重叠问题

重叠问题

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴

影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”

进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：

知识点拨

1．先包含——A B +

重叠部分A

B 计算了2次，多加了1次；

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

模块一：两量重叠问题

【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有

多长？

【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有

多长？

例题精讲

例题1 1

两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？

图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，

1．先包含：A B C ++

重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，

多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---

【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画

画的分别有多少人？

【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老

师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每

个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？

【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有

7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛

例题3 3

例题2 2

实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一

种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？

都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？

【巩固】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，

两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？

【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这

个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加

了．一班有多少人两项比赛都没有参加？

【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人

有错，问两部分都有错的有多少人？

例题4 4

（第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄

语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？

【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会

的有9人．这个班一共有多少人？

【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？

【巩固】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

例题8 8

例题6 6

例题5

5

在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？