解：⎩⎨⎧-=++=+，②，①134123p y x p y x ，由23⨯-⨯②①得：5+=p x ，由34⨯-⨯②①得：7+=-p y ，所以7--=p y ，因为y x >，所以75-->+p p ，解得：6->p ，所以p 的取值范围为6->p ．【总结】本题考查了二元一次方程组的解法及解不等式的综合运用．【练习50】解方程组：252821126x y y z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】解：由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=，④，③，②，①x u u z z y y x 262112825，所以()()()x u u z z y x 26833833211411411282525--=-=-+-=+-=--=-= x 1615+-=，即：x x 1615+-=，则1=x ，将1=x 代入④中得：4=u ；将4=u 代入③中得：3=z ；将3=z 代入②中得：2=y ，所以原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321u z y x ．【总结】本题考查三元一次方程组的求解，注意利用加减消元法将元减少为二元一次方程组，然后再进行计算．。

一元一次方程及其解法(第1课时)(课件)六年级数学下册(沪教版)

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⑸ 方程4x=3x-8,移项得： 4x-3x=-8 .
⑹ 方程x=3.5x-5x-9,移项得： X-3.5x+5x=-9 .
3.解方程(1) 3x＋7＝32－2x.
解：移项，得3x＋Biblioteka x＝32－7.5x＝25.
x＝5.
（2） x－3＝ 3 x＋1 2
解：移项，得
x－ 3 x＝1＋3. 2
化简，得
cc
运用等式性质和运算性质可以求方程的解.
例题2解方程:4x=18-2x. 解根据等式的性质,在等式两边同时加上2x 4x+2x=18-2x+2x 得4x+2x=18. 6x=18 根据等式的性质,在等式两边同时除以6,得 x=3.
能确定你求得的结果是正确的吗?
将x=3分别代入原方程的左边和右边,看它们的值是否相等.
A. S= 1 ab； B. x-y=0； 2
D. 1 =1 ； E. 3-1=2； 2x 3
G. 2x2+2x+1=0；H. x+2；
C. x=0； √
F. 4y-5=0； √
方程一元一次方程
含有未知数的等式．
只含有一个未知数（元）, 未知数的次数都是１次，且等式的两边都是整式的方程．
例题1判断下列方程是不是一元一次方程,如果不是,请简要说明理由. (1) 5x=0; (2)x-2y=56； (3) 3+5=8; (4) 2y-(y+9)=15 解 (1)是. (2)不是,这个方程含有x、两个未知数 (3)不是等式中不含未知数 (4)是.
像这样，把等式一边的某项_变__号__后移到另一边，叫做移项
1上面解方程中“移项”起了什么作用？

2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练第6章一次方程(组)和一次不等式(单元基础卷)带讲解

第6章一次方程（组）和一次不等式（单元基础卷）一．选择题（共6小题）1．（2021春•嘉定区期末）如果a＜b，那么下列不等式中不成立的是（）A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．﹣a＞﹣b D．3+a＜3+b【分析】根据不等式的基本性质判断即可．【解答】解：A选项，不等式两边都乘3，不等号的方向不变，该选项变形正确，不符合题意；B选项，不等式两边都乘﹣3，不等号的方向改变，该选项变形错误，符合题意；C选项，不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，该选项变形正确，不符合题意；D选项，不等式两边都加3，不等号的方向不变，该选项变形正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，注意不等式两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．2．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（）A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y【分析】根据等式的性质即可求出答案．【解答】解：x+2y＝11，2y＝11﹣x，∴y＝．故选：B．【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．3．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【解答】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．4．（2021春•宝山区期末）下列方程组中，二元一次方程组有（）①；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【解答】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．5．（2021春•普陀区期中）下列各项中，一元一次方程是（）A．2x＝4B．2﹣＝5C．2x﹣y＝6D．2x﹣y＝7【分析】利用一元一次方程的定义进行解答即可．【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意；B、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意；C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．6．（2021春•内江期末）关于x的方程﹣x＝+1变形正确的是（）A．﹣x＝+1B．﹣x＝+1C．﹣10x＝+100D．﹣100x＝+100【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．【解答】解：﹣x＝+1，＝即，故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2021春•杨浦区期中）已知x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，则k＝2．【分析】根据方程解的概念，将x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，求k的值即可．【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，∴把x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，∴k＝2，故答案为2．【点评】本题考查了方程解的概念，将为指数的值代入即可得出关于k的方程．8．（2021春•浦东新区期末）已知5x m﹣2﹣y2n+5＝0是关于x、y的二元一次方程，则m﹣n＝5．【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得m﹣2＝1，2n+5＝1，解出m、n的值可得答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝1，2n+5＝1，解得：m＝3，n＝﹣2，m﹣n＝3﹣（﹣2）＝5，故答案为：5．【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．9．（2021春•奉贤区期末）若是方程kx﹣3y＝1的一个解，则k＝﹣5．【分析】根据方程的解的定义，将代入方程kx﹣3y＝1，可得﹣2k﹣9＝1，故k＝﹣5．【解答】解：由题意得：﹣2k﹣3×3＝1．∴k＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题属于简单题，主要考查方程的解的定义，即使得方程成立成立的未知数的值．10．（2021春•松江区期末）某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元．（注：不计利息税）若设小明爸爸存入银行的本金是x元，则根据题意可列方程为（1+2.25%）x＝10225．【分析】直接利用本金×（1+年利率）＝本利和，即可得出等式．【解答】解：设小明爸爸存入银行的本金是x元，则根据题意可列方程为：（1+2.25%）x＝10225．故答案为：（1+2.25%）x＝10225．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确掌握利率求法是解题关键．11．（2021春•宝山区期末）将15（x﹣1）＝1﹣2（x﹣3）去括号后，方程转化为3x﹣15＝1﹣2x+6．【分析】根据去括号法则进行计算求解．【解答】解：原方程去括号，得：3x﹣15＝1﹣2x+6．故答案为：3x﹣15＝1﹣2x+6．【点评】本题考查解一元一次方程，掌握去括号法则是解题关键．12．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x+y＝8的正整数解是或．【分析】先整理二元一次方程，根据方程的解为正整数，可用试验的办法确定解的对数．【解答】解：3x+y＝8，x＝，由题意y、x为大于0的正整数，∴当y＝2时，x＝2；当y＝5时，x＝1；故答案为：或．【点评】本题考查了二元一次方程的定义．理解并运用方程的解为正整数，是解决本题的关键．13．（2021•奉贤区三模）使得的值不大于1的x的取值范围是x≤6．【分析】由题意可知：x﹣1的值不大于1，即x﹣1≤1，则列出不等式即可解得x的取值．【解答】解：∵代数式x﹣1的值不大于1，即x﹣1≤1，移项得x≤2，两边同乘3可得x≤6，所以，x的取值范围为x≤6．故答案为：x≤6．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．14．（2021春•张店区期末）已知方程组，则x+2y＝﹣1．【分析】用第一个方程减去第二个方程即可求解．【解答】解：，①﹣②，得x+2y＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．15．（2021春•浦东新区校级期中）当a＝﹣1时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．【解答】解：∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程，∴，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．16．（2021春•松江区期中）用换元法解方程组，如果设＝u，＝v，那么原方程组可化为关于u，v的方程组是．【分析】设＝u，＝v，则，，，从而得出关于u、v的二元一次方程组．【解答】解：设＝u，＝v，原方程组变为．故答案为：．【点评】本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数．17．（2021•平谷区一模）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为．【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2021春•普陀区期中）“a的2倍减去3的差是一个非负数”用不等式表示为2a﹣3≥0．【分析】根据“a的2倍”即2a，再减去3，结合差是非负数，即大于等于零，得出答案．【解答】解：由题意可得：2a﹣3≥0．故答案为：2a﹣3≥0．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确掌握非负数的定义是解题关键．三．解答题（共8小题）19．（2021春•奉贤区期中）解方程：．【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．【解答】解：，去分母，得2（2x+3）＝10﹣5（x﹣4），去括号，得4x+6＝10﹣5x+20，移项，得4x+5x＝10+20﹣6，合并同类项，得9x＝24，系数化为1，得．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．20．（2020秋•杨浦区校级期中）解方程：x﹣1＝1×2．【分析】方程移项，系数化为1即可．【解答】解：x﹣1＝1×2，移项，得x＝1×2+，即，合并同类项，得，系数化为1，得．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母，再去括号，最后移项、合并同类项，化系数为1．21．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．【分析】先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．【解答】解：①﹣②×2，得y＝0，把y＝0代入①得x＝1，所以，原方程组的解是．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．22．（2019春•松江区期中）求不等式4（x﹣1）﹣≥﹣14的负整数解．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．【解答】解：4（x﹣1）﹣≥﹣14，去分母，得8（x﹣1）﹣（2x+5）≥﹣28，去括号，得8x﹣8﹣2x﹣5≥﹣28，移项、合并同类项得6x≥﹣15，系数化为1，得x≥﹣2.5，所以不等式的负整数解是﹣2，﹣1．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．23．（2020春•普陀区期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可．【解答】解：解不等式5x＞x﹣10，得：x＞﹣2.5，解不等式3﹣x≥，得：x≤3，所以不等式组的解集是﹣2.5＜x≤3，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．24．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组．【分析】先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题．【解答】解：，①+③，得5x+5y＝5④，②×5+④，得15x＝﹣30，解得x＝﹣2，将x＝﹣2代入②，得y＝3，将x＝﹣2，y＝3代入①，得z＝4．故原方程组的解是．【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．25．（2021春•奉贤区期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？【分析】这是一道人数分配问题，总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可．【解答】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133﹣x），由题意得：（192﹣x）：[133﹣（133﹣x）]＝2：1，即（192﹣x）：x＝2：1，解得：x＝64，∴133﹣64＝69（人）．答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．【点评】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解．26．（2020春•嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？【分析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x+220x＝400，解得：x＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y﹣220y＝100，解得：y＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z﹣220z+20＝100，解得：z＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．。

不等式(组)的知识点

不等式与不等式组知识点总结一、知识导航图二、课标要求一元一次不等式(组)的应用一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念不等式的性质一元一次不等式和一元一次不等式组三、知识梳理考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

考点二、不等式基本性质（3～5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321≤---x x 解不等式：解：去分母,得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1，得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

沪教版数学六年级(下)第六章一次方程(组)和一次不等式

数学六年级（下）第六章一次方程（组）和一次不等式（组）6.11一次方程组的应用（1）一、填空题1. 一个三位数，个位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数可表示为。

2. 两个数的和是17，差为-9，这两个数分别是。

3. 鸡兔同笼，同有头40个，脚96只，则笼中鸡有只，兔有只。

4、两数之差为9，又知此两数各扩大3倍后的和为51，则这样的两个数分别为________.5、武炜购买8分与10分邮票共16枚，花了一元四角六分，购买8分和10分的邮票的枚数分别为_________.6、在1996年全国足球甲级A 组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场.7、某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套. 8、已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，154小时相遇.如果甲比乙先走32小时，那么在乙出发后23小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米和y 千米，则x =________,y =________.9、一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的新的两位数比原来的两位数大9。

设个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，根据题意列方程组是 .10、某彩电原价1998元,若价格上涨x%,那么彩电的新价格是________元,若价格下降y%,那么彩电的新价格是____________元.11、一个两位数,若个位上数字为x,十位上的数字比个位数字的3倍多1,则这个两位数为____________。

12. 汽车从A 地到B 地，如果每小时行驶50千米就要迟到半小时，如果每小时行驶60千米就要提前半小时到达，则A 、B 相距千米。

2023年上海六年级第二学期数学知识点

上海六年级第二学期数学知识点
第五章：有理数
第一节：有理数
有理数：整数+分数（有限小数，无限循环小数）
数轴和绝对值
第二节：有理数旳运算
乘方：求几种相似因数旳积旳运算
幂：乘方旳成果
有理数混合运算旳次序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；假如有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。

科学计数法：把一种数写成ax10n（其中1《|a|<10,n是正整数）
第六章：一次方程（组）和一次不等式（组）
第一节：方程与方程旳解
第二节：一元一次方程
本利和=本金+利息
税后本利和=本金+税后利息
第三节：一元一次不等式（组）
不等式旳性质：（1）不等式旳两边同步加上或减去同一种数或同一种具有字母旳式子，不等号旳方向不变。

（2）不等式旳两边同步乘以或除以同一种正数，不等号旳方向不变。

(3)不等式旳两边同步乘以或除以同一种负数，不等式旳方向变化。

第四节：一次方程组
解一次方程组旳措施：代入消元法和加减消元法
第七章：线段与角旳画法
第一节：线段旳相等与和，差，倍
第二节：角
第八章：长方体旳再认识
第一节：长方体旳元素
第二节：长方体直观图旳画法
第三节：长方体中棱与棱关系旳认识
第四节：长方体中楞与平面位置关系旳认识第五节：长方体中平面与平面位置关系旳认识。

2022年沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)练习题(含详解)

第六章一次方程（组）和一次不等式（组）必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程（）A ．4−2x =6xB ．2+4x =6xC ．2+6x =4xD ．4+2x =6x2、方程()5218x x --=去括号变形正确的是（）A ．5218x x -+=B ．5218x x --=C ．5228x x -+=D ．5228x x --=3、根据等式的性质，下列变形正确的是（）A ．如果ac bc =，那么a b =B ．如果63a =，那么2a =C ．如果123a a -=，那么321a a +=D ．如果2a b =，那么2a b =4、不等式4x -8≤0的解集是（）A ．x ≥-2B ．x ≤-2C ．x ≥2D ．x ≤2 5、若关于x 的方程3x ﹣a ＝﹣7+x 的解是x ＝﹣2，则a 的值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．36、下列方程中是一元一次方程的是（）A ．xy ﹣2＝9B ．2y ﹣1＝6C ．x +2y ＝3D ．x 2﹣2x +1＝07、下列方程变形中，正确的（）A ．方程3221x x -=+，移项得3212x x -=-B ．方程()3251x x -=--，去括号得3251x x -=--C ．方程2332t =，系数化为1得1t = D ．方程1125x x --=，去分母得()51210x x --= 8、一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，设完成此项工程需x 天，由题意得方程（）A ．1106x x +=B ．331106x x +-+=C ．31106x x -+=D ．31106x x -+= 9、下列解方程的过程中，移项错误．．的是（）A ．方程263x +=-变形为236x =-+B ．方程263x -=-变形为236x =-+C ．方程34x x =-变形为34x x +=D ．方程43x x +=变形为34x x -=10、一个两位数，若交换其个位数字与十位数字的位置，则所得的两位数比原来的两位数大9，这样的两位数共有（）个A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若987a b c +=+=+，则222()()()a b b c c a -+---=__________．2、为了大力弘扬航天精神，科学普及航天知识，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦九天”的知识竞赛．假设共16道题，评分标准如下：答对1题加3分，答错1题扣1分，不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为28分，则小明答对了______道题．3、已知关于x 的方程215x m +=的解是1x =，则m =__________．4、不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩，写出其整数解的和_____． 5、若21x y =⎧⎨=-⎩是方程x +ay ＝3的一个解，则a 的值为 ______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某商店出售两种规格口罩，2大盒、4小盒共装80个口罩；3大盒、5小盒共装110个口罩，大盒与小盒每盒各装多少个口罩？2、解方程：（1）37322x x +=-；（2）23(20)0x x --=；（3）352123x x +-=；（4）5415323412y y y+--+=-．3、解下列方程：（1）25303x x+=-；（2）3421 23y y+-=．4、已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点．给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M—N的亲和距离；记作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）＝1根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x＋1，点O为原点，（1）当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝；（2）如果d（原点O，线段DE）＝3，那么x=；（3）数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y＋4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出x y-的值．5、解方程：x（x﹣3）＝x﹣3-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据正方形边长相等的性质列方程即可．【详解】解：由题意得4+2x =6x ，故选：D ．【点睛】此题考查了列一元一次方程，正确掌握正方形的边长相等的性质是解题的关键．2、C【分析】由去括号法则可得结果．【详解】解：()5218x x --=，去括号得：5228x x -+=，故选：C ．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去括号法则是解题的关键．3、C【分析】根据等式的性质逐项判断即可．【详解】解：A. 如果ac bc =，那么a b =，当c =0时，不正确，不符合题意；B. 如果63a =，那么12a =，原选项不正确，不符合题意； C. 如果123a a -=，那么321a a +=，原选项正确，符合题意；D. 如果2a b =，那么2b a =，原选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是熟记等式的性质，注意：等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立．4、D【分析】根据题意先移项，再把x 的系数化为1即可得出答案．【详解】解：不等式4x -8≤0，移项得，4x ≤8，把x 的系数化为1得，x ≤2．故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．5、D【分析】把x ＝﹣2，代入原方程，再解方程求出a 的值即可．【详解】解：把x ＝﹣2，代入原方程得，-6﹣a ＝﹣7-2，解得，a ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解方程，解题关键是明确方程解的意义，代入后正确解方程．6、B【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，对各选项一一进行分析即可．【详解】解：A ．xy ﹣2＝9是二元二次方程，不符合一元一次方程的定义，故选项A 项错误，B ．2y ﹣1＝6，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项B 项正确，C ．x +2y ＝3是二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，故选项C 项错误，D ．x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，故选项D 项错误，故选B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．7、D【分析】根据解方程的步骤逐项排查即可解答．【详解】解：A ．方程3221x x -=+，移项，得3212x x -=+，故A 选项错误；B ．方程()3251x x -=--，去括号，得325+5-=-x x ，故B 选项错误；C ．方程2332t =，系数化为1，得94t =，故C 选项错误； D ．方程1125x x --=，去分母得()51210x x --=，故D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．8、C【详解】解：设完成此项工程需x 天，甲先做3天完成3,10 再合做()3x -天，完成33,106x x 由题意得方程：31106x x -+= 故选C【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.9、A【分析】根据移项要变号逐项分析判断即可．【详解】A. 方程263x +=-变形为236x =--，故该选项不正确，符合题意；B. 方程263x -=-变形为236x =-+，故该选项正确，不符合题意；C. 方程34x x =-变形为34x x +=，故该选项正确，不符合题意；D. 方程43x x +=变形为34x x -=，故该选项正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握移项要变号是解题的关键．10、C【分析】先设原数十位数字为a ，个位数字为b ，则原来的两位数为10a +b ，交换其个位数字与十位数字的位置所得的数为10b +a ，然后根据题意列式求得b -a ，最后根据.a 、b 均为大于0且小于10的整数即可解答.【详解】解：设原数十位数字为a ，个位数字为b ，由题意得：10b +a -（10a +b ）=9，解得b -a =1，∵a 、b 均为大于0且小于10的整数，∴当b =9、8、7、6、5、4、3、2时，a =8、7、6、5、4、3、2、1，∴这样的两位数共有8个.故选C.【点睛】本题主要考查了方程的简单应用，根据题意列出方程确定b -a 的值、再根据a 、b 的取值范围求解是解答本题的关键.二、填空题1、-2【分析】根据给出的等式，求出()()()a b b c c a ---、、的值，代入计算即可．【详解】解：由98a b +=+得，1a b -=-；由78c b +=+得，1b c -=-；由97a c +=+得，2c a -=；222222()()()(1)(1)22a b b c c a -+---=-+--=-；故答案为：-2．【点睛】本题考查了等式的性质和有理数的计算，解题关键是根据等式的性质得出()()()a b b c c a ---、、的值． 2、10【分析】根据总分=答对题数×3-答错题数×1+不答题数×0，设答对的题数为x 道，答错的题数为y 道，可列出方程组，求出解．【详解】解：设答对题数为x 道，答错的题数为y 道，则不答的题数为（y +2）道．由题意得：216328x y y x y +++=⎧⎨-=⎩，解得：102x y =⎧⎨=⎩， ∴答对了10道题，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3、7【分析】把1x =代入原方程，再解方程即可．【详解】解：把1x =代入215x m +=得，1215m +=，解得，7m =故答案为：7．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，熟练地解方程． 4、0【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解，最后相加即可．【详解】解：3561162x x x x <+⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解不等式①，得3x >-；解不等式②，得2x ≤．∴不等式组的解集为32x -<≤，∴不等式组的整数解分别为-2、-1、0、1、2，∴不等式组的整数解的和为：210120--+++=．故答案为：0．【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组中每一个不等式的解集是解答本题的关键．5、1-【分析】将2,1x y ==-代入方程可得一个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将2,1x y ==-代入3x ay +=得：23a -=，解得1a =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的定义（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．三、解答题1、大盒每盒装20个口罩，小盒每盒装10个口罩．【分析】设大盒每盒装x 个口罩，小盒每盒装y 个口罩，根据“2大盒、4小盒共装80个口罩；3大盒、5小盒共装110个口罩”建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设大盒每盒装x 个口罩，小盒每盒装y 个口罩，由题意得：248035110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2010x y =⎧⎨=⎩，符合题意，答：大盒每盒装20个口罩，小盒每盒装10个口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．2、（1）x=5；（2）x=12；（3）175x=-；（4）12y=．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【详解】解：（1）3x＋7=32-2x，移项，得：3x＋2x=32-7，合并同类项，得：5x=25，系数化为1，得：x=5；（2）去括号得：2x-60＋3x=0，移项合并得：5x=60，解得：x=12；（3）去分母得：3（3x＋5）=2（2x-1），去括号得：9x＋15=4x-2，移项合并得：5x=-17，解得：175x=-．（4）去分母得：4（5y＋4）＋3（y-1）=24-（5y-3），去括号得：20y＋16＋3y-3=24-5y＋3，移项合并得：28y=14，解得：12y=．【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．3、（1）x=5；（2）y=145．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可，（1）解：（1）25303x x+=-，23305x x+=-，525x=，x=5；（2）（2）3421 23y y+-=，()() 334221y y+=-，91242y y+=-，94212y y-=--，514y=-，y =145，【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的解法，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解法． 4、（1）1（2）3或-4（3）3-或6【分析】（1）根据当x =1时，点D 表示的数是1，点E 表示的数是x +1=2,点O 到线段DE 的最短距离为OD =1即可；（2）根据d （原点O ，线段DE ）＝3，可得OD =3或OE =3，分类考虑当OD =3时，点D 在点O 的右侧，可得x -0=3，当OE =3时，点E 在点O 的左侧，0-（x +1）=3，解方程即可；（3）线段DE 与FG 的位置有两种，DE 在FG 的左侧，或DE 在FG 的右侧，当DE 在FG 的左侧时，d （线段DE ，线段FG ）＝2，即EF =2，利用两点距离公式得出()12y x -+=，当DE 在FG 的右侧时，d （线段DE ，线段FG ）＝2，即GD =2，根据两点距离公式得出()42x y -+=即可．（1）解：当x =1时，点D 表示的数是1，点E 表示的数是x +1=2,∴点O 到线段DE 的最短距离为1，d （原点O ，线段DE ）=1；故答案为1；（2）解：∵d （原点O ，线段DE ）＝3，∴OD =3或OE =3当OD =3时，x -0=3，x =3，当OE =3时，0-（x +1）=3∴x =-4，故答案为-4或3；（3）解：线段DE 与FG 的位置有两种，DE 在FG 的左侧，或DE 在FG 的右侧，当DE 在FG 的左侧时，∵d （线段DE ，线段FG ）＝2，即EF =2，∴()12y x -+=，∴3y x -=，∴3x y -=-；当DE 在FG 的右侧时，∵d （线段DE ，线段FG ）＝2，即GD =2，∴()42x y -+=，∴6-=x y ，∴d （线段DE ，线段FG ）＝2，x y -=-3或6．【点睛】本题考查新定义图形的距离，数轴上表示数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类思想的应用等，掌握相关知识是解题关键．5、x1=3，x2=1【分析】首先将（x-3）看作整体，进而移项提取公因式利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：x（x-3）=x-3x（x-3）-（x-3）=0，（x-3）（x-1）=0，解得：x1=3，x2=1．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确因式分解是解题关键．。

六年级数学(沪教版)第二学期教材梳理

六年级第二学期课本熟悉程度总括：本册书包括四个章节，其中第五、第六章节为本册书的重难点，而第七、八章节是了解、理解性的知识，是学习后面知识的一个认知基础。

第五章为有理数，因此作为本书的重点。

首先要知道那些是有理数，有理数包括哪些部分并且掌握有理数的四则运算（加、减、乘、除），最后要明白何为科学记数法，怎样将一个数表示成科学记数法。

第六章为一次方程（组）和一次不等式（组），是本书的重点同时也是一个难点。

因此我们要了解何为一次方程（组），怎么样解一次方程（组），而更重要的是一次方程（组）的应用，将实际的问题转化为一次方程（组）进而求解，这对于学生来说是难点。

作为平行的学习，可将一次不等式（组）与一次方程（组）类似的学习，明白一次不等式（组）是将一次方程（组）中的等号改成不等号，并且解一次不等式（组）常与数轴联系起来，这样更直观。

一次不等式（组）是我们中考中必考的考点因此要适当的强化学习。

第七、八章是线段与角的画法及长方体的再认识，此部分知识点是认识、了解、理解性知识，了解角，线段，余角，补角及其画法并且知道长方体及长方体上的棱与棱、棱与平面及平面与平面之间的关系以及长方体的画法。

第五章有理数有理数包括整数和分数，而整数又包括正整数和负整数，分数又包括正分数和负分数。

数轴：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称两个数互为相反数，注意：0的相反数是0.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

如4-的绝对值为4（距离，0≥x ）。

数轴上的点从左到右依次增大，正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

有理数加法的运算率:a b b a +=+（交换律），)()(c b a c b a ++=++（结合律）。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数（)(b a b a -+=-），两数相乘的符号法则：正正得正，负正（正负）得负，负负得正有理数乘法法则;两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零。

沪教版六年级第二学期课本预习资料

沪教版六年级第二学期课本预习资料总括：本册书包括四个章节，其中第五、第六章节为本册书的重难点，而第七、八章节是了解、理解性的知识，是学习后面知识的一个认知基础。

第五章为有理数，因此作为本书的重点。

第六章为一次方程（组）和一次不等式（组），是本书的重点同时也是一个难点。

一次不等式（组）是我们中考中必考的考点因此要适当的强化学习。

第五章有理数有理数包括整数和分数，而整数又包括正整数和负整数，分数又包括正分数和负分数。

数轴：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称两个数互为相反数，注意：0 的相反数是0.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

如-4的绝对值为4（距离，x≥0）。

数轴上的点从左到右依次增大，正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

有理数加法的运算率:a+b=b+a（交换律），(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数（a-b=a+(-b)），两数相乘的符号法则：正正得正，负正（正负）得负，负负得正有理数乘法法则;两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零。

六下第六章 一次方程(组)和一次不等式(组)知识点

沪教版六年级下学期数学各 章知识点梳理

一元一次方程及其解法(第2课时)(课件)六年级数学下册(沪教版)

6.11 一次方程组的应用(1)&(2)

6.4 一元一次方程的应用(3)

6.7 一元一次不等式组

6.5 不等式及其性质

三元一次方程组及其解法(课件)六年级数学下册(沪教版)

第2讲 方程（组）与不等式（组）

六年级数学下册教材梳理沪教版五四制(最新整理)

一元一次方程知识点总结和例题讲解

沪教版六下数学第8讲：一次方程(组)和一次不等式(组)章节复习-教师版

一元一次方程及其解法(第1课时)(课件)六年级数学下册(沪教版)

2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第6章一次方程(组)和一次不等式(单元基础卷)带讲解

不等式(组)的知识点

沪教版数学六年级(下)第六章一次方程(组)和一次不等式

2023年上海六年级第二学期数学知识点

2022年沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)练习题(含详解)

六年级数学(沪教版)第二学期教材梳理

沪教版六年级第二学期课本预习资料

最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编

六下第六章一次方程(组)和一次不等式(组)知识点

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第2讲方程（组）与不等式（组）

2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练第6章一次方程(组)和一次不等式(单元基础卷)带讲解