数学史概论 第五讲.

• 卡尔丹：《大术》(或《大法》1545年)
三次方程 x3 = px + q (p , q > 0 ) 的解法： 实质是考虑恒等式：(ab)3 + 3ab(ab) = a3b3 若选取 a 和b，使 3ab= p，a3b3 = q， 由（*）不难解出a 和b，
（* ）
q q p 3 a 2 2 3
• 韦达：《分析引论》(1591) 第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音 字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号 性代数称作“类的算术”.同时规定了算术与代数 的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算 术运算施行于具体的数.使代数成为研究一般类型 的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛. 韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都 是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加.
二、向近代数学的过渡
1 代数学
1.1 三、四次方程求解：
• 费罗(S. Ferro, 1465~1526)： 发现形如
的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他 的学生费奥 • 塔塔利亚:宣称可以解形如
的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹
《论数字与度量》（1556－1560）：数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一
卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程， 给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四 次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“ 不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现 的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于 x2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x 项的系数，等等 • 1572年,意大利数学家邦贝利在其所著教科书《代 代数》中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示 -11。
2
3
b3
q q p 2 2 3
2
3
对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。
•
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费拉里(L. Ferrari,1522~1565)：四次方程求解
其解法是利用一个变换： 将一般四次方程 简化为
b 4a ax4 bx3 cx2 dx e 0 x y
再选择适当的 z ，使上式右边成为完全平方式，实际上使
4( p 2z)( p 2 r 2 pz z 2 ) q 2 0
即可。这样就变为z的三次方程。
费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种
x 4 ax3 bx2 c x 4 ax2 bx c
x 4 ax3 b x 4 ax b
• 兔子问题： 有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了 一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可 以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小 兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁 殖成多少对？ • 斐波纳契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233
2
3
q q p 3 b 2 2 3
2
3
于是得到 a b 就是所求的 x . 后人称之为卡尔丹公式。
卡尔丹还对形如 x3 = px + q (p , q > 0 )的方程给出了解的公式： x = a +b
其中
a3
q q p 2 2 3
•
数学著作的翻译：
阿德拉特：《几何原本》、花拉子米 天文表； 普拉托：巴塔尼《天文学》、狄奥多 修斯《球面几何》以及其它著作 罗伯特：花拉子米《代数学》等 杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译 成拉丁文.包括《大汇编》,《原 本》,《圆锥曲线论》,《圆的度 量》等
• 斐波那契：
《算盘书》(Abaci, 1202) 印度-阿拉伯数码，分数算法，开方 法，二次和三次方程，不定方程， 以及《几何原本》和希腊三角学的 大部分内容
第 5讲. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
一、 中世纪的欧洲
二、 向近代数学的过渡 三、 解析几何的诞生
一、中世纪的欧洲
• 大约在公元500年左右才开始出现新文化 • 公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期 出现一些水平低下的算术和几何教材： 博埃齐：选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》仅包含《原 本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测 量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的 著作编写的。 • 比德(V.Bede,674~735)、热尔拜尔(Gerbert,约950~1003)等人也讨论过 数 学. 前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。 • 直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、 传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。 • 文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉. • 古代学术传播西欧的路线如图5.1所示
(这总可以做到 y 4 py2 qy r 0 )
由此进一步得到
y 4 2 py2 p 2 py2 qy r p 2
于是，对于任意的z，有
( y 2 p z)2 py2 qy p 2 r 2z( y 2 p) z 2 ( p 2z) y 2 qy ( p 2 r 2 pz z 2 )
• 牛顿在其《普遍的算术》中证明复根成对出现
• 荷兰人吉拉德《代数新发现》(1629) 作进一步的推断：对于n次多项式方 程，如果把不可能的(复数根)考虑在内，并包括重根，则应有n 个根。 • 根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。
* 法国代数学： • 韦达：《分析方法入门》(1591)、《论方程的整理与修正》(1615)、《有效 的数值解法》(1600)等方程论著作 给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。 • 笛卡儿：1637年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求 解.《几何学》中提出因式分解定理：f (x) 能为 (x-a) 整除,当且仅当a 是 f (x) = 0的一个根;未加证明叙述了n次多项式方程应有 n个根的论断, 以 及 “笛卡儿符号法则”:多项式方程f (x) = 0 的正根的最多个数等于系 数 变 号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数. 1.2 符号代数的引入