最优化方法概述
最优化理论论文
列车运行调整的优化问题最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
本文主要论述最优化理论在列车运行调整中的应用。
1、列车运行调整的概述列车自动调整的主要任务是当列车运行受到干扰时通过适当地调整列车的运行计划，使列车群的运行尽快恢复到计划运行图上。
因而列车自动调整过程是一个不断对列车运行图进行局部调整以消除干扰的优化过程，列车运行图既是列车自动调整的依据，同时也是列车自动调整的目标。
列车运行调整即是当列车运行实际状态偏离预定值，造成列车运行紊乱时，通过重新规划列车运行时刻表，尽可能恢复列车有秩序运行状态的过程。
列车的运行过程可以分解为车站作业(发车、到达、通过)和区间运行。
通常列车群在区间的运行用区间运行时分描述即可，在区间对列车进行调整的常用手段就是压缩区间运行时分，而区间运行时分这一信息只影响列车在下一站的到达时分，可归结到车站去处理。
因此列车自动调整的重点是控制列车在车站的作业情况，即在城市交通列车群的相对确定的次序条件下，在多个约束条件下如何合理确定列车在各站的到点、发点。
1.1 列车运行调整本身具有的特点：●约束条件众多。
它要满足列车与列车，列车与车站，计划列车时刻表等来自多方面的约束，这其中包括了最小停站时间，最短追踪间隔，最短运行时间等等；●优化指标众多。
在传统的运行调整问题的研究中常用到的优化指标有总到达时间晚点最小，总晚点列车数目最少等；●动态性、实时性，复杂性。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化理论与方法概述
分类：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等
特点：多目标、多约束、多变量、非线性等
应用领域：经济、金融、工程、科学计算等
最优化问题的分类
线性规划问题
整数规划问题
动态规划问题
非线性规划问题
组合优化问题
03
最优化理论的基本概念
函数的方向导数和梯度
牛顿法的基本原理
迭代过程收敛于函数的极小值点或鞍点
牛顿法适用于非线性、非凸函数的最优化问题
牛顿法是一种基于牛顿第二定律的数值优化方法
通过选择一个初始点，并迭代地沿着函数的负梯度方向进行搜索
拟牛顿法的基本原理
拟牛顿法的基本思想
拟牛顿法的迭代过程
拟牛顿法的收敛性分析
拟牛顿法的优缺点比较
05
最优化方法的收敛性和收敛速度
未来发展趋势与展望
最优化方法在深度学习中的应用
最优化方法在深度学习中的未来发展
最优化方法在深度学习中的优势与挑战
最优化方法在深度学习中的应用案例
深度学习中的优化问题
最优化方法在金融工程中的应用
投资组合优化：利用最优化方法确定最优投资组合，降低风险并提高收益
风险管理：通过最优化方法对金融风险进行识别、评估和控制，降低损失
极值点：函数在某点的函数值比其邻域内其他点的函数值都小或都大
最优值点：函数在某点的函数值比其定义域内其他点的函数值都小
最优化理论的基本概念：寻找函数的极值点和最优值点，使函数达到最小或最大值
函数的凸性和凹性
凸函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的下方
凹函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的上方
最优化方法信赖域方法
最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。
它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。
信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。
（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。
（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。
由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。
（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。
三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。
3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。
最优化方法
一、 课程介绍 1.课程描述：
最优化方法是近几十年发展和形成的一门新兴的应用学科。它利用数学、计算机 科学以及其它科学的新成果研究各种系统和实际问题的优化设计，控制和管理的途径 以及策略，为决策者和管理者提供科学决策的理论依据和实际操作手段与方法，是集 理论性与应用性为一体的学科，在生产管理和工程技术等许多领域中有广泛的应用前 景。本课程为运筹学课程的后续进阶课程，针对高年级数学类专业学生开设，侧重非 线性最优化问题的理论和方法，包括最优化方法的若干基本内容：无约束最优化方法 （最速下降法和 Newton 类方法）、共轭梯度方法、非线性最小二乘问题及数值解法、 约束最优化问题的数值解法等。通过课程学习，要求学生掌握最优化的基本理论和方 法，能够利用这些理论方法并借助计算机软件对实际问题进行建模、分析和求解，进 而提升对应用数学的理解，培养应用数学知识解决实际问题的能力。 2.设计思路：
学基础等 并行课程：泛函分析；微分方程数值解法等 后置课程：《计算复杂性理论》、《时间序列分析》、《现代数值方法选讲》等。 二、课程目标
本课程目标是为数学类专业高年级学生提供最优化理论和算法的基本知识框架和 主流成果，使学生了解学科发展的历程和前沿研究动态，同时引导并培养学生用数学 语言和数学思维来描述和解决实际问题的能力，增强沟通能力和团队合作意识。课程 结束时，学生应能： （1）理解和掌握最优化方法的基本理论，常用算法的构造思想和途径，并能针对简单 问题给出这些算法的计算步骤和结果。 （2）提高数学理论分析能力，理解并掌握本课程中较常采用的数学思想和技巧，并且
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
最优化方法 Optimization Methods
课程属性 专业知识
课程代码 075103301333
最优化方法牛顿法失效的例子
最优化方法牛顿法失效的例子摘要：一、引言二、牛顿法概述三、牛顿法失效的原因四、牛顿法失效的例子五、总结与建议正文：一、引言牛顿法作为一种最优化方法，以其高效、简洁的特性在众多领域得到了广泛应用。
然而，在实际问题中，我们经常会遇到牛顿法失效的情况。
这种现象的发生往往导致求解过程的失败，从而影响到整个优化问题的解决。
因此，了解牛顿法失效的原因及具体例子，对于优化问题的求解具有重要意义。
二、牛顿法概述牛顿法是一种基于迭代的思想，通过构建目标函数的二阶泰勒展开式，求解最优解的方法。
其迭代公式为：x_{k+1} = x_k - α_k * (f"(x_k) - β_k * f""(x_k))其中，f(x) 为待求解的最优化问题，f"(x) 和f""(x) 分别表示目标函数的一阶导数和二阶导数，α_k 和β_k 为迭代步长。
三、牛顿法失效的原因1.目标函数的性质：牛顿法适用于凸函数和光滑函数的优化问题。
当目标函数存在多个局部最优解或非凸时，牛顿法可能无法收敛，甚至陷入局部最优解。
2.迭代步长的选择：牛顿法的收敛性与迭代步长的选择密切相关。
若步长选取过大或过小，可能导致迭代过程的发散或收敛速度过慢。
3.初始值的选取：牛顿法的收敛性与初始值的选择有关。
不同的初始值可能导致不同的收敛结果，甚至有的初始值会使牛顿法失效。
四、牛顿法失效的例子1.二维平面上的曲线的优化问题：考虑如下二维平面上的曲线优化问题：min_{x,y} f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2在二维平面上，该曲线为椭圆。
此时，牛顿法可能无法收敛，因为椭圆内部存在多个局部最优解。
2.非线性方程组的求解：考虑如下非线性方程组：f(x,y) = x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0使用牛顿法求解该方程组时，由于方程组非线性，牛顿法可能失效。
五、总结与建议1.在实际应用中，要充分了解问题的性质，判断是否适用于牛顿法求解。
数学建模的最优化方法
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
x1, x2 0
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8]; [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
《最优化方法》最优化方法概述
2019/7/30
最优化方法
6
学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、
线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。
向量函数、连续性、可微性、 梯度、向量函数（多元函数）的Taylor定理
2019/7/30
最优化方法
7
课程基本内容
线性规划 无约束最优化方法 约束最优化方法 多目标最优化方法
线性规划模型的特征：
max z=5x1+2x2
30x1 20x2 160 s.t.5xx1 14x2 15
x1 0, x2 0
•（1）用一组决策变量x1，x2，…, xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。
•（2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。
2019/7/30
最优化方法
8
学习要求及考评
掌握主要的优化模型的数学计算方法，可以 应用数学软件解决最优化问题。
考评： 大作业（作业+小论文）
2019/7/30
最优化方法
9
参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及MATLAB的实现》，
2019/7/30
最优化方法
3
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英， 美等国盟军在与德国的战争中遇到了许多错综 复杂的战略和战术问题难以解决，比如 防空雷达的布置问题 护航舰队的编队问题
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐 批召集不同专业背景的科学家，在三军组织了 各种研究小组，研究的问题都是军事性质的， 这些研究小组运用系统优化的思想，应用数学 技术分析军事问题，取得了非常理想的效果。
最优化方法 信赖域算法
算法概述
二 三 四
信 赖 域 算 法
算法思想 算法流程 算法收敛性
五
子模型求解
一、方法概述
信赖域算法概述
线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简 单的一维寻优问题。方法的核心思想是先寻找“理想” 的下降方向，然后在确定的方向上确定长度。
信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局 部寻优问题。方法能够对局部的所有方向进行“搜索”， 进而同时确定“局部最好”的前进方向及长度。
k . sk ,
定义比值：
给定信赖域方法模型子问题的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数
qk s 与目标函数 f x 的一致性程度。
二、算法思想
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
三、算法流程
信赖域方法流程 步骤1: 给出
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
g k , 停止． 求解子问题得到 sk .
如果
T k
步骤2: 步骤3:
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
s.t
s k
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
四、算法流程
步骤5: 校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s )与目标函数 f ( x )
Python最优化算法实战学习笔记
Python最优化算法实战第一章最优化算法概述1.1最优化算法简介最优化算法,即最优计算方法,也是运筹学。
涵盖线性规划、非线性规划、整数规划、组合规划、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、仓储库存论、物流论、博弈论、搜索论和模拟等分支。
当前最优化算法的应用领域如下。
(1)市场销售:多应用在广告预算和媒体的选择、竞争性定价、新产品开发、销售计划的编制等方面。
如美国杜邦公司在20世纪50年代起就非常重视对广告、产品定价和新产品引入的算法研究。
(2)生产计划:从总体确定生产、储存和劳动力的配合等计划以适应变动的需求计划,主要采用线性规划和仿真方法等。
此外,还可用于日程表的编排,以及合理下料、配料、物料管理等方面。
(3)库存管理:存货模型将库存理论与物料管理信息系统相结合,主要应用于多种物料库存量的管理,确定某些设备的能力或容量,如工厂库存量、仓库容量,新增发电装机容量、计算机的主存储器容量、合理的水库容量等。
(4)运输问题:涉及空运、水运、陆路运输,以及铁路运输、管道运输和厂内运输等,包括班次调度计划及人员服务时间安排等问题。
(5)财政和会计:涉及预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理、现金管理等,采用的方法包括统计分析、数学规划、决策分析,以及盈亏点分析和价值分析等。
(6)人事管理:主要涉及以下6个方面。
①人员的获得和需求估计。
②人才的开发,即进行教育和培训。
③人员的分配，主要是各种指派问题。
④各类人员的合理利用问题。
⑤人才的评价，主要是测定个人对组织及社会的贡献。
⑥人员的薪资和津贴的确定。
(7)设备维修、更新可靠度及项目选择和评价:如电力系统的可靠度分析、核能电厂的可靠度B风险评估等。
(8)工程的最佳化设计:在土木，水利、信息电子、电机、光学、机械、环境和化工等领域皆有作业研究的应用。
(9)计算机信息系统:可将作业研究的最优化算法应用于计算机的主存储器配置，如等候理论在不同排队规则下对磁盘、磁鼓和光盘工作性能的影响。
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
优化方法
这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下， 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时， 寻求变量x 满足一组约束条件的同时 ， 寻求变量 1 和 x2 的值使目标函 数取得最小值。 数取得最小值。
max z=5x1+2x2 30x1+20x2≤160 5x1+ x2 ≤15
甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 甲种药品每周产量不应超过 吨的限制 计划生产数不可能是负数， 计划生产数不可能是负数，
x1≤4 x1≥0 x2≥0
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
主要参考书目： 主要参考书目： 理论方面： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社 解可新、韩健， 最优化方法》 天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 何坚勇， 最优化方法》 清华大学出版社， 计算方面： 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及 曹卫华，郭正， 最优化技术方法及MATLAB的实现》， 的实现》 的实现 化学工业出版社， 化学工业出版社，2005 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003 朱德通， 最优化模型与实验》 同济大学出版社， 其它参考书： 其它参考书： (5)卢名高、刘庆吉编著，《最优化应用技术》，石油工业出版社 卢名高、 卢名高 刘庆吉编著， 最优化应用技术》 石油工业出版社,2002 (6)唐焕文，秦学志 《实用最优化方法》，大连理工大学出版社，2004 唐焕文， 唐焕文 秦学志,《实用最优化方法》 大连理工大学出版社， (7)钱颂迪，《运筹学》，清华大学出版社，1990 钱颂迪， 运筹学》 清华大学出版社， 钱颂迪 (8)袁亚湘、孙文瑜著，《最优化理论与方法》，科学出版社，2005 袁亚湘、 袁亚湘 孙文瑜著， 最优化理论与方法》 科学出版社，
最优化方法在工程设计中的应用
最优化方法在工程设计中的应用工程设计是以实现特定目标为导向的活动，为了达到最佳的工程设计方案，最优化方法被广泛应用于不同领域的工程设计中。
本文将探讨最优化方法在工程设计中的应用，并分析其重要性和优势。
一、概述工程设计的目标通常是找到一个最优的解决方案，以满足各种限制条件下的特定需求。
最优化方法是一种数学模型和算法的集合，用于解决这种最优化问题。
通过优化算法，可以搜索设计空间中的最佳解，并找到满足设计要求的最佳设计方案。
二、应用领域1. 结构设计在建筑和土木工程领域，最优化方法广泛应用于结构设计中。
通过最小化构件的重量或成本，同时满足结构的强度、刚度和稳定性要求，最优化方法可以帮助工程师设计出更优化的结构方案。
例如，在桥梁设计中，可以使用最优化方法确定最佳的梁的几何形状和截面尺寸，以达到最小成本和最大的承载力。
2. 电力系统设计在电力系统设计中，最优化方法可以用于优化电网配置、供电方案和能源分配。
通过最小化线路损耗、最大化系统效率，或者最小化传输成本，最优化方法能够提供经济高效的电力系统设计方案。
此外，最优化方法还可以用于优化电力系统的调度和运行，以提高电网的稳定性和可靠性。
3. 物流和运输网络设计在物流和运输领域，最优化方法被广泛应用于网络规划、路径选择和货物调度等问题。
通过最小化总运输成本、最大化运输效率或最小化客户等待时间，最优化方法可以帮助设计出高效的运输网络和物流方案。
例如，在城市交通规划中，可以使用最优化方法确定最佳的交通流分配方案，以减少拥堵和行车时间。
4. 制造过程优化在制造业中，最优化方法可以应用于生产计划、资源调度和工艺优化等问题。
通过最小化生产成本、最大化生产效率或最小化产品缺陷率，最优化方法可以帮助制造商提高生产过程的效率和质量。
例如，在汽车制造业中，可以使用最优化方法确定最佳的生产线布局和作业顺序，以提高生产效率和降低生产成本。
三、重要性和优势最优化方法在工程设计中的应用具有重要性和优势：1. 提高效率：通过最优化方法，工程师可以找到满足设计要求的最佳解决方案，从而提高工程设计的效率。
《最优化方法》最优化方法概述
《最优化方法》最优化方法概述最优化方法是数学中研究如何寻找最优解的一类方法。
最优解是指满足一定约束条件下使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
最优化方法在多个领域中都有广泛应用，包括工程、经济、金融等。
最优化问题可以形式化地表示为以下形式：\[ \text{minimize} \ f(x) \]\[ \text{subject to} \ g(x) \leq 0 \]\[ \quad \quad \quad \quad h(x) = 0 \]其中，\(f(x)\)是目标函数，\(g(x)\)是不等式约束条件，\(h(x)\)是等式约束条件。
变量\(x\)是问题的一个解。
最优化方法根据目标函数和约束条件的不同，可以分为无约束优化方法和有约束优化方法。
无约束优化方法是指目标函数没有约束条件的优化方法。
最简单的无约束优化方法是求解目标函数的导数为0的点。
这些点称为驻点，如果该点是局部最小点，则称为局部极小点或局部最优解。
如果该点是全局最小点，则称为全局极小点或全局最优解。
求解驻点的方法包括解析法和数值法。
解析法是指直接对目标函数求导，并解方程求解驻点。
数值法是指使用数值计算的方法来逼近驻点。
有约束优化方法是指目标函数存在约束条件的优化方法。
根据约束条件的性质，有约束优化问题可以进一步分为线性约束优化问题和非线性约束优化问题。
线性规划是一种特殊的线性约束优化问题，其目标函数和约束条件都是线性函数。
线性规划具有良好的性质，可以使用多种方法求解，包括单纯形法、内点法等。
线性规划在生产、供应链管理、运输等领域有广泛应用。
对于非线性约束优化问题，由于约束条件的非线性性质，求解最优解更加困难。
非线性约束优化问题可以使用数值方法来求解，包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法利用目标函数的一阶导数、二阶导数或者近似导数来最优解。
同时，还需要考虑约束条件的满足性，可以使用拉格朗日乘子法或者内点法等方法。
最优化方法在现实中的应用非常广泛。
《最优化理论》课件
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最优化方法概述
2016年11月
主要内容
一最优化方法引论
二无约束优化方法
三约束最优化问题的最优性理论
一、最优化方法引论
1. 其中
称为决策变量，
2. 称为目标函数，
3.上述问题的解称为最优解，记为 ，
无约束优化问题
(1.1)
约束最优化问题
1.其中s.t. 是“subject to”的缩写，意为“满足于”，
2.
称为目标函数，
3.
称为约束函数，
4.和分别称为等式约束和不等式约束。
以上是最优化问题的一般形式，其他形式的最优化问题均可以变换成此种形式。
(1.2)
最优化问题的分类
根据变量的取值是否连续，最优化问题可分为：
a.连续最优化问题
b.离散最优化问题
根据连续最优化问题中函数是否连续可微，连续最优化问题又可分为：
a.光滑最优化问题：所有函数，包括目标函数与约束函数均连续可微。
b.非光滑最优化问题：只要有一个函数不是连续可微，该问题即为非
光滑最优化问题。
约束优化问题又分为目标函数和约束函数均为线性函数的线性规划问题和目标函数或约束函数中至少有一个是非线性函数的非线性规划问题。
最优化方法的主要内容
1. 最优化方法是指用科学计算的方法来求解问题（1.1）或问题（1.2)的方法。
2.一般来说通过计算得到的解是近似解，而非问题的精确解.
3.随着科学与技术的发展，现代的最优化问题具有如下特点：维数高，规模
大，问题复杂，具有非线性性等.
4.构造算法的时候，需要考虑下面两个问题：
a、有效性. 一个好的算法要尽可能地使用尽量少的计算机时间和尽量少的计算机空间.
b、精确性. 计算问题本身的属性和计算机的舍入误差都会对计算解的精确性产生影响. 欲考虑计算解的精确性问题，就要对问题进行敏度分析，建立数值稳定的算法.
二、无约束优化方法
记号说明
若无特殊说明，我们总假定目标函数的一阶导数存在，当算法要求的二阶导数时二阶导数存在，并记：
其中与分别为在点处的梯度向量与Hesse矩阵.
最优解的类型
全局最优解：若对任意，则称为问题(1.1)的全局最优解；若对任意
则称为问题(1.1)的严格全局最优解.
局部最优解：对，若存在，使对任意，当
时时，有，则称为问题(1.1)的局部最优解；若对任意，有
，则称为问题(1.1)的严格局部最优解.
下面介绍的算法都是求局部解的算法。
最优性条件
一阶必要条件: 设，的一个局部极小点，则
二阶必要条件: 设，的一个局部极小点，则
半正定.
二阶充分条件，设，在点有，则当
正定时，的严格局部极小点.
稳定点及其种类
满足的点称为稳定点，由最优性条件可知，函数的极小点一定是稳定点，反之则不然。
无约束最优化算法的基本结构
步1 给定初始点
步2 若在点终止准则满足，则输出有关信息，停止迭代；
步3 确定在点的下降方向
步4 确定步长，使较之有某种意义的下降;
步5 令转步2
构成最优化方法的基本要素有二：其一是下降的方向，其二是步长.
终止准则
算法的另一个重要问题是迭代的终止准则. 因为局部极小点是稳定点，我们可用：
作为终止准则。
这样对于使用者来说，就存在着一个选择的问题. 上述准
则有一定的局限性. 例如对于在极小点领域内比较陡峭的函数，即使该领域中的点已经相当接近极小点，但其梯度值可能仍然较大，从而使迭代难以停止。
其他终止准则有：
或者
收敛性与收敛速度
若一个算法产生的点列在某种范数意义下满足：
我们称这个算法是收敛的.
进一步，如果从任意初始点出发，都能收敛到，那么称这样的算法
具有全局收敛性；而称仅当初始点与充分接近时才收敛到的算法具有局部收敛性.
收敛算法的收敛速度分以下几种情形：
线性收敛：若
当时，迭代点列的收敛速度是线性的，这是称算法是
线性收敛的。
超线性收敛：在上式中，当时，迭代点列的收敛速度是是超线性的，这时称算法是超线性收敛的.
二阶收敛：若
其中为任意常数，迭代点列的收敛速度是二阶的，这时称算法
是二阶收敛的。
线搜索准则
在当前迭代点，假定我们已得到下降方向，求步长的问题为一
维搜索或线搜索问题，它包括两个内容：
1.满足什么样的准则，步长可以接受？
2.有了合适的准则，满足该准则的步长该如何求？
精确线搜索：
非精确线搜索Armijo准则：
Goldstein准则：
其中
Wolfe 准则：
其中
最速下降法
假定第k步已得迭代点，我们可以得到使下降最快的方向为：
通常也称负梯度方向为最速下降方向。
一般地，称以负梯度方向为迭代
方向的方法为负梯度方法。
特别地，称采用精确搜索的步长，以负梯度，方向为迭代方向的方法为最速下降（Steepest Descent，SD）方法。
这个方法的计算步骤如下：
步1 给出
步2 若终止条件满足，则迭代停止；
步3 计算
步4 一维精确线搜索求
步5 转步2
最速下降法的收敛速度是线性的。
Newton方法
设具有连续的二阶偏导数，当前迭代点是在处的
Taylor展式为：
其中 . 在点的邻域内，用二次函数
近似 . 求解问题
（2.1）
若正定，则方程组
（2.2）
的解为问题（2.1）的唯一解. 我们称方程组（2.2）为Newton方程，由方程组（2.2）得到的方向为Newton方向. 用Newton方向作为迭代方向的最优化方法称为Newton方法.
Newton 方法的收敛性定理
定理（基本Newton方法的收敛性）设的Hesse 矩阵满足Lipschitz条件，即存在 , 对任给的与有
. 若充分接近的局部极小点
，且正定，则Newton方法对所有的有定义，并以二阶收敛
速度收敛.
拟Newton方法
Newton方法的缺点是：在每步迭代时需计算Hesse矩阵，为此要计算个二阶偏导数；若该方法产生的迭代点不能充分接近极小点，的正定性不能保证. Newton方法的优点在于它具有二阶收敛的速度. 这
促使我们去考虑是否可以构造一种方法，它既不需要计算二阶导数，又具有较快的收敛速度.
假定当前迭代点为，若我们用已得到的及其一阶导数信息
和构造一个正定矩阵作为的近似，这样下降方向
由方程组
给出. 然而这样做仍需求解一个线性方程组. 进一步改进为用相同的信息构
造一个矩阵作为的近似，这样下降方向就可以由
决定.
共轭梯度方法Conjugate gradient method
共轭梯度方法是利用函数的一阶导数信息建立起来的方法。
因为该方法在每步迭代中所需的计算量和存储量比Newton型方法少，所以它已经被广泛应用于求解大规模最优化问题。
二、约束最优化问题的最优性理论
约束最优化问题
我们称仅含等式约束的问题为等式约束最优化问题，仅含不等式约束的最优化问题为不等式约束优化问题。
我们总假定
连续可微；对任意约束最优化问题，记
可行域
对约束最优化问题（3.1），满足约束条件的点称为可行点，所有可行点的集合称为可行域，记为
约束优化问题就是在可行域上求目标函数极值的问题，问题（3.1）可表示为
约束优化问题的局部解与全局解
对一般约束优化问题（3.1）, 若，存在
时，有
则称为问题（3.1）的局部解；若，存在
时，有
则称为问题（3.1）的严格局部解
对一般约束优化问题（3.1），若，有
则称为问题（3.1）的全局最优解；若，有
则称为问题（3.1）的严格全局最优解
起作用约束
在点若，则称该约束为在点的起作用约束、积极约
束或有效约束；若，则称该约束为在点的不起作用约束，
非积极约束或非有效约束.
我们用表示处起作用不等式约束下标集合：
显然，等式约束都是起作用约束。
在点处的起作用约束下标集合记为
或者。
特别地，记
在局部最优解处，若已知，则不起作用约束都可以省略。
显然
是不知道的
凸规划问题
设为凸函数，为凹函数，则称
为凸规划问题
等式约束等价于两个不等式约束和定理凸规划问题的局部最优解必为全局最优解。
两种可行方向
定义设为问题（3.1）的可行点，存在可行点列有
记
其中，因为，所以若，则
称为可行方向点列，为处的可行方向. 记为处全体
可行方向组成的集合。
定义设为问题（3.1）的可行点，定义
为在处的线性化可行方向集合，元素为线性化可行方向。
定理：
一阶必要条件
定义
为在处的下降方向集合，其中元素称为处的下降方向。
正则性假设为
定理（一阶必要性条件）若为问题(3.1) 的局部最优解，则
一阶必要条件
定理若为问题（3.1）的局部解，且在处正则性假设成立，则存在
Lagrange 乘子使得满足
其中
为Lagrange函数
谢谢！Thank you！。